基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實(shí)現(xiàn)算法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明設(shè)及數(shù)值仿真技術(shù)領(lǐng)域，特別設(shè)及一種基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手 材料化ank-化colson完全匹配層實(shí)現(xiàn)算法。
【背景技術(shù)】
[0002] 時(shí)域有限差分方法(FDTD)作為一種計(jì)算電磁方法被廣泛地應(yīng)用于各種時(shí)域的電 磁仿真計(jì)算中，如天線、射頻電路、光學(xué)器件和半導(dǎo)體等。FDTD具有廣泛的適用性、適合并行 計(jì)算、計(jì)算程序通用性等特點(diǎn)。
[0003] 然而，隨著科學(xué)研究的深入和各種越來越廣泛應(yīng)用的需求，其算法本身受Courant F;ried;richsLewy(CFL)數(shù)值穩(wěn)定性條件的限制的缺陷越來越明顯。算法本身所受數(shù)字穩(wěn)定 性條件限制:在計(jì)算過程中時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)必須滿足WL約束條件，即
[0004]
[0005] 式中，A t為計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，C0為自由空間光速，Δ X、Δ y和Δ Z為Ξ維空間步長(zhǎng)。在 實(shí)際計(jì)算中，空間離散步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)相對(duì)波長(zhǎng)和周期都非常小，所W必然會(huì)在計(jì)算電大 尺寸目標(biāo)時(shí)出現(xiàn)資源不足的情況，導(dǎo)致FDTD的計(jì)算效率很低。因此為了消除C化條件的限 審ij，無條件穩(wěn)定的交替方向隱式(Alternating-Direct ion Impolicit，ADI)抑TD方法、局部 一維化ocal One Dimension,L0D)抑TD方法和克蘭克?尼克爾森（Crank-Nicolson，CN) 抑TD方法相繼被提出。
[0006] 對(duì)于ADI-抑TD算法和L0D-抑TD算法雖然在一定程度上克服了穩(wěn)定性條件限制，但 算法的計(jì)算精度過低，性能并不理想，其原因是由于當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)增大后，導(dǎo)致的數(shù)值色散增 大，進(jìn)而導(dǎo)致算法的誤差較大。2004年，G. Sun等人采用Crank-Nicolson差分格式對(duì)麥克斯 韋方程進(jìn)行離散化處理，即CN-抑TD，算法在時(shí)間步長(zhǎng)取值遠(yuǎn)大于穩(wěn)定性條件(如20倍)仍能 保持良好的穩(wěn)定精度，展現(xiàn)出更好的適用性，并且CN-抑TD算法是一種更加簡(jiǎn)便的無條件穩(wěn) 定的方法，將前面兩種算法中所需的2個(gè)運(yùn)算過程簡(jiǎn)化到1個(gè)運(yùn)算過程，從而大大降低了運(yùn) 算資源，因此學(xué)者們一致認(rèn)為CN-FDTD具有更廣闊的發(fā)展前景。
[0007] 由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間的限制，數(shù)值計(jì)算只能在有限的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，為了能模擬開 放或者半開放區(qū)域的電磁福射和散射等問題，在計(jì)算區(qū)域的截?cái)噙吔缣幈仨氃O(shè)置吸收邊界 條件，W便用有限的網(wǎng)格空間模擬開放的無限空間，來解決任意介質(zhì)內(nèi)的電磁波傳播W及 各種電磁問題。由Berenger提出的完全匹配層（Perfectly Matched Layer，PML)是目前應(yīng) 用較廣的吸收邊界條件，PML可W理解為：通過在FDTD區(qū)域截?cái)噙吔缣幵O(shè)置一種特殊介質(zhì) 層，該層介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)波阻抗完全匹配，從而使入射波無反射地穿過分界面而 進(jìn)入PML層，PML層是有耗介質(zhì)，最后將電磁波吸收。目前常用的PML吸收邊界主要有拉伸坐 標(biāo)變換完全匹配層(SC-PML)和單軸各項(xiàng)異性完全匹配層(UPML)。
[000引左手材料是指介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ同時(shí)為負(fù)的介質(zhì)材料，也常被稱為雙負(fù)介質(zhì)。 由于左手材料具有負(fù)的折射率，必然存在色散與吸收，因此，在利用FDTD仿真分析左手材料 時(shí)，為避免上述提到的數(shù)值發(fā)散現(xiàn)象，一種基于等離子體概念，能對(duì)左手材料的介電常數(shù)ε 及磁導(dǎo)率μ進(jìn)行間接設(shè)置。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0009] 本發(fā)明的目的是針對(duì)FDTD算法受到C化穩(wěn)定性條件限制的缺陷，提高截?cái)嘁痪S左 手材料的PML算法的計(jì)算效率和吸收效率而提出的基于分段線性循環(huán)卷積變換方法和CN- FDTD的SC-PML算法。該算法可W消除變換過程中出現(xiàn)的二階微分方程，減少計(jì)算量。
[0010] 基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料化ank-Nicolson完全匹配層實(shí)現(xiàn)算法，包 括下列步驟：
[0011] 步驟1:將頻域中麥克斯韋方程修正為帶有拉伸坐標(biāo)算子的麥克斯韋方程，并在直 角坐標(biāo)系中表示；
[0012] 步驟2:根據(jù)頻域和時(shí)域的映射變換關(guān)系，將直角坐標(biāo)系中的一維麥克斯韋方程變 換到時(shí)域表示，在將復(fù)數(shù)拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到時(shí)域的過程中，利用分段線性循環(huán)卷 積的方法，消除拉伸變量中的二階微分，將拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到時(shí)域，并代入到一維 麥克斯韋方程表達(dá)式；
[0013] 步驟3:基于化ank-Nicolson時(shí)域有限差分算法的時(shí)域展開形式，將時(shí)域形式的直 角坐標(biāo)系中一維麥克斯韋方程展開成時(shí)域有限差分的形式，同時(shí)也將輔助變量變換為時(shí)域 有限差分的形式；
[0014] 步驟4:將時(shí)域有限差分形式的方程整理成求解的形式，結(jié)果產(chǎn)生一組電場(chǎng)和磁場(chǎng) 禪合方程，是一組隱式方程，將運(yùn)組隱式方程去禪，整理后獲得左邊為Ξ對(duì)角矩陣形式的系 數(shù)電場(chǎng)顯式迭代方程；
[0015] 步驟5:將求解出的電場(chǎng)值代入到磁場(chǎng)的迭代方程中，求解出磁場(chǎng)分量，循環(huán)步驟 4,從而在時(shí)間上迭代求解；
[0016] 采用分段線性循環(huán)卷積的方法可W消除計(jì)算過程中出現(xiàn)的二階微分方程，減小計(jì) 算的復(fù)雜度，提高計(jì)算效率，對(duì)抑TD算法有指導(dǎo)意義。
【附圖說明】：
[0017]圖1是本發(fā)明流程框圖；
[0018] 圖2是本發(fā)明算法與傳統(tǒng)算法比較的相對(duì)反射誤差圖。
【具體實(shí)施方式】：
[0019] 本發(fā)明的主旨是提出一種基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank- Nicol son完全匹配層實(shí)現(xiàn)算法，利用卷積運(yùn)算減小計(jì)算量，優(yōu)化計(jì)算過程，從而提高電磁場(chǎng) 計(jì)算速度。
[0020] 下面結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明實(shí)施方式作進(jìn)一步地詳細(xì)描述。
[0021] 圖1為本發(fā)明流程圖，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：
[0022] 步驟1:將頻域中麥克斯韋方程修正為帶有拉伸坐標(biāo)算子的麥克斯韋方程，并將頻 域中修正后的麥克斯韋方程在直角坐標(biāo)系中表示，TEM(橫電磁)波在左手材料沿著Z方向傳 播可w描述為
[0025]式中，Er( ω )是左手材料的相對(duì)介電常數(shù)，μτ( ω )是左手材料的相對(duì)磁導(dǎo)率，Sz是 拉伸坐標(biāo)變量，可W表示為
[0029]步驟2:根據(jù)頻域和時(shí)域的映射變換關(guān)系，將直角坐標(biāo)系中的一維麥克斯韋方程變 換到時(shí)域表示，使用卷積運(yùn)算，將拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到時(shí)域，并代入到一維麥克斯韋 方程表達(dá)式，即將式(3)代入到式(1)和式(2)中，得
[0032]為了避免在時(shí)域中方程兩端出現(xiàn)二階微分式，使用分段線性循環(huán)卷積的方法，可 W得到
[0035]將式(7)由頻域變換到時(shí)域，可W得到時(shí)域方程
[0037] 式中，@表示卷積運(yùn)算。
[003引離散卷積，可W得到
[0039]
(10)
[0040] 式中，k為計(jì)算單元的空間位置指數(shù)，從式(10)可W得到

[004引步驟3:基于Crank-Nicolson時(shí)域有限差分算法的時(shí)域展開形式，利用CN項(xiàng)將式 (9)離散化，可得離散方程為
[0052]步驟4:將時(shí)域有限差分的形式整理成求解的形式，結(jié)果產(chǎn)生一組電場(chǎng)和磁場(chǎng)的禪 合方程，運(yùn)是一組隱式方程
[0055]將運(yùn)組方程去禪，整理后得到等式左邊為Ξ對(duì)角矩陣形式的系數(shù)電場(chǎng)顯式迭代方 程為
[0化6]
[0057] 步驟5:將求解出的電場(chǎng)值代入到磁場(chǎng)的迭代方程中，求解出磁場(chǎng)分量，循環(huán)步驟 4,從而在時(shí)間上迭代求解；
[0058] 圖2是本發(fā)明算法與傳統(tǒng)算法比較的相對(duì)反射誤差圖，為了驗(yàn)證所提方法，對(duì)本發(fā) 明算法進(jìn)行編程，中屯、載波頻率取30GHz，計(jì)算域兩端PML最大厚度為10元胞，電導(dǎo)率采用
由圖中可W看出，CN-PML的吸收性能并不隨CNFN的增 大而變化，說明該算法具有無條件穩(wěn)定性，仿真過程所需時(shí)間較傳統(tǒng)算法仿真時(shí)間較短。
[0059] W上所述僅為本發(fā)明的較佳實(shí)施例，并不限制本發(fā)明，凡在本發(fā)明的精神和原則 之內(nèi)，所作的任何修改、等同替換、改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實(shí)現(xiàn)算法，包括 下列步驟： 步驟1:將頻域中麥克斯韋方程修正為帶有拉伸坐標(biāo)算子的麥克斯韋方程，并在直角坐 標(biāo)系中表示； 步驟2:根據(jù)頻域和時(shí)域的映射變換關(guān)系，將直角坐標(biāo)系中的一維麥克斯韋方程變換到 時(shí)域表示，在將復(fù)數(shù)拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到時(shí)域的過程中，利用分段線性循環(huán)卷積的 方法，消除拉伸變量中的二階微分，將拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到時(shí)域，并代入到一維麥克 斯韋方程表達(dá)式； 步驟3:基于Crank-Nicolson時(shí)域有限差分算法的時(shí)域展開形式，將時(shí)域形式的直角坐 標(biāo)系中一維麥克斯韋方程展開成時(shí)域有限差分的形式，同時(shí)也將輔助變量變換為時(shí)域有限 差分的形式； 步驟4:將時(shí)域有限差分形式的方程整理成求解的形式，結(jié)果產(chǎn)生一組電場(chǎng)和磁場(chǎng)耦合 方程，是一組隱式方程，將這組隱式方程去耦，整理后獲得左邊為三對(duì)角矩陣形式的系數(shù)電 場(chǎng)顯式迭代方程； 步驟5:將求解出的電場(chǎng)值代入到磁場(chǎng)的迭代方程中，求解出磁場(chǎng)分量，循環(huán)步驟4,從 而在時(shí)間上迭代求解。2. 根據(jù)權(quán)利1所述的基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配 層實(shí)現(xiàn)算法，其特征在于:步驟2，將左手材料修正的拉伸變量設(shè)置為(1) 式中，er( ω )是左手材料的相對(duì)介電常數(shù)； 引入卷積運(yùn)算，可得(2) 將義(0 ? &離散，整理可以得到 m=u3. 根據(jù)權(quán)利1所述的基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配 層實(shí)現(xiàn)算法，其特征在于:步驟3，基于Crank-Nicolson時(shí)域有限差分算法的時(shí)域展開形式式中，Δ z是空間單元尺寸。4.根據(jù)權(quán)利1所述的基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配 層實(shí)現(xiàn)算法，其特征在于:步驟4，將代入磁場(chǎng)和卷積運(yùn)算后的電場(chǎng)分量的迭代方程進(jìn)行整 理，整理后獲得左邊為三對(duì)角矩陣形式的系數(shù)電場(chǎng)顯式迭代方程
【專利摘要】本發(fā)明涉及了一種基于分段線性循環(huán)卷積的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實(shí)現(xiàn)算法，屬于數(shù)值仿真技術(shù)領(lǐng)域，該方法的目的是縮短左手材料FDTD計(jì)算域，將計(jì)算機(jī)有限的內(nèi)存空間仿真成無限空間。本發(fā)明的技術(shù)特征在于：在將復(fù)數(shù)拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到時(shí)域的過程中，利用分段線性循環(huán)卷積的方法，消除拉伸變量中的二階微分，從而明顯減少引入的輔助變量個(gè)數(shù)，優(yōu)化內(nèi)存；然后利用Crank-Nicolson時(shí)域有限差分方法將時(shí)域麥克斯韋方程進(jìn)行離散，推導(dǎo)出電場(chǎng)的顯式迭代方程；最后求解出電磁場(chǎng)分量的值。本發(fā)明具有無條件穩(wěn)定性，提高電磁場(chǎng)計(jì)算速度和節(jié)約內(nèi)存的優(yōu)點(diǎn)。
【IPC分類】G06F17/50
【公開號(hào)】CN105631094
【申請(qǐng)?zhí)枴緾N201510960827
【發(fā)明人】李建雄, 陳明省, 閆必行, 蔣昊林, 宋戰(zhàn)偉
【申請(qǐng)人】天津工業(yè)大學(xué)
【公開日】2016年6月1日
【申請(qǐng)日】2015年12月18日