一種基于b樣條嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪齒形設(shè)計方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種基于B樣條嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪齒形設(shè)計方法，該方法為根據(jù)B樣條曲線構(gòu)造復(fù)雜曲線的自由性和靈活性，利用B樣條構(gòu)造內(nèi)嚙合齒輪嚙合線；根據(jù)齒輪嚙合原理，構(gòu)造滿足該嚙合線的內(nèi)嚙合內(nèi)外齒輪共軛齒廓曲線并對其嚙合性能進行分析；以嚙合線的光順度和共軛齒廓嚙合性能為目標，進行共軛齒廓的優(yōu)化設(shè)計；構(gòu)造齒廓曲線到齒根圓的齒根過渡圓弧曲線并完內(nèi)嚙合齒輪整齒設(shè)計。該方法設(shè)計的嚙合線構(gòu)造共軛齒廓之前就可求解所構(gòu)造共軛齒廓的嚙合性能。該方法利用B樣條構(gòu)造嚙合線，通過改變控制頂點的位置坐標可方便的調(diào)整嚙合線的形狀，因此該方法在內(nèi)嚙合齒輪共軛齒廓的幾何形狀設(shè)計及嚙合性能設(shè)計上具有很大的自由性。
【專利說明】
-種基于B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪齒形設(shè)計方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001 ]本發(fā)明屬于傳動齒輪設(shè)計技術(shù)領(lǐng)域，設(shè)及一種基于B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪齒 形設(shè)計方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 內(nèi)曬合齒輪傳動是一種重要的傳動形式，它由內(nèi)外齒輪組成，可傳遞同向的運動 和動力，與外曬合齒輪傳動相比，結(jié)構(gòu)更加緊湊，承載能力更強，可降低共輛齒廓曲線相對 滑動引起的動力損失，因此傳動效率更高，在車輛傳動、轉(zhuǎn)臂關(guān)節(jié)、醫(yī)療機械等傳動系統(tǒng)有 著廣泛的應(yīng)用。目前，內(nèi)曬合齒輪的齒形主要為漸開線齒形，它具有加工制造容易，安裝精 度敏感度低等優(yōu)點，在工業(yè)上獲得最大范圍的應(yīng)用，并形成了工業(yè)標準，擺線齒形作為另一 種傳動齒形，在鐘表、高精度減速器等方面也獲得了廣泛的應(yīng)用。
[0003] 隨著新型傳動結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)及對內(nèi)曬合齒輪傳動性能要求的提高，對內(nèi)曬合齒輪的 設(shè)計提出了更高的要求。傳統(tǒng)的漸開線齒形及擺線齒形設(shè)計齒形固定，通過改變設(shè)計參數(shù) 改變齒輪的曬合性能，其適用范圍受限于設(shè)計參數(shù)，為了滿足不同機械結(jié)構(gòu)對傳動形式及 傳動性能的要求，需要開發(fā)出一種適應(yīng)不同傳動性能和傳動形式的內(nèi)曬合齒輪設(shè)計方法。 "在齒輪傳動過程中，隨著接觸點在曬合線上滑動時，在齒輪坐標系上劃出的軌跡就是參與 曬合的齒輪齒廓曲線"，該研究提示我們:通過曬合線設(shè)計，可W構(gòu)造出滿足不同曬合性能 的傳動齒輪共輛齒廓，運種齒廓的設(shè)計是自由的，共輛齒廓的幾何形狀及曬合性能決定于 曬合線的幾何特性，而漸開線齒形和擺線齒形是運種設(shè)計方法的兩種特例：當設(shè)計曬合線 為直線和圓弧時，構(gòu)造的共輛齒廓齒形就為漸開線齒形和擺線齒形。同時隨著高精度數(shù)控 加工技術(shù)的發(fā)展，也為運種自由齒形的加工制造提供了可能。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 本發(fā)明針對漸開線內(nèi)曬合齒輪設(shè)計中齒數(shù)、變位系數(shù)限制，重合度小等問題，提供 了一種基于B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪齒形設(shè)計方法，該方法為根據(jù)B樣條曲線構(gòu)造復(fù)雜曲 線的自由性和靈活性，利用B樣條構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪曬合線;根據(jù)齒輪曬合原理，構(gòu)造滿足該 曬合線的內(nèi)曬合內(nèi)外齒輪共輛齒廓曲線并對其曬合性能進行分析；W曬合線的光順度和共 輛齒廓曬合性能為目標，進行共輛齒廓的優(yōu)化設(shè)計;構(gòu)造齒廓曲線到齒根圓的齒根過渡圓 弧曲線并完內(nèi)曬合齒輪整齒設(shè)計。該方法設(shè)計的曬合線不僅決定了內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲 線的幾何形狀，也決定了內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓的曬合性能，并且在構(gòu)造共輛齒廓之前就可 求解所構(gòu)造共輛齒廓的曬合性能。該方法利用B樣條構(gòu)造曬合線，通過改變控制頂點的位置 坐標可方便的調(diào)整曬合線的形狀，因此該方法在內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓的幾何形狀設(shè)計及曬 合性能設(shè)計上具有很大的自由性。
[0005] 本發(fā)明采用的技術(shù)方案為:一種基于B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪齒形設(shè)計方法，該 方法利用B樣條曲線構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪曬合線，根據(jù)齒輪曬合原理，建立關(guān)于曬合線與內(nèi)曬合 齒輪共輛齒廓曲線之間對應(yīng)關(guān)系式;構(gòu)造滿足B樣條曬合線的共輛齒廓曲線;建立W曲線光 順度、控制頂點擾動及共輛齒廓曲線相對法曲率、相對滑動率最優(yōu)的目標函數(shù)，求解得到優(yōu) 化后的B樣條曬合線控制頂點坐標，重新構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線;對設(shè)計的共輛齒廓 曲線進行干設(shè)檢查，根據(jù)檢查結(jié)果調(diào)整控制頂點；設(shè)計內(nèi)外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡 曲線，完成內(nèi)外齒輪齒形的總體設(shè)計。鑒于B樣條曲線的自由性和靈活性，通過B樣條既可構(gòu) 造漸開線齒形的直線曬合線和擺線齒形的圓弧曬合線，也可構(gòu)造其他齒形的復(fù)雜曬合線， 從而使該方法對內(nèi)曬合共輛齒廓曲線的構(gòu)造具有很大的自由度。
[0006] 該方法具體步驟如下：
[0007] 步驟一、設(shè)計內(nèi)曬合齒輪曬合線，根據(jù)B樣條曲線的生成原理，W給定的曬合線上 的點為控制頂點，構(gòu)造 WS次非均勻B樣條表示的內(nèi)曬合齒輪曬合線；
[0008] 步驟二、根據(jù)共輛原理，建立內(nèi)曬合齒輪傳動的共輛方程，該方程反應(yīng)了曬合線上 的點與內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線上共輛點之間的對應(yīng)關(guān)系;在求解共輛齒廓曲線之前，根 據(jù)齒輪曬合理論，分析滿足設(shè)計B樣條曬合線的共輛齒廓曲線的曬合性質(zhì)，包括相對法曲率 和相對滑動率；
[0009] 步驟=、根據(jù)曬合線與共輛齒廓曲線的對應(yīng)關(guān)系式，帶入B樣條曬合線的分段多項 式，通過坐標變換和計算，得到滿足設(shè)計B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線上的齒形 點坐標；
[0010] 步驟四、W曲線光順性、B樣條曲線控制頂點擾動幅度、構(gòu)造共輛齒廓曲線相對法 曲率、相對滑動率最優(yōu)為目標建立優(yōu)化函數(shù)，通過計算得到新的控制頂點坐標，重新進行內(nèi) 曬合齒輪共輛齒廓曲線設(shè)計；
[0011] 步驟五、利用微分幾何學(xué)檢查內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線上是否存在奇異點，進行 工作齒廓根切檢查;檢查內(nèi)曬合齒廓共輛齒廓曬合過程是否發(fā)生齒頂干設(shè)及徑向干設(shè)，確 定干設(shè)點發(fā)生的位置，通過調(diào)整對應(yīng)的B樣條曲線控制頂點消除內(nèi)曬合齒輪干設(shè)情況；
[0012] 步驟六、構(gòu)造內(nèi)外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧曲線，完成內(nèi)曬合共輛齒輪 整體設(shè)計。
[0013] 本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點在于：
[0014] 本發(fā)明所提出的是一種自由的內(nèi)曬合齒輪齒形構(gòu)造方法，突出的特點是利用B樣 條構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪的曬合線，根據(jù)齒輪曬合原理構(gòu)造滿足在該曬合線參與曬合的內(nèi)外齒輪 共輛齒廓曲線，并W曬合性能最優(yōu)和曬合線光順性進行了齒形優(yōu)化。受益于B樣條曲線的自 由性和靈活性，該方法在內(nèi)曬合齒輪設(shè)計方面具有很大的自由，根據(jù)本發(fā)明不僅能夠設(shè)計 出漸開線齒形和擺線齒形，也可根據(jù)齒形的性能需求設(shè)計其他齒形。隨著高精度數(shù)控加工 技術(shù)的發(fā)展，為本發(fā)明所設(shè)計的內(nèi)曬合齒輪的加工制造提供了可能。
【附圖說明】
[0015] 圖1為本發(fā)明一種新型大重合度內(nèi)曬合齒輪齒形設(shè)計方法流程圖；
[0016] 圖2為內(nèi)曬合齒輪曬合線；
[0017] 圖3為內(nèi)曬合齒輪坐標系和固定坐標系；
[0018] 圖4為齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧構(gòu)造示意圖，其中，圓Oo為與齒根齒廓r f和齒 廓圓相切的圓，To、Tf分別為切點，t為在To處的切向；
[0019] 圖5為立次非均勻B樣條曬合線及共輛齒廓曲線，其中，圖5(a)為初始控審順點構(gòu) 造的=次非均勻B樣條曬合線及共輛齒廓曲線；圖5(b)優(yōu)化后控制頂點構(gòu)造的=次非均勻B 樣條曬合線及共輛齒廓曲線；
[0020] 圖6為優(yōu)化前后共輛齒廓曲線相對法曲率曲線；
[0021] 圖7為優(yōu)化前后共輛齒廓曲線相對滑動率曲線；
[0022] 圖8為內(nèi)外齒輪單齒齒形，其中，1-外齒輪齒廓曲線，2-外齒輪齒根齒廓到齒根 圓過渡圓弧曲線，3-內(nèi)齒輪齒廓曲線，4-內(nèi)齒輪齒根齒廓到齒根圓過渡圓弧曲線；
[0023] 圖9為內(nèi)外齒輪整體齒形。
【具體實施方式】
[0024] 下面結(jié)合附圖對本發(fā)明方法的實施方式做詳細說明。
[0025] 本發(fā)明一種基于圓弧曬合線的大重合度內(nèi)曬合齒輪齒形設(shè)計方法的流程圖如圖1 所示，包括（1)利用非均勻B樣條構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪曬合線；（2)滿足B樣條曬合線的共輛齒輪 齒廓曲線與曬合線的對應(yīng)關(guān)系建立及其曬合性質(zhì)分析；（3)構(gòu)造滿足=次非均勻B樣條曬合 線的內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線；（4) W齒廓曲線光順性要求及共輛齒輪曬合性能最優(yōu)建立 目標函數(shù)，對非均勻B樣條曬合線進行優(yōu)化；（5)內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線的干設(shè)檢查；（6) 構(gòu)造內(nèi)外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡曲線，完成內(nèi)曬合共輛齒輪整體設(shè)計。
[00%]該方法具體步驟如下：
[0027] 步驟一、利用非均勻B樣條構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪曬合線。
[0028] 在齒輪傳動過程中，隨著接觸點在曬合線上滑動時，在齒輪坐標系上劃出的軌跡 就是參與曬合的齒輪齒廓曲線。內(nèi)曬合齒輪的曬合線為兩條，分別對應(yīng)著內(nèi)齒輪和外齒輪 的左右齒廓，一般而言，兩條曬合線是對稱的。內(nèi)曬合齒輪的曬合線分布在內(nèi)齒輪和外齒輪 齒頂圓之間，如圖2所示，齒輪1和齒輪2是一對內(nèi)曬合齒輪，齒輪1為外齒輪，齒輪2為內(nèi)齒 輪，設(shè)^和12為曬合線的兩段，Li位于第二象限，L2位于第四象限，為保證曬合線過原點且在 原點連續(xù)，分段曬合線^和12相交于原點，且在原點相切。
[0029] 對于漸開線內(nèi)曬合齒輪，其曬合線。和1^2為兩條線段，相交于節(jié)點化，且與X軸的夾 角為壓力角曰，它們的端點分別為與內(nèi)齒輪及中屯、輪齒頂圓的交點，對于擺線齒內(nèi)曬合齒 輪，其曬合線。和12為兩段相切圓弧，相切與節(jié)點化，其中b是齒輪1右齒廓齒根與齒輪2左 齒廓齒頂?shù)臅窈暇€，L2為齒輪1右齒廓齒頂與齒輪2左齒廓齒根的曬合線;對于一般情況，內(nèi) 曬合齒輪齒形不僅限于漸開線齒形和擺線齒形，只要滿足共輛條件且不發(fā)生干設(shè)均可成為 內(nèi)曬合齒輪齒形。B樣條曲線具有靈活性和自由性，理論上，B樣條曲線可W擬合和逼近任意 的幾何形狀，因此可W利用B樣條構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪曬合線，從而構(gòu)造滿足B樣條曬合線的內(nèi) 曬合齒輪齒形曲線。k次B樣條曲線方程為：
[0030]
U)
[0031] P(U)為分段多項式，其中，dia = 〇，l，2,…，n)為控制頂點，Ni,k(u)a = 〇，l，2,…， n)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，簡稱B樣條，它是由節(jié)點矢量U=[u日，山，???，Un+k+l]:u日《m《…《 Un+k+l所決定的k次多項式。當節(jié)點矢量在可能范圍內(nèi)（兩端節(jié)點重復(fù)度小于等于k+1，內(nèi)節(jié)點 重復(fù)度小于等于k)任意選取，構(gòu)造的B樣條曲線為非均勻B樣條曲線，確定節(jié)點矢量的方法 有里森費爾德方法和哈特利-賈德方法。
[0032] 當k = 3時，；次6樣條曲線可W表示為：
[0033]
(2)
[0034] 其中，樣條基函數(shù)Ni,3(u)(i = 0，l，2,…，n)為S次多項式，根據(jù)B樣條基函數(shù)的定 義可W得到：
[0035] [Ni-3,3(u) Ni-2,3(u) Ni-l,3(U) Ni,3(u)] = [u3 u2 U l]Mi (3)
[0036] 其中，Ml是由多項式的系數(shù)矩陣，把式(3)帶入式(2)得到=次B樣條曲線又可W表 示為：
[00371
(4)
[003引對于非均勻立次6樣條曲線，其在節(jié)點p(Ui)(i = k+l，5, . .，n)處為C2階連續(xù)，在其 他內(nèi)點為廣階連續(xù)，并且非均勻B樣條曲線在首末端節(jié)點P(Uk)、P(Un+l)分別與控制多邊形 首末邊相切。
[0039] 利用非均勻B樣條曲線構(gòu)造分段曬合線Li、L2,他們的控制頂點分別為:d嚴>(i = 0，1，2，-'，11)、山/^〇 = 0，1，2^-，111)，為保證分段曬合線1^1和1^2相交于原點，且在原點相 切，根據(jù)B樣條曲線的端點性質(zhì)，使控制頂點= = 0)，d2W、d產(chǎn) Cb 唯同一條直線Io上。心LiUm^分別在齒輪1和齒輪2的齒頂圓上，限制了曬合線的曬合 范圍。
[0040] 步驟二、滿足B樣條曬合線的共輛齒輪齒廓曲線與曬合線的對應(yīng)關(guān)系建立及其曬 合性質(zhì)分析
[OOW 如圖3,齒輪1和齒輪2的節(jié)圓內(nèi)切于點Po,設(shè)直角坐標系Si:{01，Xi，Yi}，S2:{02，X2， Y2}分別與齒輪1和齒輪2固連，坐標系Sf: {Of, Xf, Yf}為固定坐標系，且化為節(jié)點，則Of在齒輪 械合化巧線K設(shè)則，辦分別為齒輪1和齒輪2傳動時的角位移，則齒輪1和齒輪2的傳動
巧曬合齒輪的中屯、距Ei2 = R2-Ri，其中Ri、R2設(shè)分別為齒輪1和齒輪2的節(jié)圓 半徑。B樣條曬合線在直角坐標系Sf上的齊次坐標表達式為：
[0042]
(5)
[0043] 其中，Xf，yf為B樣條曬合線上的點P在直角坐標系Sf上的坐標值。在齒輪曬合過程 中，接觸點在曬合線上并沿著曬合線滑動，接觸點在直角坐標系Si和S2上滑動的軌跡就是齒 輪1和齒輪2的齒廓曲線。曬合線上的共輛點在直角坐標系Si上的軌跡的向量表示為：
[0044] 其中，Xf，yf為曬合點P在直角坐標系Sf上的坐標值。在齒輪曬合過程中，接觸點在
[00 少 (6) 曬合線上并沿著曬合線滑動，接觸點在直角坐標系Si和S2上滑動的軌跡就是齒輪I和齒輪2 的齒廓曲線。曬合線上的共輛點在直角坐標系Si上的軌跡的向量表示為：
[004d
[0047 C7)
[00少
[0049 r, (8)
[(K)SC
[0051 (9)
[0052] 根據(jù)平面齒輪曬合理論，共輛齒形曲線在切觸點處的公法線與回轉(zhuǎn)中屯、線化化相 交并將該線分為兩段化P和化P，兩線段之比值為齒輪傳動比。得到的齒輪1的曬合方程為：
[0053] (10)
[0化4]
[005引
[0056]得到齒輪2的角位移的表達式為：
[0化7]
(12)
[0058] 式（11)、（12)建立起了曬合線上的點與共輛齒廓曲線上接觸點的對應(yīng)關(guān)系，把式 (11)、（12)帶入式(6)、（8)得到齒輪1和齒輪2的共輛齒廓曲線表達式。
[0059] 在得到內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線之前，根據(jù)曬合線與共輛齒廓曲線的對應(yīng)關(guān)系 (11)和（12)可W分析構(gòu)造的內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線的曬合性質(zhì)，如相對法曲率、相對滑 動率。
[0060] 根據(jù)曲線的法曲率關(guān)系式得到齒輪1齒廓曲線在點P處的法曲率為：
[0061]
U3a)
[0062] 同樣，齒輪2齒廓曲線在點P處的法曲率為：
[0063]
(13b)
[0064] 齒輪1和齒輪2共輛齒廓曲線在曬合點P處的相對法曲率為：
[00 化]
(14)
[0066] 根據(jù)齒輪的齒面方程(6)和(8)得到齒輪1的弧長元素為：
[0067] MSa')
[006引
[0069] (1沈）
[0070] 齒輪1和齒輪2在點P處接觸，在化時間內(nèi)滑動的弧長分別為dsi、ds2，則其相對滑動 率定義為：
[0071]
(化）
[0072] 把方程（15a)和（1化)帶入方程(16)得到了齒輪1和齒輪2共輛齒廓曲線在曬合點P 處的相對滑動率。
[0073] 步驟=、構(gòu)造滿足=次非均勻B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線
[0074] 當曬合線為S次非均勻B樣條表示時，曬合線方程為分段S次多項式(4)，設(shè)Xf(U) =又1(11)，7:(11)=71(11)，11￡[化，化+1]，它滿足曬合方程式（10)、（11)。
[0075] 由于=次B樣條曲線為分段=次多項式，不同定義域區(qū)間對應(yīng)不同的=次多項式 表達式，需對U進行分段積分。首先確定U G [ Ui，Ui +1 ]區(qū)間，然后分別對[Uk，Uk+1 ]、[ Uk+1， 化+2]、…、山-1，化]、山，U]進行分段積分，得到的最終分段積分為：
[0076]
(17)
[0077] 得到的奶為齒輪I齒廓曲線的齒形點從初始位置到參與曬合所轉(zhuǎn)過的弧度，即齒 廓曲線齒形點與曬合點的對應(yīng)關(guān)系，把式（17)帶入式(6)得到齒輪1的齒廓曲線方程，由于 界2(?) = 口1 (M) 通過式(8)可W得到齒輪2的齒廓曲線方程。
[007引同樣，把式（17)帶入式（13a)、（13b)、（14)和（15a)、（1加）、（16)可W得到齒輪1和 齒輪2共輛齒廓曲線的相對法曲率和相對滑動率。
[0079] 步驟四、內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓的的優(yōu)化設(shè)計
[0080] 在共輛齒輪齒廓的設(shè)計過程中，共輛齒廓曲線的光順度及曬合特性取決于曬合線 的幾何性質(zhì)。利用非均勻B樣條曲線構(gòu)造齒輪曬合線，其形狀由控制多邊形決定，可W通過 對控制頂點位置的調(diào)整實現(xiàn)曬合線形狀的修改。
[0081] 根據(jù)曲線法曲率表達式，曲線的曲率變化主要受P" (U)的影響，光順曲線的曲率分 布需分段線性的，則P"(u)在節(jié)點區(qū)間上也應(yīng)趨于線性變化。根據(jù)運個特性，建立代表B樣條 曲線光順性的能量函數(shù)為：
[0082]
(18)
[0083] 為約束待修正控制頂點(11<^。= 2,3，。，，11-1)的擾動幅度，可對控制頂點的擾動幅 度增加一個權(quán)電，律立的特制頂點擾動幅度目標函數(shù)為：
[0084]
(19)
[0085] 其中，W2i為控制頂點擾動幅度的權(quán)重。
[0086] 相對滑動率是共輛齒廓曲線的重要曬合特性之一，建立關(guān)于相對滑動率的目標函 數(shù)為：
[0087]
(-20)
[0088] 對于齒輪1齒根齒廓與齒輪2齒頂齒廓曬合，有ds廣ds2<〇,對于齒輪1齒頂齒廓與齒 輪2齒根齒廓曬合，ds廣dS2〉〇，因此，在對于曬合線^，I ds廣dS2 I = ds廣dS2，對于曬合線L2， dsi-ds21 =-(dsi-ds2)。把式（15a)、式（巧b)帶入式（19)并約去?y/x; + j;得到：
[0089]
(21)
[0090] 共輛齒廓的相對法曲率可W由式(14)表示，則建立的相對法曲率目標函數(shù)為：
[0091]
C22)
[0092] 根據(jù)共輛齒廓曲線的法曲率式（13a)、（13b)，當齒輪I齒廓曲線法曲率表達式的分 子、分母與齒輪2齒廓曲線法曲率表達式的分子、分母之差最小時，共輛齒廓曲線的相對法 曲率會很小，約去公因子得到相對法曲率的目標函數(shù)為：
[0093]
(巧）
[0094] 根據(jù)式(17)、（18)、（20)和(22)，得到的整體目標函數(shù)為：
[0095] F=wiFi+F2+W3F'3+W4F'4 (24)
[0096] 其中，wi、W3、W4分別為光順度、相對滑動率及相對法曲率在目標函數(shù)中所占的權(quán) 重。要巧目標巧數(shù)F最小，可令
[0097]
(25)
[0098] 運是2(n-2)元一次方程組，未知量為di,x、di,y(i = 2，???，n-l)共2(n-2)個，其矩陣 表達式為：
[0099] Md = C (26)
[0100] 其中，M為系數(shù)矩陣，坊Kn-I) X2向量，d的表達式為：
[0101] d=[dx dy]T dx=[d2x d3x ... d(n-l)x] dy=[d巧 d：3y ... d(n-l)y]
[0102] 求解W上方程組得到經(jīng)過優(yōu)化后的B樣條曬合線控制頂點的坐標值。
[0103] 根據(jù)步驟一、步驟二和步驟=重新構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓。
[0104] 步驟五、內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線的干設(shè)檢查
[0105] 若共輛齒輪齒廓曲線上出現(xiàn)奇異點，在該點處將產(chǎn)生輪齒根切。根據(jù)齒輪曬合原 理，輪齒根切的判定條件為接觸點在齒廓曲線上的滑動速度為零，即：
[0106]
[0107] (28)
[010引齒輪1輪齒根切的判定條件為：
[0109] Xf (U)X'f (u) + (-Ri+yf (U) )y'f (U) =0 (29a)
[0110] 齒輪2輪齒根切的判定條件為：
[0111] Xf (U)X'f (u) + (-R2+yf (U) )y'f (U) =0 (29b)
[0112] 把式(4)代入式(29a)、（29b)可W判定滿足B樣條曬合線的內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓是 否發(fā)生齒廓干設(shè)。因此，W方法構(gòu)造的內(nèi)曬合共輛齒廓是否干設(shè)是由曬合線的決定的，在構(gòu) 造共輛齒廓曲線之前就可W進行判定。鑒于內(nèi)曬合齒輪的復(fù)雜性及B樣條曲線的自由性，判 斷此方法構(gòu)造的內(nèi)曬合齒輪是否發(fā)生齒頂干設(shè)和徑向干設(shè)，只有通過對構(gòu)造共輛齒廓在每 一個轉(zhuǎn)動位置進行判定才能實現(xiàn)。此方法可W獲得共輛齒廓上的齒形點坐標，通過在幾個 關(guān)鍵位置齒形點的轉(zhuǎn)換位置計算及干設(shè)判斷可W完成構(gòu)造共輛齒廓齒頂干設(shè)及徑向干設(shè) 的判定。
[0113] 若發(fā)生干設(shè)，根據(jù)干設(shè)出現(xiàn)的位置可W對B樣條曬合線上對應(yīng)控制點進行調(diào)整，重 新進行內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓曲線構(gòu)造并進行干設(shè)檢查，直到不發(fā)生干設(shè)為止。
[0114] 步驟六、構(gòu)造內(nèi)外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡曲線
[0115] 確定內(nèi)外齒輪輪齒齒根齒廓曲線在端點To處的切向t，構(gòu)造與齒根圓和齒根齒廓 曲線在端點相切的圓弧過渡曲線ToTf。，如圖4所示。
[0116] 下面具體舉例說明：
[0117] W齒數(shù)Z1 = 35，z2 = 50，m = 4的內(nèi)曬合齒輪為例，簡要說明本方法的實施方式。其 他參數(shù)為11日1 =4mm,hfl = Smm,ha2 = 4mm,hf2 = 5mm。
[0118] 步驟一、利用非均勻B樣條構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪曬合線。
[0119] 設(shè)計的曬合線為外齒輪1右側(cè)齒廓與內(nèi)齒輪2左側(cè)齒廓的曬合線，分為^、L2兩段， 如表 1 所示，其控制頂點為di(Li)(i = 〇, 1,2,…，n)、dij(L2)( j = 〇, 1,2,…，m)，滿足do(Li) = do 似, = (0,0)，(12(山、山(山、(1日(山、山似)、(12似 )在同一條直線1日上。山(山、(1。叫分別在齒輪1和齒 輪2的齒頂圓上。
[0120] 把控制頂點的坐標帶入式(4)，則得到了曬合線方程的=次非均勻B樣條曲線表 /J、- O
[0121 ]表1非均勻B樣條曬合線控制頂點
[0122]
[0123]
[0124] 步驟二、滿足B樣條曬合線的共輛齒輪齒廓曲線與曬合線的對應(yīng)關(guān)系建立及其曬 合性質(zhì)分析
[0125] 根據(jù)共輛原理，得到共輛方程表達式式（11)，對共輛方程式(11)積分，得到曬合線 上的點與共輛齒廓曲線上接觸點的對應(yīng)關(guān)系式(11)及式(12)。
[0126] 根據(jù)齒輪1和齒輪2共輛齒廓曲線在曬合點P處的相對法曲率表達式（14)及相對滑 動率表達式（16 )，得到的共輛齒廓曲線的相對法曲率曲線和相對滑動率曲線如圖6、圖7所 /J、- O
[0127] 步驟=、滿足設(shè)計曬合線的共輛齒輪齒廓曲線的構(gòu)造
[0128] 對于=次非均勻B樣條曲線，其方程表達式為分段=次多項式，需對U進行分段積 分。首先確定UG [Ui，Ui+l]區(qū)間，然后分別對[Uk，Uk+l]、[Uk+1，Uk+2]、…、[Ui-l，Ui]、[Ui，u]進行 分段積分，得到的最終分段積分為：
[0129]
(30)
[0130] 得到的口 1為齒輪1齒廓曲線的齒形點從初始位置到參與曬合所轉(zhuǎn)過的弧度，即齒 廓曲線齒形點與曬合點的對應(yīng)關(guān)系，把式(30)帶入式(6)得到齒輪1的齒廓曲線方程，由于 的(《)= 口1 (W) /刪2,通過式(8)可W得到齒輪2的齒廓曲線方程。
[0131] W上得到的共輛齒廓曲線為中屯、輪1右側(cè)齒廓與內(nèi)齒圈2左側(cè)齒廓，如圖5(a)所 /J、- O
[0132] 步驟四、內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓的優(yōu)化設(shè)計
[0133] 在內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓設(shè)計過程中，共輛齒廓曲線的光順度及曬合特性取決于曬 合線的幾何性質(zhì)。非均勻B樣條曬合線的形狀由控制頂點決定，可W通過對控制頂點位置的 調(diào)整實現(xiàn)內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓的優(yōu)化設(shè)計。
[0134] WB樣條曬合線光順性、控制頂點位置擾動、共輛齒廓相對法曲率及相對滑動率為 優(yōu)化目標建立目標函數(shù)式(23)，通過求解目標函數(shù)得到了優(yōu)化后的B樣條曬合線控制頂點 的位置坐標為di' (Li)(i = 〇,l ，n)、dj' (L2)( j = 〇,l ,2,…，m)，如表2所示。
[01 對為了滿足do'(山= do'化2) = (0,0)，d2'山Ui'山Uo'山Ui' (L2)、cb'化2)在同一條直 線Io上。山/ fLlUm/ (L2)分別在齒輪1和齒輪2的齒頂圓上，在設(shè)置控制頂點擾動時，使運幾個 點不產(chǎn)生擾動，即坐標值不變。
[0136] 根據(jù)步驟一、步驟二和步驟=重新構(gòu)造內(nèi)曬合齒輪共輛齒廓及求解其相對法曲率 和相對滑動率。得到了優(yōu)化后的B樣條曬合線及構(gòu)造的共輛齒廓曲線如圖5(b)所示，其相對 法曲率和相對滑動率如圖6、圖7所示。
[0137] 表2優(yōu)化后非均勻B樣條曬合線控制頂點
[013 引
[0139] 步驟五、設(shè)計共輛齒廓曲線的干設(shè)檢查
[0140] 對于給定的=次非均勻B樣條曬合線分段多項式方程表達式(4)，帶入中屯、輪1工 作齒廓干設(shè)的判定條件式(29a)和內(nèi)齒圈2工作齒廓干設(shè)的判定條件式(29b)，發(fā)現(xiàn)實例中 構(gòu)造的B樣條曬合線滿足：
[0141]
(31)
[0142] 則根據(jù)該曬合線構(gòu)造的共輛齒廓曲線不會產(chǎn)生工作齒廓干設(shè)。通過對構(gòu)造的共輛 齒廓轉(zhuǎn)動一定角度檢查發(fā)現(xiàn)，此方法構(gòu)造的共輛齒廓不發(fā)生齒頂干設(shè)和徑向干設(shè)。
[0143] 步驟六、齒輪工作齒廓到齒根圓的過渡曲線構(gòu)造
[0144] 中屯、齒根齒廓曲線的端點為Tio(0.7102 ,-66.4380 )，在端點Tio的切線方向t (0.1303,0.9915)，中屯、齒輪的齒根圓中屯、〇1(0,0)，半徑m = 65mm，通過幾何求解，與中屯、 輪齒根圓外切于點Tfi的一段圓弧TioTfi的中屯、〇1〇(2.3987，-66.6599)，半徑rio = 1.703mm， 則中屯、輪齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧方程表達式為：
[0145]
[0146] 內(nèi)齒輪齒根齒廓曲線的端點為T20(-1.47 1 8,-103.8 1 82)，在端點T20的切線方向t (-0.4384，-0.8988)，外齒輪的齒根圓中屯、〇2(0，0)，半徑打2 = 105mm，通過幾何求解，與內(nèi)齒 圈齒根圓外切于點1:2的一段圓弧12〇1:2的中屯、〇2〇(-3.2803，-102.9353)，半徑^〇二 2.0125mm，得到內(nèi)齒圈齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧方程表達式為：
[01471
(33)
[0148]得到的中屯、輪和內(nèi)齒圈輪齒如圖8和圖9所示，圖8為中屯、輪和內(nèi)齒圈單齒形狀，分 別由齒頂圓、齒廓曲線、過渡圓弧曲線及齒根圓組成，如圖9所示中屯、輪和內(nèi)齒圈整體齒形 及曬合線。
[0149] 本發(fā)明未詳細闡述部分屬于本領(lǐng)域的公知技術(shù)。
[0150] W上所述，僅為本發(fā)明部分【具體實施方式】，但本發(fā)明的保護范圍并不局限于此，任 何熟悉本領(lǐng)域的人員在本發(fā)明掲露的技術(shù)范圍內(nèi)，可輕易想到的變化或替換，都應(yīng)涵蓋在 本發(fā)明的保護范圍之內(nèi)。
【主權(quán)項】
1. 一種基于B樣條嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪齒形設(shè)計方法，其特征在于：該方法利用B樣條 曲線構(gòu)造內(nèi)嚙合齒輪嚙合線，根據(jù)齒輪嚙合原理，建立關(guān)于嚙合線與內(nèi)嚙合齒輪共輒齒廓 曲線之間對應(yīng)關(guān)系式;構(gòu)造滿足B樣條嚙合線的共輒齒廓曲線;建立以曲線光順度、控制頂 點擾動及共輒齒廓曲線相對法曲率、相對滑動率最優(yōu)的目標函數(shù)，求解得到優(yōu)化后的B樣條 嚙合線控制頂點坐標，重新構(gòu)造內(nèi)嚙合齒輪共輒齒廓曲線;對設(shè)計的共輒齒廓曲線進行干 涉檢查，根據(jù)檢查結(jié)果調(diào)整控制頂點；設(shè)計內(nèi)外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡曲線，完成內(nèi) 外齒輪齒形的總體設(shè)計;鑒于B樣條曲線的自由性和靈活性，通過B樣條既可構(gòu)造漸開線齒 形的直線嚙合線和擺線齒形的圓弧嚙合線，也可構(gòu)造其他齒形的復(fù)雜嚙合線，從而使該方 法對內(nèi)嚙合共輒齒廓曲線的構(gòu)造具有很大的自由度。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于B樣條嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪齒形設(shè)計方法，其特征在 于:該方法具體步驟如下： 步驟一、設(shè)計內(nèi)嚙合齒輪嚙合線，根據(jù)B樣條曲線的生成原理，以給定的嚙合線上的點 為控制頂點，構(gòu)造以三次非均勻B樣條表示的內(nèi)嚙合齒輪嚙合線； 步驟二、根據(jù)共輒原理，建立內(nèi)嚙合齒輪傳動的共輒方程，該方程反應(yīng)了嚙合線上的點 與內(nèi)嚙合齒輪共輒齒廓曲線上共輒點之間的對應(yīng)關(guān)系；在求解共輒齒廓曲線之前，根據(jù)齒 輪嚙合理論，分析滿足設(shè)計B樣條嚙合線的共輒齒廓曲線的嚙合性質(zhì)，包括相對法曲率和相 對滑動率； 步驟三、根據(jù)嚙合線與共輒齒廓曲線的對應(yīng)關(guān)系式，帶入B樣條嚙合線的分段多項式， 通過坐標變換和計算，得到滿足設(shè)計B樣條嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪共輒齒廓曲線上的齒形點 坐標； 步驟四、以曲線光順性、B樣條曲線控制頂點擾動幅度、構(gòu)造共輒齒廓曲線相對法曲率、 相對滑動率最優(yōu)為目標建立優(yōu)化函數(shù)，通過計算得到新的控制頂點坐標，重新進行內(nèi)嚙合 齒輪共輒齒廓曲線設(shè)計； 步驟五、利用微分幾何學(xué)檢查內(nèi)嚙合齒輪共輒齒廓曲線上是否存在奇異點，進行工作 齒廓根切檢查;檢查內(nèi)嚙合齒廓共輒齒廓嚙合過程是否發(fā)生齒頂干涉及徑向干涉，確定干 涉點發(fā)生的位置，通過調(diào)整對應(yīng)的B樣條曲線控制頂點消除內(nèi)嚙合齒輪干涉情況； 步驟六、構(gòu)造內(nèi)外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧曲線，完成內(nèi)嚙合共輒齒輪整體 設(shè)計。
【文檔編號】F16H55/17GK106015516SQ201610346340
【公開日】2016年10月12日
【申請日】2016年5月24日
【發(fā)明人】王延忠, 李圓, 趙鵬坤, 任少英
【申請人】北京航空航天大學(xué)