一種基于密度梯度熱點(diǎn)聚類分組和局部求解技術(shù)的啞元綜合優(yōu)化方法
【專利摘要】本發(fā)明屬于半導(dǎo)體可制造性設(shè)計(jì)領(lǐng)域中針對銅互連啞元金屬填充的技術(shù)，具體涉及一種考慮密度梯度約束的啞元綜合優(yōu)化求解方法。本發(fā)明方法在啞元綜合過程中同時施加密度上下限約束和密度梯度約束，并且最小化啞元插入數(shù)量。本發(fā)明方法比較完整地考慮了啞元填充對化學(xué)機(jī)械拋光、光刻等工藝偏差的抑制作用。本發(fā)明方法基于覆蓋線性規(guī)劃、熱點(diǎn)聚類分組及線性規(guī)劃局部求解方法求解考慮梯度約束的啞元綜合問題，將問題的時間復(fù)雜度降低為O(n2logn)，和已有方法相比較好地實(shí)現(xiàn)了計(jì)算精度和執(zhí)行效率的折中，為大規(guī)模啞元綜合問題的求解提供了可行方法。
【專利說明】—種基于密度梯度熱點(diǎn)聚類分組和局部求解技術(shù)的啞元綜合優(yōu)化方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明屬于半導(dǎo)體可制造性設(shè)計(jì)領(lǐng)域中針對銅互連啞元金屬填充的技術(shù)，具體涉及一種考慮密度梯度約束，并利用基于梯度熱點(diǎn)聚類分組和局部求解技術(shù)的啞元綜合優(yōu)化方法。
【背景技術(shù)】
[0002]集成電路產(chǎn)業(yè)的發(fā)展是推動社會信息化進(jìn)步的重要驅(qū)動力。隨著集成電路制造工藝進(jìn)入納米尺度，越來越嚴(yán)重的工藝偏差影響芯片的性能和成品率。化學(xué)機(jī)械拋光(CMP:Chemical Mechanical Planarization)和光刻等工藝產(chǎn)生的制造偏差明顯地表現(xiàn)出對版圖圖形的依賴(Pattern Dependent)。CMP工藝會在娃片表面產(chǎn)生碟陷(Dishing)和侵蝕(Erosion)缺陷[I, 2],這些缺陷導(dǎo)致的不平整性(Nonuniformity) —方面會使互連線在高度方向上產(chǎn)生偏差，而另一方面會影響后續(xù)工藝中的光刻聚焦和成像質(zhì)量進(jìn)而使互連線的橫向尺寸發(fā)生偏差。碟陷和侵蝕缺陷的產(chǎn)生主要依賴于版圖圖形的密度、線寬和線距等特征。此外，光刻過程中還會出現(xiàn)因掩模版受熱導(dǎo)致扭曲變形的現(xiàn)象(PID:Pattern InducedDistortion)，它會對光刻成像的橫向尺寸產(chǎn)生影響。PID不僅與圖形密度相關(guān)，而且與密度梯度直接相關(guān)[3，4]。
[0003]啞元填充是解決與版圖圖形相關(guān)的可制造性設(shè)計(jì)問題的重要技術(shù)之一。啞元填充通過在原有設(shè)計(jì)版圖上添加沒有電學(xué)功能的單元來改變版圖上圖形的密度分布，從而改善CMP拋光后芯片表面的平整度，如圖1所示。啞元單元可以是簡單的矩形，也可以是考慮了化學(xué)機(jī)械拋光、光刻或者其他工藝因素后，經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的圖形[5-7]。根據(jù)對寄生電容和電路穩(wěn)定性的不同要求，啞元單元可以選擇連接到固定電位或者浮空[8]。由于啞元填充對化學(xué)機(jī)械拋光和光刻等工藝具有良好的改進(jìn)效果，且不會顯著增加工藝步驟和制造成本，因而被廣泛采用。在不影響電路性能的情況下，如何在版圖中合適的位置添加適量的啞元以減小制造偏差，提高芯片成品率，已成為以提升可制造性設(shè)計(jì)和成品率為中心的新一代電路設(shè)計(jì)方法學(xué)的關(guān)鍵問題之一。
[0004]啞元填充包括三個基本步驟:密度分析、啞元綜合和啞元分配。首先，密度分析將芯片版圖劃分為均勻的網(wǎng)格(Tile)和窗口(Window)，統(tǒng)計(jì)出各個網(wǎng)格內(nèi)圖形的密度和周長等特征參數(shù)，計(jì)算出可用于填充啞元的空白區(qū)域，稱為填充余量(Slack)，并由此計(jì)算出窗口密度等信息；其次，啞元綜合根據(jù)不同的約束條件和優(yōu)化目標(biāo)，計(jì)算每個網(wǎng)格內(nèi)應(yīng)填充的啞元數(shù)量；最后，啞元分配(dummy assignment)選擇合適的啞元單元圖形、排列方式,按照啞元綜合得到的網(wǎng)格中應(yīng)插入的啞元數(shù)量，將啞元插入到版圖中的具體位置上。其中，啞元填充技術(shù)的核心是啞元綜合。
[0005]在考慮版圖圖形密度的啞元綜合方面已經(jīng)有大量研究工作。Kahng[9]和Tian [10]分別提出了最小化密度偏差和最小化啞元插入數(shù)量的線性規(guī)劃(LP =LinearProgramming)方法。線性規(guī)劃方法可以給出該問題的最優(yōu)解,但其時間復(fù)雜度為0(η3)η為變量數(shù)，即全芯片版圖上劃分的網(wǎng)格數(shù)目。對于大規(guī)模問題，線性規(guī)劃方法計(jì)算開銷非常大。例如，對于一個IOmmX IOmm尺寸的版圖，若網(wǎng)格尺寸為20umX 20um，則變量數(shù)目高達(dá)2.5X105，計(jì)算時間理論上約需3.8萬小時。因此，為了求解大規(guī)模啞元綜合問題，產(chǎn)生了一些啟發(fā)式(Heuristic)方法[11,12],它們一般是基于蒙特卡羅(Monte-Carlo)方法或貪婪算法。啟發(fā)式方法求解速度快，但求解精度較差，往往會導(dǎo)致過多的啞元插入。文獻(xiàn)[13]在覆蓋線性規(guī)劃(CLP:Covering Linear Programming)及其快速近似算法的基礎(chǔ)上提出了一種最小化啞元插入數(shù)量的高效算法。該算法將求解的時間復(fù)雜度降至O (n2l0gn)，并從理論上保證了求解精度，但CLP是一種特殊的線性規(guī)劃方法，它對約束條件的形式有著嚴(yán)苛的要求，無法處理本專利中涉及的梯度約束條件。
[0006]隨著工藝節(jié)點(diǎn)的特征尺寸不斷降低，密度梯度作為二階因素在光刻、熱應(yīng)力處理等工藝環(huán)節(jié)展現(xiàn)出日益重要的影響[19]。雖然EDA業(yè)界已經(jīng)在實(shí)踐中嘗試處理梯度因素的影響，但是針對梯度因素的啞元綜合方法研究尚處于起步階段。文獻(xiàn)[15]首次提出針對密度梯度問題的啞元綜合優(yōu)化方法。但該方法將密度梯度約束施加在網(wǎng)格上，這與傳統(tǒng)啞元填充算法中密度約束施加在窗口上的方法不一致。窗口密度是對網(wǎng)格密度的某種加權(quán)平均，它近似刻畫著具有臨近效應(yīng)的物理模型。該方法將梯度約束施加在網(wǎng)格上，雖然極大地簡化了啞元填充問題，但卻部分喪失了物理內(nèi)涵。而且從效果上看，該方法由于缺乏對啞元插入數(shù)量的控制導(dǎo)致啞元插入過多。另外，文獻(xiàn)[16]提出一種與梯度約束相似的類李氏(Lipchitz-like)約束的啞元綜合方法，但是該方法同樣沒有考慮啞元插入數(shù)量的限制，并且仍然采用傳統(tǒng)線性規(guī)劃方法進(jìn)行求解，因此計(jì)算復(fù)雜度高。
[0007]更進(jìn)一步，現(xiàn)有的啞元綜合算法中，一般假設(shè)圖形的密度和密度梯度熱點(diǎn)(即違反梯度約束的區(qū)域)是隨機(jī)分布的，尚未考慮版圖圖形分布的特點(diǎn)。但事實(shí)上，芯片中的互連線設(shè)計(jì)有明顯的規(guī)律，例如在某層金屬層上，金屬線的走向基本是一致的。這些規(guī)律導(dǎo)致梯度熱點(diǎn)會集中出現(xiàn)在某些特定局部區(qū)域，例如金屬線的邊界上，而不是隨機(jī)分布。因此，初步的啞元填充后，一般可消除絕大部分密度和梯度熱點(diǎn)，而針對剩下的梯度熱點(diǎn)，可以通過分而治之的策略，通過線性規(guī)劃的局部求解進(jìn)行消除。更為有利的是，盡管線性規(guī)劃方法的理論復(fù)雜度很高，但對于小規(guī)模問題卻非常高效，尤其是單純形方法，其實(shí)際復(fù)雜度通常遠(yuǎn)優(yōu)于理論復(fù)雜度，因此在局部區(qū)域內(nèi)直接采用線性規(guī)劃方法求解的小規(guī)模問題是完全可行的。
[0008]與本發(fā)明相關(guān)的參考文獻(xiàn)有:
[0009][I]B.Stine, D.0uma and R.Divecha.A closed-form analytic model for ILDthickness variation in CMP processes.CMP Multilevel Interconnect Conference，1997，pp.266-273.[0010][2]T.Park, T.Tugbawa，D.Boning，J.Chung, R.Muralidhar, S.Hymes, Y.Gotkis，S.Amalgir, R.Walesa, L Shumway，G.Wu, F.Zhang, R.Kistler, and J.Hawkins.Patternand process dependencies in copper damascene chemical mechanical polishingprocesses.1EEE VLSI Multilevel Interconnect Conference,1998, pp.437-442.[0011][3] L.Reu, R.L.Engelstad, and E.G.Lovell.Mask distortion issuesfor next-generation lithography.Journal of Microelectronic Engineering，69(2): 420-428，2003.[0012][4]M.Lercel, C.Magg，M.Lawliss, Williams, N.Caldwell, R.Ackel，L.Kindt,and K.Racette.Patterning induced image placement distortions on electron beamprojection lithography membrane masks.Journal of Vacuum Science and Technology,19(6):2671-2677,2001.[0013][5] L.He，A.B.Kahng，K.H.T am，and J.Xiong.Variabi Iity-drivenconsiderations in the design of integrated circuit global interconnects.1nternational VLSI Multilevel Interconnection Conference, 2004, pp.214 - 221.[0014][6]M.M.Nelson.0ptimized pattern fill process for improved CMPuniformity and interconnect capacitance.Univ./Government/Ind.MicroelectronicSymposium，2003，pp.374-375.[0015][7]P.J.M.van Adrichem，D.L.Goinard.Method and apparatus for performingdummy-fill by using a set of dummy fill cells.United States Patent，PublicationNumber US2009/0089732A1，2009.[0016][8]B.E.Stine, D.S.Boning，J.E.Chung, L.Camilletti，F(xiàn).Kruppa，E.R.Equi,W.Loh，S.Prasad，M.Muthukrishnan，D.Towery, M.Berman，and A.Kapoor.The physicaland electrical effects of metal-fill patterning practices for oxide chemical -mechanical polishing processes.1EEE Trans.Electron Devices, vol.45, n0.3,pp.665 - 679，1998.[0017][9]A.B.Kahng, G.Robins, A.Singh, and A.Zelikovsky.Filling algorithms andanalyses for layout density control.1EEE Transactions on Computer Aided Design，18(4): 445-462，1999.[0018][10]R.Tian, D.F.Wong and R.Boone.Model-based dummy feature placementfor oxide chemical mechanical polishing manufacturability.1EEE DesignAutomation Conference，2000，pp.667-670.[0019][11] Y.Chen, A.B.Kahng, G.Robins, A.Zelikovsky.Monte-Carlo algorithms forlayout density control.Asia and South Pacific Design Automation Conference，2000，pp.523-528.[0020][12]Y.Chen, A.B.Kahng，G.Robins，A.Zelikovsky.Practical iterated fillsynthesis for CMP uniformity.1EEE Design Automation Conference，2000，pp.671-674.[0021][13]C.Feng，H.Zhou，C.Yan，J.Tao and X.Zeng.Provably Good and PracticallyEfficient Algorithms for CMP Dummy Fill.1EEE Design Automation Conference，2009，pp.534-539.[0022][14]N.Rodriguez.Using advanced planarity analysis to drive smarterfilling strategies.EDA Tech Forum, DFM special edition,2010.[0023][15]H.Y.Chen, S.J.Chou, and Y.W.Chang.Density gradient minimizationwith coupling-constrained dummy fill for CMP control.ACM/IEEE InternationalSymposium on Physical Design，2010，pp.105-111.[0024][16] Y.Chen and A.B.Kahng and G.Robins and A.Zelikovsky.Closing thesmoothness and uniformity gap in area fill synthesis.1EEE/ACM InternationalSymposium on Physical Design，2002，pp.137-142.[0025][17]C.C.Chang and J.Cong.An efficient approach to multilayer layerassignment with an application to via minimization.1EEE Transactions onComputer Aided Design，18:608 - 620，1999.。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0026]為了克服現(xiàn)有啞元綜合方法在處理梯度約束時的不足，本發(fā)明提出一種考慮梯度約束的啞元綜合方法，具體涉及一種可同時施加密度約束和梯度約束，并最小化啞元插入數(shù)量的啞元綜合方法，綜合應(yīng)用覆蓋線性規(guī)劃方法、密度梯度熱點(diǎn)聚類分組和線性規(guī)劃局部求解技術(shù)以實(shí)現(xiàn)快速求解。
[0027]本發(fā)明方法采用了傳統(tǒng)啞元綜合方法的網(wǎng)格一窗口(Tile-Window)兩級網(wǎng)格劃分機(jī)制[9]，如圖2所示，并將密度梯度約束施加在窗口上。這種約束施加方法與傳統(tǒng)密度約束施加方法一致，更重要的是，它符合制造工藝的物理背景，能夠刻畫化學(xué)機(jī)械拋光過程中彈性力和光刻過程中熱應(yīng)力隨距離衰減的特性。本發(fā)明方法能夠同時考慮圖形的密度、密度梯度和啞元插入數(shù)量，比較全面地處理了啞元綜合過程中的影響因素。
[0028]本發(fā)明方法基于覆蓋線性規(guī)劃的完全多項(xiàng)式時間近似算法(FPTAS)進(jìn)行啞元綜合。與普通線性規(guī)劃方法相比，本發(fā)明方法將時間復(fù)雜度降至(Kn21gn)，提高了計(jì)算效率。與多層平滑方法[15]相比，本發(fā)明方法的啞元插入數(shù)量大為減少，而且對密度和梯度約束的控制更加精確。
[0029]更進(jìn)一步，梯度熱點(diǎn)一般具有聚集效應(yīng)而不是隨機(jī)分布，這是由于模塊化的芯片設(shè)計(jì)通常會使梯度熱點(diǎn)聚集在模塊的邊界上，而較少出現(xiàn)在設(shè)計(jì)良好的模塊內(nèi)部，同時，梯度熱點(diǎn)容易聚集在金屬線的邊緣部分而出現(xiàn)條狀分布，圖4 (b)所示。啞元填充可看作一個低通濾波過程，它可平滑絕大部分密度波動，并消除大部分梯度熱點(diǎn)，而剩余梯度熱點(diǎn)具有明顯的聚集效應(yīng)。圖3給出一個芯片互連線層版圖的圖形密度分布實(shí)例，圖中版圖密度的分塊化和布線走向都清晰可見。圖4 (a)和圖4 (b)則分別給出了該版圖經(jīng)過初步填充后的密度分布和梯度熱點(diǎn)分布。從圖4 (b)可以看到，在熱點(diǎn)聚集的區(qū)域可以按照距離遠(yuǎn)近容易地劃分為若干個集合，即聚類分組；不同組之間由于距離較遠(yuǎn)，組間的梯度熱點(diǎn)可近似認(rèn)為相互獨(dú)立，因此可僅在組內(nèi)局部范圍求解以消除梯度熱點(diǎn)。
[0030]局部區(qū)域內(nèi)的小規(guī)模啞元綜合問題可以通過線性規(guī)劃方法直接求解。盡管線性規(guī)劃方法的理論復(fù)雜度高，但是對于小規(guī)模問題卻非常高效，尤其是單純形方法，通常遠(yuǎn)優(yōu)于理論復(fù)雜度。
[0031]本發(fā)明提出一種基于覆蓋線性規(guī)劃、密度梯度熱點(diǎn)聚類分組和線性規(guī)劃局部求解方法實(shí)現(xiàn)考慮梯度約束的啞元綜合方法，求解流程如圖5所示。
[0032]輸入?yún)?shù)包括如下四類:
[0033]1.版圖參數(shù)，包括待填充版圖文件和層號；
[0034]2.窗口 -網(wǎng)格參數(shù)，包括窗口大小r、網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)目mXn、權(quán)值函數(shù)fw;
[0035]3.約束條件參數(shù)，包括密度約束下限L和上限U、梯度約束上限g(l ；
[0036]4.綜合算法參數(shù)，包括填充精度ε、關(guān)鍵網(wǎng)格懲罰因子fp、預(yù)填充因子Θ、距離閾值dth和緩沖距離dbuf。
[0037]本發(fā)明所述的啞元綜合流程是一個迭代求解的過程，具體步驟包括:
[0038]步驟1:網(wǎng)格劃分和窗口密度計(jì)算，即對待填充版圖按照網(wǎng)格一窗口兩級劃分機(jī)制進(jìn)行網(wǎng)格劃分，依據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)則提取各個網(wǎng)格內(nèi)的圖形密度和填充余量，并由此計(jì)算得到窗口密度；
[0039]步驟2:建立考慮密度梯度的線性規(guī)劃優(yōu)化問題，即在步驟I中得到網(wǎng)格密度、網(wǎng)格填充余量和窗口密度的基礎(chǔ)上，根據(jù)給定的密度約束上下限和梯度約束上限，建立最小化啞元插入數(shù)量的線性規(guī)劃優(yōu)化問題；
[0040]步驟3:利用掃描-修正算法求解窗口密度最小下界，即依據(jù)所施加的密度約束和梯度約束，利用掃描-修正算法計(jì)算每個窗口的密度最小下界，將梯度約束轉(zhuǎn)化為普通密度約束；
[0041]步驟4:利用修正的覆蓋線性規(guī)劃算法進(jìn)行迭代求解，即利用修正的覆蓋線性規(guī)劃快速算法迭代求解網(wǎng)格上的啞元插入數(shù)量的近似解；
[0042]步驟5:利用熱點(diǎn)聚類分組和線性規(guī)劃局部求解方法消除局部梯度熱點(diǎn)。經(jīng)過上述步驟4后，若版圖上仍存在梯度熱點(diǎn)(違反梯度約束的窗口)，則對這些熱點(diǎn)按照距離遠(yuǎn)近進(jìn)行聚類分組，并用線性規(guī)劃方法對各聚類分組進(jìn)行局部求解，重復(fù)迭代本步驟直到消除全部梯度熱點(diǎn)。最后返 回網(wǎng)格上的啞元填充量，綜合過程結(jié)束。
[0043]具體而言，本發(fā)明方法主要包括如下求解步驟:
[0044]步驟I網(wǎng)格劃分和窗口密度計(jì)算
[0045]本發(fā)明步驟中，全芯片版圖劃分為mXn的網(wǎng)格。網(wǎng)格密度定義為網(wǎng)格內(nèi)所有圖形的總面積占網(wǎng)格面積的比例，即:
[0046]dS1-/) = I Σ 弋 ^1 - ^ 1 ^./'幺"，⑴

g^TLJ
[0047]其中，Sg是網(wǎng)格Ti，」中幾何圖形g的面積，St表示網(wǎng)格Ti，」的面積，i，j分別是網(wǎng)格Tu在芯片上所在行和列的索引，矩陣Dt (i，j)中元素即為網(wǎng)格Tu的密度。
[0048]給定版圖上的網(wǎng)格密度Dt和權(quán)值函數(shù)fw，窗口密度定義為:

i+r/2 j+ri2
[0049]DJiJ)= [ Yj [Dt(k,l)xfjk-1,l-j)]{η


k=1-r/21二j—r.12
[0050]若將矩陣Dt (i，j)和矩陣Dw(i，j)分別按照行優(yōu)先排列為向量dt(I)和dw(I)，即Dt (i, j)和dt(I)均指同一網(wǎng)格密度，Dw(i，j)和dw(I)均指同一窗口密度，則一維指標(biāo)I和二維指標(biāo)(i，j)之間滿足如下轉(zhuǎn)換關(guān)系:
[0051]I = n*i+j
[0052]
Ji = I mod η(Λ)

1./=L7/?J
[0053]則窗口密度的計(jì)算式(2)可以重寫為:
[0054]dw(I) = A(I, j).dt(J) (4)
[0055]其中，矩陣A的大小為mnXmn，表示網(wǎng)格密度矩陣與權(quán)函數(shù)的卷積，其含義是編號為dt(I)的窗口密度由其覆蓋rXr個網(wǎng)格密度加權(quán)平均得到。矩陣A中的元素A(I，J)表示以網(wǎng)格dt(I)(也即Dt(i” i2))為中心，覆蓋rXr個網(wǎng)格dt(J)(也即Dt U1, j2))的密度加權(quán)平均的權(quán)重。矩陣A中的元素完全由權(quán)值函數(shù)fw決定，SP:
【權(quán)利要求】
1.一種考慮梯度約束的啞元綜合方法，其特征是，所述的方法是一個綜合應(yīng)用覆蓋線性規(guī)劃方法、密度梯度熱點(diǎn)聚類分組和線性規(guī)劃局部求解技術(shù)的迭代求解過程，其步驟包括: 步驟1:對輸入的待填充版圖按照網(wǎng)格一窗口兩級劃分機(jī)制進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并依據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)則提取各個網(wǎng)格內(nèi)的圖形密度和填充余量，并由此計(jì)算得到窗口密度； 步驟2:在步驟I中得到網(wǎng)格密度、網(wǎng)格填充余量和窗口密度的基礎(chǔ)上，根據(jù)給定的密度約束上下限和梯度約束上限，建立最小化啞元插入數(shù)量的線性規(guī)劃優(yōu)化問題； 步驟3:依據(jù)所施加的密度約束和梯度約束，利用掃描-修正算法計(jì)算每個窗口的密度最小下界，將梯度約束轉(zhuǎn)化為普通密度約束； 步驟4:利用修正的覆蓋線性規(guī)劃快速算法迭代求解網(wǎng)格上的啞元插入數(shù)量的近似解； 步驟5:利用熱點(diǎn)聚類分組和線性規(guī)劃局部求解方法消除剩余梯度熱點(diǎn)，得到最終的啞元填充量。
2.按權(quán)利要求1所述的方法，其特征是，所述的步驟I中，網(wǎng)格密度被定義為網(wǎng)格內(nèi)所有圖形的總面積占網(wǎng)格面積的比例，即: iKK.1)=士 Σ ^ ^ 削,1 么./ ^",⑴ 其中，Sg是網(wǎng)格Tu中幾何圖形g的面積，St表示網(wǎng)格Ti,」的面積，i, j分別是網(wǎng)格Ti,」在芯片上所在行和列的索引，矩陣Dt(i，j)中元素即為網(wǎng)格Tu的密度； 給定版圖網(wǎng)格密度Dt和權(quán)值函數(shù)fw，窗口密度定義為:
i+r/2 nr/2 KUJ')= Σ Σ [Dt(k,l)xfw{k-1j-1)](2)

k=1-r/2 l=j-ri2 若將矩陣Dt (i，j)和矩陣Dw (i，j)分別按照行優(yōu)先排列為向量dt (I)和dw (I)，即Dt (i, j)和dt(I)均指同一網(wǎng)格密度，Dw(i，j)和dw(I)均指同一窗口密度，則一維指標(biāo)I和二維指標(biāo)(i，j)之間的滿足如下轉(zhuǎn)換關(guān)系:
I = η氺i+j[/ = / mod //( 窗口密度的計(jì)算式⑵可以重寫為: dw(I) = A(I, j).dt(J)(4) 其中，矩陣A中的元素A(I，J)表示以網(wǎng)格dt(I)(即Dt (i” i2))為中心，覆蓋rXr個網(wǎng)格dt (J)(即Dt (J1, J2))的密度加權(quán)平均的權(quán)重；矩陣A中的元素完全由權(quán)值函數(shù)fw決定: A(IJ)= j°Jf iI)2+ ()2-?)2 >奪.(5)
[ΛΟ'ι-/ / -121ihers
其中，I和Q1, i2)，J和j2)分別滿足式⑶的一維和二維指標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系； 若窗口密度的上下限分別為U和L，則密度約束可表示為: L < dw = Adt < U.(6) ο
3.按權(quán)利要求1所述的方法，其特征是，所述的步驟2中，所建立的線性規(guī)劃問題能同時處理密度約束和密度梯度約束，并最小化啞元的插入數(shù)量。
4.按權(quán)利要求1所述的方法，其特征是，所述的步驟2中，梯度約束施加在窗口上，表示為:
-go ( Dw(i+1, j)-Dw(i, j) ( g0
-g0 ( Dw(i, j+l)-Dw(i, j) ( g0 -^g0 <DH,(i + lJ + l)-DK(iJ)<^2g0(7)
-辦g0 ^ Dw(i + IJ-1)-Dw(i, j) < 其中，Dw為窗口密度矩陣，i, j為窗口在版圖上行和列的索引，g0為單位距離的梯度上限，m, η為網(wǎng)格劃分的行數(shù)和列數(shù)； 若用Gx和Gy表示X和Y方向的梯度差分矩陣，則梯度約束可以寫為: -go ( Gxdw ( g0,(8)
So ( GYdw ( g0 其中，矩陣G5^P GY*每行僅有兩個非零元(分別為I和一 1)，構(gòu)成相鄰窗口間的密度差分操作，其它方向上的密度差分矩陣可以類似處理。
5.按權(quán)利要求1所述的方法，其特征是，所述的步驟3中，采用掃描一修正方法確定窗口密度最小下界，具體步驟如下: 步驟3.1:初始化窗口密度最小下界D二為當(dāng)前窗口密度，即=Dw; 步驟3.2:對于所有窗口 w (i, j)，如果D:, < L，那么設(shè)置D: = L 步驟3.3:設(shè)置已修正的梯度熱點(diǎn)數(shù)目nh = O ; 步驟3.4:對于任意窗口 w(i，j)，掃描并修正X方向的梯度熱點(diǎn)。如果|D/(i，j)-D；(i, j+1) I > g0,則修正密度較小的窗口，將其密度修改為
+ 1)}-，并使修正后的熱點(diǎn)數(shù)目 nh 加 I ; 步驟3.5:與步驟3.4類似，依次掃描并修正Y，XY, YX方向的梯度熱點(diǎn)； 步驟3.6:若nh為0，則返回窗口密度最小下界D:，否則，轉(zhuǎn)步驟3.3。
6.按權(quán)利要求1所述的方法，其特征在于，步驟4由3個子步驟組成: 步驟4.1:建立關(guān)鍵網(wǎng)格集合； 步驟4.2:用預(yù)填充策略修正窗口密度最小下界； 步驟4.3:采用修正的覆蓋線性規(guī)劃近似算法求解網(wǎng)格內(nèi)啞元插入數(shù)量。
7.按權(quán)利要求6所述的方法，其特征在于，步驟4.1中關(guān)鍵網(wǎng)格的定義為: 在步驟3得到的窗口密度最小下界/上，逐個檢查當(dāng)前窗口與周圍窗口的密度差；若一對窗口的密度差恰為梯度上限&，則定義具有較高密度的窗口為關(guān)鍵窗口，而關(guān)鍵窗口覆蓋的所有網(wǎng)格均稱為關(guān)鍵網(wǎng)格，所有關(guān)鍵網(wǎng)格均添加至關(guān)鍵網(wǎng)格集合T。中，不在T。中的網(wǎng)格稱為自由網(wǎng)格。
8.按權(quán)利要求6所述的方法，其特征在于，步驟4.2中預(yù)填充策略對窗口密度下限的調(diào)整方法為:給定預(yù)填充因子Θ和梯度約束g(l，對于密度分別為dji)和dw(i+l)的一對違反梯度約束的窗口，較低的窗口密度為dw (i)，現(xiàn)在其被修正為dw⑴+ (1+ Θ )(dw(i+l)-gQ-cUi))，這里Θ為介于O和I之間的小數(shù)，即其填充量被增大Θ倍。
9.按權(quán)利要求6所述的方法，其特征在于，步驟4.3中覆蓋線性規(guī)劃問題的定義為:
min C1X subject to Ax ^ b,(9) X≤u’ X≥O 其中，
c+1 b = dl-4d ,HO)
u — min ^u-UtQj s} 其中，是步驟3求得的最小窗口密度下限D(zhuǎn):的按行排列的向量形式，dt0為原始版圖網(wǎng)格密度向量，s為網(wǎng)格填充余量。
10.按權(quán)利要求6所述的方法，其特征在于，步驟4.3中利用覆蓋線性規(guī)劃的快速解法FPTAS求解時，對關(guān)鍵網(wǎng)格的填充進(jìn)行懲罰；設(shè)懲罰因子為fp，關(guān)鍵網(wǎng)格的填充代價調(diào)整方法如下: priced J)= f CU) XtU)UD
Ah j) as{j)-xt{j) 其中，c為啞元的填充代價系數(shù)，Xt為網(wǎng)格當(dāng)前填充量，α為覆蓋線性規(guī)劃快速解法FPTAS的階段控制參數(shù)。
11.按權(quán)利要求6所述的方法，其特征在于，步驟4.2中的預(yù)填充因子Θ是自適應(yīng)的；Θ被初始化為較小的值，然后在迭代過程中被逐漸增大，直到達(dá)到預(yù)先設(shè)定的上界，預(yù)填充因子初始值為O。
12.按權(quán)利要求1所述的方法，其特征在于，步驟5分為3個子步驟: 步驟5.1:梯度熱點(diǎn)檢測； 步驟5.2:梯度熱點(diǎn)聚類分組； 步驟5.3:線性規(guī)劃局部求解方法。
13.按權(quán)利要求12所述的方法，其特征在于，步驟5.2中對梯度熱點(diǎn)進(jìn)行聚類分組時，采用直線距離來度量不同熱點(diǎn)之間的相關(guān)程度；記兩個不同熱點(diǎn)hm和hn之間的距離為d(hm，hn)，則兩個熱點(diǎn)集合Ci和之間的距離定義為: d (Ci, Cj) = min {d (hm, hn) | hm e Ci, hn e Cj}(12) 熱點(diǎn)聚類分組過程最初將每個單獨(dú)的熱點(diǎn)初始化為獨(dú)立的熱點(diǎn)集合，然后依據(jù)式(12)計(jì)算兩兩熱點(diǎn)集合之間的距離d(Ci，cj，若距離d(Ci，Cj)小于預(yù)先設(shè)定的距離閾值dth則將集合Ci和&合并，直到任何兩個集合都不能合并為止，剩下的集合即為最終的梯度熱點(diǎn)聚類分組。
14.按權(quán)利要求12所述的方法，其特征在于，步驟5.3進(jìn)行線性規(guī)劃局部求解時，設(shè)置一定的“緩沖區(qū)”；假設(shè)熱點(diǎn)集合Ci包含的熱點(diǎn)為Ill，…，hk，熱點(diǎn)相應(yīng)的網(wǎng)格坐標(biāo)為((X11Y2),-, (xk，yk))，那么對應(yīng)于熱點(diǎn)集合Ci的矩形求解區(qū)域Ri由其左下和右上角坐標(biāo)(xn, Yn)和(xur，yur)唯一確定。(xn，yn)和(xur，yur)的定義如下: X11 = min {χ1；…，xk} _dbuf, yn = min {y” …，yk} _dbuf(13)xur = min Ix1,…，X1J +dbuf, Yur = min Ij1,…，yk).+dbuf其中，dbuf即為了考慮局 部求解對周圍窗口的影響設(shè)置的緩沖距離。
【文檔編號】G06F17/50GK103544332SQ201210246483
【公開日】2014年1月29日 申請日期:2012年7月16日 優(yōu)先權(quán)日:2012年7月16日
【發(fā)明者】曾璇, 嚴(yán)昌浩, 陶俊, 周星寶, 武鵬 申請人:復(fù)旦大學(xué)