專利名稱：半導(dǎo)體制造中用來改進(jìn)控制的自調(diào)適取樣方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明一般來說涉及半導(dǎo)體制造技術(shù)；更特定地說，涉及一種用于半導(dǎo)體制造的監(jiān)控及最佳化方法。
背景技術(shù)：
在半導(dǎo)體工業(yè)中，一直有一種推動(dòng)力，要提高集成電路組件(如微處理器、存儲(chǔ)元件，及類似組件)的品質(zhì)、可靠性及生產(chǎn)量。這種推動(dòng)力受激于消費(fèi)者對(duì)更高品質(zhì)的計(jì)算機(jī)和更操作可靠的電子組件的需求。此等需求導(dǎo)致了在半導(dǎo)體組件(如晶體管)制造上——以及在集成有這種晶體管的集成電路制造上——的不斷改良。此外，在制造典型晶體管的組件時(shí)，減少缺陷，也降低了每晶體管的總成本，以及集成有這種晶體管的集成電路的成本。
半導(dǎo)體處理工具的基礎(chǔ)技術(shù)在過去幾年已引起了越來越多的注意，導(dǎo)致了顯著進(jìn)步。然而，盡管在這一領(lǐng)域已取得進(jìn)步，許多目前市場(chǎng)上銷售的處理工具卻有一定的不足之處。尤其是，這樣的工具經(jīng)常欠缺先進(jìn)的處理數(shù)據(jù)監(jiān)視能力，諸如以用戶友好格式來提供的歷史參數(shù)數(shù)據(jù)的能力，以及事件登錄、目前的處理參數(shù)和整個(gè)行程(run)的處理參數(shù)兩者的實(shí)時(shí)圖形顯示，及遠(yuǎn)程(即區(qū)域站臺(tái)或全球)的監(jiān)視等。這些缺陷會(huì)使關(guān)鍵的處理參數(shù)(諸如產(chǎn)量準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性及可重復(fù)性、處理溫度、機(jī)械工具參數(shù)，以及類似參數(shù))不在最佳控制下。此變化性顯現(xiàn)為行程內(nèi)的不均等性(disparity)、行程至行程的不均等性及工具至工具的不均等性，這種不均等性會(huì)發(fā)展成產(chǎn)品品質(zhì)及性能上的偏差，而用于這些工具的改良的監(jiān)視及診斷系統(tǒng)卻將提供對(duì)此變化性的監(jiān)視手段，以及提供用于優(yōu)化關(guān)鍵參數(shù)控制的手段。
在高體積、多產(chǎn)品的半導(dǎo)體制造所實(shí)行的行程至行程控制，并不易應(yīng)用在傳統(tǒng)的工藝控制方法的架構(gòu)之中。典型方法是定義一處理模型，其具有一組給定狀態(tài)、輸入及輸出。在一些情形下，模型是靜態(tài)的；在其它情形下，該模型則隨時(shí)間而變。在每一時(shí)間步長(zhǎng)上，測(cè)量影響所述狀態(tài)的各個(gè)輸入及擾動(dòng)，以及輸出。然后，控制器進(jìn)行更新而重復(fù)所述處理。這種方法不總是適于應(yīng)用的一個(gè)原因，是經(jīng)常有多個(gè)處理工具以及多個(gè)產(chǎn)品。還有，對(duì)于一工藝而言，在所有重要的測(cè)量之中，每一行程通常僅施行一部份測(cè)量。在此環(huán)境下確定如何進(jìn)行控制器更新會(huì)是一項(xiàng)有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。
行程至行程控制器依賴于具有一工藝模型，該工藝模型從行程至行程總是正確的。在工具上所進(jìn)行的各個(gè)工藝顯著不同時(shí)，因?yàn)楦淖兊叫碌墓に嚂?huì)呈現(xiàn)為大的擾動(dòng)，所以控制器或許有意外的動(dòng)作。此外，可采取一給定工藝的幾個(gè)連續(xù)行程，用以穩(wěn)定控制器，但制造的約束條件也許有礙其實(shí)行。因此希望對(duì)于工具上所必須進(jìn)行的所有工藝，以控制器來確定最佳設(shè)定，而不論工藝出現(xiàn)的次序如何。
展現(xiàn)這種行為的系統(tǒng)的一個(gè)例子就是層間電介質(zhì)(ILD)層的化學(xué)機(jī)械平面化(CMP)。由于圖案密度及處理歷史的差異，每一“層/產(chǎn)品”組合以不同的速度進(jìn)行處理。此外，因每一產(chǎn)品都會(huì)在幾個(gè)工具組上運(yùn)行，故工具間的差異也引起系統(tǒng)性的變化。因此，諸多的控制問題之一，是要為每一發(fā)生的“產(chǎn)品/層/工具”組合確定其最佳設(shè)定。此外，對(duì)控制器提供信息而做的測(cè)量(諸如出自產(chǎn)品圓片的去除量的測(cè)量，和/或測(cè)試圓片合格事件的測(cè)量)并不顧慮控制問題，其基于操作法則而以異步間隔提供。
其它有助于監(jiān)視及控制的參數(shù)，是快速熱處理(RTP)的有關(guān)工藝參數(shù)。這類工藝參數(shù)的例子包括在用來激活化雜質(zhì)注入(舉例而言)的快速熱處理(RTP)期間，硅圓片和/或工件曝露所在的溫度及燈功率水平。快速熱處理(RTP)的性能典型地隨著連續(xù)的工藝行程而退化，部份系由于快速熱處理(RTP)工具和/或快速熱處理(RTP)傳感器各自設(shè)定的漂移。這會(huì)在連續(xù)的行程之間或數(shù)批次或數(shù)批圓片之間引起圓片處理上的差異，導(dǎo)致在半導(dǎo)體制造過程中良好圓片的生產(chǎn)量減小，可靠性下降，精確度降低和準(zhǔn)確度降低。
然而，在半導(dǎo)體及微電子組件制造中，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)工藝控制(SPC)技術(shù)常不足以精確地控制快速熱處理(RTP)的有關(guān)工藝參數(shù)，以使組件的性能及成品率達(dá)最佳化。通常，統(tǒng)計(jì)工藝控制(SPC)技術(shù)系為快速熱處理(RTP)的有關(guān)工藝參數(shù)設(shè)定一目標(biāo)值(target value)，以及圍繞該目標(biāo)值的一擴(kuò)展值(spread)。統(tǒng)計(jì)工藝控制(SPC)技術(shù)隨后試圖使距該目標(biāo)值的偏差最小化，而并不對(duì)各對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整及適配，以使半導(dǎo)體組件的性能最佳化和/或使半導(dǎo)體組件的成品率及產(chǎn)量最佳化。而且，盲目地使圍繞目標(biāo)值的非自適應(yīng)性處理擴(kuò)展值最小化，并不會(huì)提高處理成品率及產(chǎn)量。
傳統(tǒng)的控制技術(shù)在減少偏離目標(biāo)(off-target)的處理及改良分類成品率(sort yield)方面，時(shí)常是無效的。舉例來說，圓片電性測(cè)試(WET)測(cè)量典型地直到圓片經(jīng)處理過后相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，方才對(duì)處理過的圓片施行，有時(shí)直至數(shù)星期后方才施行。若有一個(gè)或多個(gè)處理步驟所產(chǎn)生的圓片經(jīng)圓片電性測(cè)試(WET)測(cè)量指示為不可接受，而使產(chǎn)生的圓片報(bào)廢，則這一錯(cuò)誤處理會(huì)在相當(dāng)久的時(shí)間內(nèi)——經(jīng)常達(dá)數(shù)星期——未經(jīng)檢測(cè)且未做更正，從而導(dǎo)致許多報(bào)廢的圓片、極大浪費(fèi)的材料及降低了的總生產(chǎn)能力。
在半導(dǎo)體生產(chǎn)中，計(jì)量操作需要大量的資金且消耗大量的循環(huán)時(shí)間。使計(jì)量最佳化因此而能大為有效地改良“圓片廠(fab)”的資金需求及操作成本。然而，傳統(tǒng)的最佳化方法經(jīng)?；谔囟ǖ臎Q策，和/或在一些情形下基于謹(jǐn)慎的統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)一給定工藝/操作確定其“最佳”取樣率，而在與增加的取樣相關(guān)聯(lián)的控制上的改良以及如此取樣所提高的成本之間得到平衡。
本發(fā)明目的在于克服或至少降低一個(gè)或多個(gè)前述問題的效應(yīng)。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的一方面，系提供一種方法，該方法包含在至少一個(gè)處理步驟中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣至少一個(gè)特性參數(shù)(parametercharacteristic)；以及使用一自適應(yīng)取樣處理模型來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的一合成部份。該方法也包含應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型，來修正該至少一個(gè)處理步驟中所施行的處理。
本發(fā)明的另一方面，系提供一種計(jì)算機(jī)可讀的程序儲(chǔ)存組件，以指令編碼而經(jīng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行時(shí)施行一種方法，該方法包含在至少一個(gè)處理步驟中，對(duì)工件上所施行的處理取樣至少一個(gè)特性參數(shù)；及，使用一自適應(yīng)取樣處理模型來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的一合成部份。該方法也包含應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型，來修正該至少一個(gè)處理步驟中所施行的處理。
本發(fā)明尚有另一方面，系提供一種計(jì)算機(jī)，經(jīng)編程來施行一種方法，該方法包含在至少一個(gè)處理步驟中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣至少一個(gè)特性參數(shù)；及，使用一自適應(yīng)取樣處理模型來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的一合成部份。該方法也包含應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型，來修正該至少一個(gè)處理步驟中所施行的處理。
本發(fā)明的另一方面，系提供一種系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含一工具，用來在至少一個(gè)處理步驟中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣其至少一個(gè)特性參數(shù)；計(jì)算機(jī)，使用自適應(yīng)取樣處理模型來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的合成部份。該系統(tǒng)也包含控制器，其應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型，來修正該至少一個(gè)處理步驟中所施行的處理。
本發(fā)明尚有另一方面，系提供一種組件，該組件包含取樣裝置，用來在至少一個(gè)處理步驟中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣其至少一個(gè)特性參數(shù)；以及模型化裝置，使用一自適應(yīng)取樣處理模型來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的合成部份。該組件也包含修正裝置，其應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型，來修正該至少一個(gè)處理步驟中所施行的處理。
附圖簡(jiǎn)單說明對(duì)本發(fā)明的了解，可結(jié)合附圖參見以下說明，附圖中參考編號(hào)的最左邊一個(gè)(或幾個(gè))有效數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的參考編號(hào)出現(xiàn)其中的第一個(gè)圖，且其中

圖1至30概要地例示依據(jù)本發(fā)明的制造方法的各個(gè)不同的實(shí)施例；更具體地說圖1及圖3至10概要地例示依據(jù)本發(fā)明的制造方法的各個(gè)不同的實(shí)施例的流程圖；圖2概要地例示AST SHS 2800快速熱處理(RTP)工具的剖面，其代表本發(fā)明的各個(gè)不同的例示性實(shí)施例所使用的那些快速熱處理(RTP)工具；圖11概要地例示依據(jù)本發(fā)明而實(shí)行的制造半導(dǎo)體組件的方法；圖12概要地例示依據(jù)本發(fā)明，用處理工具所處理的工件，該處理工具使用多個(gè)控制輸入信號(hào)；圖13至14概要地例示圖12中的工藝及工具的一個(gè)特定實(shí)施例；圖15概要地例示圖11方法的一個(gè)特定實(shí)施例，該特定實(shí)施例可用圖13至14的工藝及工具來實(shí)行；圖16及17概要地例示對(duì)應(yīng)的各快速熱處理數(shù)據(jù)組所用的第一及第二“主要成分”；圖18及19以幾何方式概要地例示用于對(duì)應(yīng)的各快速熱處理數(shù)據(jù)組的“主要成分分析”；以及圖20至23以幾何方式概要地例示依據(jù)本發(fā)明所做的多項(xiàng)式最小平方適配(fitting)，距目標(biāo)值的百分比偏差假想的最佳情形；圖24概要地例示產(chǎn)品切換的仿真；圖25概要地例示距目標(biāo)值的百分比偏差假想的最佳情形；圖26概要地例示距目標(biāo)值的百分比偏差“固定輸出”情形；圖27概要地例示距目標(biāo)值的百分比偏差“預(yù)測(cè)的輸出”情形；圖28概要地例示距目標(biāo)值的百分比偏差具額外合格性的“預(yù)測(cè)的輸出”情形；圖29概要地例示距目標(biāo)值的百分比偏差大型系統(tǒng)；以及圖30為依據(jù)本發(fā)明各個(gè)不同的例示性實(shí)施例的一制造系統(tǒng)的簡(jiǎn)化方框圖。
盡管本發(fā)明易做各種不同的修正或替代，仍以示例方式在附圖中顯示并在此詳細(xì)說明了其特定實(shí)施例。但應(yīng)了解，本文中的特定實(shí)施例說明并非意在將本發(fā)明限制于所揭示的特定實(shí)施例；反之，希望的是涵蓋一切落在所附權(quán)利要求所定義的本發(fā)明精神及范圍之內(nèi)的修正、等效及替代方案。
發(fā)明實(shí)施方式以下說明本發(fā)明的例示性實(shí)施例。為清楚起見，實(shí)際實(shí)施方案的特征并未全都說明于本說明書中。當(dāng)然應(yīng)了解，在開發(fā)任何這樣的實(shí)際實(shí)施例時(shí)，必須做出許多由實(shí)施方案所特定的決策，來實(shí)現(xiàn)開發(fā)者的特定目標(biāo)，諸如遵行系統(tǒng)相關(guān)及業(yè)務(wù)相關(guān)的約束，這些特定約束將隨實(shí)施方案而有所不同。并且應(yīng)了解，這樣的開發(fā)工作將會(huì)是復(fù)雜而耗時(shí)的，但對(duì)獲益于本揭示內(nèi)容的本普通領(lǐng)域技術(shù)人員來說，卻是常規(guī)的任務(wù)。
圖1至30中示出依據(jù)本發(fā)明的方法的例示性實(shí)施例。如圖1所示，工件100(諸如半導(dǎo)體基材或圓片)有零個(gè)、一個(gè)或多個(gè)工藝層和/或半導(dǎo)體組件(諸如沉積于其上的金屬氧化物半導(dǎo)體〔MOS〕晶體管)，將工件100傳送給處理工具105。在處理工具105中，舉例來說，可在工件100上施行快速熱處理，諸如快速熱退火。
圖2以剖面概要地例示快速熱退火(RTA)工具200(如，AST SHS2800快速熱退火工具)，其可在依據(jù)本發(fā)明的各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中用作快速熱處理工具105。本發(fā)明的各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例可使用“應(yīng)用材料公司”(AMAT)所制造的快速熱退火工具(諸如CenturaRTP)，該等工具在物理形狀、用法及測(cè)量參數(shù)上都相當(dāng)不同，但都可用作快速熱處理(RTA)工具105。本發(fā)明另外的各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例，可以使用蝕刻工具和/或平面化工具和/或沉積工具，及類似工具，來做為處理工具105。
如圖2所示，例示的快速熱處理退火(RTA)工具200可使用工件100之上及之下所配置的鹵化物燈210陣列，來加熱工件100(諸如半導(dǎo)體硅圓片而其上有零、一個(gè)或多個(gè)工藝層形成)。工件100可配置在受鹵化物燈210陣列加熱的石英管220內(nèi)的石英針及圓片臺(tái)215上。圓片臺(tái)215可包含其它組件，諸如AST Hot LinerTM?？赏ㄟ^熱偶和/或高溫計(jì)230(其測(cè)量圓片臺(tái)215的AST Hot LinerTM組件的溫度)和/或分立的高溫計(jì)(圖中未示)，來測(cè)量石英管220的溫度。石英管220可于其中在圓片臺(tái)215之下配置有石英窗口225。圓片臺(tái)215的AST Hot LinerTM組件的溫度及(間接地)工件100的溫度，可通過石英窗口225之下所配置的高溫計(jì)230，穿過石英窗口225來測(cè)量。或者，配置在石英窗口225之下的高溫計(jì)230可直接測(cè)量工件100的溫度。鹵化物燈210的燈功率也可受到監(jiān)視及控制。
如圖3所示，處理工具105可透過雙向連接，經(jīng)由系統(tǒng)通信總線160而與監(jiān)視步驟110及其它處理步驟140通信。如圖3所示，系統(tǒng)通信總線160也在處理工具105、監(jiān)視步驟110及其它處理步驟140與“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120之間，提供通信，以下有更完整的說明。
如圖4所示，從處理工具105發(fā)送工件100，交付給監(jiān)視步驟110。在監(jiān)視步驟110中，可于一個(gè)或多個(gè)處理行程期間，監(jiān)視和/或測(cè)量一個(gè)或多個(gè)處理工具變量和/或一個(gè)或多個(gè)處理參數(shù)。這樣的工具變量和/或處理參數(shù)可包括一個(gè)或多個(gè)高溫計(jì)軌跡讀數(shù)(trace reading)、一個(gè)或多個(gè)燈功率軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)管溫軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)電流讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)紅外線(IR)信號(hào)讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)發(fā)光光譜讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體溫度讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體壓力讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體流速讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)蝕刻深度、一個(gè)或多個(gè)工藝層厚、一個(gè)或多個(gè)電阻讀數(shù)，及類似的變量或參數(shù)。如圖4所示，監(jiān)視步驟110可透過系統(tǒng)通信總線160，而與處理工具105通信。如圖4所示，系統(tǒng)通信總線160也在處理工具105、監(jiān)視步驟110與“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120之間，提供通信，以下有更完整的說明。
如圖5所示，工件100從監(jiān)視步驟110進(jìn)行至其它處理步驟140。在其它處理步驟140中，可施行其它處理于工件100上，而產(chǎn)生完工的工件100。在替代的例示性實(shí)施例中，發(fā)送自監(jiān)視步驟110的工件100即可為完工的工件100；在此情形下，則無需其它處理步驟140。如圖5所示，其它處理步驟140可透過系統(tǒng)通信總線160，而與監(jiān)視步驟110通信。如圖5所示，系統(tǒng)通信總線160也在監(jiān)視步驟110、其它處理步驟140與“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120之間，提供通信，以下有更完整的說明。
如圖6所示，從監(jiān)視步驟110發(fā)送受監(jiān)視的傳感器數(shù)據(jù)115，交付給“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120。如圖6所示，“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120可透過系統(tǒng)通信總線160，而與監(jiān)視步驟110通信。將受監(jiān)視的傳感器數(shù)據(jù)115交付給“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120，產(chǎn)生輸出信號(hào)125。
如圖7所示，從“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)120發(fā)送輸出信號(hào)125，傳送給以模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)或比例積分微分(PID)微調(diào)步驟130而進(jìn)行的自適應(yīng)取樣處理模型化。在以模型預(yù)測(cè)式控制或比例積分微分微調(diào)步驟130而進(jìn)行的該自適應(yīng)取樣處理模型化中，對(duì)于處理工具105中的工件100上所施行的處理，可將受監(jiān)視的傳感器數(shù)據(jù)115用于適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)取樣處理模型。在本發(fā)明各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例中，可提供自適應(yīng)取樣處理模型化步驟130，而無需模型預(yù)測(cè)式控制或比例積分微分微調(diào)。
舉例來說，這樣的自適應(yīng)取樣處理模型可將取樣處理為“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的一合成部份，從而使取樣計(jì)量顯著地改良。不應(yīng)用靜態(tài)“最佳”取樣率，而是將取樣處理為基于下列條件而升高或下降的動(dòng)態(tài)變量(1)情況信息，諸如在最近數(shù)據(jù)變化中的變化量和/或改變率；(2)事件，諸如操作的工藝上游中的保養(yǎng)和/或改變；和/或(3)閉環(huán)行程至行程控制器在其控制模型參數(shù)識(shí)別機(jī)制中的要求。在一自適應(yīng)取樣處理模型中使用受監(jiān)視的傳感器數(shù)據(jù)115，產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)處理單元(processing recipe)調(diào)整145。
在各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中，可以通過各種不同的例示性的技術(shù)來建立一個(gè)自適應(yīng)取樣處理模型，以下有更完整的說明。也可于一個(gè)或多個(gè)處理行程期間，通過監(jiān)視一個(gè)或多個(gè)處理工具變量和/或一個(gè)或多個(gè)處理參數(shù)，來形成這樣的一個(gè)自適應(yīng)取樣處理模型。如上所述，這樣的處理工具變量和/或處理參數(shù)，其例如可包括一個(gè)或多個(gè)高溫計(jì)軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)燈功率軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)管溫軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)電流讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)紅外線(IR)信號(hào)讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)發(fā)光光譜讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體溫度讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體壓力讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體流速讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)蝕刻深度、一個(gè)或多個(gè)工藝層厚、一個(gè)或多個(gè)電阻讀數(shù)，及類似的變量或參數(shù)。在此等各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中，自適應(yīng)取樣處理模型的建立可包括下列方式的至少其一，用以適配所收集的處理數(shù)據(jù)多項(xiàng)式曲線適配、最小平方適配、多項(xiàng)式最小平方適配、非多項(xiàng)式最小平方適配、加權(quán)最小平方適配、加權(quán)多項(xiàng)式最小平方適配、加權(quán)非多項(xiàng)式最小平方適配、“部份最小平方”(PLS)及“主要成分分析”(PCA)，以下有更完整的說明。
在各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中，自適應(yīng)取樣處理模型可合成有至少一個(gè)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器，或至少一個(gè)比例積分微分(PID)控制器，而控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)。在此等各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中，對(duì)于處理，適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)取樣處理模型可并有至少一個(gè)閉環(huán)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器，或至少一個(gè)閉環(huán)比例積分微分(PID)控制器，而控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)。模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器或比例積分微分(PID)控制器的微調(diào)參數(shù)可基于一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來最佳化，而對(duì)最小化處理工具105中的工件100上所進(jìn)行的處理來說，該目標(biāo)函數(shù)使不希望的處理?xiàng)l件最小化。
最佳控制問題是要確定目標(biāo)函數(shù)的極值(最小化或最大化)，同時(shí)滿足系統(tǒng)模型的約束條件及任何附加的工藝要求，這樣的一組輸入。從數(shù)學(xué)上，此問題可描述為min f(x，u，t)，約束條件為gi(x，u，t)≥0，其中x表示系統(tǒng)狀態(tài)變量(諸如距目標(biāo)值的偏差、參數(shù)估計(jì)的不確定度、所需材料的成本，等等)，u表示一個(gè)或數(shù)個(gè)可變更的輸入，t表示時(shí)間，而i標(biāo)示約束條件。這些數(shù)學(xué)關(guān)系可能看似非常簡(jiǎn)單，但卻非常普遍，且不限于說明簡(jiǎn)單的系統(tǒng)。約束條件方程式可包括支配一個(gè)或數(shù)個(gè)工藝的微分方程式和/或差分方程式，以及施加于該輸入及狀態(tài)的操作限制。
對(duì)于大多數(shù)實(shí)際加工，此問題導(dǎo)致一組帶有混合型邊界條件的非線性微分方程式。一些簡(jiǎn)單的工藝模型，已有最佳解經(jīng)推導(dǎo)出。這樣的問題有一類為線性(模型)二次(目標(biāo)函數(shù))高斯型(噪聲)系統(tǒng)(LQG系統(tǒng))。對(duì)于線性二次高斯(LQG)系統(tǒng)，可推導(dǎo)一個(gè)最佳的控制器。一般來說，對(duì)于實(shí)際加工，次優(yōu)的(sub-optimal)控制器可能就足夠了，因?yàn)橄到y(tǒng)的“真實(shí)”模型或是未知的，和/或過于復(fù)雜而無法有解析解的。有一個(gè)解決方案，是假設(shè)系統(tǒng)為一線性二次高斯(LQG)系統(tǒng)，而用對(duì)應(yīng)的線性控制器做為近似解。
舉例來說，可設(shè)計(jì)一個(gè)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器或一個(gè)比例積分微分(PID)控制器，生成輸出，該輸出引起一些校正性的效應(yīng)，而施加到處理工具105中的工件100上所做的處理，從而驅(qū)動(dòng)一個(gè)或多個(gè)可測(cè)量的處理工具變量和/或一個(gè)或多個(gè)處理參數(shù)，趨近其各自所希望的值(通稱為設(shè)定點(diǎn))。該模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器或該比例積分微分(PID)控制器可監(jiān)視和/或測(cè)量和/或觀察設(shè)定點(diǎn)與各別的一個(gè)或數(shù)個(gè)處理工具變量和/或一個(gè)或數(shù)個(gè)處理參數(shù)的測(cè)量之間的誤差，從而生成該引起校正工作量的輸出。
舉例來說，一個(gè)比例積分微分(PID)控制器可查看目前的誤差值e(t)、誤差e(t)在一最近時(shí)間區(qū)間上的積分，以及誤差e(t)關(guān)于目前時(shí)間的微分導(dǎo)數(shù)值，來確定要施加多大程度的校正及要施加多長(zhǎng)時(shí)間。這些項(xiàng)中的每一項(xiàng)均乘以各自的微調(diào)常數(shù)并相加到一起，生成比例積分微分(PID)控制器的目前輸出CO(t)，該目前輸出CO(t)由以下表示式給出CO(t)=P(e(t))+I(∫e(t)dt)+D(ddte(t))]]>其中P為比例微調(diào)常數(shù)，I為積分微調(diào)常數(shù)，D為微分微調(diào)常數(shù)，而誤差e(t)系時(shí)間為t時(shí)發(fā)定點(diǎn)SP(t)與工藝變量PV(t)之間的差，e(t)＝SP(t)-PV(t)。如果目前誤差e(t)大，和/或誤差e(t)已長(zhǎng)時(shí)間的大，和/或目前誤差e(t)快速改變，則目前的控制器輸出CO(t)也是大。然而，如果目前誤差e(t)小，誤差e(t)已長(zhǎng)時(shí)間的小，且目前誤差e(t)緩慢改變，則目前的控制器輸出CO(t)也是小。
在各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例中，比例積分微分(PID)控制器的目前輸出CO(t)可由以下替代性表示式給出為CO(t)=P[e(t)+1TI(e(t)dt)-TD(ddtPV(t))]]]>其中P為總微調(diào)常數(shù)，TI為積分時(shí)間微調(diào)常數(shù)，TD為微分時(shí)間微調(diào)常數(shù)，而誤差e(t)系時(shí)間為t時(shí)設(shè)定點(diǎn)SP(t)與工藝變量PV(t)之間的差，e(t)＝SP(t)-PV(t)。在這類替代例示性實(shí)施例中，當(dāng)改變?yōu)樵O(shè)定點(diǎn)SP(t)時(shí)，比例積分微分(PID)控制器的目前輸出CO(t)較少有突然變化，這是由于其相關(guān)于工藝變量PV(t)的時(shí)間微分導(dǎo)數(shù)，而非相關(guān)于誤差e(t)＝SP(t)-PV(t)的時(shí)間微分導(dǎo)數(shù)。
比例積分微分(PID)控制器的目前輸出CO(t)微調(diào)常數(shù)P、I及D，和/或P、TI及TD，可做適當(dāng)微調(diào)。過多使用大的微調(diào)常數(shù)值P、I及D，和/或P、TI及TD，或許會(huì)放大誤差e(t)，而過度補(bǔ)償(overcompensate)且過調(diào)(overshoot)設(shè)定點(diǎn)。用比較小的微調(diào)常數(shù)值P、I及D，和/或P、TI及TD，則可能減小誤差e(t)太過緩慢而補(bǔ)償不足且調(diào)度未至(undershoot)設(shè)定點(diǎn)。經(jīng)適當(dāng)微調(diào)的比例積分微分(PID)控制器的目前輸出CO(t)微調(diào)常數(shù)P、I及D，和/或P、TI及TD，可在此二極端之間。比例積分微分(PID)控制器的目前輸出CO(t)微調(diào)常數(shù)P、I及D，和/或P、TI及TD可采用包含數(shù)學(xué)模型化的較嚴(yán)格解析方案，以嘗試-誤差法進(jìn)行適當(dāng)?shù)奈⒄{(diào)(以下有更完整的說明)，和/或運(yùn)用諸如塞格勒-尼可斯(Ziegler-Nichols)“開環(huán)”及“閉環(huán)”微調(diào)技術(shù)。
在用到模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)或比例積分微分微調(diào)(PID)步驟130所做的自適應(yīng)取樣處理模型化之中，受監(jiān)視的傳感器數(shù)據(jù)115的自適應(yīng)取樣處理模型化可用來警示工程師需調(diào)整各個(gè)不同的處理步驟任一個(gè)之中所做的處理，諸如在處理工具105和/或其它處理步驟140之中。工程師也可變更和/或調(diào)整(舉例來說)供處理工具105施行處理用的設(shè)定點(diǎn)；和/或監(jiān)視步驟110中所監(jiān)視和/或測(cè)量的一個(gè)或數(shù)個(gè)處理工具變量和/或一個(gè)或數(shù)個(gè)處理參數(shù)。
如圖8所示，從使用模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)或比例積分微分(PID)微調(diào)步驟130所做的自適應(yīng)取樣處理模型化，可發(fā)送反饋控制信號(hào)135至處理工具105，來調(diào)整處理工具105中所施行的處理。在各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例中，可以從用到模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)或比例積分微分(PID)微調(diào)步驟130所做的自適應(yīng)取樣處理模型化，發(fā)送反饋控制信號(hào)135至其它處理步驟140任一個(gè)，來調(diào)整其它處理步驟140任一個(gè)之中所施行的處理；舉例來說，經(jīng)由系統(tǒng)通信總線160，而在處理工具105、監(jiān)視步驟110及其它處理步驟140與先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)120之間，提供通信，以下有更完整的說明。
如圖9所示，從使用模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)或比例積分微分(PID)微調(diào)步驟130所做的自適應(yīng)取樣處理模型化，在反饋控制信號(hào)135之外，可附加發(fā)送或代之以一個(gè)或多個(gè)處理單元(processing recipe)調(diào)整145和/或一整個(gè)基于此分析的適當(dāng)?shù)奶幚韱卧?，至工藝改變及控制處理步驟150。在工藝改變及控制處理步驟150中，一個(gè)或多個(gè)處理單元調(diào)整145可在高階監(jiān)控控制環(huán)中使用。此后則如圖10所示，從工藝改變及控制處理步驟150可發(fā)送反饋控制信號(hào)155至處理工具105，來調(diào)整處理工具105中所施行的處理。在各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例中，可以從工藝改變及控制處理步驟150發(fā)送反饋控制信號(hào)155至其它處理步驟140的任一個(gè)，來調(diào)整其它處理步驟140的任一個(gè)之中所施行的處理；舉例來說，透過系統(tǒng)通信總線160，而在處理工具105、監(jiān)視步驟110及其它處理步驟140與先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)120之間，提供通信，以下有更完整的說明。
在各個(gè)不同的替代例示性實(shí)施例中，工程師可具備先進(jìn)的工藝數(shù)據(jù)監(jiān)視能力，諸如以用戶友好格式來提供的歷史參數(shù)數(shù)據(jù)的能力，以及事件登錄、目前的處理參數(shù)和整個(gè)行程的處理參數(shù)兩者的實(shí)時(shí)圖形顯示，及遠(yuǎn)程(即區(qū)域站臺(tái)或全球)監(jiān)視，等能力。此等能力會(huì)使關(guān)鍵的處理參數(shù)(諸如產(chǎn)量準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性及可重復(fù)性、處理溫度、機(jī)械工具參數(shù)，及類似參數(shù))受更加優(yōu)化的控制。對(duì)關(guān)鍵處理參數(shù)的這種更加優(yōu)化的控制，減小了變化性。在變化性上的這種減小顯示為較小的行程內(nèi)的不均等性、較小的行程至行程的不均等性及較小的工具至工具的不均等性。這些會(huì)散播的不均等性得以減小，意味著在產(chǎn)品品質(zhì)及性能上的較小偏差。依據(jù)本發(fā)明制造方法的一個(gè)這樣的例示性實(shí)施例中，可以提供監(jiān)視及診斷系統(tǒng)，來監(jiān)視此變化性并使對(duì)關(guān)鍵參數(shù)的控制最佳化。
圖11例示依據(jù)本發(fā)明而實(shí)行的方法1100的特定實(shí)施例。圖12例示可用來實(shí)行方法1100的裝置1200。為清楚起見，且為進(jìn)一步了解本發(fā)明，將要從裝置1200的角度來揭示。然而，本發(fā)明并不受此限制，而允許有廣泛的變化，以下有進(jìn)一步說明。
現(xiàn)在參見圖11以及圖12，一批次或一批工件或圓片1205正經(jīng)由處理工具1210而在處理中。處理工具1210可為本項(xiàng)技術(shù)所公知的任何處理工具，特別是含必要的控制能力的處理工具。處理工具1210包含處理控制器1215以用于這一控制目的。處理控制器1215的性質(zhì)及功能將由實(shí)際方案所規(guī)定。
以實(shí)例來說，處理控制器1215可控制處理控制輸入?yún)?shù)，諸如處理程控輸入?yún)?shù)和/或設(shè)定點(diǎn)。圖12中示出四個(gè)工件1205，但該批工件或圓片(即“圓片批”)可為任何可操作的圓片數(shù)，自一至任何一個(gè)有限數(shù)目。
方法1100開始，如方框1120所述，對(duì)處理工具1210中的工件1205上所施行的處理，取樣其一個(gè)或多個(gè)特性參數(shù)。特性參數(shù)的本質(zhì)、識(shí)別及測(cè)量將率由實(shí)際方案所規(guī)定，甚至由工具所規(guī)定。例如，對(duì)工藝參數(shù)監(jiān)視的能力，某種程度上隨工具而變化。較強(qiáng)的感測(cè)能力容許所識(shí)別及測(cè)量的特性參數(shù)有較寬的范圍及進(jìn)行測(cè)量的方法。反之，較弱的感測(cè)能力或許會(huì)局限此范圍。其次，關(guān)于工件溫度和/或燈功率和/或退火時(shí)間和/或工藝氣體溫度和/或工藝氣體壓力和/或工藝氣體流速和/或射頻(RF)功率和/或蝕刻時(shí)間和/或偏置電壓和/或沉積時(shí)間，及類似條件等，諸如其處理程控輸入?yún)?shù)和/或設(shè)定點(diǎn)的處理控制輸入?yún)?shù)，可能直接影響由工件1205所產(chǎn)出的可用半導(dǎo)體組件的有效成品率。
其次見圖12，在此特定實(shí)施例中，以工具傳感器(未示出)來測(cè)量和/或監(jiān)視做處理的工藝特性參數(shù)。這些工具傳感器的輸出經(jīng)線路1220而傳輸至計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230。計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230分析此等傳感器輸出以識(shí)別特性參數(shù)。
回到圖11，一旦特性參數(shù)經(jīng)識(shí)別及測(cè)量，則繼續(xù)進(jìn)行方法1100，用一自適應(yīng)取樣處理模型(以下有更完整的說明)，來模型化該(等)經(jīng)測(cè)量及識(shí)別的特性參數(shù)，如方框1130所述。圖12中的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230在此特定實(shí)施例中，經(jīng)編程來模型化該(等)特性參數(shù)。此模型化的做法將由實(shí)際方案所規(guī)定。
在圖12的實(shí)施例中，數(shù)據(jù)庫1235儲(chǔ)存多個(gè)可能應(yīng)用的模型，視所測(cè)量的特性參數(shù)而定。故本特定實(shí)施例對(duì)可能將測(cè)量的特性參數(shù)需有一些先期的知識(shí)。然后計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230自可能模型的數(shù)據(jù)庫1235提取一適用于該測(cè)量的特性參數(shù)的適當(dāng)模型。如果數(shù)據(jù)庫1235不含適當(dāng)?shù)哪Ｐ停瑒t該特性參數(shù)可忽略，或計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230可試圖發(fā)展一個(gè)適當(dāng)?shù)哪Ｐ?若如此編程的話)。數(shù)據(jù)庫1235可儲(chǔ)存在任何種類的計(jì)算機(jī)可讀程序儲(chǔ)存媒體上，諸如光盤1240、軟盤1245，或計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230的硬盤驅(qū)動(dòng)機(jī)(未示出)。數(shù)據(jù)庫1235也可儲(chǔ)存在一個(gè)與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230相接口的分立的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)(未示出)上。
對(duì)測(cè)量的特性參數(shù)的模型化，在替代實(shí)施例中可做不同的實(shí)施。例如，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)1230可使用某種形式的人工智能來編程，以分析傳感器輸出及控制器輸入，在一實(shí)時(shí)實(shí)際方案中發(fā)展一拍蠅式(on-the-fly)模型。這種方式會(huì)是對(duì)圖12的例示性實(shí)施例的有用附加方案(如以上所討論)；其中，對(duì)于所測(cè)量及識(shí)別的特性參數(shù)，數(shù)據(jù)庫1235并無適當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?br> 然后繼續(xù)進(jìn)行圖11的方法1100，應(yīng)用該模型來修正至少一個(gè)處理控制輸入?yún)?shù)，如方框1140所述。視實(shí)際方案而定，模型的應(yīng)用或?yàn)樘幚砜刂戚斎雲(yún)?shù)產(chǎn)出一新值，或?qū)ΜF(xiàn)存的處理控制輸入?yún)?shù)做出校正。在各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中，可儲(chǔ)存多個(gè)控制輸入處理單元，且可基于一個(gè)或多個(gè)確定的參數(shù)而選取此等處理單元其中適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)。然后根據(jù)該模型所產(chǎn)生的值而將新的處理控制輸入列成公式，并經(jīng)線路1220傳輸至處理控制器1215。處理控制器1215再依據(jù)該新的處理控制輸入，來控制后續(xù)的處理工藝操作。
一些替代實(shí)施例可能使用反饋形式來改良特性參數(shù)的模型化。此反饋實(shí)際方案依賴于若干不均等的事實(shí)，包括工具的感測(cè)能力及用度。對(duì)此的一個(gè)技術(shù)，是監(jiān)視至少一種模型的實(shí)際方案效果，并基于該(等)受監(jiān)視的效果來更新模型。該更新也可依賴于模型。例如，在一切其它因素都相同的情形下，線性模型可能需要進(jìn)行不同于非線性模型的更新。
根據(jù)以上討論，顯而易見的是本發(fā)明的一些特征可在軟件中實(shí)現(xiàn)。例如，圖11的方框1120至1140中所述的動(dòng)作，在所述實(shí)施例中全部或部份以軟件實(shí)現(xiàn)。如此，本發(fā)明的一些特征實(shí)施為計(jì)算機(jī)可讀程序儲(chǔ)存媒體上所編碼的指令。該程序儲(chǔ)存媒體可有任何適于該特定實(shí)際方案的型態(tài)。然而，該程序儲(chǔ)存媒體典型為磁性的(諸如軟盤1245或計(jì)算機(jī)1230的硬盤驅(qū)動(dòng)機(jī)(圖中未示)，或?yàn)楣鈱W(xué)的(諸如光盤1240)。當(dāng)這些指令經(jīng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行時(shí)，即完成所揭示的功能。所述計(jì)算機(jī)可為臺(tái)式計(jì)算機(jī)，諸如計(jì)算機(jī)1230。然而，該計(jì)算機(jī)也可以為嵌在處理工具1210中的處理器。該計(jì)算機(jī)在各個(gè)不同的其它實(shí)施例中，還可以是膝上計(jì)算機(jī)、工作站或主機(jī)。本發(fā)明的范圍并不受限于其實(shí)施例所用以施行的程序儲(chǔ)存媒體或計(jì)算機(jī)的種類或性質(zhì)。
如此，本文中詳細(xì)說明的一些部份是(或可以是)用算法、功能、技術(shù)和/或工藝等術(shù)語來描述的。這些術(shù)語使本領(lǐng)域技術(shù)人員最為有效地將其工作實(shí)質(zhì)內(nèi)容傳達(dá)給其它本領(lǐng)域技術(shù)人員。這些術(shù)語在此處或一般來說，相信為前后一致、導(dǎo)致所需結(jié)果的步驟順序。該等步驟要求對(duì)物理量做物理操縱。通常(但非必要)，這些物理量取電磁信號(hào)形式，能夠儲(chǔ)存、傳送、組合、比較，且另外加以操縱。
已證實(shí)，以位、值、元素、符號(hào)、字符、項(xiàng)、數(shù)目，及類似形式來表示這些信號(hào)，有時(shí)是方便的，主要是為了通用。所有這些術(shù)語及類似術(shù)語都對(duì)應(yīng)于適當(dāng)?shù)奈锢砹?，且僅僅是應(yīng)用于此等物理量及操作的方便標(biāo)記。除非另有規(guī)定，或是從討論顯而易見，否則本文中的術(shù)語，諸如“處理”、“計(jì)算”、“算出”、“確定”、“顯示”，及類似術(shù)語在使用時(shí)，指的是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或類似的電子和/或機(jī)械計(jì)算組件的一個(gè)或數(shù)個(gè)動(dòng)作及操作，其將數(shù)據(jù)(表示為該計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的寄存器和/或內(nèi)存內(nèi)的物理〔電磁〕量)操縱并轉(zhuǎn)換成其它數(shù)據(jù)(類似表示為該計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的內(nèi)存和/或寄存器和/或其它這樣的信息儲(chǔ)存、傳輸和/或顯示組件內(nèi)的物理〔電磁〕量)。
一例示裝置的結(jié)構(gòu)。在圖13至14中，顯示了圖12中的裝置1200的例示性實(shí)施例1300，其中裝置1300包含先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)的一部份。圖13至14分別為裝置1300的概念性結(jié)構(gòu)及功能方框圖。一組處理步驟施行于處理工具1310上的一批工件1305上。因?yàn)檠b置1300是先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)的一部份，工件1305在行程至行程基礎(chǔ)上做處理。如此，在行程期間，基于行程級(jí)上的測(cè)量值或平均值來做工藝調(diào)整，并使其保持恒定。一“行程”可以是一批、數(shù)批的一批次，甚或單個(gè)的圓片。
在此特定實(shí)施例中，工件1305通過處理工具1310來做處理；且工藝中各個(gè)不同的操作通過線路1320上的多個(gè)處理控制輸入信號(hào)來控制，該線路1320處于處理工具1310與工作站1330之間。用于此實(shí)施例的例示處理控制輸入可包括工件溫度、燈功率、退火時(shí)間、工藝氣體溫度、工藝氣體壓力、工藝氣體流速、射頻(RF)功率、蝕刻時(shí)間、偏置電壓、沉積時(shí)間，以及類似條件等的設(shè)定點(diǎn)所用的處理控制輸入。
當(dāng)處理工具1310中的工藝步驟結(jié)束時(shí)，在處理工具1310中正做處理的半導(dǎo)體工件1305即在復(fù)查站1317接受檢查。復(fù)查站1317不必屬處理工具1310的部份，而可為(舉例來說)分離的工具和/或站臺(tái)。處理控制輸入一般影響半導(dǎo)體工件1305在復(fù)查站1317處所測(cè)量的的特性參數(shù)，從而影響處理工具1310對(duì)工件1305所施行動(dòng)的可變性及性質(zhì)。一旦誤差在一批工件1305的行程后經(jīng)檢查而確定，則線路1320上的處理控制輸入即修正而供一批工件1305的接續(xù)行程用。對(duì)線路1320上的控制信號(hào)的修正，系設(shè)計(jì)來改良處理工具1310所施行的次一處理。該修正系依據(jù)圖11所述方法1100的一個(gè)特定實(shí)施例而施行，以下有更完整的說明。一旦處理工具1310的相關(guān)處理控制輸入信號(hào)更新，則這些新設(shè)定的處理控制輸入信號(hào)即用于半導(dǎo)體組件的后續(xù)行程。
現(xiàn)同時(shí)參看圖13及14，處理工具1310與制造機(jī)架通信，而該制造機(jī)架包括處理模塊網(wǎng)絡(luò)。這樣的模塊，有一是常駐于計(jì)算機(jī)1340上的“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)管理器1440。此處理模塊網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成該先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)。處理工具1310一般包含設(shè)備接口1410及傳感器接口1415。機(jī)器接口1430常駐在工作站1330上。計(jì)算機(jī)1340橋接先進(jìn)工藝(APC)控制機(jī)架(如，先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)管理器1440)與設(shè)備接口1410之間的間隙。如此，機(jī)器接口1430使處理工具1310與先進(jìn)工藝控制(APC)機(jī)架相接口，且支持機(jī)器設(shè)置、激活、監(jiān)視及數(shù)據(jù)收集。傳感器接口1415提供適當(dāng)?shù)慕涌诃h(huán)境，與外部傳感器(諸如LabView，或其它基于傳感器總線的數(shù)據(jù)采集軟件)通信。機(jī)器接口1430以及傳感器接口1415兩者都使用一組功能性(諸如通信標(biāo)準(zhǔn))，來收集將要用到的數(shù)據(jù)。設(shè)備接口1410及傳感器接口1415經(jīng)線路1320，而與工作站1330上常駐的機(jī)器接口1430通信。
更特定地說，機(jī)器接口1430接收命令、狀況事件，并從設(shè)備接口1410收集數(shù)據(jù)，必要時(shí)且轉(zhuǎn)交此等數(shù)據(jù)給其它的先進(jìn)工藝控制(APC)組件及事件信道。其次，來自先進(jìn)工藝控制(APC)組件的響應(yīng)則為機(jī)器接口1430所接收，并重新選路至設(shè)備接口1410。機(jī)器接口1430于必要時(shí)也重新格式化并重新結(jié)構(gòu)化信息及數(shù)據(jù)。機(jī)器接口1430支持先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)管理器1440之內(nèi)的起動(dòng)/關(guān)機(jī)程序。其也充做先進(jìn)工藝控制(APC)數(shù)據(jù)收集器之用，通過設(shè)備接口1410而緩沖所收集的數(shù)據(jù)，并發(fā)射適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)收集信號(hào)。
在例示的特定實(shí)施例中，先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)是一全廠性的軟件系統(tǒng)，但此點(diǎn)對(duì)本發(fā)明的實(shí)行并非必要。本發(fā)明所傳授的控制策略事實(shí)上能應(yīng)用于廠地上的任何半導(dǎo)體處理工具。其實(shí)，本發(fā)明可在同一廠中，或在同一工藝中同時(shí)性地用于多個(gè)處理工具。先進(jìn)工藝控制(APC)機(jī)架容許遠(yuǎn)程訪問及監(jiān)視工藝性能。而且，利用該先進(jìn)工藝控制(APC)機(jī)架，數(shù)據(jù)儲(chǔ)存能比區(qū)域驅(qū)動(dòng)器上的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存來得更方便、更具彈性且更便宜。然而，在一些替代實(shí)施例中，本發(fā)明可在區(qū)域驅(qū)動(dòng)器上使用。
本例示性實(shí)施例利用若干軟件組件，將本發(fā)明實(shí)施于該先進(jìn)工藝控制(APC)機(jī)架上。除了先進(jìn)工藝控制(APC)機(jī)架之內(nèi)的組件之外，尚為該控制系統(tǒng)中所含的每一半導(dǎo)體處理工具寫就計(jì)算機(jī)腳本(script)。當(dāng)控制系統(tǒng)中的半導(dǎo)體處理工具在半導(dǎo)體制造圓片廠中起始時(shí)，該半導(dǎo)體處理工具一般要求腳本，來起始處理工具控制器所需的動(dòng)作?？刂品椒ㄒ话阌么说饶_本來規(guī)定及施行。此等腳本的開發(fā)，可能包含控制系統(tǒng)開發(fā)的重大部份。
在此特定實(shí)施例中，有若干分立的軟件腳本，其所完成的任務(wù)涉及控制處理操作。有一個(gè)腳本用于處理工具1310(含復(fù)查站1317及處理工具控制器1315)。也有一腳本，用來操縱獲自復(fù)查站1317的現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)；另有一腳本，含任何其它腳本所能引用的共享程序。也有一腳本，用于“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)管理器1440。然而，腳本的精確數(shù)目由實(shí)際方案所規(guī)定，替代的實(shí)施例可以用別的腳本數(shù)目。
一例示裝置的操作。圖15例示了圖11中的方法1100的一個(gè)特定實(shí)施例1500。方法1500可用圖13至14所例示的裝置1300來實(shí)行，但本發(fā)明并不受此限制。方法1500可用任何可以施行圖15所述功能的裝置來實(shí)行。而且，可在實(shí)施例中實(shí)行圖11中的方法1100，以替代圖15中的方法1500。
現(xiàn)參見圖13至15，方法1500開始，如方框1510所述，經(jīng)由一處理工具(諸如處理工具1310)而對(duì)一批工件1305做處理。在此特定實(shí)施例中，處理工具1310通過先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)管理器1440，經(jīng)由機(jī)器接口1430及設(shè)備接口1410而初始化，以供處理。在此特定實(shí)施例中，在處理工具1310運(yùn)行之前，調(diào)用先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)管理器腳本，來初始化處理工具1310。在此步驟中，該腳本記錄處理工具1310的識(shí)別號(hào)及工件1305的批號(hào)。然后該識(shí)別號(hào)與該批號(hào)對(duì)照，而儲(chǔ)存于數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360。該腳本的其余部份，諸如APCData調(diào)用及Setup和StartMachine調(diào)用，則寫為空白或虛設(shè)數(shù)據(jù)格式，以強(qiáng)迫機(jī)器使用默認(rèn)的設(shè)定。
做為初始化的一部份，系經(jīng)線路1320，對(duì)處理工具控制器1315提供初始設(shè)定點(diǎn)，供工藝控制之用。此等初始設(shè)定點(diǎn)可通過本項(xiàng)技術(shù)公知的任何合適方式來確定及實(shí)施。在此情形下，經(jīng)由大致相同于或類似于目前圓片批的背景或條件，對(duì)一個(gè)或多個(gè)圓片批做了處理；且使用復(fù)查站1317，為其測(cè)量了一個(gè)或數(shù)個(gè)處理誤差。當(dāng)此信息存在時(shí)，則從數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360檢索狀態(tài)估計(jì)，該狀態(tài)估計(jì)搜集自該(等)測(cè)量的誤差和/或偏移(bias)。然后將這些處理控制輸入信號(hào)設(shè)定(它們從狀態(tài)估計(jì)計(jì)算得出)下載至處理工具1310。
工件1305系經(jīng)由處理工具1310而做處理。其包含(在所例示的實(shí)施例中)使工件1305接受快速熱退火。工件1305在處理工具1310上經(jīng)處理之后，在復(fù)查站1317上受到測(cè)量。在工件1305經(jīng)處理后，復(fù)查站1317檢查其若干誤差，諸如距該目標(biāo)值的偏差(諸如膜厚、蝕刻深度，及類似偏差)。復(fù)查站1317的儀器所生成的數(shù)據(jù)透過傳感器接口1415及線路1320，而通到機(jī)器接口1430。復(fù)查站腳本始自若干“先進(jìn)工藝控制”(APC)命令，用以收集數(shù)據(jù)。然后復(fù)查站腳本將其自身鎖定就位，并激活數(shù)據(jù)可取用的腳本。此腳本便利了數(shù)據(jù)從復(fù)查站1317至先進(jìn)工藝控制機(jī)架的實(shí)際傳送。一旦傳送完成，該腳本即退出并取消鎖定該復(fù)查站腳本。與復(fù)查站1317的交互作用一般來說即告完成。
如獲益于本揭示內(nèi)容的本領(lǐng)域技術(shù)人員所將了解的，復(fù)查站1317所生成的數(shù)據(jù)應(yīng)做預(yù)處理，以供使用。復(fù)查站(諸如KLA復(fù)查站)提供控制算法，用以測(cè)量控制誤差。每一誤差測(cè)量，在此特定實(shí)施例中皆以直接方式對(duì)應(yīng)于線路1320上的一個(gè)處理控制輸入信號(hào)。一般來說，在誤差能利用來校正該處理控制輸入信號(hào)之前，一定量之預(yù)處理已告完成。
舉例來說，預(yù)處理可包括廢值拒絕(outlier rejection)。廢值拒絕是一總的誤差檢驗(yàn)，其確保所接收的數(shù)據(jù)從該工藝的歷史性能上看為合理的。此程序涉及比較每一處理誤差與其所對(duì)應(yīng)的預(yù)定邊界參數(shù)。在某一個(gè)實(shí)施例中，所逾越的即使僅是預(yù)定邊界的其中一個(gè)，通常還是會(huì)拒絕整個(gè)半導(dǎo)體圓片批的誤差數(shù)據(jù)。
為確定廢值拒絕的限制，可收集數(shù)千個(gè)實(shí)際的半導(dǎo)體制造(“圓片廠”)數(shù)據(jù)點(diǎn)。然后算出此收集的數(shù)據(jù)中每一誤差參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。在某一個(gè)實(shí)施例中，對(duì)于廢值拒絕，一般選九倍于標(biāo)準(zhǔn)偏差(正的以及負(fù)的)來做為預(yù)定的邊界。此做法主要是為了確保僅拒絕顯然在工藝的正常操作條件之外的點(diǎn)。
預(yù)處理也可使數(shù)據(jù)平滑化，這一般也稱為過濾(filtering)。過濾是重要的，因?yàn)檎`差測(cè)量有一定量的隨機(jī)性而使得誤差在值上大有偏差。過濾復(fù)查站數(shù)據(jù)，在處理控制輸入信號(hào)設(shè)定中會(huì)有較為準(zhǔn)確的誤差評(píng)價(jià)。在某一個(gè)實(shí)施例中，處理控制方案利用通稱為“指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均”(EWMA)過濾器的過濾程序，但其它的過濾器也能在此背景下使用。
方程式(1)表示EWMA過濾器的一個(gè)實(shí)施例AVGN＝W*MC+(1-W)*AVGP(1)其中AVGN≡新的EWMA平均值；W≡對(duì)新的平均(AVGN)的權(quán)重；MC≡目前的測(cè)量；及AVGP≡先前的EWMA平均權(quán)重為可調(diào)整的參數(shù)，能用來控制過濾量，一般在零與一之間。該權(quán)重表示對(duì)目前數(shù)據(jù)點(diǎn)準(zhǔn)確性的信賴(confidence)。如果視測(cè)量為準(zhǔn)確，則權(quán)重應(yīng)近于一。如果工藝中有重大的漲落量，則近于零的數(shù)會(huì)是適當(dāng)?shù)摹?br> 在一個(gè)實(shí)施例中，有至少二種技術(shù)利用EWMA過濾程序。第一種技術(shù)使用以上所說明的先前平均值、權(quán)重及目前測(cè)量。利用第一實(shí)際方案優(yōu)點(diǎn)包括使用方便及最小的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存。利用第一實(shí)際方案的一個(gè)缺點(diǎn)在于此方法一般并不保留很多工藝信息。而且，以此方式所算出的先前的平均值將會(huì)由先前的每一數(shù)據(jù)點(diǎn)組成；這可能并不合乎需要。第二種技術(shù)則僅保留一些數(shù)據(jù)，且每次皆由原始數(shù)據(jù)算出平均值。
在半導(dǎo)體制造圓片廠的制造環(huán)境中，有一些獨(dú)特的挑戰(zhàn)。半導(dǎo)體圓片批經(jīng)由一處理工具而做處理，其次序或許并不對(duì)應(yīng)其在復(fù)查站上的讀出次序。因此將會(huì)有另外的數(shù)據(jù)點(diǎn)附加至脫序的EWMA平均。對(duì)半導(dǎo)體圓片批可做一次以上的分析，來驗(yàn)證誤差測(cè)量。兩個(gè)讀數(shù)都供作EWMA平均，而無數(shù)據(jù)保存；這可能是不合乎需要的特性。而且，一些控制例程(threads)或許容量(volume)低，可能使得先前的平均過時(shí)，以致先前的平均值或許不能準(zhǔn)確地表示處理控制輸入信號(hào)設(shè)定中的誤差。
處理工具控制器1315，在這一特定實(shí)施例中使用有限的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存來算出EWMA過濾的誤差(即第一種技術(shù))。圓片批數(shù)據(jù)(包括批號(hào))、該批的處理時(shí)間，以及多個(gè)誤差估計(jì)，儲(chǔ)存于數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360中而在控制例程名稱之下。收集一組新數(shù)據(jù)時(shí)，從數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360檢索該數(shù)據(jù)堆棧并加以分析。比較目前在處理中的圓片批的批號(hào)與該堆棧中的批號(hào)。如果該批號(hào)與堆棧中現(xiàn)有的任何數(shù)據(jù)匹配，則誤差測(cè)量遭取代。否則，該數(shù)據(jù)點(diǎn)根據(jù)圓片批做處理的時(shí)期，依時(shí)序而加至目前的堆棧。在某一個(gè)實(shí)施例中，去除堆棧之內(nèi)任何逾128小時(shí)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。一旦完成前述步驟，則算出新的過濾平均值，并將其儲(chǔ)存至數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360。
如此，數(shù)據(jù)經(jīng)收集及預(yù)處理再經(jīng)處理，而對(duì)處理控制輸入信號(hào)設(shè)定中的當(dāng)前錯(cuò)誤生成一估計(jì)。首先，數(shù)據(jù)通到編譯過的Matlab外掛程序，該外掛程序施行以上所說明的廢值拒絕判據(jù)。對(duì)外掛程序接口輸入的，是多個(gè)誤差測(cè)量及含數(shù)組的邊界值。從該外掛程序接口返回的，是單一一個(gè)切換(toggle)變量。非零返回標(biāo)志其未通過拒絕判據(jù)；否則，變量返回默認(rèn)值零，而腳本繼續(xù)做處理。
完成廢值拒絕之后，將數(shù)據(jù)通到EWMA過濾程序。對(duì)該圓片批所對(duì)應(yīng)的控制例程名稱，檢索其所用的控制器數(shù)據(jù)，并對(duì)該圓片批數(shù)據(jù)堆棧實(shí)行一切相關(guān)的操作。此包含取代冗余的數(shù)據(jù)或去除較舊的數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)堆棧一旦準(zhǔn)備妥當(dāng)，則經(jīng)剖析而成對(duì)應(yīng)于誤差值的上升時(shí)間排序的數(shù)組。這些數(shù)組伴隨著需要其執(zhí)行的參數(shù)數(shù)組到外掛而進(jìn)入EWMA。于一個(gè)實(shí)施例中，來自外掛的返回包括了六個(gè)過濾誤差值。
回到圖15，數(shù)據(jù)預(yù)處理包含監(jiān)視和/或取樣處理工具1310變量的工件1305特性參數(shù)其中一個(gè)或數(shù)個(gè)，如方框1520所述。已知，可能用到的特性參數(shù)可通過特性數(shù)據(jù)型樣來識(shí)別；或可經(jīng)識(shí)別，做為處理控制的已知修正結(jié)果。其次，關(guān)于工件溫度和/或燈功率、和/或退火時(shí)間、和/或工藝氣體溫度、和/或工藝氣體壓力、和/或工藝氣體流速、和/或射頻(RF)功率、和/或蝕刻時(shí)間和/或偏壓電壓、和/或沉積時(shí)間，以及類似條件等，諸如其處理程控輸入?yún)?shù)和/或設(shè)定點(diǎn)的處理控制輸入?yún)?shù)，可能直接影響工件1205所出的可用半導(dǎo)體組件的有效成品率。
控制工藝中的下一步驟，是為處理工具1310的處理工具控制器1315算出新的設(shè)定。從數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360，檢索對(duì)應(yīng)于目前圓片批的控制例程所用的先前設(shè)定。此數(shù)據(jù)與目前的處理誤差伴隨成對(duì)。對(duì)新的設(shè)定，調(diào)用編譯過的Matlab外掛程序而算出。此應(yīng)用程序并有若干輸入，在一分離的執(zhí)行組件中施行計(jì)算，并返回若干輸出給主腳本。一般來說，該Matlab外掛程序的輸入為處理控制輸入信號(hào)設(shè)定、復(fù)查站1317的誤差、控制算法所需的參數(shù)數(shù)組，及目前不使用的旗標(biāo)誤差。該Matlab外掛程序的輸出為新的控制器設(shè)定，依據(jù)以上所說明的控制器算法而在該外掛程序中算出。
處理工藝工程師，或控制工程師，一般確定控制作用的實(shí)際形式及程度，且能設(shè)定參數(shù)。這類參數(shù)包括閾值、最大步進(jìn)尺寸、控制器權(quán)重及目標(biāo)值。新的參數(shù)設(shè)定一旦算出，則腳本將該設(shè)定儲(chǔ)存于數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360中，使得處理工具1310能檢索的，供將做處理的次一圓片批用。本發(fā)明所傳授的原理能實(shí)施成其它型態(tài)的制造機(jī)架。
再回到圖15，新設(shè)定的算出，如方框1530所述包含用自適應(yīng)取樣處理模型，來模型化該(等)特性參數(shù)。此模型化可通過該Matlab外掛程序來施行。在此特定實(shí)施例中僅知，可能用到的特性參數(shù)經(jīng)模型化，而模型儲(chǔ)存在經(jīng)由機(jī)器接口1430存取的數(shù)據(jù)庫1335之中。數(shù)據(jù)庫1335可常駐在工作站1330上(如所示)，或在先進(jìn)工藝控制機(jī)架的一些其它部份上。以實(shí)例來說，該等模型在替代實(shí)施例中將可儲(chǔ)存在先進(jìn)工藝控制系統(tǒng)管理器1440所管理的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器1360之中。該模型一般來說將是一數(shù)學(xué)模型，即一方程式，而說明一個(gè)或數(shù)個(gè)處理程控中的一個(gè)或數(shù)個(gè)改變?nèi)绾斡绊懱幚硇阅?，及類似情形。以上所給的各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中所說明的模型(以下有更完整的說明)，即是如此模型示例。
使用的特定模型將是由實(shí)際方案所規(guī)定的，而依賴于特定的處理工具1310及正當(dāng)模型化的特定一個(gè)或數(shù)個(gè)特性參數(shù)。該模型中的關(guān)系為線性或者是非線性，將視所涉及的該(等)特定的特性參數(shù)而定。
然后將新的設(shè)定傳輸至處理工具控制器1315，為處理工具控制器1315所應(yīng)用。如此，現(xiàn)在回到圖15，一旦模型化了該(等)特性參數(shù)，則應(yīng)用該模型，如方框1540所述，用至少一個(gè)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器，或至少一個(gè)比例積分微分(PID)控制器，來修正至少一個(gè)處理程控輸入?yún)?shù)(以上有更完整的說明)。在此特定實(shí)施例中，機(jī)器接口1430從數(shù)據(jù)庫1335檢索該模型，掛入各別的值，并確定該(等)處理程控輸入?yún)?shù)所必要的一個(gè)或數(shù)個(gè)改變。然后借機(jī)器接口1430，將該改變經(jīng)線路1320通信至設(shè)備接口1410。而設(shè)備接口1410則實(shí)際方案該改變。
本實(shí)施例并且提出模型應(yīng)做更新。此如圖15的方框1550至1560所述，包含監(jiān)視至少一個(gè)該等處理程控輸入?yún)?shù)的修正效果(方框1550)；且基于所監(jiān)視的一個(gè)或數(shù)個(gè)效果，更新所應(yīng)用的模型(方框1560)。以實(shí)例來說，處理工具1310操作的各個(gè)不同的方面將隨年代而改變。對(duì)因應(yīng)特性參數(shù)測(cè)量結(jié)果所實(shí)施的一個(gè)或數(shù)個(gè)處理單元改變，監(jiān)視其效果，借此能更新必要的值以產(chǎn)出優(yōu)越的性能。
如以上所注意到的，此特定實(shí)施例實(shí)施一“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)。如此，其在圓片批“之間”實(shí)施改變。方框1520至1560中所述的作用實(shí)施于目前的圓片批經(jīng)處理之后，而于次一批做處理之前，如圖15的方框1570所述。然而，本發(fā)明并不受此限。而且，如以上所注意到的，一晶批的構(gòu)成可為任何可實(shí)行的圓片數(shù)目，自一個(gè)至幾千個(gè)(或?qū)嵱蒙系娜魏斡邢迶?shù)目)。一“批”的構(gòu)成，系由實(shí)際方案所規(guī)定，所以工藝中發(fā)生更新的點(diǎn)將隨實(shí)際方案而變化。
如以上所討論的，在本發(fā)明各個(gè)不同的例示性實(shí)施例中，可應(yīng)用自適應(yīng)取樣處理模型，來修正處理步驟中所施行的處理。舉例來說，可于一個(gè)或多個(gè)處理行程期間，監(jiān)視一個(gè)或多個(gè)工具變量和/或一個(gè)或多個(gè)處理參數(shù)，從而形成自適應(yīng)取樣處理模型。這樣的工具變量和/或處理參數(shù)的例可包括一個(gè)或多個(gè)高溫計(jì)軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)燈功率軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)管溫軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)電流讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)紅外線(IR)信號(hào)讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)發(fā)光光譜讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體溫度讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體壓力讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體流速讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)蝕刻深度、一個(gè)或多個(gè)工藝層厚、一個(gè)或多個(gè)電阻讀數(shù)，及類似的變量或參數(shù)。
從數(shù)學(xué)角度上說，對(duì)于n個(gè)處理工具變量和/或處理參數(shù)，可將一組m個(gè)測(cè)量和/或監(jiān)視中的處理行程設(shè)置為一n×m矩陣X。換句話說，該n×m矩陣X可包含1至n行(每一行對(duì)應(yīng)于分離的處理工具變量或處理參數(shù))，及1至m列(每一列對(duì)應(yīng)于分離的處理行程)。該n×m矩陣X的值例如可為處理工具變量和/或處理參數(shù)的實(shí)際測(cè)量值，或?yàn)閷?shí)際測(cè)量值的比(相對(duì)于各別的參考設(shè)定點(diǎn)而歸一化)，或?yàn)檫@樣的比的對(duì)數(shù)。該n×m矩陣X可有r秩，而r≤min{m，n}為矩陣X中最大的獨(dú)立變量數(shù)目。該n×m矩陣X(舉例來說)可用“主要成分分析”(PCA)來分析。使用PCA(舉例來說)，生成一組“主要成分”P(其“負(fù)載”〔Loadings〕或成分表示各個(gè)不同的處理工具變量和/或處理參數(shù)的貢獻(xiàn))，來做為方程式((X-M)(X-M)T)P＝Λ2P的本征矩陣，此處M為X的列平均值的矩形n×m矩陣(M的m列中每一列皆為Xn ×m的列平均值向量μn×1)，Λ2為平均值縮放的矩陣X-M的、也是一“分?jǐn)?shù)”(Score)矩陣T的本征值λi(i＝1，2，...，r)平方n×n對(duì)角矩陣，而有X-M＝PTT及(X-M)T＝(PTT)T＝(TT)TPT＝TPT，以致有((X-M)(X-M)T)P＝((PTT)(TPT))P并且有((PTT)(TPT))P＝(P(TTT)PT)P＝P(TTT)＝Λ2P。n×m矩陣X也表示為Xn×m，可有元素xij，此處i＝1，2，...，n且j＝1，2，...，m；而n×m矩陣XT(n×m矩陣X的轉(zhuǎn)置矩陣)，也表示為(X)Tn×m，可有元素Xji，此處i＝1，2，...，n且j＝1，2，...，m。n×n矩陣(X-M)(X-M)T為(m-1)乘以協(xié)方差矩陣Sn×n，Sn×n有元素sij，此處i＝1，2，...，n，且j＝1，2，...，n，定義為sij=mΣk=1mxikxjk-Σk=1mxikΣk=1mxjkm(m-1),]]>對(duì)應(yīng)于矩形n×m矩陣Xn×m。
如下為四種計(jì)算“主要成分”的方法，但還有其它的方法存在1.本征分析(EIG)；2.奇異值分解(SVD)；3.非線性迭代部份最小平方(NIPALS)；及
4.冪次法(power method)。
前二方法，EIG及SVD，皆同時(shí)性地算出一切可能的“主要成分”，而NIPALS法卻容許一次算出一個(gè)“主要成分”。而冪次法(以下做更完整的說明)為一迭代的，找出本征值及本征向量的途徑，依然也容許一次算出一個(gè)“主要成分”。信道(或變量值)有多少個(gè)，“主要成分”就有多少個(gè)。冪次法可有效率地使用計(jì)算時(shí)間。
舉例來說，考慮3×2矩陣A，其轉(zhuǎn)置矩陣2×3矩陣AT，兩者的2×2矩陣乘積ATA，及兩者的3×3矩陣乘積AATA=11101-1,]]>AT=11110-1,]]>ATA=11110-111101-1=3002,]]>AAT=11.101-111110-1=210111012.]]>EIG表明矩陣乘積ATA的本征值λ為3及2。矩陣乘積ATA的本征向量為方程式(ATA)t＝λt的解t，經(jīng)檢驗(yàn)可知為t1T＝(0，1)及t2T＝(1，0)，分別屬于本征值λ1＝3及λ2＝2。
冪次法(舉例來說)可用來確定矩陣乘積AAT的本征值λ及本征向量p，此處本征值λ及本征向量p為方程式(AAT)p＝λp的解p?？捎脟L試的本征向量pT＝(1，1，1)(AAT)p‾=210111012111=333=3111=λ1p‾1.]]>這表明，嘗試的本征向量pT＝(1，1，1)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ1＝3所屬的本征向量p1T＝(1，1，1)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從矩陣乘積AAT減去外積矩陣p1p1T，而形成一殘差矩陣(residual matrix)R1R1=210111012-111111=210111012-111111111=10-1000-101.]]>可用另一嘗試的本征向量pT＝(1，0，-1)(AAT-p‾1p‾1T)p‾=R1p‾=10-1000-10110-1=20-2=210-1=λ2p‾2.]]>這表明，嘗試的本征向量pT＝(1，0，-1)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ2＝2所屬的本征向量p2T＝(1，0，-1)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從殘差矩陣R1減去外積矩陣p2p2T，而形成第二殘差矩陣R2R2=10-1000-101-10-110-1=10-1000-101-10-1000-101=000000000.]]>第二殘差矩陣R2消失，此一事實(shí)說明，本征值λ3＝0，而本征向量p3為完全任意的。本征向量p3可方便地選與本征向量p1T＝(1，1，1)及p2T＝(1，0，-1)正交；以致本征向量p3T＝(1，-2，1)。其實(shí)，可立即證明(AAT)p‾3=2101110121-21=000=01-21=λ3p‾3.]]>類似地，A的SVD表示為A＝PTT，式中P為“主要成分”矩陣而T為“分?jǐn)?shù)”矩陣A=1/31/21/61/30-2/61/3-1/31/63002001001=1/31/21/61/30-261/3-1/21/6300200.]]>SVD證實(shí)A的奇異值為 及 ，即矩陣乘積ATA的本征值λ1＝3及λ2＝2的正方根。注意，“主要成分”矩陣P的列系矩陣乘積AAT的正交歸一化本征向量。
同樣地，AT的SVD表示為AT＝TPTAT=10013000201/31/31/31/20-1/21/6-2/61/6.]]>=3000201/31/21/61/30-2/61/3-1/21/6=TPT]]>SVD證實(shí)AT的(非零)奇異值為 及 其為矩陣乘積AAT的本征值λ1＝3及λ2＝2的正方根。注意，“主要成分”矩陣P的列(“主要成分”矩陣PT的行)為矩陣乘積AAT的正交歸一化本征向量。還請(qǐng)注意，“分?jǐn)?shù)”矩陣T的非零元素為矩陣乘積ATA以及AAT的(非零)本征值λ1＝3及λ2＝2的正方根 及 另舉一例，考慮4×3矩陣B，其轉(zhuǎn)置矩陣3×4矩陣BT，兩者的3×3矩陣乘積BTB，及兩者的4×4矩陣乘積BBTB=11010110-11-10,]]>BT=1111100-101-10,]]>BTB=1111100-101-1011010110-11-10=400020002,]]>BBT=11010110-11-101111100-101-10=2110120110210112.]]>EIG表明矩陣乘積BTB的本征值為4、2及2。矩陣乘積BTB的本征向量為方程式(BTB)t＝λt的解t，經(jīng)檢驗(yàn)可知為t1T＝(1，0，0)，t2T＝(0，1，0)及t3T＝(0，0，1)，分別屬于本征值λ1＝4，λ2＝2及λ3＝2。
冪次法(舉例來說)可用來確定矩陣乘積BBT的本征值λ及本征向量p，此處本征值λ及本征向量p為方程式(BBT)p＝λp的解p?？捎脟L試的本征向量pT＝(1，1，1，1)(BBT)p‾=21101201102101121111=4444=41111=λ1p‾1.]]>這表明，嘗試的本征向量pT＝(1，1，1，1)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ1＝4所屬的本征向量p1T＝(1，1，1，1)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從矩陣乘積BBT減去外積矩陣p1p1T，而形成殘差矩陣R1R1=2110120110210112-1111111111111111=100-101-100-110-1001.]]>可用另一嘗試的本征向量pT＝(1，0，0，-1)(BBT-p‾1p‾1T)p‾=R1p‾=100-101-100-110-1001100-1=200-2=2100-1=λ2p‾2.]]>這表明，嘗試的本征向量pT＝(1，0，0，-1)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ2＝2所屬的本征向量p2T＝(1，0，0，-1)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從殘差矩陣R1減去外積矩陣p2p2T，而形成第二殘差矩陣R2R2=100-101-100-110-1001-100-100000000-1001=000001-100-1100000.]]>可用另一嘗試的本征向量pT＝(0，1，-1，0)(BBT-p‾2p‾2T)p‾=R2p‾=000001-100-110000001-10=02-20=201-10=λ3p‾3.]]>
這表明，嘗試的本征向量pT＝(0，1，-1，0)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ2＝2所屬的本征向量p3T＝(0，1，-1，0)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從殘差矩陣R2減去外積矩陣p3p3T，而形成第三殘差矩陣R3R2=000001-100-1100000-000001-100-1100000=0000000000000000.]]>第三殘差矩陣R3消失，此一事實(shí)指示本征值λ4＝0，而本征向量p4為完全任意的。本征向量p4可方便地選與本征向量p1T＝(1，1，1，1)，p2T＝(1，0，0，-1)及p3T＝(0，1，-1，0)正交，以致p4T＝(1，-1，-1，1)。其實(shí)，可立即證明(BBT)p‾4=21101201102101121-1-11=0000=01-1-11=λ4p‾4.]]>在此情形下，本征值λ2＝2及λ3＝2相等，因而為退化，則退化本征值λ2＝2＝λ3所屬的本征向量p2T＝(1，0，0，-1)及p3T＝(0，1，-1，0)可方便地選為正交歸一。舉例來說，可使用格拉姆—施密特正交歸一化程序(Gram-Schmidt orthonormalization procedure)。
類似地，B的SVD表示為B＝PTT，式中P為“主要成分”矩陣而T為“分?jǐn)?shù)”矩陣B=1/21/201/21/201/2-1/21/20-1/2-1/21/2-1/201/2200020002000100010001]]>=1/21/201/21/201/2-1/21/20-1/2-1/21/2-1/201/2200020002000=PTT.]]>SVD證實(shí)，B的奇異值為2、 及 其為矩陣乘積BTB的本征值λ1＝4，λ2＝2及λ3＝2的正方根。
同樣地，BT的SVD表示為BT=1000100012000020000201/21/21/21/21/200-1/201/2-1/201/2-1/2-1/21/2=]]>BT=2000020000201/21/21/21/21/200-1/201/2-1/201/2-1/2-1/21/2=TPT.]]>SVD證實(shí)BT的(非零)奇異值為2， 及 即是矩陣乘積BBT的本征值λ1＝4，λ2＝2及λ3＝2的正方根。注意，“主要成分”矩陣P的列(“主要成分”矩陣PT的行)為矩陣乘積BBT的正交歸一化本征向量。也注意，“分?jǐn)?shù)”矩陣T的非零元素為矩陣乘積BTB以及BBT的(非零)本征值λ1＝4，λ2＝2及λ3＝2的正方根2， 及 以上所討論的矩陣A及B，系為簡(jiǎn)化對(duì)PCA及冪次法的介紹所用，遠(yuǎn)小于在本發(fā)明例示實(shí)施例中所遇到的數(shù)據(jù)矩陣。舉例來說，在各個(gè)不同的例示實(shí)施例中，對(duì)于n＝10至60個(gè)處理工具變量和/或處理參數(shù)，可測(cè)量和/或監(jiān)視約m＝100至600個(gè)處理行程。對(duì)于n＝10至60個(gè)變量做全部m＝100至600個(gè)行程的回歸，如此強(qiáng)列模型化可能構(gòu)成條件病態(tài)的(ill-conditioned)回歸問題。諸如PCA和/或部份最小平方(PLS，也稱為至潛在〔latent〕結(jié)構(gòu)的投影)等技術(shù)，系基于漸減的可變性水準(zhǔn)而顯露數(shù)據(jù)的階層排序，從而降低如此情形中的復(fù)雜性。在PCA中，是要找出逐一的”主要成分”。在諸如NIPALS的PLS技術(shù)中，是要找出逐一的潛在向量。
如圖16所示，可在n維變量空間(在圖16中n＝3)中繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)1610的散布圖(scatterplot)1600。平均值向量1620可放在p維“主要成分”橢圓體1630(在圖16中p＝2)之中心。平均值向量1620可取總數(shù)據(jù)矩陣X的列平均來確定?！爸饕煞帧睓E圓體1630可有第一“主要成分”1640(圖16中的主軸)，其長(zhǎng)度等于平均值縮放的數(shù)據(jù)矩陣X-M的最大本征值；及第二“主要成分”1650(圖16中的次軸)，其長(zhǎng)度等于平均值縮放的數(shù)據(jù)矩陣X-M的次大本征值。
舉例來說，可取以上所給的3×4矩陣BT來做為總數(shù)據(jù)矩陣X(又是為簡(jiǎn)單起見)，其對(duì)應(yīng)于3個(gè)變量下的4個(gè)行程。如圖17所示，可在3維變量空間中繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)1710的散布圖1700。平均值向量1720μ可放在2維“主要成分”橢圓體1730(實(shí)為一圓，為退化的橢圓體)的中心。平均值向量1720μ可取總3×4數(shù)據(jù)矩陣BT的列平均來確定?！爸饕煞帧睓E圓體1730可有第一“主要成分”1740(圖17中的“主軸”)，及第二“主要成分”1750(圖17中的“次軸”)。此處，平均值縮放的數(shù)據(jù)矩陣BT-M的本征值相等且退化，所以圖17中的“主軸”與“次軸”的長(zhǎng)度相等。如圖17所示，平均值向量1720μ由下式給出μ‾=14[110+101+101+1-10]=100,]]>且矩陣M的全部4列都有平均值向量1720μ。
對(duì)“主要成分分析”(PCA)可做幾何例示。舉例來說，可取3×2矩陣C(類似于以上所給的3×2矩陣A)C=1-11011,]]>做為總數(shù)據(jù)矩陣X(又是為簡(jiǎn)單起見)，其對(duì)應(yīng)于3個(gè)變量下的2個(gè)行程。如圖18所示，可在3維變量空間中繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)1810及1820的散布圖1800，其分別有坐標(biāo)(1，1，1)及(-1，0，1)；在此，3個(gè)變量的每一個(gè)為各別的快速熱處理工具和/或參數(shù)值。平均值向量1830μ可放在1維“主要成分”橢圓體1840(實(shí)為一線，其為極為退化的橢圓體)的中心。平均值向量1830μ可取總3×2數(shù)據(jù)矩陣C的列平均來確定?！爸饕煞帧睓E圓體1840可有第一“主要成分”1850(圖18中的“主軸”，有長(zhǎng)度 ，沿第一“主要成分”軸1860而放置)，且分別沿第二及第三“主要成分”軸1870及1880并無第二及第三“主要成分”放置。此處，平均值縮放的數(shù)據(jù)矩陣C-M的二個(gè)本征值等于零，所以圖18中的“次軸”的長(zhǎng)度都等于零。如圖18所示，平均值向量l830μ由下式給出μ‾=12[111+-101]=01/20,]]>且矩陣M的兩列都有平均值向量1830μ。如圖18所示，PCA無非是原來的變量軸(在此，系對(duì)于3個(gè)變量每一個(gè)的各別的快速熱處理工具和/或參數(shù)值)繞著平均值向量1830μ的端點(diǎn)所做的主軸旋轉(zhuǎn)，其關(guān)于原來的坐標(biāo)軸有坐標(biāo)(0，1/2，1)，而關(guān)于新的“主要成分”軸1860、1870及1880有坐標(biāo)
。其“負(fù)載”只不過是新的“主要成分”軸1860、1870及1880相關(guān)于原來的變量軸的方向余弦。其“分?jǐn)?shù)”則純?nèi)皇菙?shù)據(jù)點(diǎn)1810及1820的坐標(biāo)，分別為[50.5/2，0，0]及[-50.5/2，0，0]，而參考新的“主要成分”軸1860、1870及1880。
平均值縮放的3×2數(shù)據(jù)矩陣C-M，其轉(zhuǎn)置矩陣2×3矩陣(C-M)T，兩者的2×2矩陣乘積(C-M)T(C-M)，及兩者的3×3矩陣乘積(C-M)(C-M)T由下式給出C-M=1-11.011-001/21/211=1-11/2-1/200,]]>(C-M)T=11/20-1-1/20,]]>(C-M)T(C-M)=11/20-1-1/201-11/2-1/200=5/4-5/4-5/45/4,]]>(C-M)(C-M)T=1-11/2-1/20011/20-1-1/20=21011/20000.]]>3×3矩陣(C-M)(C-M)T為協(xié)方差矩陣S3×3，其中S3×3有元素sij，此處i＝1，2，3且j＝1，2，3，定義為sij=2Σk=12cikcjk-Σk=12cikΣk=12cjk2(2-1),]]>對(duì)應(yīng)于矩形3×2矩陣C3×2。
EIG表明，矩陣乘積(C-M)T(C-M)的本征值λ為5/2及0；舉例來說，此通過求解特征方程式(secular equation)5/4-λ-5/4-5/45/4-λ=0]]>而找出。矩陣乘積(C-M)T(C-M)的本征向量為方程式(C-M)T(C-M)t＝λt的解t，此式可寫為((C-M)T(C-M)-λ)t＝0。對(duì)于本征值λ1＝5/2來說，其本征向量t1可鑒于5/4-λ-5/4-5/45/4-λt‾=-5/4-5/4-5/4-5/4t‾=0]]>而為t1T＝(1，-1)。對(duì)于本征值λ1＝0來說，其本征向量t2可鑒于5/4-λ-5/4-5/45/4-λt‾=-5/4-5/4-5/45/4t‾=0]]>而為t2T＝(1，1)。
冪次法(舉例來說)可用來確定矩陣乘積(C-M)(C-M)T的本征值λ及本征向量p，此處本征值λ及本征向量p為方程式((C-M)(C-M)T)p＝λp的解p?？捎靡粐L試的本征向量pT＝(1，1，1)((C-M)(C-M)T)p‾=21011/20000111=33/20=311/20=3q‾,]]>((C-M)(C-M)T)q‾=21011/2000011/21=5/25/40=5/211/20=λ1p‾1.]]>這說明，嘗試的本征向量pT＝(1，1，1)由改良嘗試的本征向量qT＝(1，1/2，0)所取代，而qT＝(1，1/2，0)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ1＝5/2所屬的本征向量p1T＝(1，1/2，0)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從矩陣乘積(C-M)(C-M)T減去外積矩陣p1p1T，而形成殘差矩陣R1R1=21011/20000-11/2011/20=21011/20000-11/201/21/40000]]>=11/201/21/40000.]]>可用另一嘗試的本征向量pT＝(-1，2，0)，其直交于本征向量p1T＝(1，1/2，0)((C-M)(C-M)T-p‾1p‾1T)p‾=R1p‾=11/201/21/40000-120=000=0-120=λ2p‾2.]]>這表明，嘗試的本征向量pT＝(-1，2，0)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ2＝0所屬的本征向量p2T＝(-1，2，0)。再繼續(xù)進(jìn)行冪次法，從殘差矩陣R1減去外積矩陣p2p2T，而形成第二殘差矩陣R2R2=11/201/21/40000--120-120=11/201/21/40000-1-20-240000]]>R2=05/205/2-15/40000.]]>可用另一嘗試的本征向量pT＝(0，0，1)，其直交于本征向量p1T＝(1，1/2，0)及p2T＝(-1，2，0)((C-M)(C-M)T-p‾1p‾1T-p‾2p‾2T)p‾=R2p‾=15/205/2-15/40000001=000]]>((C-M)(C-M)T-p‾1p‾1T-p‾2p‾2T)p‾=R2p=0001=λ3p‾3.]]>這表明，嘗試的本征向量pT＝(0，0，1)剛好對(duì)應(yīng)于本征值λ3＝0所屬的本征向量p3T＝(0，0，1)。其實(shí)，可以立即證明((C-M)(C-M)T)p‾3=21011/20000001=000=0001=λ3p‾3.]]>類似地，C-M的SVD表示為C-M＝PTT，式中P為“主要成分”矩陣(其列為與p1、p2及p3成比例的正交歸一化本征向量；其元素為“負(fù)載”，即新的“主要成分”軸1860、1870及1880相關(guān)于原來的變量軸的方向余弦)，而T為“分?jǐn)?shù)”矩陣(其行為數(shù)據(jù)點(diǎn)1810及1820的坐標(biāo)，參考新的“主要成分”軸1860、1870及1880)C-M=2/5-1/501/52/500015/2000001/2-121/21/2]]>C-M=2/5-1/501/52/500015/2-5/20000=PTT.]]>
“分?jǐn)?shù)”矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣(TT)可由C-M的本征值矩陣與矩陣的積給出，而該矩陣的行系與t1及t2成比例的正交歸一化本征向量。如圖18所示，第一“主要成分””軸1860相關(guān)于變量1值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ11=2/5;]]>且第一“主要成分”軸1860相關(guān)于變量2值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ21=1/5]]>。類似地，第一“主要成分”軸1860相關(guān)于變量3值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ31＝cos(π/2)＝0。類似地，第二“主要成分”軸1870相關(guān)于變量1值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ12=-1/5;]]>第二“主要成分”軸1870相關(guān)于變量2值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ22=2/5;]]>且第二“主要成分”軸1870相關(guān)于變量3值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ32＝cos(π/2)＝0。最后，第三“主要成分”軸1880相關(guān)于變量1值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ13＝cos(π/2)＝0；第三“主要成分”軸1880相關(guān)于變量2值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ23＝cos(π/2)＝0；且第三“主要成分”軸1880相關(guān)于變量3值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ33＝cos(0)＝1。
SVD證實(shí)C-M的奇異值為 及0，即為矩陣乘積(C-M)T(C-M)的本征值λ1＝5/2及λ2＝0的非負(fù)方根。注意，“主要成分”矩陣P的列是矩陣乘積(C-M)(C-M)T的正交歸一化本征向量。
另舉一例，可取3×4矩陣D(等同于以上所給的3×4矩陣BT)D=1111110-101-10,]]>做為總數(shù)據(jù)矩陣X(又是為簡(jiǎn)單起見)，其對(duì)應(yīng)于3個(gè)變量下的4個(gè)行程。如圖19所示，可在3維變量空間中繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)散布圖1900，數(shù)據(jù)點(diǎn)分別有坐標(biāo)(1，1，0)、(1，0，1)、(1，0，-1)及(1，-1，0)；在此，3個(gè)變量的每一個(gè)為對(duì)應(yīng)的快速熱處理工具和/或參數(shù)值。平均值向量1920μ可放在2維“主要成分”橢圓體1930(實(shí)際上為一圓，即是稍退化的橢圓體)的中心。平均值向量1920μ可取總3×4數(shù)據(jù)矩陣D的列平均來確定。“主要成分”橢圓體1930可有第一“主要成分”1940(圖19中的“主軸”，有長(zhǎng)度2，沿第一“主要成分”軸1950而放置)，有第二“主要成分”1960(圖19中的“次軸”，也有長(zhǎng)度2，沿第二“主要成分”軸1970而放置)，且沿第三“主要成分”軸1980并無第三“主要成分”放置。此處，平均值縮放的數(shù)據(jù)矩陣D-M的二個(gè)本征值相等，所以圖19中“主要成分”橢圓體1930的“主軸”與“次軸”的長(zhǎng)度都相等；并且其余的本征值等于零，故圖19中“主要成分”橢圓體1930的另一“次軸”的長(zhǎng)度等于零。如圖19所示，平均值向量1920μ由下式給出μ‾=14[110+101+10-1+1-10]=100]]>，且矩陣M的全部4列都有平均值向量1920μ。如圖19所示，PCA無非是原來的變量軸(在此，系對(duì)于3個(gè)變量每一個(gè)的各別的快速熱處理工具和/或參數(shù)值)繞著平均值向量1920μ的端點(diǎn)所做的主軸旋轉(zhuǎn)，其關(guān)于原來的坐標(biāo)軸有坐標(biāo)(1，0，0)，而關(guān)于新的“主要成分”軸1950、1970及1980有坐標(biāo)
。其“負(fù)載”只不過是新的“主要成分”軸1950、1970及1980相關(guān)于原來的變量軸的方向余弦。其“分?jǐn)?shù)”則純?nèi)皇菙?shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別為[1，0，0]、
、
及[-1，0，0]，而參考新的“主要成分”軸1950、1970及1980。
3×3矩陣乘積(D-M)(D-M)T由下式給出(D-M)(D-M)T=0000100-101-1001000100-10-10=000020002.]]>3×3矩陣(D-M)(D-M)T為3乘以協(xié)方差矩陣S3×3，S3×3有元素sij，其中i＝1，2，3且j＝1，2，3，定義為sij=4Σk=14dikdjk-Σk=14dikΣk=14djk4(4-1),]]>對(duì)應(yīng)于3×2矩陣D3×4。
EIG表明矩陣乘積(D-M)(D-M)T的本征值為0、2及2。矩陣乘積(D-M)(D-M)T的本征向量為方程式((D-M)(D-M)T)p＝λp的解p，通過檢驗(yàn)可知為p1T＝(0，1，0)，p2T＝(0，0，1)及p3T＝(1，0，0)，分別屬于λ1＝2，λ2＝2及λ3＝0(沿襲最大的本征值先放的慣用法)。
如圖19所見的，第一“主要成分”軸1950相關(guān)于變量1值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ11＝cos(π/2)＝0；第一“主要成分”軸1950相關(guān)于變量2值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ21＝cos(0)＝1；且第一“主要成分”軸1950相關(guān)于變量3值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ31＝cos(π/2)＝0。類似地，第二“主要成分”軸1970相關(guān)于變量1值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ12＝cos(π/2)＝0；第二“主要成分”軸1970相關(guān)于變量2值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ22＝cos(π/2)＝0；且第二“主要成分”軸1970相關(guān)于變量3值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ32＝cos(0)＝1。最后，第三“主要成分”軸1980相關(guān)于變量1值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ13＝cos(0)＝1；第三“主要成分”軸1980相關(guān)于變量2值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ23＝cos(π/2)＝0；且第三“主要成分”軸1980相關(guān)于變量3值軸的方向余弦(“負(fù)載”)由下式給出cosΘ33＝cos(π/2)＝0。
“分?jǐn)?shù)”矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣TT可在平均值縮放的數(shù)據(jù)矩陣D-M的左邊乘上“主要成分”矩陣P的轉(zhuǎn)置矩陣，而簡(jiǎn)單地獲得，該轉(zhuǎn)置矩陣的列p1，p2，p3，即為矩陣乘積(D-M)(D-M)T的正交歸一化本征向量TT=PT(D-M)=0100011000000100-101-10=100-101-100000]]>“分?jǐn)?shù)”矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣TT的列(或等價(jià)地，“分?jǐn)?shù)”矩陣T的行)，其實(shí)分別為各數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)[1，0，0]、
、
及[-1，0，0]，而系參考新的“主要成分”軸1950、1970及1980。
以上所討論的矩陣C及D，系為簡(jiǎn)化對(duì)PCA及冪次法的介紹所用，甚小于在本發(fā)明例示實(shí)施例中所遭遇的數(shù)據(jù)矩陣。舉例來說，在各個(gè)不同的例示實(shí)施例中，對(duì)于n＝10至60個(gè)處理工具變量和/或處理參數(shù)，可測(cè)量和/或監(jiān)視約m＝100至600個(gè)處理行程。對(duì)于n＝10至60個(gè)變量做全部m＝100至600個(gè)行程的回歸，如此強(qiáng)行模型化可能構(gòu)成條件病態(tài)的回歸問題。諸如PCA和/或部份最小平方(PLS，也稱為至潛在結(jié)構(gòu)的投影)等技術(shù)，系基于漸減的可變性水準(zhǔn)而顯露數(shù)據(jù)的階層排序，從而降低如此情形中的復(fù)雜性。在PCA中，是要找出逐一的“主要成分”。在諸如NIPALS的PLS技術(shù)中，是要找出逐一的潛在向量。在各個(gè)不同的例示實(shí)施例中，于n＝10至60個(gè)處理工具變量和/或處理參數(shù)下所測(cè)量的約m＝100至600個(gè)處理行程期間，可將工具和/或傳感器漂移映像，成穿過n維空間(表示該n＝10至60個(gè)變量)的約m＝100至600個(gè)點(diǎn)(表示該m＝100至600個(gè)處理行程)的動(dòng)力學(xué)流(dynamicflow)，這樣的等效問題。舉例來說，可用PCA，而指示對(duì)處理工具變量和/或處理參數(shù)做一適當(dāng)?shù)亩嗑S“旋轉(zhuǎn)”，以補(bǔ)償工具和/或傳感器自各別的設(shè)定點(diǎn)值的漂移，借此來校正快速熱處理。
在各個(gè)不同的替代例示實(shí)施例中，可以通過替代的方式來建造自自適應(yīng)取樣處理模型。也可于一個(gè)或多個(gè)處理行程期間，通過監(jiān)視一個(gè)或多個(gè)處理工具變量和/或一個(gè)或多個(gè)處理參數(shù)，來形成這樣的自適應(yīng)取樣處理模型。這樣的工具變量和/或處理參數(shù)，其例可包括一個(gè)或多個(gè)高溫計(jì)軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)燈功率軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)管溫軌跡讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)電流讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)紅外線(IR)信號(hào)讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)發(fā)光光譜讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體溫度讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體壓力讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)工藝氣體流率讀數(shù)、一個(gè)或多個(gè)蝕刻深度、一個(gè)或多個(gè)工藝層厚、一個(gè)或多個(gè)電阻讀數(shù)，及類似的變量或參數(shù)。在此等各個(gè)不同的替代例示實(shí)施例中，自適應(yīng)取樣處理模型的建造可包括下列方式至少其一，用以適配所收集的處理數(shù)據(jù)多項(xiàng)式曲線適配、最小平方適配、多項(xiàng)式最小平方適配、非多項(xiàng)式最小平方適配、加權(quán)最小平方適配、加權(quán)多項(xiàng)式最小平方適配、加權(quán)非多項(xiàng)式最小平方適配、“部份最小平方”(PLS)及“主要成分分析”(PCA)，如以上所說明。
在各個(gè)不同的例示實(shí)施例中，可收集N+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)的樣本，其中i＝1，2，...，N，N+1；可取N次多項(xiàng)式PN(x)=a0+a1x+a2x2+...+akxk+...+aNxN=Σk=0Nakxk,]]>來適配該N+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。例如，在一處理步驟期間，可取有關(guān)的100個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)點(diǎn)(N＝99)，使高溫計(jì)軌跡讀數(shù)p、燈功率軌跡讀數(shù)f和/或管溫軌跡讀數(shù)T，與該處理步驟所現(xiàn)出的工件的有效成品率取得關(guān)系，而導(dǎo)致各別的N+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組(pi，ti)、(fi，ti)和/或(Ti，ti)。舉例來說，其值可為處理工具變量和/或處理參數(shù)的實(shí)際測(cè)量值，或?yàn)閷?shí)際測(cè)量值的比(相對(duì)于各別的參考設(shè)定點(diǎn)而歸一化)，或?yàn)檫@樣的比的對(duì)數(shù)。多項(xiàng)式內(nèi)插，舉例來說，在《供科學(xué)家及工程師用的數(shù)值方法》(R.W.哈明〔R.W.Hamming〕著，多佛出版公司〔Dover Publication〕出版，紐約，1986年)第230至235頁中，有所說明。對(duì)多項(xiàng)式PN(x)，要求其通過N+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)yi=PN(xi)=Σk=0Nakxik,]]>i＝1，2，...，N，N+1；系一組N+1個(gè)條件。此N+1個(gè)條件則完全確定該N+1個(gè)系數(shù)ak，k＝0，2，...，N。
未知系數(shù)ak的系數(shù)行列式為凡德滿迪行列式(Vandermonde 其中i＝1，2，...，N，N+1，而k＝0，2，...，N。凡德滿迪行列式被當(dāng)做變量xi的函數(shù)，即VN+1＝VN+1(x1，x2，...，xN，xN+1)，顯然是變量xi的多項(xiàng)式；此點(diǎn)可通過行列式展開而見得，且指數(shù)計(jì)數(shù)顯示該多項(xiàng)式的次數(shù)為0+1+2+3+...+k+...+N=Σk=0Nk=N(N+1)2]]>(舉例來說，凡德滿迪行列式VN+1的對(duì)角項(xiàng)為1·x2·x32·····xNN-1·xN+1N).]]>現(xiàn)在，如果xN+1＝xj，j＝1，2，...，N，則凡德滿迪行列式VN+1＝0，因任何具等同二行的行列式本就會(huì)消失為零；所以，凡德滿迪行列式VN+1必有因式(xN+1-xj)，j＝1，2，...，N，即對(duì)應(yīng)有N個(gè)因式 類似地，如果xN＝xj，j＝1，2，...，N-1，則凡德滿迪行列式VN+1＝0；所以，凡德滿迪行列式VN+1必有因式(xN-xj)，j＝1，2，...，N-1，即對(duì)應(yīng)有N-1個(gè)因式 一般來說，如果xm＝xj，j＜m，m＝2，...，N，N+1，則凡德滿迪行列式VN+1＝0；所以，凡德滿迪行列式VN+1必有一切因式(xm-xj)，j＜m，m＝2，...，N，N+1，即對(duì)應(yīng)到因式(xN+1-xj)?？偠灾讼当硎綨+N-1+···+k+···+2+1+=Σk=1Nk=N(N+1)2]]>次多項(xiàng)式。舉例來說，在m＝N+1時(shí)，j可擔(dān)當(dāng)N個(gè)值的任一個(gè)，j＝1，2，...，N；在m＝N時(shí)，j可擔(dān)當(dāng)N-1個(gè)值的任一個(gè)，j＝1，2，...，N-1；等等(舉例來說，在m＝3時(shí)，j僅有二個(gè)值可取，j＝1，2；在m＝2時(shí)，j僅有一個(gè)值可取，j＝1)。此點(diǎn)意味著，一切因式都已計(jì)入，剩下的不過是要找出此二凡德滿迪行列式VN+1表示法或?qū)⒉町愃诘某朔ǔ?shù)。如以上所注意，凡德滿迪行列式VN+1的對(duì)角項(xiàng)為1·x2·x32·····xNN-1·xN+1N,]]>可與以下因式乘積的左邊一項(xiàng)相比較，即與Πm>j+1N+1(xm-xj)=Πj=1N(xN+1-xj)Πj=1N-1(xN-xj)···Πj=12(x3-xj)Πj=11(x2-xj)]]>的左邊一項(xiàng)相比較；兩者等同，因此該乘法常數(shù)為一，而凡德滿迪行列式VM+1為VN+1(x1,x2,···,xN+1)=|xik|=Πm>j=1N+1(xm-xj).]]>如此對(duì)凡德滿迪行列式VN+1的因式分解顯示如果xi≠xj，i≠j，則凡德滿迪行列式VN+1不會(huì)是零且意味著總是可能解出未知系數(shù)ak，因該凡德滿迪行列式為未知系數(shù)ak的系數(shù)行列式。用行列式來解未知系數(shù)ak，舉例來說可將結(jié)果代入N次多項(xiàng)式PN(x)=Σk=0Nakxk,]]>并合適地重新排行而給出行列式方程式 此為多項(xiàng)式適配的解。此點(diǎn)可直接如下見得。以最上行的元素展開此行列式，其顯然為N次多項(xiàng)式。第一行中的元素y的系數(shù)，在此最上行元素所展開的行列式中無非是凡德滿迪行列式VN+1。換句話說，第一行中的元素y的余因子(cofactor)事實(shí)上即是凡德滿迪行列式VN+1。其實(shí)，第一行中的第n個(gè)元素，n＝2，...，N+2，的余因子即是PN(x)=Σk=0Nakxk]]>多項(xiàng)式展開中的系數(shù)an-2與凡德滿迪行列式VN+1的乘積。而且，如果x及y擔(dān)當(dāng)任何取樣值xi及yi，j＝1，2，...，N，N+1，則該行列式有二行會(huì)相同，然則該行列式必消失為零。如此，多項(xiàng)式PN(x)通過N+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi):yi=PN(xi)=Σk=0Nakxik,]]>i=1，2，...，N，N+1則這一要求即告滿足。
例如通過取樣數(shù)據(jù)集(-1，a)、(0，b)及(1，c)可找出二次曲線。三個(gè)方程式為P2(-1)＝a＝a0-a1+a2，P2(0)＝b＝a0，及P2(1)＝c＝a0+a1+a2；其意味著b＝a0，c-a＝2a1，及c+a-2b＝2a2，從而(x)=P2(x)=b+c-a2x+c+a-2b2x2.]]>此多項(xiàng)式也是y1xx2a1-11b100c111=0=y1-11100111-1a-12b00c11+xa11b10c11-x2a1-1b10c11]]>的展開結(jié)果，y的系數(shù)是對(duì)應(yīng)的凡德滿迪行列式V3＝2。
類似地，可找出四次曲線，通過取樣數(shù)據(jù)集(-2，a)、(-1，b)、(0，c)、(1，b)及(2，a)。五個(gè)方程式為P4(-2)＝a＝a0-2a1+4a2-8a3+16a4，P4(-1)＝b＝a0-a1+a2-a3+a4，P4(0)＝c＝a0，P4(1)＝b＝a0+a1+a2+a3+a4及P4(2)＝a＝a0+2a1+4a2+8a3+16a4；其意味著c＝a0，0＝a1＝a3(同樣得自數(shù)據(jù)集的對(duì)稱性)，(a-c)-16(b-c)＝-12a2，及(a-c)-4(b-c)＝12a2，從而有y(x)=P4(x)=c-a-16b+15c12x2+a-4b+3c12x4.]]>在各個(gè)不同的替代例示實(shí)施例中，可收集M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)的樣本，在此i＝1，2，...，M；可取一次多項(xiàng)式(一直線)P1(x)=a0+a1x=Σk=0Nakxk]]>來適配(在最小平方的意義下)該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。舉例來說，于一處理步驟期間，可取有關(guān)的100個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)點(diǎn)(M＝100)，使高溫計(jì)軌跡讀數(shù)p、燈功率軌跡讀數(shù)f和/或管溫軌跡讀數(shù)T，與該處理步驟所現(xiàn)出的工件的有效成品率t取得關(guān)系，從而得出M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組(pi，ti)、(fi，ti)和/或(Ti，ti)。舉例來說，其值可為處理工具變量和/或處理參數(shù)的實(shí)際測(cè)量值，或?yàn)閷?shí)際測(cè)量值的比(相對(duì)于各別的參考設(shè)定點(diǎn)而歸一化)，或?yàn)槿绱酥鹊膶?duì)數(shù)。最小平方適配，舉例來說，在《供科學(xué)家及工程師用的數(shù)值方法(Numerical Method for Scientistsand Engineerings)》(R.W.哈明〔R.W.Hamming〕著，多佛出版公司〔Dover Publication〕出版，紐約，1986年)第427至443頁中，有所說明。
在可取用的數(shù)據(jù)遠(yuǎn)多于參數(shù)以致無從做確切匹配(在舍去范圍之內(nèi))的情況下，可使用最小平方準(zhǔn)則。在最小平方匹配中，多項(xiàng)式是最通常使用的，但任一族線性的合適函數(shù)一樣可用。假設(shè)正在測(cè)量某量x而做了M次測(cè)量xi，i＝1，2，...，M；并假設(shè)這些測(cè)量xi與“真正”量x的關(guān)系為xi＝x+εi，i＝1，2，...，M，其中認(rèn)為殘差量ε1是噪聲。最小平方原理陳述，對(duì)真正值x的最佳估計(jì)ξ為這樣一個(gè)數(shù)值該數(shù)值使得數(shù)據(jù)距估計(jì)的偏差平方和f(ξ)=ΣI=1Mϵi2=ΣI=1M(xi-ξ)2]]>最小化；這等價(jià)于平均值xa(這里xa=1MΣl=1Mxi]]>)為真正值x的最佳估計(jì)ξ。此等價(jià)性可表示如下。首先，最小平方原理引出該平均值xa。將f(ξ)=Σl=1Mϵi2=Σl=1M(xi-ξ)2]]>視為最佳估計(jì)ξ的函數(shù)，關(guān)于最佳估計(jì)ξ的最小化，可通過微分來進(jìn)行df(ξ)dξ=-2Σl=1M(xi-ξ)=0;]]>其意味著由Σi=1Mxi-Σi=1Mξ=0=Σi=1Mxi-Mξ,,]]>即可得ξ=1MΣi=1Mxi=xa]]>?；驌Q言之，xa＝ξ，這一選擇使殘差量εi的平方和最小化。還請(qǐng)注意d2f(ξ)dξ2=2Σi=1M1=2M>0,]]>最小化準(zhǔn)則即告建立。
反之，如果取平均xa為最佳選擇xa＝ξ，則實(shí)能顯示此選擇將殘差量εi的平方和最小化。設(shè)f(xa)=Σi=1M(xi-xa)2=Σi=1Mxi2-2xaΣi=1Mxi+Σi=1Mxa2=Σi=1Mxi2-2xaMxa+Mxa2=Σi=1Mxi2-Mxa2]]>。如果取其它值xb為，則將此其它值xb插入f(x)，給出f(xb)=Σi=1M(xi-xb)2=Σi=1Mxi2-2xbΣi=1Mxi+Σi=1Mxb2=Σi=1Mxi2-2xbMxa+Mxb2.]]>從f(xb)減去f(xa)，即給出了f(xb)-f(xa)=M[xa2-2xaxb+xb2]=M(xa-xb)2≥0,]]>從而有f(xb)≥f(xa)，其中當(dāng)且僅當(dāng)xb＝xa時(shí)，相等關(guān)系成立。換句話說，平均值xa確實(shí)將殘差量εi的平方和最小化。如此顯示了，最小平方原理與選擇平均值做為最佳估計(jì)，兩者等價(jià)。
在選擇最小平方之外，可有其它的選擇。再一次，假設(shè)正在測(cè)量某量x而做了M個(gè)測(cè)量xi，i＝1，2，...，M；并假設(shè)該等測(cè)量xi與“真正的”量x的關(guān)系為xi＝x+εi，i＝1，2，...，M，在此視殘差量εi為噪聲。最小平方選擇的替代方案可為對(duì)真正值x的另一估計(jì)χ，其為將數(shù)據(jù)距估計(jì)的偏差絕對(duì)值和f(χ)=Σi=1M|ϵi|=Σi=1M|xi-χ|]]>最小化的數(shù)值；這等價(jià)于M次測(cè)量xi，i＝1，2，...，M，的中值或中間數(shù)值xm為真正值x的另一估計(jì)χ(如果M為偶數(shù)，則將二個(gè)中值平均)。假設(shè)有奇數(shù)M＝2k+1個(gè)測(cè)量xi，i＝1，2，...，M；并選取其中數(shù)或中值xm，做為將殘差量εi的絕對(duì)值和最小化的真正值x估計(jì)χ。此值xm的任何上移對(duì)xm以下的k個(gè)xi，將會(huì)升高其k項(xiàng)|xi-x|，而對(duì)xm以上的k個(gè)xi，將會(huì)降低其k項(xiàng)|xi-x|，升高降低皆以同一量。然而，此值xm的上移也將會(huì)升高|xm-x|該項(xiàng)，因此而升高所有殘差量εi的絕對(duì)值之和。除了將殘差量εi的平方和最小化之外，尚有另一選擇，就是選擇使得最大偏差達(dá)到最小化，引出xmin+xmax2=xmidrange,]]>即最佳值的中間范圍估計(jì)。
回到前述各個(gè)替代例示實(shí)施例，其中可收集M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)的樣本，i＝1，2，...，M；可取一次多項(xiàng)式(一直線)P1(x)=a0+a1x=Σk=01akxk]]>來適配(在最小平方的意義下)于該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。有二個(gè)參數(shù)a0及a1，以及一需要作以下最小化的函數(shù)F(a0，a1)。函數(shù)F(a0，a1)由下式給出F(a0,ai)=Σi=1Mϵi2=Σi=1M[P1(xi)-yi]2=Σi=1M[a0+a1xi-yi]2,]]>且設(shè)F(a0，a1)關(guān)于a0及a1的偏導(dǎo)數(shù)等于零，于是分別給出了∂F(a0,a1)∂a0=2Σi=1M[a0+a1x1-yi]=0]]>及∂(a0,a1)∂a1=2Σi=1M[a0+a1x1-yi]xi=0.]]>簡(jiǎn)化并重新排行，則分別給出了a0M+a1Σi=1Mxi=Σi=1Myi]]>及a0Σi=1Mxi+a1Σi=1Mxi2=Σi=1Mxiyi,]]>在此，該二個(gè)未知參數(shù)a0及a1有二個(gè)方程式，故立得其解。
例如圖20所示，可將一次多項(xiàng)式(一直線)P1(x)=a0+a1x=Σk=01akxk]]>適配(在最小平方的意義下)于M＝5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(1，0)、(2，2)、(3，2)、(4，5)及(5，4)。殘差量εi，i＝1，2，...，5，概要地例示于圖20中。二個(gè)參數(shù)a0及a1的方程式分別為5a0+15a1＝13及15a0+55a1＝50，于是，將第一個(gè)方程式乘以3再?gòu)牡诙€(gè)方程式減去，從而消去a0，參數(shù)a1的解成為a1＝11/10而意味著參數(shù)a0的解成為a0＝-7/10。在最小平方的意義下，做最佳適配的一次多項(xiàng)式(一直線)，即為P1(x)=-710+1110x=110(-7+11x),]]>如圖20所示。
例如圖21所示，可將一次多項(xiàng)式(一直線)P1(x)=a0+a1x=Σk=01akxk]]>適配(在最小平方的意義下)于M＝7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(-3，4)、(-2，4)、(-1，2)、(0，2)、(1，1)、(2，0)及(3，0)。殘差量εi，i＝1，2，...，7，概要地例示于圖21中。二個(gè)參數(shù)a0及a1的方程式分別為a0M+a1Σi=1Mxi=Σi=1Myi=7a0+a1(-3-2-1+0+2+3)=(4+4+2+2+1+0+0)]]>及a0Σi=1Mxi+a1Σi=1Mxi2=Σi=1Mxiyi=a1(9+4+1+0+1+4+9)=(-12-8-2+0+1+0+0)]]>，其分別給出7a0＝13及28a1＝-21。換言之，a0＝13/7及a1＝-3/4，所以在最小平方的意義下做最佳適配的一次多項(xiàng)式(一直線)為P1(x)=137-34]]>x，如圖21所示。
在各個(gè)不同的其它替代例示實(shí)施例中，可收集M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)的樣本，其中i＝1，2，...，M；且取一個(gè)N次多項(xiàng)式PN(x)=a0+a1x+a2x2+···+akxk+···+aNxN=Σk=0Nakxk]]>來適配(在最小平方的意義下)該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。例如在處理步驟期間，可取有關(guān)的100個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)點(diǎn)(M＝100)，使高溫計(jì)軌跡讀數(shù)p、燈功率軌跡讀數(shù)f和/或管溫軌跡讀數(shù)T，與該處理步驟所現(xiàn)出的工件的有效成品率取得關(guān)系，而導(dǎo)致M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組(pi，ti)、(fi，ti)和/或(Ti，ti)。例如，其值可為處理工具變量和/或處理參數(shù)的實(shí)際測(cè)量值，或?yàn)閷?shí)際測(cè)量值的比(相對(duì)于各別的參考設(shè)定點(diǎn)而歸一化)，或?yàn)檫@樣的比的對(duì)數(shù)。在一個(gè)例示實(shí)施例中，該多項(xiàng)式的次數(shù)N，其至少較M小十倍。
函數(shù)F(a0，a1，...，aN)可最小化如下。函數(shù)F(a0，a1，...，aN)由下式給出，F(xiàn)(a0,a1,···,aN)=Σi=1Mϵi2=Σi=1M[PN(xi)-yi]2,]]>且設(shè)F(a0，a1，...，aN)關(guān)于aj，j＝0，1，...，N，的偏導(dǎo)數(shù)等于零，于是對(duì)于j＝0，1，...，N，就可給出∂F(a0,a1,···,aN)∂aj=2Σi=1M[PN(xi)-yi]xij=2Σi=1M[Σk=0Nakxik-yi]xij=0,]]>因(xi)j是多項(xiàng)式PN(xi)=Σk=0Nakxik]]>中aj的系數(shù)，對(duì)于j＝0，j＝0，1，...，N，經(jīng)過簡(jiǎn)化和重新排行，即給出Σi=1M[Σk=0Nakxik]xij=Σk=0Nak[Σk=1Mxik+j]≡Σk=0NakSk+j=Σi=1Mxijyi≡Tj,]]>其中分別有Σi=1Mxik+j≡Sk+j]]>及Σi=1Mxijyi≡Tj.]]>該N+1個(gè)未知參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，的N+1個(gè)方程式Σk=0NakSk+j=Tj,]]>j＝0，1，...，N，也通稱為標(biāo)準(zhǔn)方程式；在該等標(biāo)準(zhǔn)方程式的行列式不為零的限制條件下，其解立得。為闡示此點(diǎn)，可示出齊次方程式Σk=0NakSk+j=0]]>僅有明顯解(trivial solution)ak＝0，k＝0，1，...，N；示出如下。將第j個(gè)齊次方程式乘以aj，再對(duì)于所有的j求其總和，自j＝0至j＝Nj=N,Σj=0NajΣk=0NakSk+j=Σj=0NajΣk=0NakΣi=1Mxikxij=Σi=1M(Σk=0Nakxik)(Σj=0Najxij)=Σi=1M(PN(xi))2=0,]]>；這意味著PN(xi)≡0，由是則ak＝0，k＝0，1，...，N，即為明顯解。因而，該等標(biāo)準(zhǔn)方程式的行列式不為零，可解而求得N+1個(gè)參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，即N次最小平方多項(xiàng)式PN=Σk=0Nakxk]]>的系數(shù)；此多項(xiàng)式可適配于該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。
當(dāng)最小平方多項(xiàng)式PN(x)=Σk=0Nakxk]]>的次數(shù)N甚大，則或許不易找出該N次最小平方多項(xiàng)式以適配于該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。例如，當(dāng)最小平方多項(xiàng)式的次數(shù)N甚大于約10，則該N+1個(gè)未知參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，的N+1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式Σk=0NakSk+j=Tj,]]>j＝0，1，...，N，或許不易求解。此點(diǎn)可闡示如下。假設(shè)M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)或多或少分布于區(qū)間0≤x≤1，從而有Sk+j=Σi=0Mxik+j≈M∫01xk+jdx=Mk+j+1.]]>然后對(duì)于j，k＝0，1，...，N，近似地給出|Sk+j|≈|Mk+j+1|≈MN+1|1k+j+1|=MN+1HN+1,]]>做為所造成的標(biāo)準(zhǔn)方程式的行列式，其中HN=
3N!(N+1)!(N+2)!···(2N-1)!]]>j，k＝0，1，...，N，為N階希爾伯特行列式(Hilbert determinant)，其有甚快趨零的值。舉例來說，H1=
!31!=|1|=1,H2=
32!3!=11/21/21/3=13-14=112,H3=
33!4!5!=11/21/31/21/31/41/31/41/5]]>其中11213121314131415=1312131314-141121314+151121213=13172-14112+15112=1216-1240=12160]]>此點(diǎn)提示該標(biāo)準(zhǔn)方程式系統(tǒng)是條件病態(tài)的，因而在最小平方多項(xiàng)式的次數(shù)N甚大時(shí)難以求解。正交多項(xiàng)式集合行為是較良性的。
舉例來說，如圖22所示，可將二次多項(xiàng)式(二次式)P2=a0+a1x+a2x2=Σk=02akxk]]>適配(在最小平方的意義下)于M＝7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(-3，4)、(-2，2)、(-1，3)、(0，0)、(1，-1)、(2，-2)及(3，-5)。殘差量εi，i＝1，2，...，7，概要地例示于圖22中。該三個(gè)參數(shù)a0、a1及a2的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式為Σk=02akSk+j=Tj,]]>j＝0，1，2，在此分別有Σi=07xik+j≡Sk+j]]>及Σi=07xijyi≡Tj.]]>于是給出Σk=02akSk=0j,]]>Σk=02akSk+1=T1]]>及Σk=02akSk+2=T2,]]>此處S0=Σi=17xi0=7;S1=Σi=17xi=(-3-2-1+1+2+3)=0;S2=Σi=17xi2=(9+4+1+1+4+9)=28;]]>S3=Σi=17xi3=(-27-8-1+0+1+8+27)=0;S4=Σi=17xi4(81+16+1+0+1+16+81)=196;]]>T0=Σi=17yi=(4+2+3+0-1-2-5)=1;T1=Σi=17xiyi=(-12-4-3+0-1-4-15)=-39;]]>及T2=Σi=17xi2yi=(36+8+3+0-1-8-45)=-7,.]]>所以，標(biāo)準(zhǔn)方程式分別變成為Σk=02akSk=T0=1=7a0+0a1+28a2=7a0+28a2,Σk=02akSk+1=T1=-39=0a0+28a1+0a2,]]>及Σk=02akSk+2=T2=-7=28a0+0a1+196a2=28a0+196a2;]]>其意味著-14＝-21a0(將第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式乘以7再?gòu)牡谌齻€(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式減去)，28a1＝-39(來自第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式)，及-11＝84a2(將第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式乘以4再?gòu)牡谌齻€(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式減去)，而分別給出a0＝2/3，a1＝-39/28及a2＝-11/84，所以在最小平方的意義下做最佳適配的二次多項(xiàng)式(二次式)為P2(x)=23-3928x-1184x2=184(56-117x-11x2),]]>如圖22所示。
例如圖23所示，可將二次多項(xiàng)式(二次式)P2(x)=a0+a1x+a2x2=Σk=02akxk]]>適配(在最小平方的意義下)于M＝6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(0，4)、(1，7)、(2，10)、(3，13)、(4，16)及(5，19)。殘差量εi，i＝1，2，...，6，概要地例示于圖23中。該三個(gè)參數(shù)a0、a1及a2的三個(gè)簡(jiǎn)正方程式為Σk=02akSk+j=Tj,]]>j＝0，1，2，在此分別有Σi=16xijyi≡Tj]]>及Σi=16xik+j≡Sk+j.]]>于是就給出了Σk=02akSk=T0]]>，Σk=02akSk+1=T1,]]>及Σk=02akSk+2=T2,]]>于是此處就有S0=Σi=16xi0=6;S1=Σi=16xi=(0+1+2+3+4+5)=15;S2=Σi=16xi2=(1+4+9+16+25)=55;]]>S3=Σi=16xi3=(0+1+8+27+64+125)=225;S4=Σi=16xi4=(0+1+16+81+256+625)=979;]]>T0=Σi=16yi=(4+7+10+13+16+19)=69;T1=Σi=16xiyi=(0+7+20+39+64+95)=225]]>，及Σk=02akSk+2=T2=895=55a0+225a1+979a2,]]>。故標(biāo)準(zhǔn)方程式分別成為Σk=02akSk=T0=69=6a0+15a1+55a2,]]>Σk=02akSk+1=T1=225=15a0+55a1+225a2,]]>及T2=Σi=16xi2yi=(0+7+40+117+256+475)=895;]]>其意味著-210＝-70a1-350a2(將第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式乘以4再?gòu)某艘?0的第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式減去)，及210＝70a1+66a2(將第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式乘以11再?gòu)某艘?的第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程式減去)。無論如何，將前此的二個(gè)結(jié)果一起相加，即示出0＝a2。而且，3＝a1。于是，用3＝a1及0＝a2此一事實(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程式即分別成為Σk=02akSk=T0=69=6a0+45,]]>Σk=02akSk+1=T1=225=15a0+165,]]>及Σk=02akSk+2=T2=895=55a0+675]]>；其全都意味著，4＝a0。換句話說，a0＝4，a1＝3且a2＝0，所以在最小平方的意義下做最佳適配的二次多項(xiàng)式(二次式)為P2(x)＝4+3x+0x2＝4+3x，其實(shí)即為一直線，如圖23所示。在此情形中，殘差量εi，i＝1，2，...，6，全都等同地消失為零，如圖23所概要例示者。
在各個(gè)不同的其它替代例示實(shí)施例中，可收集M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)的樣本，在此i＝1，2，...，M；可取線性獨(dú)立的N+1個(gè)函數(shù)fj(x)集，j＝0，1，2，...，N，y(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+···+ajfj(x)+···+aNfN(x)=Σj=0Najfj(x),]]>來適配(在非多項(xiàng)式最小平方的意義下)于該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)。舉例來說，于處理步驟期間，可取有關(guān)的100個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)點(diǎn)(M＝100)，使高溫計(jì)軌跡讀數(shù)p、燈功率軌跡讀數(shù)f和/或管溫軌跡讀數(shù)T，與該處理步驟所現(xiàn)出的工件的有效成品率t取得關(guān)系，而導(dǎo)致M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組(pi，ti)、(fi，ti)和/或(Ti，ti)。其值可為處理工具變量和/或處理參數(shù)的實(shí)際測(cè)量值，或?yàn)閷?shí)際測(cè)量值的比(相對(duì)于各別的參考設(shè)定點(diǎn)而歸一化)，或?yàn)檫@樣的比的對(duì)數(shù)。在某一個(gè)例示實(shí)施例中，該線性獨(dú)立的基底函數(shù)fj(x)集的數(shù)目N+1，其至少十倍小于M。
函數(shù)F(a0，a1，...，aN)可最小化如下。函數(shù)F(a0，a1，...，aN)由下式所給出，F(xiàn)(a0,a1,···,aN)=Σi=1Mϵi2=Σi=1M[y(xi)-yi]2]]>，且設(shè)F(a0，a1，...，aN)關(guān)于aj，j＝0，1，...，N，的偏導(dǎo)數(shù)等于零，因fj(xi)表示式y(tǒng)(xi)=Σk=0Nakfk(xi)]]>中ai的系數(shù)，于是給出了∂F(a0,a1,···,aN)∂aj=2Σi=1Mwi[y(xi)-yi]xij=2Σi=1Mwi[Σk=0Nakfk(xi)-yi]fi(xi)=0,]]>j＝0，1，...，N。經(jīng)簡(jiǎn)化，則給出Σi=1M[Σk=0Nakfk(xi)]fj(xi)=Σk=0Nak[Σi=1Mfk(xi)fj(xi)]≡Σk=0NakSk,j=Σi=1Mfj(xi)yi≡Tj,]]>，j＝0，1，...，N，在此分別有Σi=1Mfk(xi)fj(xj)≡Sk,j]]>及Σi=1Mfj(xi)yi≡Tj,]]>該N+1個(gè)未知參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，的N+1個(gè)方程式Σk=0NakSk,j=Tj]]>，j＝0，1，...，N，也通稱為標(biāo)準(zhǔn)方程式；在該等標(biāo)準(zhǔn)方程式的行列式不為零的限制條件下，其解立得。為闡示此點(diǎn)，可示出齊次方程式Σk=0NakSk,j=0]]>僅有明顯解ak＝0，k＝0，1，...，N；示出如下。將第j個(gè)齊次方程式乘以aj，再對(duì)于所有的j求其總和Σj=0NajΣk=0NakSk,j=Σj=0NajΣk=0NakΣi=1Mfk(xi)fj(xi)=Σi=1M(Σk=0Nakfk(xi))(Σj=0Najfj(xi)),]]>而Σi=1M(Σk=0Nakfk(xi))(Σj=0Najfj(xi))=Σi=1M(y(xi))2=0,]]>此意味著y(xi)≡0，由是則ak＝0，k＝0，1，...，N，即明顯解。因而，該等標(biāo)準(zhǔn)方程式的行列式不為零，可解而求得N+1個(gè)參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，即非多項(xiàng)式最小平方表示法y(x)=Σj=0Najfj(x)]]>的系數(shù)；此多項(xiàng)式可適配于該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)，而用線性獨(dú)立的N+1個(gè)函數(shù)fj(x)集做為非多項(xiàng)式最小平方表示法y(xi)=Σk=0Nakfk(xi)]]>的基底。
如果并非所有的M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)都具有相等的可靠度，則可能要用非零的加權(quán)因子wi對(duì)數(shù)據(jù)加權(quán)。函數(shù)F(a0，a1，...，aN)可最小化如下。函數(shù)F(a0，a1，...，aN)由下式給出，F(xiàn)(a0,a1,···,aN)=Σi=1Mwiϵi2=Σi=1Mwi[y(xi)-yi]2]]>，且設(shè)F(a0，a1，...，aN)關(guān)于aj，j＝0，1，...，N，的偏導(dǎo)數(shù)等于零，因fj(xi)表示式y(tǒng)(x)=Σj=0Najfj(x)]]>中aj的系數(shù)，于是給出∂F(a0,a1,···,aN)∂aj=2Σi=1Mwi[y(xi)-yi]xij=2Σi=1Mwi[Σk=0Nakfk(xi)-yi]fj(xi)=0,]]>，j＝0，1，...，N。經(jīng)簡(jiǎn)化，則給出Σi=1Mwi[Σk=0Nakfk(xi)]fj(xi)=Σk=0Nak[Σi=1Mwifk(xi)fj(xi)]=Σi=1Mwifj(xi)y.i]]>，或Σk=0Nak[Σi=1Mwifk(xi)fj(xi)]=Σk=0NakSk,j=Σi=1Mwifj(xi)yi≡Tj,]]>j＝0，1，...，N，在此分別有Σi=1Mwifk(xi)fj(xi)≡Sk,j]]>及Σi=1Mwifj(xi)yi≡Tj,]]>。該N+1個(gè)未知參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，的N+1個(gè)方程式Σk=0Naksk,j=Tj,,]]>j＝0，1，...，N，也通稱為標(biāo)準(zhǔn)方程式，而含非零的加權(quán)因子wi；在該等標(biāo)準(zhǔn)方程式的行列式不為零的限制條件下，其解立得。為闡示此點(diǎn)，可示出齊次方程式Σk=0NakSk,j=0]]>僅有明顯解ak＝0，k＝0，1，...，N；示出如下。將第j個(gè)齊次方程式乘以aj，再對(duì)于所有的j求其總和Σj=0NajΣk=0NakSk,j=Σj=0NajΣk=0NakΣi=1Mwifk(xi)fj(xi)=Σi=1Mwi(Σk=0Nakfk(xi))(Σj=0Najfj(xi))]]>，而且Σi=1Mwi(Σk=0Nakfk(xi))(Σj=0Najfj(xi))=Σi=1Mwi(y(xi))2=0]]>；這意味著y(xi)≡0，由是則ak＝0，k＝0，1，...，N，即明顯解。因而，該等標(biāo)準(zhǔn)方程式(含非零的加權(quán)因子wi)的行列式不為零，可解而求得N+1個(gè)參數(shù)ak，k＝0，1，...，N，即非多項(xiàng)式最小平方表示法y(x)=Σj=0Najfj(x)]]>的系數(shù)；此多項(xiàng)式可適配于該M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)，而用線性獨(dú)立的N+1個(gè)函數(shù)fj(x)集做為非多項(xiàng)式最小平方表示法y(x)=Σj=0Najfj(x)]]>的基底，且含非零的加權(quán)因子wi。
在自適應(yīng)控制策略之中，依據(jù)本發(fā)明各個(gè)不同的例示實(shí)施例，隨同控制器運(yùn)行線上的系統(tǒng)識(shí)別方案，恒常地調(diào)整模型，以使模型仿效系統(tǒng)的真正行為。此情況下的一個(gè)困難的任務(wù)，即是確定在輸出中所觀測(cè)到的誤差是由于工具差異計(jì)入下的誤差，抑或是產(chǎn)品差異計(jì)入下的誤差。以下討論將廓畫一方案，用以決定哪些模型參數(shù)有誤差，并用以施行正確的模型更新。
我們以簡(jiǎn)單的行程至行程控制器開始單一個(gè)工藝，并擴(kuò)充至多產(chǎn)品及工具的情形。我們將對(duì)線性工藝模型做標(biāo)準(zhǔn)的可觀測(cè)性測(cè)試，供例示之用。
做為一例，考慮簡(jiǎn)單的蝕刻或研磨工藝，目標(biāo)是要在每一行程上達(dá)到所要的去除量。此工藝的簡(jiǎn)化的模型為x＝r·t，式中x表示厚度去除量，r為時(shí)間平均速率，而t為處理時(shí)間。
在取自適應(yīng)控制形式時(shí)，用線上系統(tǒng)識(shí)別，來隨行程調(diào)整速率估計(jì)。為簡(jiǎn)化且易于分析，在此將該模型線性化，并轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表示法。如果模型在標(biāo)稱(nominal)速率r0及時(shí)間t0附近線性化，則距標(biāo)稱去除量y0偏差y的方程式為y＝r0·t+r·t0， (1)式中t及r分別表示距標(biāo)稱時(shí)間及速率偏差。然后，將模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表示法，xk+1＝Axk+Buk，(2a)yk＝Cxk，(2b)式中x為狀態(tài)向量，y為測(cè)量的輸出向量，而u為輸入向量。A及B矩陣表達(dá)，狀態(tài)及輸入如何影響狀態(tài)的特征值。C矩陣將目前的狀態(tài)值映像成現(xiàn)實(shí)測(cè)量的輸出。在目前示例中，xadjrk+1=0001xadjrk+r00t---(3a)]]>[y]=1t0xadjr,---(3b)]]>該狀態(tài)向量x包含xadj(即時(shí)間調(diào)整所引起的去除量改變)，及r(即距標(biāo)稱速率r0偏差)。該測(cè)量向量y僅包含y(即距標(biāo)稱去除量偏差)，而該輸入向量u僅包含t(即距標(biāo)稱時(shí)間t0偏差)。
此模型足供單一個(gè)工藝控制之用。該單一個(gè)速率估計(jì)假設(shè)適用于每一行程，且其調(diào)整系在每一測(cè)量之后。然而，在大量制造的環(huán)境中，因有多個(gè)工具及產(chǎn)品而另增復(fù)雜性。在此工作中，每一產(chǎn)品工具組合通稱為背景(context)?？刂颇繕?biāo)是要每一行程皆在目標(biāo)值，不論運(yùn)行中的是哪一產(chǎn)品工具組合。有一簡(jiǎn)單的途徑，是假設(shè)該組狀態(tài)適用于一切處理背景。在具有若干背景的環(huán)境下，此方法的缺陷在于，每一工藝所聯(lián)合的速率能徹底有異于彼此。此情形發(fā)生時(shí)，每一至新背景的切換顯現(xiàn)為對(duì)控制器的步進(jìn)擾動(dòng)，如圖24所示；這是因?yàn)榭刂破鞑⒉涣私庠撍俾蕿楹螘?huì)有此太大的改變。
舉例來說，在許多應(yīng)用中，很快地都觀測(cè)到，不同的產(chǎn)品將有極不相同的視在反應(yīng)速率(apparent reaction rates)。然而，速率能隨批次漂移，甚至在僅制造一個(gè)產(chǎn)品時(shí)漂移。此點(diǎn)能由反應(yīng)器垢化、耗材退化、工藝泄漏，及類似情形而引發(fā)。因?yàn)橹敛煌a(chǎn)品的每一切換顯現(xiàn)為步進(jìn)改變，單隨行程而追蹤對(duì)r的估計(jì)是不可接受的，如下所示。如圖24所示，自批次6直到15，運(yùn)行次一產(chǎn)品，而反應(yīng)器垢化致使速率在仿真全程中不斷地衰減。
另一易于實(shí)施的例示方法，是將具有類似背景的行程一同群集，為了使彼等分享參數(shù)估計(jì)。在如此方法中，無需彼此分離地識(shí)別產(chǎn)品及工具偏移。每一組合皆單有自己的速率估計(jì)，且僅基于此背景下的行程所出的測(cè)量，來更新此估計(jì)。然而，此方法有其缺陷以實(shí)例來說，要認(rèn)知一個(gè)工具所受到的擾動(dòng)，須憑借此工具使用所在的每一背景。在大系統(tǒng)中，此點(diǎn)將是不利的，因?yàn)樵诓煌谋尘案缕鋮?shù)估計(jì)的際，將會(huì)有龐大數(shù)目的行程錯(cuò)失其目標(biāo)值。此信息應(yīng)立即或快速地讓該擾動(dòng)影響所及的一切背景之間來分享。
有若干情形，能制定偏移由處理背景的不同部份所引起。其一例為工具至工具的變化可重復(fù)，而不管運(yùn)行中的產(chǎn)品；且產(chǎn)品至產(chǎn)品的變化一致，縱然是在不同的工具上運(yùn)行。為利用此觀測(cè)到的優(yōu)點(diǎn)，可對(duì)模型加上額外的項(xiàng)。對(duì)于CMP工藝來說，對(duì)不同的產(chǎn)品縮放其速率是有意義的。此率因去除速率大大地依賴于接處表面的特性，且因不同的產(chǎn)品將有不同的圖案密度。所以，在此所用的去除量的方程式為x＝r·f·t，式中x表示去除量，r為工具的時(shí)間平均速率常數(shù)，f為產(chǎn)品所規(guī)定的速率縮放因子，而t為處理時(shí)間。此關(guān)系類似于說明研磨工藝的普利斯敦方程式(Preston’s equation)ΔxΔt=KpFvA---(4)]]>式中Δx為去除量，Δt為處理時(shí)間，Kp為速率常數(shù)，v為表面速度，F(xiàn)為施力，而A為接觸表面積。
在標(biāo)稱r0、f0及t0附近線性化，此時(shí)距標(biāo)稱去除量偏差y的方程式成為y＝r0·f0·t+r·f0·t0+r0·f·t0， (5)式中t、r及f分別表示距標(biāo)稱時(shí)間、工具速率常數(shù)及產(chǎn)品縮放因子偏差。以下的狀態(tài)空間表示法包括二個(gè)做為狀態(tài)的模型參數(shù)估計(jì)。xadjrfk+1=000010001xadjrfk+r0·f000[t]---(6a)]]>[y]=1f0·t0r0·t0xadjrf.---(6b)]]>所以能唯一地識(shí)別，所呈現(xiàn)的方程式是否為該二個(gè)模型參數(shù)r及f。關(guān)于一時(shí)間不變的線性系統(tǒng)，像是這一個(gè)，其可觀測(cè)性格拉米安(observability Gramian)的非奇異性測(cè)試，能由下式的秩計(jì)算來施行O＝[CTATCT(AT)2CTL](7)式中系依嘗試獲致滿秩(full rank)的所需，而在矩陣中包含盡可能多的項(xiàng)。對(duì)于以上系統(tǒng)來說，O=100f0·t0f0·t0f0·r0·t0r0·t0r0·t0t0.---(8)]]>此矩陣并非全秩，故系統(tǒng)依目前定義是不可觀測(cè)的。因此不可能僅使用來自單一個(gè)背景的行程數(shù)據(jù)來唯一地識(shí)別模型參數(shù)。
此為直觀的結(jié)果——為能識(shí)別產(chǎn)品至產(chǎn)品及工具至工具的相依性，模型包含一切不同的處理背景是有益的。不同產(chǎn)品的有關(guān)信息應(yīng)讓工具間分享，反之亦然。此則必須整個(gè)地審視全體的工藝收集，而非一次專注于一個(gè)個(gè)別的背景。
考慮有二個(gè)工具(1及2)及三個(gè)產(chǎn)品(A、B及C)的假想的工藝。彼等能以任何產(chǎn)品/工具組合而做運(yùn)行。使用以上的線性化形式，并假設(shè)一切組合都有單一個(gè)“標(biāo)稱”點(diǎn)，則關(guān)于每一背景的距標(biāo)稱去除量偏差能以下列諸式來說明y1A＝r0·f0·t+r1·f0·t0+r0·fA·t0(9a)y1B＝r0·f0·t+r1·f0·t0+r0·fB·t0(9b)
y1C＝r0·f0·t+r1·f0·t0+r0·fC·t0(9c)y2A＝r0·f0·t+r2·f0·t0+r0·fA·t0(9d)y2B＝r0·f0·t+r2·f0·t0+r0·fB·t0(9e)y2C＝r0·f0·t+r2·f0·t0+r0·fC·t0(9f)這一整體系統(tǒng)能組合成單一個(gè)狀態(tài)空間模型xadjr1r2fAfBfC-k+1=000000010000001000000100000010000001xadjr1r2fAfBfCkr0·r000000[t]---(10a)]]>y1Ay1By1Cy2Ay2By2C=1f0·t00r0·t0001f0·t000r0·t001f0·t0000r0·t010f0·t0r0·t00010f0·t00r0·t0010f0·t000r0·t0xadjr1r2fAfBfC,---(10b)]]>式中狀態(tài)由調(diào)整量(xadj)、工具偏移(r1及r2)及產(chǎn)品偏移(fA、fB及fC)所組成。此模型屬假想的情況，其中一切產(chǎn)品/工具組合均以相同的輸入設(shè)定同時(shí)運(yùn)行。雖然在實(shí)際上這種情幾乎況絕不會(huì)發(fā)生，但其對(duì)于理解不同的處理背景間的交互作用來說卻是有用的。舉例來說，該單一一個(gè)fA產(chǎn)品因子顯然是用于產(chǎn)品A的所有工藝，而與處理工具無關(guān)。
可觀測(cè)性測(cè)試計(jì)算如下，O=111111000000f0·t0f0·t0f0·t0000f0·t0f0·t0f0·t0000000f0·t0f0·t0f0·t0000f0·t0f0·t0f0·t0r0·t000r0·t000r0·t000r0·t0000r0·t000r0·t000r0·t000r0·t0000r0·t000r0·t000r0·t000r0·t0----(11)]]>其秩不滿于一，故該系統(tǒng)以其目前形式是不可觀測(cè)的。在此，方程式(7)的矩陣中僅前二項(xiàng)為充份。其原因在于，所有的行程部卷纏了產(chǎn)品偏移以及工具偏移。需要另加的約束條件，來固定某一個(gè)或另一個(gè)變量。例如，或許可能對(duì)工具做合格限定而實(shí)驗(yàn)性地測(cè)量工具參數(shù)。于是將另有額外的系統(tǒng)輸出y1＝r1及y2＝r2。
當(dāng)這樣的實(shí)驗(yàn)并非可選方案時(shí)，也可能簡(jiǎn)單地選擇有標(biāo)稱偏壓的參考工具或產(chǎn)品。這種方法的一個(gè)缺點(diǎn)是在總是變化的制造環(huán)境中，或許難以識(shí)別參考工具或產(chǎn)品。
如果對(duì)以上的范例系統(tǒng)另加做合格性實(shí)驗(yàn)，則該組合系統(tǒng)的新的輸出方程式為 此新系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣 為滿秩，故此系統(tǒng)是可觀測(cè)的。在此，方程式(7)的矩陣中又是僅前二項(xiàng)充份。然而，系統(tǒng)在此依然處于能同時(shí)發(fā)生一切可能行程的稀有情況下。實(shí)際上，則是一次發(fā)生一個(gè)行程。有可能確定一適當(dāng)方式，用以在每一行程后更新模型狀態(tài)。
在結(jié)構(gòu)上，本系統(tǒng)與真實(shí)系統(tǒng)相同，其中不同的測(cè)量以不同的頻率取樣。在近來的文獻(xiàn)中，對(duì)這一多速率(multirate)取樣問題已作了論述。使用這樣的系統(tǒng)，在有不同的測(cè)量組合可用時(shí)，可觀測(cè)性隨時(shí)間改變。但是，隱含的根本要求為在每一時(shí)間步長(zhǎng)(time step)下完成一切可能測(cè)量的限制情形中，系統(tǒng)是可觀測(cè)的。
此刻，可使用一模型，其對(duì)應(yīng)于具有類似真實(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的假想系統(tǒng)。下一步驟則是規(guī)定一控制法則，以及能將真實(shí)工藝映射到模型空間的觀測(cè)器。
控制目標(biāo)是要將每一行程驅(qū)動(dòng)至目標(biāo)值，而無論其處理背景。這通過使用非周期(dead-beat)控制法則而對(duì)模型狀態(tài)做目前最佳的猜測(cè)而完成。一特定的處理背景由輸出矩陣C中的單一個(gè)行來表示。舉例來說，關(guān)于工具2上所運(yùn)行的產(chǎn)品B，其距標(biāo)稱去除量偏差由方程式(9e)給出，方程式(9e)對(duì)應(yīng)于輸出矩陣的第5行。為記法方便性，對(duì)應(yīng)于目前背景的輸出矩陣行將表示為Ccon。于是，所要的輸入udes滿足ycon，des＝Ccon(Ax+Budes)(14)式中ycon，des為關(guān)于此處理背景的距標(biāo)稱去除量偏差。求解輸入udes，得出u＝(CconB)-1(ycon，des-CconAx) (15)在給定了模型參數(shù)的目前估計(jì)時(shí)，此方程式給出任何處理背景的輸入。
觀測(cè)器必須將真實(shí)工藝的測(cè)量映射到模型，為了使?fàn)顟B(tài)能做更新。該觀測(cè)器的設(shè)計(jì)不如控制法則般簡(jiǎn)單。一般來說原因在于，由工藝行程所做的單一個(gè)測(cè)量卷纏了產(chǎn)品偏移以及工具偏移。預(yù)測(cè)誤差應(yīng)分布于參數(shù)更新之間。來自每一測(cè)量的新信息必須合并進(jìn)現(xiàn)存的信息中。
有一個(gè)達(dá)成此點(diǎn)的簡(jiǎn)單方式，是想象輸出向量y的不同的元素為個(gè)別的傳感器而依然固定在其前此的值，直到為新的測(cè)量所改變。此途徑的利益在于，可計(jì)入系統(tǒng)整體，從而設(shè)計(jì)習(xí)知的狀態(tài)觀測(cè)器。觀測(cè)器增益矩陣L能經(jīng)選取而使得x^k+1=Ax^k+Buk+L(yk-Cy^k)---(16)]]>觀測(cè)器矩陣將測(cè)量的與預(yù)測(cè)的輸出兩者的差映射成對(duì)狀態(tài)估計(jì)的改變。然而，主要缺陷在于，使通過的輸出留在其最后的數(shù)值上。在輸入改變時(shí)，這些輸出實(shí)際上不再有效，因其往后就不表示工藝的目前狀態(tài)。如果測(cè)量目前進(jìn)行的，則測(cè)量將響應(yīng)新的輸入而變化。
在留給不活動(dòng)的輸出常數(shù)的譜系的相對(duì)端，一切不以時(shí)步測(cè)量的輸出，均可設(shè)定為根據(jù)目前狀態(tài)估計(jì)所預(yù)測(cè)的值。在狀態(tài)完成更新時(shí)，本方法使得所有的舊的測(cè)量值均被忽略。
運(yùn)行一MatlabTM仿真程序，以例示全廠性模型的概念。第一仿真程序全都在上例中所規(guī)定的條件下運(yùn)行。在此例中，有二個(gè)處理工具及三個(gè)產(chǎn)品。當(dāng)時(shí)，有工具合格事件可取用，來直接測(cè)量該等由工具所規(guī)定的模型參數(shù)。狀態(tài)估計(jì)器(estimater)的起始點(diǎn)，系假設(shè)一切工具及產(chǎn)品以標(biāo)稱值匹配?？刂颇繕?biāo)是要保持一切不同的工具產(chǎn)品組合以標(biāo)稱去除量y0運(yùn)行。
關(guān)于這些測(cè)試，應(yīng)注意一件重要的事情這些測(cè)試始自一起始點(diǎn)，在此點(diǎn)控制器不知道本系統(tǒng)，而必須立刻識(shí)別所有的產(chǎn)品及工具。對(duì)于控制器來說，能做到此點(diǎn)是重要的，而在正常的穩(wěn)態(tài)(steady-state)操作下的工具及產(chǎn)品偏移將相當(dāng)準(zhǔn)確地為控制器所知，且擾動(dòng)將僅影響工藝的子集合。為此理由，此等測(cè)試大多是在控制器已穩(wěn)定了工藝之后對(duì)系統(tǒng)注入擾動(dòng)，以便了解控制器對(duì)孤立的擾動(dòng)如何反應(yīng)。
第一仿真通過例示最佳可能的情況，從而建立一基線。這就是先前所提及的假想情況，其中一切可能的行程都在每一時(shí)步下同時(shí)發(fā)生，為了使所有的測(cè)量能用來更新這些狀態(tài)估計(jì)。在仿真期間，對(duì)工藝輸出加上了白噪聲；在行程30(也稱為時(shí)步30)，對(duì)工具2加上了步進(jìn)擾動(dòng)。圖25包含該測(cè)試的結(jié)果。圖25概要地例示，在此假想的最佳情形情節(jié)中的距目標(biāo)值百分比偏差。在此假想的情形下，控制器能快速到達(dá)目標(biāo)值且拒絕擾動(dòng)。
這一測(cè)試的最重要結(jié)果為在控制器有最大量的可用信息情形下，系統(tǒng)整體上實(shí)施良好。所有其它的測(cè)試將處理更現(xiàn)實(shí)的情況，其中控制器僅有此信息的子集合。對(duì)于控制器是否能以該減小了的信息集合工作，接續(xù)的行程將試圖例示一些重要的確定因素。
在所測(cè)試的下一種情況中，一次僅發(fā)生一個(gè)行程，且輸出保持于其最后數(shù)值上直到更新為止。為了測(cè)試的目的，在每一行程，或則運(yùn)行隨機(jī)的產(chǎn)品于隨機(jī)的工具上，或則登錄合格事件。所有的八種可能情況(六個(gè)產(chǎn)品背景及二個(gè)合格事件)在每一行程有相等的發(fā)生可能性。如先前所述，這種情況引起了一些問題，因?yàn)樵诟淖冚斎攵峁┯杏眯畔r(shí)，必須改變輸出。在此測(cè)試中，輸入在每一行程上皆改變，但每次僅有一個(gè)輸出更新。如此，供反饋用的輸出并不表示工藝的真正狀態(tài)。圖26標(biāo)出此實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。圖26概要地例示了在此“固定輸出”情形下的距目標(biāo)值百分比偏差。
這一配置并未能很好地控制工藝。輸出向量中所含的狀態(tài)信息負(fù)面影響了狀態(tài)觀測(cè)器，因?yàn)闇y(cè)量并不顯現(xiàn)對(duì)輸入改變的響應(yīng)。這致使控制器嘗試對(duì)其重復(fù)補(bǔ)償，從而導(dǎo)致不穩(wěn)定性。
所測(cè)試的下一仿真情形，使用狀態(tài)的目前模型估計(jì)，而估計(jì)錯(cuò)失的測(cè)量值。結(jié)果，每一狀態(tài)的更新僅包含測(cè)量中的行程所出的信息。測(cè)試條件類似于先前的仿真，而對(duì)行程做隨機(jī)選擇。然而，在行程(或時(shí)步)80，對(duì)工具2上的速率卻注入一步進(jìn)擾動(dòng)。在圖27中，能看到這些測(cè)試結(jié)果。圖27概要地例示，在此“預(yù)測(cè)的輸出”情形下的距目標(biāo)值百分比偏差。此方案達(dá)到了目標(biāo)值，且成功地拒絕擾動(dòng)。然而，較之于工藝的一切有關(guān)信息都經(jīng)測(cè)量的情況，該響應(yīng)非常遲緩。
圖28所描繪的測(cè)試，相同于先前的控制器，但應(yīng)用一組不同的法則而生成行程順序。圖28概要地例示出，在此“預(yù)測(cè)的輸出”有額外合格性的情形下的距目標(biāo)值百分比偏差。對(duì)工具以二倍于先前情形較常地做合格限定，以確定控制器所受的影響。在此測(cè)試中，系統(tǒng)更快地平衡，且比先前情形更利于拒絕擾動(dòng)。
為測(cè)試系統(tǒng)的可縮放性，前此的測(cè)試使用了6個(gè)工具及7個(gè)產(chǎn)品。圖29概要地例示，在此大尺度系統(tǒng)情形下的距目標(biāo)值百分比偏差。該系統(tǒng)在控制下開始，且須處理多個(gè)擾動(dòng)。在行程(或時(shí)步)50，對(duì)工具1加上步進(jìn)擾動(dòng)；在行程(或時(shí)步)150，產(chǎn)品6有步進(jìn)擾動(dòng)。圖29中的結(jié)果表明，控制器經(jīng)歷極少數(shù)行程即成功地拒絕擾動(dòng)。
此點(diǎn)是重要的，因其表明了計(jì)入整個(gè)系統(tǒng)時(shí)的模型的威力。以實(shí)例來說，在產(chǎn)品A正于工具1上運(yùn)行之際，將能檢測(cè)該工具上的偏移。在此情形下，對(duì)r1以及fA的估計(jì)都將稍做調(diào)整。任何產(chǎn)品在工具1上的下一行程仍將展現(xiàn)該偏移(雖然其程度較小)；且r1的估計(jì)甚至將調(diào)整得更近于新的校正值。產(chǎn)品A在任何工具上的次一行程將朝向該校正值，往回移動(dòng)fA的估計(jì)。
在這種配置中，每一狀態(tài)估計(jì)的更新僅使用目前行程的測(cè)量所出的信息。既然忽略一切較舊的信息，重要的是使觀測(cè)器受到確實(shí)抑制。定性示例是有指導(dǎo)意義的。如果產(chǎn)品A在工具1上的行程有高于預(yù)測(cè)的去除量，則r1及fA的估計(jì)其一或兩者會(huì)太低。為了正確地更新狀態(tài)，必須審視產(chǎn)品A在不同工具上的其它行程的結(jié)果或其它產(chǎn)品在工具1上的行程的結(jié)果。然而，所選的更新策略僅容許基于目前行程的結(jié)果來做更新。令觀測(cè)器自每一行程僅做小改變，于是狀態(tài)將至少朝正確的方向移動(dòng)，且所有的行程將一同使?fàn)顟B(tài)估計(jì)移動(dòng)至正確值。顯然，這一問題的理想解決方案是試圖在進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)時(shí)，結(jié)合盡可能多的來自舊測(cè)量值的信息與這些新值。
鑒于大尺寸半導(dǎo)體制造中的多處理背景，出現(xiàn)了一些有趣的控制上的挑戰(zhàn)。為檢查整個(gè)處理環(huán)境而開發(fā)了控制及估計(jì)方案，從而控制器一次即看到整體，而不是僅專注于個(gè)別的背景。在這些條件之下所運(yùn)行的仿真顯示，這種概念確有優(yōu)點(diǎn)。假定信息足夠，則一全廠性的控制器能操縱整個(gè)由一切不同的工藝所組合成的系統(tǒng)。
有若干因素影響控制器的性能。其有賴于所能獲取的最多工藝信息。對(duì)每一行程上不做測(cè)量的系統(tǒng)輸出應(yīng)如何處理，相關(guān)的決策對(duì)該性能有極大的影響。還有，在數(shù)據(jù)能得自混合在生產(chǎn)行程中的合格事件時(shí)，控制響應(yīng)就得到改良。因此等因素，對(duì)重要的模型參數(shù)提供直接的測(cè)量。
此系統(tǒng)的一個(gè)有趣特征是每當(dāng)工具或產(chǎn)品有所增減，模型必須重建。這是因?yàn)槟Ｐ蛯⒄麄€(gè)系統(tǒng)立刻計(jì)入之故。雖然這看來像是一缺陷，實(shí)際上卻對(duì)非直觀可見的工藝提供了洞察。既然每次系統(tǒng)改變時(shí)，觀測(cè)器必須基于整個(gè)系統(tǒng)而重建，則反饋的性質(zhì)依賴于工具和產(chǎn)品的分配。這意味著，在一個(gè)處理背景上檢測(cè)到的誤差應(yīng)得到不同的處理，視整個(gè)系統(tǒng)中的其它背景而定。
將系統(tǒng)視為整體時(shí)，在系統(tǒng)各個(gè)不同的部份之間顯然有大量的分享數(shù)據(jù)。既然控制器的性能依賴于所能提取的信息的品質(zhì)，則對(duì)處理次序及取樣計(jì)劃，密切檢查其效果將是有益的。足夠先進(jìn)的控制器將能基于其所將提供的系統(tǒng)狀態(tài)信息，而使一定的行程及測(cè)量?jī)?yōu)先化。與此密切相關(guān)的，則是由事件所驅(qū)動(dòng)而基于模型的控制概念。工藝的狀態(tài)(包括模型參數(shù)估計(jì))受一系列分立建模的事件所影響，而不是將工藝視為一連續(xù)體。
在各個(gè)不同的例示實(shí)施例中，可開發(fā)無關(guān)于產(chǎn)品的工具狀態(tài)(x)模型。此工具狀態(tài)是工具的本質(zhì)速率。此速率的改變影響工具上所運(yùn)行的一切產(chǎn)品。
xk+1＝Akxk+Bkuk工藝狀態(tài)(x)通過輸出方程式
yk+1＝Ckxk+Dk而映射成為產(chǎn)品狀態(tài)(y)。
然后，用估計(jì)器來追蹤工具狀態(tài)(x)，而非產(chǎn)品狀態(tài)(y)。卡門(Kalman)最佳過濾方程式檢驗(yàn)指示，最佳觀測(cè)器增益為輸出映射(C)的函數(shù)。
P＝Ak[P-PCkT(CkPCkT+R)-1CkP]AkT+GQGTL＝PCkT(CkPCkT+R)-1所以，使用離線分析，該可重復(fù)的產(chǎn)品相依性就能夠定量化，而得到新的模型速率r如下，式中r0為處理工具的“本質(zhì)速率”，而kp為產(chǎn)品所規(guī)定的校正因子r＝r0·kp然后觀測(cè)器通過每一由產(chǎn)品特定的因子，來調(diào)節(jié)所觀測(cè)的速率，對(duì)r0而非r做估計(jì)。
在確知由產(chǎn)品所特定的因子的情況下，以上所說明的方案非常有效。無論運(yùn)行中的產(chǎn)品為何，都對(duì)處理工具操作的改變加以觀測(cè)。然而，在真實(shí)的制造環(huán)境中會(huì)有若干復(fù)雜情況發(fā)生。舉例來說，會(huì)有若干處理工具在新的產(chǎn)品出現(xiàn)，以原始材料以及處理工具停機(jī)時(shí)間來說，其實(shí)驗(yàn)會(huì)甚為昂貴。此處的影響為對(duì)產(chǎn)品所特定的因子，并不總能事先知道。
以上方法系觀測(cè)單一個(gè)參數(shù)(r0)；但有必要找出快速獲得新kp估計(jì)的方式。這通過觀測(cè)每一行程上的速率而據(jù)以更新模型參數(shù)即可實(shí)現(xiàn)。每一行程的結(jié)果系對(duì)視在速率r的測(cè)量。為由該數(shù)據(jù)(r)來估計(jì)r0及kp，使用模型方程式r＝r0·kp使用泰勒級(jí)數(shù)(Taylor series)近似，則Δr＝r0·Δkp+kp·Δr0。
這里的意思是，r值的視在改變能表達(dá)為r0及kp估計(jì)的改變。所以，有必要將這些改變分類(使用變量分析技術(shù))，以確定如何在該二參數(shù)間分布誤差。
使用此估計(jì)器的一個(gè)方法，是對(duì)每一參數(shù)應(yīng)用線性過濾器。r0,new=(rapparentkp,last-r0,last)λr+r0,last,]]>kp,new=(rapparentr0,last-kp,last)λk+kp,last.]]>可變化這些λ值，從而反映對(duì)參數(shù)估計(jì)的信賴。在預(yù)期r0改變的情況下，λr為高，且在認(rèn)為kp有誤差的情況下，λk為高。
例如，對(duì)于完備建立的產(chǎn)品，高度信賴其kp是準(zhǔn)確的。此外，已知r0隨時(shí)間而漂移。如此，則使用到關(guān)系λr＞＞λk。另一方面，關(guān)于新的產(chǎn)品，其kp值很少受信賴。不準(zhǔn)確的kp預(yù)期將大于噪聲及r0的漂移而影響速率，故設(shè)λk＞＞λr。
MatlabTM仿真程序示出，此方案對(duì)工藝的追蹤甚佳。該仿真通過以下方式運(yùn)行。事先選取處理工具數(shù)目(n)、產(chǎn)品數(shù)目(m)及行程數(shù)目(p)。對(duì)每一產(chǎn)品，皆給獨(dú)一的“真實(shí)”kp值；對(duì)每一工具，均給出唯一的r0值。對(duì)于每一行程，選取隨機(jī)的工具及產(chǎn)品。將正確的r0與kp相乘并加上隨機(jī)的噪聲，借以算出測(cè)量。然后，加偏移至所選工具的r0，以便隨時(shí)間而仿真其漂移。在如上所說明的每一行程之后更新參數(shù)估計(jì)。在所有情形下，這些估計(jì)都很快即追蹤到真實(shí)的參數(shù)值。
有趣的是注意到比起在一定工具上(工具專屬性)運(yùn)用給定產(chǎn)品的長(zhǎng)串行程來說，隨機(jī)地選取產(chǎn)品及工具使得收斂較快。工具為專用時(shí)，難以在二個(gè)參數(shù)之間適當(dāng)?shù)刂付ㄋ俾使烙?jì)的誤差。這似乎有關(guān)于系統(tǒng)識(shí)別理論中的持續(xù)激勵(lì)(excitation)要求；但傳統(tǒng)上認(rèn)為工具專用性使工藝控制較為容易，故這是一有趣的結(jié)果。對(duì)于本工藝，最好的控制器將能處理同時(shí)識(shí)別和控制的雙重控制問題。工藝選取涉及在緊密追蹤目標(biāo)值與協(xié)助表征該工藝之間，求得兩者的平衡，因這二個(gè)目標(biāo)彼此沖突。
在有關(guān)研磨和/或蝕刻的在各個(gè)不同的例示實(shí)施例中，例如參見圖30，提供一例示的制造系統(tǒng)3010的簡(jiǎn)化方框圖。在該例示的實(shí)施例中，制造系統(tǒng)3010經(jīng)自適應(yīng)，來制造半導(dǎo)體組件。雖然本發(fā)明系就其在半導(dǎo)體制造設(shè)施中可實(shí)施的情形而做說明，但本發(fā)明并不受此限而可適用于其它的制造環(huán)境。網(wǎng)絡(luò)3020將制造系統(tǒng)3010各個(gè)不同的組件互連，使其得以交換信息。該例示制造系統(tǒng)3010包含多個(gè)工具3030至3080。工具3030至3080每一個(gè)皆可耦合于用來與網(wǎng)絡(luò)3020相介的計(jì)算機(jī)(未示出)。
工藝控制服務(wù)器3090通過指導(dǎo)工藝流程，而指導(dǎo)制造系統(tǒng)3010的高階操作。工藝控制服務(wù)器3090監(jiān)視制造系統(tǒng)3010中各個(gè)不同的實(shí)物(含工具3030至3080)的狀況。數(shù)據(jù)庫服務(wù)器30100，則提供來儲(chǔ)存工藝流程中各個(gè)不同的制造實(shí)物及物品(如圓片)狀況的有關(guān)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)庫服務(wù)器30100可將信息儲(chǔ)存于一個(gè)或多個(gè)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器30110中。數(shù)據(jù)可包括預(yù)處理及后處理度量數(shù)據(jù)、工具狀態(tài)、工藝流程活動(dòng)(如，調(diào)度的保養(yǎng)事件、對(duì)于數(shù)批圓片的處理路由)，及類似數(shù)據(jù)。一般來說，在不同的計(jì)算機(jī)之間分配處理及數(shù)據(jù)儲(chǔ)存功能，來提供獨(dú)立性及中央信息存儲(chǔ)器。當(dāng)然，也可以使用更多或更少的計(jì)算機(jī)。
適合使用于制造系統(tǒng)3010中的例舉的信息交換及工藝控制機(jī)架，即是“先進(jìn)工藝控制”(APC)機(jī)架，其例如可用KLA-Tencor公司所提供的“催化劑”系統(tǒng)來加以實(shí)施。該“催化劑”系統(tǒng)使用“半導(dǎo)體設(shè)備及材料國(guó)際組織”(SEMI)“計(jì)算機(jī)合成制造”(CIM)機(jī)架的符合系統(tǒng)技術(shù)，且系基于先進(jìn)工藝控制(APC)機(jī)架。CIM(SEMIE81-0699——“用于CIM機(jī)架領(lǐng)域架構(gòu)的臨時(shí)規(guī)格”)及APC(SEMIE93-0999——“對(duì)于CIM機(jī)架先進(jìn)工藝控制組件的臨時(shí)規(guī)格”)規(guī)格，可自SEMI公開取得。
本發(fā)明及所對(duì)應(yīng)的詳細(xì)說明，有部份表示為軟件，或計(jì)算機(jī)內(nèi)存內(nèi)的數(shù)據(jù)位上的操作算法及符號(hào)表示法。這些說明及表示法使普通本領(lǐng)域技術(shù)人員能有效地傳達(dá)其工作實(shí)質(zhì)給其它普通本領(lǐng)域技術(shù)人員。在此所用的算法一詞，如一般所用的，認(rèn)為是導(dǎo)致所需結(jié)果的自洽的步驟順序。這些步驟要求對(duì)物理量進(jìn)行物理操作。通常(但非必要)，這些物理量取能夠儲(chǔ)存、轉(zhuǎn)移、組合、比較、或者是操作的光、電或磁信號(hào)形式。已證實(shí)，以位、值、元素、符號(hào)、字符、項(xiàng)、數(shù)目，及類似形式來提及此等信號(hào)，有時(shí)是方便的，主要是為了通常用法的理由。
然而，應(yīng)謹(jǐn)記，所有這些術(shù)語及類似的術(shù)語都對(duì)應(yīng)于適當(dāng)?shù)奈锢砹?，且僅僅是應(yīng)用于這些物理量的方便標(biāo)記。除非另有規(guī)定載明，或是從討論顯見，否則本文中的用辭，諸如“處理”、“計(jì)算”、“算出”、“確定”、“顯示”，及類似的辭在提及時(shí)，系指計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或類似的電子計(jì)算組件的作用及工藝，其將數(shù)據(jù)(表示為該計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的緩存器及內(nèi)存內(nèi)的物理的電子性的量)調(diào)處并變換成其它數(shù)據(jù)(類似地表示為該計(jì)算機(jī)系統(tǒng)內(nèi)存或緩存器或其它這樣的信息儲(chǔ)存、傳輸或顯示組件內(nèi)的物理量)。
工具3030至3080經(jīng)分組而成類似工具的組，類似工具以字母尾置來標(biāo)志。一特定圓片或圓片批于制造當(dāng)時(shí)，系經(jīng)由工具3030至3080來進(jìn)行，而工具3030至3080每一個(gè)皆施行工藝流程中的一特定功能。例舉的處理工具3030至3080包括光刻步進(jìn)機(jī)、蝕刻工具、沉積工具、研磨工具、快速熱處理工具、離子注入工具、及類似工具。工具3030至3080也可有一些為度量衡工具，經(jīng)自適應(yīng)來測(cè)量處理中的圓片的特性(如，表面剖形〔profile〕)。在該例示的實(shí)施例中，工具組3030A至3030C表示蝕刻工具；而工具組3070A至3070C表示研磨工具。以典型來說，一特定圓片或圓片批通過工藝流程的路徑會(huì)有所變化。工藝控制服務(wù)器3090為各個(gè)圓片批經(jīng)由工藝流程而安排路徑，根據(jù)必須施行的步驟及工具3030至3080的可取用性而定。一特定的圓片批在其生產(chǎn)中可通過同一工具3030至3080一次以上(如，可使用一特定的蝕刻工具3030來做一次以上的蝕刻操作)。
工具3030至3080以級(jí)別和檔案分組，僅做例示之用。在現(xiàn)實(shí)的實(shí)施中，工具可以任何分組次序來安排。此外，在一特定組中，工具之間的連接僅意味著表示與網(wǎng)絡(luò)3020的連接，而非工具之間的互連。
工藝控制服務(wù)器3090控制一特定圓片批經(jīng)由工具3030至3080的路徑?；诠に嚁?shù)據(jù)，工藝控制服務(wù)器3090監(jiān)視工具3030至3080的操作狀態(tài)。工藝數(shù)據(jù)可包括對(duì)經(jīng)由工具3030至3080進(jìn)行的圓片之前及后工藝測(cè)量。舉例來說，如果一特定的研磨工具(如，3070A)正在一種偏好中心快速(center-fast)研磨的狀態(tài)下操作，則工藝控制服務(wù)器3090會(huì)注意到此傾向。工藝控制服務(wù)器3090也可監(jiān)視其它工具(諸如蝕刻工具3030)的操作狀態(tài)，來確定該蝕刻工具的目前狀態(tài)是偏好中心快速或是中心慢速(center-slow)蝕刻。
工藝控制服務(wù)器3090于必要時(shí)可初始化預(yù)處理和/或后處理度量事件，來確定工具3030至3080的操作狀態(tài)。來自度量事件的數(shù)據(jù)可返回至工藝控制服務(wù)器3090(或網(wǎng)絡(luò)3020上一些其它計(jì)算資源)，并受到分析。或者，工藝控制服務(wù)器3090可存取已經(jīng)收集并儲(chǔ)于數(shù)據(jù)庫服務(wù)器30110中的工藝數(shù)據(jù)。例如，對(duì)于各個(gè)不同的工具，預(yù)處理及后處理度量數(shù)據(jù)可經(jīng)收集而生成工藝控制和/或故障檢測(cè)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。
工藝控制服務(wù)器3090確定一批圓片經(jīng)過制造系統(tǒng)3010的工藝流程的特定路由，于其時(shí)評(píng)估工具3030至3080的目前的操作狀態(tài)。舉例來說，對(duì)一特定圓片批施行研磨程序之前，工藝控制服務(wù)器3090首先確定該批中的圓片的表面剖形(如，凹碟型及凸頂型)。工藝控制服務(wù)器3090可初始化度量衡事件，來確定該表面剖形或存取數(shù)據(jù)庫服務(wù)器30110中的信息。確定該進(jìn)入的表面剖形之后，工藝控制服務(wù)器3090評(píng)估工具3070A至3070C的目前的操作狀態(tài)，而確定哪個(gè)(幾個(gè))工具有迎合進(jìn)入的表面剖形來做研磨的傾向。如果該進(jìn)入的表面剖形為凹碟型，則工藝控制服務(wù)器3090選擇在中心慢速狀態(tài)下操作的研磨工具3070A至3070C。類似地，如果進(jìn)入的表面剖形為凸頂型，則工藝控制服務(wù)器3090選擇在中心快速狀態(tài)下操作的研磨工具3070A至3070C。
對(duì)蝕刻工藝，有類似的途徑可應(yīng)用。工藝控制服務(wù)器3090選擇特定蝕刻工具3030A至3030C，以迎合于進(jìn)入的表面剖形的狀態(tài)來操作。如果該進(jìn)入的表面剖形為凹碟型，工藝控制服務(wù)器3090選擇在中心慢速狀態(tài)下操作的蝕刻工具3030A至3030C。類似地，如果進(jìn)入的表面剖形為凸頂型，則工藝控制服務(wù)器3090選擇在中心快速狀態(tài)下操作的蝕刻工具3030A至3030C。
以上所揭示的依據(jù)本發(fā)明方法的實(shí)施例，其任何一個(gè)皆能使用發(fā)送自測(cè)量工具的參數(shù)測(cè)量，來做監(jiān)督處理調(diào)整，或?yàn)槭謩?dòng)或?yàn)樽詣?dòng)，以改良和/或較佳地控制成品率。而且，以上所揭示的依據(jù)本發(fā)明制造方法的實(shí)施例，有很多個(gè)系處理取樣為“先進(jìn)工藝控制”(APC)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的一合成部份，從而顯著地改良取樣計(jì)量。不應(yīng)用靜態(tài)“最佳”取樣率，而將取樣處理為基于下列條件而升高或下降的動(dòng)態(tài)變量(1)情況信息，諸如最近的數(shù)據(jù)變化中的改變量和/或改變率；(2)事件，諸如保養(yǎng)和/或操作的工藝上游中的改變；(3)及閉環(huán)行程至行程控制器在其控制模型參數(shù)識(shí)別方案中的需求。此外，以上所揭示的依據(jù)本發(fā)明制造方法的實(shí)施例，任何一個(gè)均能以提高的組件準(zhǔn)確性及精確性、提高的效率及提高的成品率、流水線式及簡(jiǎn)化了的工藝流程，來從事半導(dǎo)體組件制造，從而減小復(fù)雜性并降低工藝的成本，且提高生產(chǎn)能力。
以上所揭示的特定實(shí)施例僅為例示，因本發(fā)明可通過獲益于本文中的指導(dǎo)而為本領(lǐng)域技術(shù)人員所顯而易見的不同但等效的方式，來進(jìn)行修正或?qū)嵭?。而且，在所附?quán)利要求之外，并無意受到本文中所示出的建構(gòu)或設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)的限制。因此，以上所揭示的特定實(shí)施例顯然可做變更或修正，而一切這樣的變化均應(yīng)視為落在本發(fā)明的范圍及精神之內(nèi)。特別應(yīng)了解，本文中所揭示的值范圍(其形式為“自約a至約b”，或等效地“自大約a至b”，或等效地“自大約a-b”)，在提及時(shí)皆指各對(duì)應(yīng)值范圍的冪集合(所有子集的集合)——就康托(GeorgCantor)的定義來說。據(jù)此，本發(fā)明要求在所附權(quán)利要求中提出的保護(hù)。
權(quán)利要求
1.一種方法，包含在至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣(105)至少一個(gè)特性參數(shù)；使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的合成部份；以及應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來修正(135，155，160)在該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理。
2.如權(quán)利要求1的方法，其中在該至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)該工件上所施行的處理，取樣(110)至少一個(gè)特性參數(shù)，其包含使用先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，來監(jiān)視(110)該至少一個(gè)特性參數(shù)。
3.如權(quán)利要求2的方法，其中使用該先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，來監(jiān)視(110)該至少一個(gè)特性參數(shù)，其包含使用該先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，而于該至少一個(gè)處理步驟(105)期間，監(jiān)視處理工具的至少一個(gè)工具變量(110)。
4.如權(quán)利要求1的方法，其中使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，其包含使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器和比例積分微分(PID)控制器的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)。
5.如權(quán)利要求4的方法，其中使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有模型預(yù)測(cè)式控制控制器(MPC)和比例積分微分控制器(PID)的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)，其包含使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有閉環(huán)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器和閉環(huán)比例積分微分控制器(PID)的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)。
6.如權(quán)利要求4的方法，其中應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來修正(135，155，160)該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理，其包含微調(diào)(145，150)該至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)，來改良(155)在該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理。
7.一種方法，包含在至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣(110)至少一個(gè)特性參數(shù)；使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的合成部份，其中該情況信息包含最近數(shù)據(jù)變化量和最近數(shù)據(jù)變化改變率的至少其中之一，該上游事件包含工藝上游中保養(yǎng)和工藝上游中改變的至少其中之一，該行程至行程控制器試圖識(shí)別控制模型參數(shù)；以及應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來修正(135，155，160)在該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理。
8.如權(quán)利要求7的方法，其中在該至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)該工件上所施行的處理，取樣至少一個(gè)特性參數(shù)，其包含使用先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，來監(jiān)視(110)該至少一個(gè)特性參數(shù)；而且其中使用該先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，來監(jiān)視(110)該至少一個(gè)特性參數(shù)，包含于該至少一個(gè)處理步驟(105)期間，使用該先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，來監(jiān)視快速熱處理工具的至少一個(gè)工具變量(110)。
9.如權(quán)利要求7的方法，其中使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，其包含使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器和比例積分微分(PID)控制器的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)；其中使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有模型預(yù)測(cè)式控制控制器和比例積分微分控制器的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)，其包含使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有閉環(huán)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器和閉環(huán)比例積分微分(PID)控制器的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)；而且其中應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來修正(135，155，160)該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理，其包含微調(diào)(145，150)該至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)，來改良(155)該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理。
10.一種系統(tǒng)，包含工具，用來在至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣(110)至少一個(gè)特性參數(shù)；計(jì)算機(jī)，使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的合成部份；以及控制器，應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來修正(135，155，160)在該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理，其中在該至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)該工件上所施行的處理，取樣至少一個(gè)特性參數(shù)，所用的工具包含監(jiān)視器，其使用先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)，來監(jiān)視(110)該至少一個(gè)特性參數(shù)，其中該先進(jìn)工藝控制(APC)系統(tǒng)(120)于該至少一個(gè)處理步驟(105)期間，監(jiān)視至少一個(gè)處理工具的至少一個(gè)工具變量(110)；其中模型化至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)的計(jì)算機(jī)使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器和比例積分微分(PID)控制器的至少其中之一，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)；其中該計(jì)算機(jī)使用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，該自適應(yīng)取樣處理模型(130)合成有至少一個(gè)閉環(huán)模型預(yù)測(cè)式控制(MPC)控制器和閉環(huán)比例積分微分(PID)控制器，各該控制器有至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)；而且其中應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)來修正(135，155，160)在該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理的該控制器微調(diào)該至少一個(gè)微調(diào)參數(shù)，來改良(155)在該至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理。
全文摘要
本發(fā)明提供一種方法，該方法包含在至少一個(gè)處理步驟(105)中，對(duì)工件上所施行的處理，取樣至少一個(gè)特性參數(shù)(110)；以及，使用自適應(yīng)取樣處理模型(130)來模型化該至少一個(gè)取樣的特性參數(shù)，而基于情況信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一來變化取樣，將取樣處理為動(dòng)態(tài)控制環(huán)境的一合成部份。該方法也包含應(yīng)用該自適應(yīng)取樣處理模型(130)，來修正(135，155，160)在至少一個(gè)處理步驟(105)中所施行的處理。
文檔編號(hào)G05B11/42GK1459052SQ01815736
公開日2003年11月26日 申請(qǐng)日期2001年9月7日 優(yōu)先權(quán)日2000年9月15日
發(fā)明者A·J·帕薩迪恩, A·J·托普拉克, M·L·米勒 申請(qǐng)人:先進(jìn)微裝置公司