專利名稱：標(biāo)量乘法的運算方法、冪運算的運算方法、記錄有標(biāo)量乘法的運算程序的記錄介質(zhì)及記錄 ...的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及一種標(biāo)量乘法的運算方法和記錄有其運算程序的記錄介質(zhì)，通過將有 理點Q的標(biāo)量η乘法的η基于t-Ι進制展開來提高標(biāo)量乘法的運算速度，并涉及一種冪運 算的運算方法和記錄有其運算程序的記錄介質(zhì)，通過對A的η次冪的η基于q-r進制展開 來提高冪運算的運算速度。
背景技術(shù)：
目前，利用因特網(wǎng)等電氣通信線路的信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)高度發(fā)展，不僅能利用網(wǎng)絡(luò)取 得各種各樣的信息，而且還能夠提供如網(wǎng)絡(luò)銀行或向行政機關(guān)提交電子申請等各種服務(wù)。在使用上述服務(wù)時，需要進行認證處理，以確認服務(wù)的用戶并不是冒充或虛構(gòu)的， 而是恰當(dāng)?shù)挠脩?，作為高可靠性的認證方法，多采用如下電子認證技術(shù)，即基于使用公鑰和 私鑰的公鑰加密的電子認證技術(shù)。然而，在公鑰加密方式的電子認證中，當(dāng)公鑰或私鑰泄露時，需要立即變更公鑰和 私鑰，必須謹慎保管公鑰和私鑰，并且根據(jù)需要還需進行新公鑰和私鑰設(shè)定登記操作，使用 復(fù)雜，因此，如用戶的名字或郵件地址那樣，最近多使用以用戶特有ID進行電子認證的基 于ID加密。另外，利用進行電子認證的認證裝置對用戶進行個人認證時，在認證裝置中保存 了每個用戶的簡歷，該簡歷信息本身為用戶的個人信息，最近被指出存在會因該簡歷信息 泄露導(dǎo)致個人信息泄露的問題。因而，提出如下所述的群簽名技術(shù)，S卩，在認證裝置中，不是使用用戶的個人信息 來進行認證，而是以多個用戶為整體的群，通過使用表示屬于該群的信息的群簽名，不特別 指定用戶而進行認證，由此，在認證裝置中不保存?zhèn)€人信息并能夠進行認證。在上述基于ID加密和群簽名中所使用的運算，采用被稱為配對的方法，其利用橢 圓曲線上的有理點的雙線性對映射。所謂配對，其運算為，例如以P為素域Fq上的有理點， WQSk擴域F^k上的有理點輸入P和Q，輸出擴域F+qk的元素z，此時，若輸入a倍的P和
b倍的Q，則輸出ζ的ab次冪。而且，在此“k”稱為嵌入次數(shù)，對于"F*qk，’，其正確的表示方
式如下式，但因文本限制在行文中記為"FVc ’’。[式1]
ΦP k
Vl在基于ID加密時的加密或解碼處理，或群簽名時的認證處理中，需要在盡可能短 的時間執(zhí)行。尤其是在基于配對的加密方式等中，執(zhí)行很多標(biāo)量乘法和冪運算，因而期望能 夠高速執(zhí)行上述運算。
為此，以往使用二進制法或窗口法提高標(biāo)量乘法和冪運算的速度。另外，在運算擴域的元素AeFqk的冪An時，通過使用弗羅貝尼烏斯映射φ : A-Atl消減運算次數(shù)提高運算速度。另外，提出了在標(biāo)量乘法中也利用映射消減運算次數(shù)提高運算速度的方案(例如 參照專利文獻1、專利文獻2)。專利文獻1 日本專利公開2004-271792號公報專利文獻2 日本專利公開2007-41461號公報

發(fā)明內(nèi)容
但是，公知的通過映射提高運算速度的方法，在當(dāng)標(biāo)量乘法中的標(biāo)量η或冪運算 中的指數(shù)η遠大于階數(shù)q的情況下(n>>q)非常有效，然而，當(dāng)標(biāo)量η和指數(shù)η不是遠大 于有限域Fq的階數(shù)q時，與不使用提高運算速度的方法而直接執(zhí)行標(biāo)量乘法和冪運算的情 況相比，并沒有顯著的效果。尤其是在基于ID的加密中的加密或解碼處理，及群簽名中的認證處理中，當(dāng)必須 使用帶有標(biāo)量η的標(biāo)量乘法或帶有指數(shù)η冪運算時，多數(shù)情況下標(biāo)量η或指數(shù)η不是遠大 于有限域Fq的階數(shù)q，即使使用公知的提高運算速度的方法也不能得到很好的效果。本發(fā)明人有鑒于上述現(xiàn)狀，對即使當(dāng)標(biāo)量η或指數(shù)η不是遠大于有限域Fq階數(shù)q 時，也能夠高速地執(zhí)行標(biāo)量乘法或冪運算的運算方法展開研究，并得到本發(fā)明。本發(fā)明的標(biāo)量乘法的運算方法中，設(shè)橢圓曲線為E/F, = x3+ax+b-y2 = 0，其中 a e Fq，b e Fq令，E(Fq)為由有限域Fq定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；E(F^k)為由有限域Fq的擴域F^k定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；為關(guān)于有限域Fq的有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射；t為弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡；r為整除E (Fq)的階數(shù)#E (Fq) = q+1-t的素數(shù)階數(shù)；E[r]為階數(shù)為素數(shù)r的有理點集合；[j]為j倍的有理點的映射；G為包含于滿足G = E[r] Π Ker(Φq-[q])
的E (Fqk)中的有理點集合，利用具有CPU和存儲模塊的電子計算機來運算關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的 標(biāo)量η乘法，本發(fā)明的標(biāo)量乘法的運算方法包括輸入步驟，CPU輸入所述非負整數(shù)η的值、所述跡t的值、和由QGGcE(Fqk)表示 的有理點Q的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，CPU將存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊初始化；展開步驟，對于G的有理點Q，
Φ,(Q) = [q]Q = [t_l]Q 成立，由此 CPU設(shè)s = t-1，根據(jù)將所述η以s進制展開的下式，[式2]N = ^cMsi, 0 < c[i] < S從i = 0開始重復(fù)進行規(guī)定次數(shù)的由C[i] — s和η — (n-c[i])/s表示的代 入運算，將各系數(shù)c [i]和非負整數(shù)η的值存儲在所述存儲模塊中；運算步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述有理點Q和所述系數(shù)c [i]，從i = 0開始 重復(fù)進行規(guī)定次數(shù)的由Q[i] =c[i]Q表示的運算，將各Q[i]的值存儲在所述存儲模塊中； 禾口合成步驟，CPU替代為t-Ι，根據(jù)由關(guān)于有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射表 示下式的標(biāo)量乘法nQ[式3]nQ =》 ·])
i從所述存儲模塊讀出Q[i]和運算結(jié)果Z，從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由 Ζ-Ζ+Φ； (Q[i])表示的代入運算，將標(biāo)量乘法的運算結(jié)果Z存儲在存儲模塊中。進而，在本發(fā)明的標(biāo)量乘法的運算方法中，在利用整數(shù)變量X分別由q(>c)、r(>c)、t(>c)給出所述橢圓曲線的有限域Fq的 階數(shù)q、整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t時，包括輔助輸入步驟，CPU輸入所述q(>c)、r(>c)、t(>c)各值，存儲在所述存儲模塊中；輔助展開步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Hx)和t(x)的值，令所述s(x)= t(x)_l，根據(jù)將r(x)以S(X)進制展開的下式[式4]
fdeg r(%)/degs (%)]
r(x)= Yj DiOOsOOi, 0 < degCDiCx)) < deg(s(x))
i=0從i = o 到 i<[deg r(x)/deg s(x)]重復(fù)進行由 Di(X) - r(x) %s(x)和 r(x) — (r(x)-Di(x))/s(x)表示的代入運算，將各系數(shù)Di ( χ )和r ( χ )的值記錄在所 述存儲模塊中；輔助抽出步驟，CPU抽出所述被存儲的系數(shù)03>0中，deg(Di(x))為最大的 Ddfflax(x),存儲在所述存儲模塊中；輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Ddmax ( χ )、Di ( χ )、Q的值，使用滿足Φ/max ([Ddfflax ( χ )]Q) =Σ Φ ([ (χ)]0)-Φ(1<1ω3χ(
0) = ^(Φ,, x)]Q的多項式f ( Φ q，x )，根據(jù)Φ qkQ = Q，確定滿足[Ddmax(X)JQ = ^(Φ,, x)=x)]Q的多項式h ( Φ ,，χ )，將所述多項式h ( Φ q，X )的值存儲在所述存儲模塊中；和
CPU令χ = a將所述s進制展開替換為由s = Ddfflax (a)構(gòu)成的Ddfflax (a)進制展開， 替換為Ddmax(a)并使用所述多項式h(c^，a)的步驟。而且，在本發(fā)明的標(biāo)量乘法的運算方法中，
當(dāng)所述系數(shù)Di ( χ )中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di ( χ )時，所述輔助輸入步驟還包括，CPU輸入滿足r(X) Im(X)的m(X)的值，并存儲在所 述存儲模塊中的步驟，并具有第二輔助確定步驟，CPU令deg^J χ ))的最高次數(shù)dmax項，即，χ “的系數(shù)為 ^ ($(1)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)01(>0，在所述存儲模塊中對11((^，χ)和υ(Φ,，χ) 分配初始值“0”，從i = 0到i <「degr(>c)/degS(>c)」為止重復(fù)進行代入運算，該代入運 算中，當(dāng) deg^Jx)) = dmax 時，表示為 Τ(Φ,，χ) — Τ(Φ,，x )+Di ( χ ) Φ J，其他情況下， 表示為υ(Φ,，χ)χ HDi(X) Φ ，將Τ(Φ,，χ)和υ(Φ,，χ)的值存儲在存儲模 塊中，確定最高次數(shù)系數(shù)Tdmax(CK)；第三輔助確定步驟，CPU從存儲模塊讀出m(X)和R(X)的值，使用滿足 H χ ) Im(X)的最小次數(shù)的多項式m(X)，進行由W(Cj5q) 一 gccKTjc^)，m(c^))和 ν(Φ,) -ΚΦ,)表示的代入運算，確定滿足ν(Φ,) |πι(Φ(1),δο(1(Τ(1ω3Χ(Φ(1),ν(Φ(1)) =1的V ( Φ ，將所述V ( Φ 的值存儲在存儲模塊中；第四輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出V(Cj5q)和m(c^)的值，利用擴展歐 幾里得互除法確定滿足δ(φ )ν(φ ) = v(mod !!!(Φ,))的整數(shù)標(biāo)量ν和g( Φ)的值，將所述標(biāo)量ν和g( Φ)存儲在所述存儲模塊中；第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Tdmax ( Φ 、 x dmaxJi(X)、Q各值，使用滿足[Tdfflax ( Φ q) XdmaxJQ=E Φ ([Ο (χ)]0)-[Τ,ω3Χ(Φ ) XdmaxJQ= [ ΧΦ,，x)]Q的多項式f (Φ q，χ )和所述g (Φ ，根據(jù)Φ qkQ = Q確定滿足[VXdmaxJQ = [g(c^)f(cK，x)]Q = ^(Φ,, x)]Q的多項式h ( Φ ,，χ )，將所述多項式h ( Φ q，X )的值存儲在所述存儲模塊中；和CPU從所述存儲模塊讀出所述h ( Φ q，X )的值，使該h ( Φ q，X )的關(guān)于Φ q的常數(shù)項h (0，X )滿足[vx^-h (0, x)]Q = [h((^，x)-h (0, x)]Q，由此令χ = a，進行由 s，= vadmax-h (0，a)和 h，( Φ = h ( Φ q，a) _h (0，a)表示的運 算，將s’和h’ (Φ,)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以D-Ja)進制展開，對t-1進制展開后的所述n，以VadmaM1(OA)進制展開， 并用 h ( Φ q，a) -h (0，a)代替 vadmax-h (0，a)的步驟。另外，在本發(fā)明的冪運算的運算方法中，令Fqk為階數(shù)q的有限域Fq的k次擴域，H為F^k的素數(shù)階數(shù)r的乘法子群，Φ q為關(guān)于有限域Fq的元素的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，
利用具有CPU和存儲模塊的電子計算機運算關(guān)于非負整數(shù)η的H的元素A的η次 冪的冪運算，本發(fā)明的冪運算的運算方法包括 輸入步驟，CPU輸入所述非負整數(shù)η的值、所述階數(shù)q的值、所述F^k的素數(shù)階數(shù)r 的值、由AeHcFqk表示的元素A的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，CPU對存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊進行初始化；第一運算步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述階數(shù)q、所述元素A的值，令所述q與 r的差為s = q-r，從j = 0到j(luò) <「lo&s」重復(fù)由T[j] 一 A和A — A*A表示的代入運算， 將所述T[j]和所述A的值存儲在所述存儲模塊中；展開步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述η和差s的值，根據(jù)由差s展開的下式[式5]n = ^c[i]si, ο < c[i] < s
i從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由c[i] — s和η — (n-c[i])/s表示的代入運 算，將各系數(shù)c [i]和非負整數(shù)η的值存儲在存儲模塊中；第二運算步驟，CPU從存儲模塊讀出c[i]和所述η的值，根據(jù)A[i] = Ac[i], 初始化A[i] = 1，在c[i]&l時，從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由A[i] — A[i]*T[j]和 c[i] — c[iV2表示的代入運算，將A[i]和c[i]的值存儲在存儲模塊中；和合成步驟，CPU從存儲模塊讀出各A[i]，根據(jù)下式[式6]An=P] φ (A[i])從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由Ζ —Ζ* Φ ^(Ati])表示的冪運算，將計算的結(jié)果 Z存儲在存儲模塊中。進而，本發(fā)明的冪運算的運算方法中，設(shè)Χ~{Υ}表示 χγ，在用整數(shù)變量X分別由q(X)、r(>c)、S(>c)給出所述階數(shù)q、所述素數(shù)階數(shù)r、所 述s時，包括輔助輸入步驟，CPU輸入所述q(>c)、r(>c)、S(>c)各值，存儲在所述存儲模塊中；輔助展開步驟，CPU從所述存儲模塊讀出r(X)和s(x)，用所述S(X)根據(jù)將 r(x)以s(x)進制展開的下式[式7]
r(x)= Yi DiOOsOrf, 0<deg(Di(x))<deg(s(x))
i=0從 i = 0 至Ij i <「degr(x)/degs(x)」重復(fù)由 Di(X) —r(x) %s(x)禾口 r(x) — (r(x)-Di(x))/s(x)表示的代入運算，將所述系數(shù)Di ( χ )和r ( χ )存儲在所述存儲模塊中； 輔助抽出步驟，CPU抽出被存儲的系數(shù)Di (X) ^,deg(Di(x))為最大的Ddfflax ( χ )， 存儲在所述存儲模塊中；輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述Ddmax ( X )、Di ( X )、q的值，使用滿足(A"{Ddfflax(x)})"{qdfflax} =Α"{ Σ ^dmax-Di(X)qiI =A"{f(q, x)}的多項式f(q，X)，根據(jù)C^k(A) =A，確定滿足A" (Ddfflax (x)} =Α"{ Σ ^ ^ax-Di ( χ ) Qi-QdmaxI =A"{h(q, χ)}的多項式h(q，X)，將所述多項式h(q，x)的值存儲在所述存儲模塊中；和CPU令χ = a將所述s進制展開的所述η替換為由s = Ddmax(a)構(gòu)成的Ddmax(a) 進制展開，用所述多項式h(q，a)替換D-Ja)的步驟。而且，在本發(fā)明的冪運算的運算方法中，當(dāng)所述系數(shù)Di(X)中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di (X)時，所述輔助存儲步驟還包括，CPU輸入滿足r(x) Im(X)的m(x)的值，存儲在所述 存儲模塊中的步驟，并具有第二輔助確定步驟，CPU令deg (Di (X))的最高次數(shù)dmax的項，即x dmax的系數(shù)為 Tdfflax (q)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)Di (X)，在所述存儲模塊中對T (q，x)和U(q，x )的分 配初始值“0”，從i = 0到i <「degr(>c)/degS(>c)」重復(fù)進行代入運算，該代入運算中， 當(dāng) deg^Jx)) = dmax 時，表示為 T (q，x) — T(q，x )+Di ( x ) q、其他情況下，表示為 U (q， x) —U(q，XHDi(X)qS將T(q，x)和U(q，x)的值存儲在所述存儲模塊中，確定最高次 數(shù)系數(shù)Tdmax (q)；第三輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出m(X)和R(X)的值，使用滿 足r(X)lm(X)的最小次數(shù)的多項式m(X)，進行由W(q) - gcd (Tdfflax (q), m(q))和 V(q) — W(q)表示的運算，確定滿足 V (q) I m (q)，gcd (Tdmax (q)，V (q)) =1的V(q)，將所述V(q)的值存儲在所述存儲模塊中；第四輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出V(q)和m(q)的值，利用擴展歐幾里 得互除法確定滿足g(q)V(q) = ν (mod m(q))的整數(shù)標(biāo)量ν和g(q)，將所述標(biāo)量ν和g(q)的值存儲在所述存儲模塊中；第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Tdmax(q)、 X dmax^ Di ( χ )、Q 各值，利用滿足 A" ITdmax (q) χ dmaxI = Α"{ Σ Di(X) Qi-Tdmax (q) χ “)= A"{f(q, x)}的多項式f(q，x)和所述g(q)，根據(jù)(^k(A) =A，確定滿足Α" {ν χ dmaxI = A"{g(q)f(q, x)} = A"{h(q, x)}的多項式h(q，X )，將所述多項式h(q，X )的值存儲在所述存儲模塊中；和CPU從所述存儲模塊讀出所述h(q，X)的值，使該h(q，X)的關(guān)于q的常數(shù)項h(0，x)滿足A'lvx^-h (0, x)} = A"{h(q, x)_h(0，x)}，
令χ = a，進行由 s’ = vadmax-h(0, a)和 h，(q) = h(q，a)_h(0，a)表示的運算， 將S’和h’ (q)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以Ddmax(a)進制展開，對以s進行展開后 的所述η以vadmax_h (0，a)進制展開，并用h (q, a) _h (0，a)代替VadmaM1 (0，a)的步驟。另外，本發(fā)明的記錄有標(biāo)量乘法的運算程序且能夠被電子計算機讀取的記錄介質(zhì) 中，記錄有如下所述標(biāo)量乘法的運算程序，設(shè)橢圓曲線為E/F, = x3+ax+b-y2 = 0，其中 a G Fq，b e Fq
令，E(Fq)為由有限域Fq定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；E(F^k)為由有限域Fq的擴域F^k定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；為關(guān)于有限域Fq的有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射；t為弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡；r為整除E (Fq)的階數(shù)#E (Fq) = q+1-t的素數(shù)階數(shù)；EM為階數(shù)為素數(shù)r的有理點集合；[j]為j倍的有理點的映射；G為包含于滿足G = E[r] Π Ker(<j5r[q])的E(F^k)中的有理點集合，利用具有CPU和存儲模塊的電子計算機執(zhí)行關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo) 量η乘法，該運算程序在電子計算機中執(zhí)行輸入步驟，輸入所述非負整數(shù)η的值、所述跡t的值、和由Q EGc=E(Fqk)表示的有 理點Q的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，將存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊初始化；展開步驟，令對于G的有理點Q，(^(Q) = [q]Q = [t_l]Q 成立，由此設(shè)s = t-Ι，根據(jù)將所述η以s進制展開的下式，[式8]N = ^ Cplsi, 0 < C[l] < S從i =0開始重復(fù)進行規(guī)定次數(shù)的由C[i] — 和η — (n_C[i])/s表示的代 入運算，將各系數(shù)c [i]和非負整數(shù)η的值存儲在所述存儲模塊中；運算步驟，從所述存儲模塊讀出所述有理點Q，非負整數(shù)η和所述系數(shù)c[i]，從i =0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由Q[i] = c[i]Q表示的運算，將各Q[i]的值存儲在所述存儲模 塊中；和合成步驟，替代為t-Ι，根據(jù)由關(guān)于有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射表示下 式的標(biāo)量乘法nQ[式9]
從所述存儲模塊讀出Q[i]和運算結(jié)果Z，從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由 Ζ-Ζ+Φ； (Q[i])表示的代入運算，將標(biāo)量乘法的運算結(jié)果Z存儲在存儲模塊中。進而，在本發(fā)明的記錄有標(biāo)量乘法的運算程序且能夠被電子計算機讀取的記錄介 質(zhì)中，在分別由整數(shù)變量X由q(>c)、r(>c)、t(>c)給出所述橢圓曲線的有限域Fq的階 數(shù)q、整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q的跡t時，由電子計算機執(zhí)行 如下步驟輔助輸入步驟，輸入所述9(乂)、1~(>0 3(>0各值，存儲在所述存儲模塊中；輔助展開步驟，從所述存儲模塊讀出r(x )和t(x)的值，令所述S(X)= t(x)_l，根據(jù)將r(x)以S(X)進制展開的下式[式10]
τω= Yj Di(X)SOOi, 0 < deg(Di(x)) < deg(s(x)) i=0從i = 0 到 i<[deg r(%)/deg重復(fù)進行由 Di(X) - r(x) % s(x)和 r(x) — (r(x)-Di(x))/s(x)表示的代入運算，將各系數(shù)Di ( χ )和r ( χ )的值記錄在所 述存儲模塊中；輔助抽出步驟，抽出所述被存儲的系數(shù)Di(X)中，degQJx))為最大的 Ddfflax(x),存儲在所述存儲模塊中； 輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出Ddfflax ( χ )、Di ( χ )、Q的值，使用滿足Φ/"χ(
0) =Σ Φ ([ (χ)]0)-Φ(1<1ω3χ(
0) = ^(Φ,, x)]Q的多項式f ( Φ q，X )，根據(jù)Φ qkQ = Q，確定滿足[Ddmax(X)JQ = ^(Φ,, χ)=X)]Q的多項式!!(Φ,，乂)，將所述多項式11((^，x)的值存儲在所述存儲模塊中；和令χ = a將所述s進制展開替換為由s = Ddmax(a)構(gòu)成的D-Ja)進制展開，替 換為Ddmax(a)并使用所述多項式h(c^，a)的步驟。而且，本發(fā)明的記錄有標(biāo)量乘法的運算程序且能夠被電子計算機讀取的記錄介質(zhì) 中，當(dāng)所述系數(shù)Di (X)中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di (X)時，所述輔助輸入步驟還包括，輸入滿足r(X) Im(X)的m(X)的值，存儲在所述存儲 模塊中的步驟，并由所述電子計算機執(zhí)行如下步驟第二輔助確定步驟，令degQJx))的最高次數(shù)dmax項，即x “的系數(shù)為 ^ ($(1)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)01(>0，在所述存儲模塊中對11((^，χ)和υ(Φ,，χ) 分配初始值“0”，從i = 0到i <「degr ( χ ) /degs ( χ )」重復(fù)進行代入運算，該代入運算中，當(dāng)deg^Jx)) =dmax時，表示為Τ(Φ,，χ)x )+Di ( χ ) Φ J，其他情況下，表示為
υ(Φ,，χ) — υ(Φ,，XHDi(X) Φ/，將Τ(Φ,，χ)禾口 υ(Φ,，χ)的值存儲在存儲模塊中，確 定最高次數(shù)系數(shù)Tdmax(Cttl)；第三輔助確定步驟，從存儲模塊讀出m(X)和R(X)的值，使用滿足r(x) Im(X) 的最小次數(shù)的多項式m( χ )，進行由W(Cj5q) —gccKUc^)，m(c^))和ν(Φ,) -ΚΦ,) 表示的代入運算，確定滿足ν(Φ5) |m(c^)，gCd(Tdmax((^)，V((^)) =1
的V ( Φ ，將所述V ( Φ 的值存儲在存儲模塊中；第四輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出ν(Φ,)和m(c^)的值，利用擴展歐幾里 得互除法確定滿足δ(φ )ν(φ ) = v(mod !!!(Φ,))的整數(shù)標(biāo)量ν和g( Φ)的值，將所述標(biāo)量ν和g( Φ)存儲在所述存儲模塊中；第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出Tdmax(CK)、 X dmaxJi(X)、Q各值，使用滿足[Tdfflax ( Φ q) XdmaxJQ=E Φ ([Ο (χ)]0)-[Τ,ω3Χ(Φ ) XdmaxJQ= [ ΧΦ,，x)]Q的多項式 ΧΦ,，x)和所述g(c^)，根據(jù)^KkQ = Q確定滿足[VXdmaxQ= [δ(Φ )Γ(Φ(1, x)]Q = ^(Φ,, x)]Q的多項式!!(Φ,，乂)，將所述多項式11((^，x)的值存儲在所述存儲模塊中；和從所述存儲模塊讀出所述!!(Φ,，x)的值，使該!!(Φ,，x)的關(guān)于Φ,的常數(shù)項h(0，x)滿足[vx^-h (0, x)]Q = ^(Φ,, x)-h (0, x)]Q，令χ = a，進行由 s，= vadmax-h(0, a)和 h，( Φ = h ( Φ q，a)-h (0, a)表示的運 算，將s’和h’ (Φ,)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以D-Ja)進制展開，對t-1進制展開的所述n，以VadmaM1(OA)進制展開，并 用 h ( Φ q，a) -h (0，a)代替 vadmax-h (0，a)的步驟。另外，本發(fā)明的記錄有冪運算的運算程序且能夠被電子計算機讀取的記錄介質(zhì) 中，如下所述冪乘法的運算程序，令，F(xiàn)qk為階數(shù)q的有限域Fq的k次擴域，H為F^k的素數(shù)階數(shù)r的乘法子群，φ q為關(guān)于有限域Fq的元素的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，利用具有CPU和存儲模塊的電子計算機運算對于非負整數(shù)η的H的元素A的η次 冪的冪運算，該運算程序在電子計算機中執(zhí)行輸入步驟，輸入所述非負整數(shù)η的值、所述階數(shù)q的值、所述F^k的素數(shù)階數(shù)r的 值、由AEHcFqk表示的元素A的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，對存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊進行初始化；第一運算步驟，從所述存儲模塊讀出所述階數(shù)q、所述元素A的值，令所述q與r的 差為s = q_r，從j = 0到j(luò) <「lo&s」重復(fù)由T[j] 一 A和A — A*A表示的代入運算，將所述T[j]和所述A的值存儲在所述存儲模塊中；展開步驟，從所述存儲模塊讀出所述η和差s的值，根據(jù)由差s展開的下式[式11] i從i =0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由c[i] — 和η — (n_c[i])/s表示的代入運 算，將各系數(shù)c [i]和非負整數(shù)η的值存儲在存儲模塊中；第二運算步驟，從存儲模塊讀出c[i]和所述η的值，根據(jù)A[i] = f[i]，初始化A[i] =1，在c[i]&l時，從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由A[i] —A[i]*T[j]和c[i] — c[i]/2 表示的代入運算，將A [i]和c[i]的值存儲在存儲模塊中；和合成步驟，CPU從存儲模塊讀出各A[i]，根據(jù)下式[式12]Α^ΡΙΦ^ΑΜ)從i = 0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由Ζ —Ζ* Φ ^(Ati])表示的冪運算，將計算的結(jié)果 Z存儲在存儲模塊中。進而，本發(fā)明的記錄有冪運算的運算程序的記錄介質(zhì)中，設(shè)Χ~{Υ}表示 ΧΥ，在用整數(shù)變量X分別由q(>c)、r(>c)、S(>c)給出所述階數(shù)q、所述素數(shù)階數(shù)r、所 述s時，由電子計算機中執(zhí)行如下步驟輔助輸入步驟，輸入所述9(>0、1~(>0、8(>0各值，存儲在所述存儲模塊中；輔助展開步驟，從所述存儲模塊讀出r ( X )和s ( X )，用所述s ( X )根據(jù)將Hx) 以S(X)進制展開的下式[式13]
fdeg r(x)/deg s(%)l
r(x) = Yj DiOOsOOi, 0 < Cleg(DiOO) < deg (s(x)) i=0從i = 0 至Ij i <「degr ( χ ) /degs (x)」重復(fù)由 Di(X)^r(X) %s(x)禾口 r(x) — (r(x)-Di(x))/s(x)表示的代入運算，將所述系數(shù)Di ( χ )和r ( χ )存儲在所述 存儲模塊中；輔助抽出步驟，抽出被存儲的系數(shù)Di(X)中，deg(Di(x))為最大的Ddmax ( χ )，存 儲在所述存儲模塊中；輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出所述Ddfflax ( X )、Di ( X )、q的值，使用滿足(A" (Ddfflax (X)})" {qdmax} = Α" { Σ ^ ^ax-Di ( x ) q1} =A" {f (q, x)}的多項式f(q，X)，根據(jù)C^k(A) =A，確定滿足A" (Ddfflax (x)} =A"{ Σ ^ ^ax-Di ( x ) Qi-QdmaxI = A" {h (q, x)}的多項式h (q，Χ )，將所述多項式h (q，X )的值存儲在所述存儲模塊中；和
令χ = a將所述s進制展開的所述η替換為由s = Ddmax(a)構(gòu)成的Ddfflax (a)進制 展開，替換為Ddmax (a)并使用所述多項式h(q，a)的步驟。而且，在本發(fā)明的記錄有冪運算的運算程序的記錄介質(zhì)中，當(dāng)所述系數(shù)Di ( χ )中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di ( χ )時，所述輔助存儲步驟還包括，輸入滿足r(X) Im(X)的m(X)的值，存儲在所述存儲 模塊中的步驟，在電子計算機中執(zhí)行如下步驟 第二輔助確定步驟，令degQJx))的最高次數(shù)dmax的項，S卩Xdmax的系數(shù)為 Tdfflax (q)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)Di (X)，在所述存儲模塊中對T (q，x)和U(q，x )的分 配初始值“0”，從i = 0到i <「degr(>c)/degS(>c)」重復(fù)進行代入運算，該代入運算中， ^deg(Di(x)) = dmax 時，表示為 T (q，x) — T(q，x )+Di ( x ) q、其他情況下，表示為 U (q， x) —U(q，XHDi(X)qS將T(q，x)和U(q，x)的值存儲在所述存儲模塊中，確定最高次 數(shù)系數(shù)Tdmax (q)；第三輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出m(x)和R(x)的值，使用滿 Mr(X)Im(X)的最小次數(shù)的多項式m(X)，進行由W(q) - gcd (Tdfflax (q), m(q))和 V(q) — W(q)表示的運算，確定滿足V (q) I m (q)，gcd (Tdmax (q)，V (q)) =1的V (q)，將所述V (q)的值存儲在所述存儲模塊中；第四輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出V(q)和m(q)的值，利用擴展歐幾里得互 除法確定滿足g(q)V(q) = ν (mod m(q))的整數(shù)標(biāo)量ν和g (q)，將所述標(biāo)量ν和g (q)的值存儲在所述存儲模塊中；第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出Tdfflax (q)、X dma\ Di(X)、Q各值，利用滿足A" (Tdfflax (q) x dmax} = A" { Σ Di(X) Qi-Tdmax (q) x dmax) = A" {f (q, x)}的多項式f(q，x)和所述g(q)，根據(jù)(^k(A) =A,確定滿足Α" {ν χ dmaxI = A" {g (q) f(q, x)} = A"{h(q, x)}的多項式h (q，Χ )，將所述多項式h (q，X )的值存儲在所述存儲模塊中；和CPU從所述存儲模塊讀出所述h (q，X )的值，使該h (q，X )的關(guān)于q的常數(shù)項h (0，X )滿足Α" {ν X —-h (0，x)} = A" {h (q，x ) _h (0，x )}，令x = a，進行由 s’ = vadmax-h(0, a)和 h，(q) = h(q，a)_h(0，a)表示的運算， 將S’和h’ (q)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以Ddmax(a)進制展開，對以s進行展開后 的所述η以vadmax_h (0，a)進制展開，并用h (q, a) _h (0，a)代替VadmaM1 (0，a)的步驟。發(fā)明效果本發(fā)明利用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q消減運算次數(shù)，尤其是在標(biāo)量乘法中，對 于G的有理點Q，使= [q]Q = [t-l]Q成立，或者是在冪運算時，令q與r的差為s = q-r,對于H的非零元素A，使
Φ^Α) = Aq = As成立，由此，對標(biāo)量η以t-1進制展開，或?qū)χ笖?shù)(Χ t數(shù))η以s進制展開，通過替 換為t-Ι并使用有理點的弗羅貝尼烏斯映射，或替換為s并使用元素的弗羅貝尼烏斯自 同態(tài)映射Φ q，使得即使在標(biāo)量乘法中的標(biāo)量n，或冪運算中的指數(shù)η不是遠大于階數(shù)q時， 也能夠減少運算次數(shù)，提高運算速度。尤其是在以配對為基礎(chǔ)的基于ID加密或群簽名等中使用橢圓曲線作為雙線性對 曲線的配對，在使用該雙線性對曲線時，使用整數(shù)變量X預(yù)先給出階數(shù)q(x)、整除#E(Fq) 的素數(shù)階數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)，在標(biāo)量乘法中，將Hx)以 t ( X ) -1進制展開，并設(shè)在該Wt(X)-I進制展開時導(dǎo)入的系數(shù)Di ( χ )中最高次數(shù)的系數(shù) Di(X) SDdmax(X),將該Ddmax(X)置換為多項式h(c^，χ )，由此進一步消減運算次數(shù)，另 夕卜，在冪運算中，將r(x)以S(X) = q(x)-r(x)進制展開，并設(shè)在該以s(x)進制展開 時導(dǎo)入的系數(shù)Di(X)中最高次數(shù)的系數(shù)Di(X)為Ddmax(X),將該Ddmax (χ)置換為多項式 h (Φ ,，χ )，由此能夠進一步消減運算次數(shù)，提高運算速度。而且，當(dāng)存在多個為最高次數(shù)的dmax WDi (X)時，使用滿足r ( χ ) |m( χ )的最小 次數(shù)的多項式m (χ)，確定滿足V (q) I m (q)，gcd (Tdmax (q)，V (q)) =1的V (q)，并使用滿足g(q)V(q)三ν (mod m(q))的整數(shù)標(biāo)量V，在標(biāo)量乘法中，替代以Ddfflax ( x )進制展 開，對以t-Ι進制展開后的標(biāo)量η以VXdmaM1 (0，X)進制展開，通過用h(q，x)-h(0, χ) 代替vXd X_h(0，χ )，進一步消減運算次數(shù)，另外，在冪運算中，代替Ddmax(X)進制展開， 對以s進制展開后的指數(shù)η以vxdmax-h(0，X)進制展開，通過用h(q，x)-h(0, x )代替 ν χ dmaMi(C), χ )，進一步消減運算次數(shù)，提高運算速度。


圖1具有標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序的電子計算機。圖2是標(biāo)量乘法的運算程序的流程圖。圖3是標(biāo)量乘法的運算程序的流程圖。圖4是用于求取Ddmax (X)和多項式!!(Φ,，x)的輔助程序的流程圖。圖5是標(biāo)量乘法的運算程序的流程圖。圖6是用于求取!!(Φ,，X )禾Π ν X dmax-h(0, χ )的輔助程序的流程圖。圖7是冪運算的運算程序的流程圖。圖8是冪運算的運算程序的流程圖。圖9是用于求取Ddmax (X)和多項式h(q，x)的輔助程序的流程圖。圖10是冪運算的運算程序的流程圖。圖11是用于求取多項式h(q，X )禾Π ν X dmaM1 (0，x )的輔助程序的流程圖。符號說明10電子計算機
IlCPU12存儲裝置
13存儲器14 總線15輸入輸出控制部20電氣通信線路30客戶端
具體實施例方式本發(fā)明的目的是提高標(biāo)量乘法和冪運算的運算速度，雖然標(biāo)量乘法和冪運算的運 算本身不同，但使用相同方法提高運算速度，能夠消減他們的運算次數(shù)，從而能夠提高運算 速度。首先對標(biāo)量乘法進行說明，然后再對冪運算進行說明。首先，設(shè)橢圓曲線為E/F, = x3+ax+b-y2 = 0，其中 a G Fq，b e Fq定義E(Fq)由有限域Fq定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；E (Fqk)由有限域Fq的擴域E (Fqk)定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；關(guān)于有限域Fq的有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射；t:弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡；r 整除E (Fq)的階數(shù)#E (Fq) = q+1-t的素數(shù)階數(shù)；EM 階數(shù)為素數(shù)r的有理點集合；[j] :j倍的有理點的映射；G 包含于滿足G = E[r] Π Ker ( Φ「[q])的E(F^k)中的有理點集合。然后，運算關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，即nQ。而且，在本實施 方式中，所設(shè)定的標(biāo)量乘法是在配對運算時進行的，一般標(biāo)量η不遠大于階數(shù)r。另夕卜，由于 r = q+1-t,因此 0 三 q+r-t (mod r)。再次，對標(biāo)量η以t-1進制展開，則標(biāo)量η不遠大于階數(shù)r，因此為η = Cjt-1)+C。，或η = (t-1)'+C1U-I)+C00由于(^(Q)= [q]Q = [t_l]Q，因此在 η = C1 (t_l)+C。，nQ 時，nQ 如下所示，nQ = [C1U-I)+C0] Q= [Ciq]Q+[C0]Q= cji(1([C1]Q) + [C(1]Q。另夕卜，當(dāng)n = (t-lV+Qa-D+Co時，nQ如下所示nQ = [ (t-1) '+C1 (t_l) +C0] Q= [q] [q]Q+[Ciq]Q+[C0]Q= (^((^(QD + c^aCjQHECjQ。在此，C1和Ctl與t-1同等或略小，而且能夠使用有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映 射，由此能夠減少運算次數(shù)。因而，能夠提高標(biāo)量乘法的運算速度。另外，通常進行配對運算時，多是使用已知的雙線性對曲線，預(yù)先由整數(shù)變量X 給出階數(shù)q(x)、整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)。在此，考慮[r]Q= [q+l-t]Q = 0，設(shè)用t(x)_l除r(x)而未除盡。即，r(x)表示為
[r ( χ ) Q = Σ [Di(X) U(X)-DiJQ =Σ Φ ； ([Di (( χ ) ]Q),以t(x)_l進制展開，令Di(X)中最高次數(shù)者為Ddmax(X)。然后，將定義為Φ/"χ(
0) =Σ Φ (
0)-Φ^χ(
0)= [f(Φ,, x)]Q的以Φ q和x為變量的二元多項式!!(Φ,，X)導(dǎo)入。進而，根據(jù)Φ qkQ = Q，將定義為[Ddmax(X)JQ = ^(Φ,, χ) Φ廣ax]Q= ^(Φ,, x)]Q的以Φ q和x為變量的二元多項式!!(Φ,，X)導(dǎo)入。即，該多項式!!(Φ,，X)，能 夠?qū)i (χ)中最高次數(shù)的Ddmax(x)，替換為以和χ為變量的多項式!!(Φ,，>0，能夠抑 制向次數(shù)小于最高次數(shù)的運算。特別是χ =a時，將以t-Ι進制展開后的標(biāo)量η進一步以 Ddfflax(a)進制展開，并用h(c^，χ)替換Ddfflax(a)，由此，能夠大大減少運算次數(shù)，提高標(biāo)量乘 法的運算速度。另外，當(dāng)在Di ( χ )中有多個最高次數(shù)者時，用dmax表示最高次數(shù)，設(shè)作為最高次 數(shù)dmax項的Xdmax的系數(shù)為Tdmax(c^)，使用滿足Hx) |m(X)的最小次數(shù)的多項式m( χ ) 確定滿足ν(Φ5) |m(c^)，gCd(Tdmax((^)，V((^)) =1的ν(Φ,)。在此，多項式m(X)可以使用割圓多項式等。然后，使用擴展歐幾里得互除法確定滿足δ(φ )ν(φ ) = v(mod !!!(Φ,))的整數(shù)標(biāo)量ν和g ( Φ ，作為[Tdfflax ( Φ q) XdmaxJQ=E Φ ([Ο (χ)]0)-[Τ,ω3Χ(Φ ) XdmaxJQ= [f(c^，x)]Q導(dǎo)入以Φ,和X為變量的二元多項式f( Φ ,，X)。進一步，使用g ( Φ ，并根據(jù)Φ qkQ = Q，令[VXdmaxJQ =x) (Γ(Φ,, x)]Q = ^(Φ,, x)]Q，導(dǎo)入以φ^和χ為變量的二元多項式!!(Φ,，X)。然后，使!!(Φ,，x)的關(guān)于Φ,的常數(shù)項h(0，x)滿足[vx^-h (0, x)]Q = ^(Φ,, x)-h (0, x)]Q令χ =a，s，= vadmax h(0，a)，h，(Φ,) = h ( Φ q，a) _h (0，a)，替換以 Ddmax (a)進制 展開，將以t-1進制展開后的標(biāo)量η以VadmaMi (0，a)進制展開，使用h ( Φ q，a) _h (0，a)替代 va^x-hO)，a)，由此能夠減少運算次數(shù)，因而能夠提高標(biāo)量乘法的運算速度。在此，h’ (Φ,) 表示，在二元多項式!!(Φ,，χ)中，因令χ =a而成為Φ q這一個變量。以上對標(biāo)量乘法進行了說明，但在冪運算中，定義Fqk 階數(shù)q的有限域Fq的k次擴域；H :Fqk的素數(shù)階數(shù)r的乘法子群；Φ q 關(guān)于有限域Fq的元素的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，進行關(guān)于非負整數(shù)η的H的元素A的η次方。令q與r的差為s = q~r,該s置換 標(biāo)量乘法中的t-i，只需將上述說明改為冪運算，省略詳細說明。在冪運算中，最高次數(shù)部分的運算能夠置換為低次數(shù)的運算，從而能夠減少運算次數(shù)，提高冪運算的運算速度。下面，使用已知的雙線性對曲線說明具體的例子。作為埋入次數(shù)8的雙線性對曲線，已知由r(x) = x4-8x2+25，t(x) = (2x3-ll x+15)/15 給出的整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)。此時，對r (χ)以t( χ )_1進制展開，利用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，得到2r(x) = (15 χ ) Φ,+(-5 χ 2+50)，0 = (15 χ) Φ,+ (-5 χ 2+50) (mod r ( χ ))因此，Di(X)成為D0(X) = -5 Χ2+50,D^ χ ) = 15 χ。其中，由于Dtl(X)為最高次數(shù)，因此，除Dq (Χ)以外移動到右側(cè)，而得到-5 χ2+50 = 15 Χ Φ,對該式整理得到X2-IO = 3 χ Φ,ο因此，在進行關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，或關(guān)于非負整數(shù)η的 H的元素A的η次冪中，對于非負整數(shù)η，將η以t_l進制展開，進而以x 2_10進制展開，用 15 χ 代替x2-10，由此能夠利用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q來運算G的有理點標(biāo)量η 乘法或H的元素A的η次冪，減少運算次數(shù)，提高冪運算的運算速度。作為其他埋入次數(shù)8的雙線性對曲線，在由r ( χ ) = x8-x 4+1,t ( χ ) = χ 5- χ +1給出整除#E(F(1)的素數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)時，將 r(x)以t( χ )-1進制展開，使用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，得到r( χ ) = χ0 三 βφ^+ Οιιο Ι r(x))。因此，Di(X)成為D0(X) = -1，D1(X) = x3。其中，由于D1 ( χ )為最高次數(shù)，因此，除D1 ( χ ) 以外移動到右側(cè)，得到X3(J)q = -I兩邊同時乘以得到X3 = -(J)tJ115因此，在進行關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，或關(guān)于非負整數(shù)η的H 的元素A的η次冪中，對于非負整數(shù)η，將η以t_l進制展開，進而以x 3進制展開，用_ Φ ；1 代替χ 3，從而能夠使用關(guān)于有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射來運算G的有理點的標(biāo) 量η乘法或H的元素A的η次冪，能夠減少運算次數(shù)提高冪運算的運算速度。另外，在埋入次數(shù)10的雙線性對曲線中，已知由
r ( χ ) = 25 χ 4+25 χ 3+15 χ 2+5 χ +1，t ( χ ) = 10 χ 2+5 χ +3 給出整除#E(F(1)的素數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)。此時，將r (X)以t( X )_1進制展開，通過使用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，得到8r(x) = 2 Φ q2- Φ q+ (5 χ +2),0 = 2 Φ q2- Φ q+ (5 χ +2) (mod r(x))因此，Di(X)成為D0( χ ) = 5 χ +2,D^ χ ) = -1，D2(χ) =2。其中Dtl(X)為最高次數(shù)，因此，除Dq (Χ)以外移動到右側(cè)，得到5χ+2 = ^Φ^+Φ,ο因此，在進行關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，或關(guān)于非負整數(shù)η 的H的元素A的η次冪中，對于非負整數(shù)η，將η以t_l進制展開，進而以5 χ +2進制展開， 用-2 Φ q2+ Φ q代替5 χ +2，由此能夠利用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q來運算G的有理點標(biāo) 量η乘法或H的元素A的η次冪，減少運算次數(shù)，提高冪運算的運算速度。另外，在埋入次數(shù)12的雙線性對曲線中，已知由r( χ ) = 36 χ 4_36 χ 3+18 χ 2_6 χ +1，t ( χ ) = 6 χ 2+1給出整除#E(F(1)的素數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)。此時，將r(χ)以t( χ )_1進制展開，通過使用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，得到r(x) = Φq2+ (-6 χ +3) Φq+ (_6 χ +1)，0 = Φ,2+ (-6 χ +3) Φq+ (-6 χ +1) (mod r ( χ ))。因此，Di(X)成為D0( χ ) = -6 χ +1，Di( χ ) = -6 χ +3,D2 ( χ ) = 1。其中D。(x)和01(>0為最高次數(shù)，因此，除Dtl(X)和01(>0 (^得到最高次數(shù)的 X以外項移動到右側(cè)，得到6 χ (Φ,+1) = φ^+βφ,+ ο在此，若設(shè)g(c^) = (^4-(^2+1，則滿足8(3(1((^+1，8((^)) = 1，利用擴展歐幾里 得互除法得到( φq+l)-1E φ,2 (1-φq) (mod g( Φ)。因此，兩邊同乘以\2(1-(^)，得到6x = Φ^Ι-Φ^) ((^2+3(^+1)。因此，在進行關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，或關(guān)于非負整數(shù)η 的H的元素A的η次冪中，對于非負整數(shù)η，將η以t_l進制展開，進而以6 χ進制展開，用 Φ,2(1-Φ(1)(Φ q2+3 Φ q+l)代替6 χ，由此能夠利用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q來運算G的 有理點標(biāo)量η乘法或H的元素A的η次冪，減少運算次數(shù)，提高冪運算的運算速度。
作為更具體的例子，設(shè)X = 825 (10位)。此時，r = 16656811746301 (44 位)t = 4083751(22 位)。此時，由于
6 χ = 4950(13bits) = Φ,2(I"Φ,) (φ,'+βφ,+ )因此，在進行G的有理點的標(biāo)量η乘法或H的元素A的η次冪時，使用有關(guān)有理點 的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射變換為13位左右的標(biāo)量乘法或冪運算后，進行運算，能夠 大幅減少運算次數(shù)。另外，在埋入次數(shù)18的雙線性對曲線中，由r(x) = χ 6+37 χ 3+343，t(x) = (x 4+16 χ+7)/7給出整除#E(F(1)的素數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t(x)。此時，將r(χ)以t( χ )_1進制展開，通過使用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，得到r(x) = (7 χ2)) Φ,+ (21 x 3+343)0 = (7 χ2) Φ J (21 χ 3+343) (mod r(x))。因此，Di(X)成為D0(X) = 21 X3_343，D1(X) = 7 X20其中Dtl(X)為最高次數(shù)，因此，除Dq(Χ)以外移動到右側(cè)，得到21 χ 3-343 = 7 χ2Φ9,對該式整理，得到χ 3-49 = χ2Φ 0因此，在進行關(guān)于非負整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，或關(guān)于非負整數(shù)η的 H的元素A的η次冪中，對于非負整數(shù)η，將η以t_l進制展開，進而以x 3_49進制展開，用 Χ2Φ,代替χ 3_49，由此能夠利用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q來運算G的有理點標(biāo)量η乘 法或H的元素A的η次冪，減少運算次數(shù)，提高冪運算的運算速度。最后，對標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序進行說明。而且，在本實施方式 中，標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序是在由電子計算機執(zhí)行基于ID加密或群簽 名等時，作為一個子程序來執(zhí)行的。如圖1所示，執(zhí)行標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序的電子計算機10具 有執(zhí)行運算處理的CPUll ；和由存儲所需程序或數(shù)據(jù)的硬盤等存儲裝置12、能夠展開執(zhí)行 所需程序并臨時存儲運算中生成的數(shù)據(jù)的RAM構(gòu)成的存儲器13。圖1中，14為總線。在本 實施方式中，在存儲裝置12中存儲有主程序、標(biāo)量乘法的運算程序/冪運算的運算程序等 各種程序、以及這些程序所要使用的數(shù)據(jù)。電子計算機10，在用作例如群簽名中的認證裝置時，與因特網(wǎng)等電氣通信線路20 連接，接收從連接在該電氣通信線路20上的客戶端裝置30發(fā)送來的群簽名的簽名數(shù)據(jù)，臨 時存儲于存儲器13中，根據(jù)群簽名用的程序判斷簽名數(shù)據(jù)的合法性而進行認證處理。圖1 中，15為電子計算機10的輸入輸出控制部。在判斷簽名數(shù)據(jù)的合法性的處理中，多是執(zhí)行標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序，以下，對標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序進行說明。而且，本發(fā)明的標(biāo)量 乘法的運算程序和冪運算的運算程序并限于在群簽名處理中使用，其能夠用于多種用途。 并且，本發(fā)明的標(biāo)量乘法的運算程序和冪運算的運算程序，可以是記錄在存儲裝置12中或 能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)中，或者從服務(wù)器下載到記錄裝置中的，還可以是構(gòu)成 為半導(dǎo)體電路，即以硬件形式構(gòu)成的。首先，說明基于t-Ι進制展開的標(biāo)量乘法nQ。圖2為用于求取標(biāo)量乘法nQ( = Ζ)的流程圖。執(zhí)行標(biāo)量乘法的運算程序，電子 計算機發(fā)揮標(biāo)量乘法器的作用。如圖2所示，最初，CPUll通過電氣通信線路20、輸入輸出 控制部15從客戶端裝置30輸入標(biāo)量IuE(Fq)的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t和有理點 QeGcE(Fqk)的值，存儲在存儲器13中(步驟S101)。此時，電子計算機用作輸入裝置。然后，CPUll在存儲器裝置13中設(shè)定要保持的運算結(jié)果Z，并對Z初始化(Z — 0) (步驟S102)。因此電子計算機用作輸入裝置。CPUll對輸入的Q執(zhí)行有2恂表示的運算 (步驟 S103)。 在步驟S103中，令T[j] = 2JQ,CPUll從存儲器13讀出Q、t的值，執(zhí)行如下動作(l)for(j = 0 ;j <「Iog2S」；j++)(2)T[j]—Q(3)Q —Q+Q(4)End for。在此，(1)中的「log2s」準確意義上應(yīng)為[式14]
卩Og2 Sl
9但因文本的原因，用「」來標(biāo)記。在此，CPUll令s = t-Ι，設(shè)j為自然數(shù)，從j = 0 到j(luò) <「lo&s」反復(fù)執(zhí)行由T[j] — Q和Q — Q+Q表示的代入運算，將運算結(jié)果值存儲在存 儲器13中。而且，以下動作用使用的「」與上同。接著，令t-l = s,CPUll從存儲器11讀出c[i]、s、標(biāo)量η的值，用作轉(zhuǎn)換裝置，將 標(biāo)量η，根據(jù)[式15]
Hogs.nl
η = ^ C^si, 0 < c[i] < s i=0以s進制展開(步驟S104)。在此，i為自然數(shù)，i的大小由η決定。在步驟S104中，進行s進制展開運算，CPUll執(zhí)行以下動作(l)for(i = O ;i <「logsn」；i++)(2)c[i] ^ n% s(3)n — (n_c[i])/s(4) End for
在此，“ ％，，表示余數(shù)。即，CPUll從存儲器13讀出c [i]、s、η的值，從i = 0到i <「logsn」反復(fù)執(zhí)行由c [i] — s和η — (n-c [i]) /s表示的代入運算，將各系數(shù)c [i]、 和標(biāo)量η的值存儲在存儲器13中。
然后，在本實施方式中，電子計算機用作第二運算裝置進行Q[i] =c[i]Q運算 (步驟 S105)。在步驟S105中，用二進制法，CPUll執(zhí)行以下動作(l)for(i = 0 ;i <「logsn」；i++)(2)Q[i]—0(3)for(j = 0 ；c[i] ！ = 0 ；i++)(4)if(c[i]&l)(5)Q[i] — Q[i]+T[j](6) End if(7)C[i] — c[i]/2(8) End for(9) End forBP, CPUll從i = 0到i <「logsn」利用Q[i] — 0的代入運算對存儲在存儲器13 中的Q[i]初始化，并重復(fù)執(zhí)行以下運算。CPUll從存儲器13讀出系數(shù)Q[i]、T[i]，從j = 0到c[i] ！ =0，重復(fù)執(zhí)行如下代入運算，即，在c[i]&l時執(zhí)行由Q[i] — Q[i]+T[j]表示 的代入運算，在其他情況下執(zhí)行由c[i] — c[i]/2表示的代入運算，將各Q[i]和系數(shù)c[i] 存儲在存儲器13中。接著，電子計算機作為合成裝置，使用在步驟S105中運算的Q[i]，利用[式 16]
Hogs nl
IiQ=藝
i=0對標(biāo)量乘法nQ進行合成(步驟S106)。在步驟S106中，CPU執(zhí)行以下動作(l)for(i = 0 ;i <「logsn」；i++)(2)Z - Ζ+Φ； (Q[i])(3) End forBP, CPUll從存儲器13讀出Q[i]、的值，從i = 0到1 <「logsn」重復(fù)執(zhí)行由 Z — Ζ+Φ； (Q[i])表示的代入運算，將Z的值存儲在存儲器13中。然后，電子計算機作為輸出裝置，從輸入輸出控制部15輸出Z的值作為標(biāo)量乘法 的運算程序的執(zhí)行結(jié)果(步驟S107)，結(jié)束標(biāo)量乘法的運算程序。由此，對標(biāo)量η進行IogsIi 分割，因而能夠通過使用Φ q將橢圓二倍計算的運算次數(shù)較少為大致l/logsn。另外，在用整數(shù)變量X分別以q(>c)、r(>c)、t(>c)來確定橢圓曲線的有限域Fq 的階數(shù)q、整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φq的跡t時，將r ( χ )以 t(x)_l展開，從而令由
[r(x)]Q =Σ [Di(X) (t(x)-l)i]Q =Σ Φ ； ([Di ( χ ) ]Q)表示的Di(X)中最高次數(shù)者為Ddmax(X),并使用由Φ/"χ(
9=Σ Φ (
0)-Φ^χ(
0)
= [f(Φ,, x)]Q表示的多項式 ΧΦ,，X)，根據(jù)cj\kQ = Q，使用由[Ddmax(X)JQ = ^(Φ,, x) Φ廣ax]Q= ^(Φ,, x)]Q表示的多項式h ( Φ ,，χ )禾Π Ddmax (χ),來提高標(biāo)量乘法nQ的運算速度。即，在Ddmax ( χ )和多項式h ( Φ ,，χ)被確定時，設(shè)χ = a，對標(biāo)量η以Ddmax (a)進 制展開，并用ΜΦ,，χ)替換Ddmax (a)，從而減少運算次數(shù)。當(dāng)Ddmax ( χ )和多項式h ( Φ ,，χ )被確定時，在標(biāo)量乘法nQ中執(zhí)行標(biāo)量乘法的運算 程序，電子計算機作為標(biāo)量乘法器使用。此時，如圖3所示，最初CPUll輸入標(biāo)量n，令χ = 8,8 = 0^(8)^' (Φ,) =h(c^，a)，并輸入有理點Q EGcE(Fqk)各值，存儲在存儲器I3 中(步驟S201)。此時，電子計算機用作輸入裝置。接著，電子計算機作為初始化裝置。S卩，CPUll在存儲器13中設(shè)定保持運算結(jié)果 的Z，并對其初始化為Z —0 (步驟S202)。然后，電子計算機用作第一運算裝置。S卩，CPUll 對輸入的Q預(yù)先運算2力(步驟S203)。步驟S203的運算與步驟S103的動作相同，省卻其 說明。然后，電子計算機用作第一展開裝置，用[式17]
『logs nl
η = ^ c^s1, 0 < c[i] < s i=0對標(biāo)量η以s進制展開(步驟S204)。步驟S204中的s進制展開與步驟S104中 的展開動作相同，省略其說明。然后，電子計算機用作第二展開裝置，使用h’ (Φ,)和c [i]，并利用[式18] k-1η = ^ Ηφη1, 0 < d[i] < S
i=0對標(biāo)量η以Φ q進制展開(步驟S205)。在步驟S205中，進行Φ q進制展開，CPUll執(zhí)行以下動作(1)Τ(Φ ) - 1(2)for(i = 0 ;i <「logsn」；i++)(3)d[i] - c[i](4)if(d[i]彡 s)(5)for(j = 0 ;j <「logsd[i]」；j++)(6)e[j] - d[i]% s(7)d[i] - (d[i]-e[j])% s
(8) End for(9)υ(Φ ) - 1(10) for (j = 0 ;j <「logsd[i]」；j++)(11)υ(Φ ) - {U(c^)*e[j]*h，(Φ ) '}% (Φ,'-Ι)(12) End for(13)Τ(Φ ) 一 {!"(Φ^+ΜΦ,)*!!，(Φ ) }% (Φ,'-Ι)(14) End if
(15)else(16)Τ(Φ ) 一 {T(c^)+d[i]*h，(Φ ) }% (Φ,'-Ι)(17)End else(18) End forBP, CPUll對存儲在存儲器13中的Τ(Φ,)初始1。CPUll從存儲器13讀出c[i] 的值，進行d[i] —c[i]的代入運算，并將d[i]的值存儲在存儲器13中。然后CPU從存 儲器13讀出d[i]、s的值，在滿足d[i]彡s時，從j = 0到j(luò) <「logs d[i]」反復(fù)執(zhí)行由 e[j] -d[i]%siPd[i] 一(d[i]-e[j])%s 表示的代入運算，在進行了 υ(Φ) —1 的 初始化后，從 j = 0 到 j < riogsd[i]J 反復(fù)執(zhí)行由 υ(Φ,) — {U(c^)*e[j]*h’ (Φ,)^ % (Φ,'-Ι)表示的代入運算，然后執(zhí)行由 Τ(Φ,) — {T(c^)+d[i]*h，(Φ,)1} % (Φ^-Ι)表 示的代入運算，將Τ(Φ,)的值存儲在存儲器13中。CPU11，在不滿足d[i] > s時，執(zhí)行由 Τ(Φ,) 一 {Τ(Φ,)+(1[ ]^'(Φ(1) }% (Φ^-1)表示的代入運算，將Τ(Φ,)的值存儲在存儲 器13中。CPUll從i = 0到i <「logsn」反復(fù)執(zhí)行以上運算，將各i的d[i]、Τ(Φ)的值 存儲在存儲器13中。而且，在將標(biāo)量η以Φ q進制展開時，以進制展開的系數(shù)d[i]比s大。CPUll 將進制展開的系數(shù)d[i]與s相比較，在判斷為進制展開的系數(shù)d[i]比s大時(步 驟S206 =NO)，通過相對于以Φ q展開的系數(shù)d[i]取s的余數(shù)而進行調(diào)整，以使Φ q展開的系 數(shù)d[i]比s小(步驟S207)。此時，電子計算機在步驟S206中用作比較裝置，在步驟S207
中用作調(diào)整裝置。在步驟S207中，電子計算機執(zhí)行以下動作(1) until(Vd[i]<s)(2)for(i = 0 ;i < k-1 ；i++)(3)d[i] — the i_th coefficient of Τ(Φ)(4)if(d[i]彡 s)(5) the i_th coefficient of !"(Φ) 一 0(6)for(j = 0 ;j <「logsd[i]」；j++)(7)e[j] - d[i]% s(8)d[i] - (d[i]-e[j])% s(9) End for(10)υ(Φ ) - 1(ll)for(j = 0 ;j <「logsd[i]」；j++)(12)υ(Φ,) 一 {U(c^)*e[j]*h，(Φ,'-Ι)
(13) End for (H)T(Cj5q) — {Τ(Φ )+υ(Φ(1)*Φ(1 }% (Φ,'-Ι)(15) End if(16) End for(17)End untilS卩，CPUll從存儲器13讀出Τ(Φ,)的第i個系數(shù)的值，在d[i]中存儲其值，將d[i] 與s的值相比較。CPU11，在滿足d[i]彡s時，對Τ(Φ,)的第i個系數(shù)存儲0、從j = 0到 j <「logsd[i]」重復(fù)執(zhí)行由 e[j] —d[i]%s 禾口d[i] — (d[i]_e[j])% s表示的代入運算，然后，在進行了 υ(Φ,) — 1的初始化 后，從 j = o 到 j <「iogsd[i]」重復(fù)執(zhí)行由 υ(Φ,) — {u(c^)*e[j]*h，(Φ,'-ι) 表示的代入運算，接著，執(zhí)行由τ(φ,) — {Τ(Φ )+υ(Φ(1)*Φ(1 }% (Φ^-Ι)表示的代入運算， 將τ(φ,)的值存儲在存儲器13中。CPU11，在不滿足d[i] > S時，不進行上述一系列的運 算。CPUll從i = 0到i < k-ι重復(fù)執(zhí)行上述運算，直到滿足Vd[i]<s。接著，電子計算機作為第二運算裝置，進行Q[i] = d[i]Q的運算(步驟S208)。在步驟S208中，使用二進制法，CPUll執(zhí)行以下動作(l)for(i = 0 ;i < k ；i++)(2)Q[i]—0(3)for(j = 0 ；d[i] ！ = 0 ；i++)(4)if(d[i]&l)(5)Q[i] — Q[i]+T[j](6) End if(7)d[i] — d[i]/2(8) End for(9) End for即，CPUll從存儲器13讀出d[i]和T[j]的值，令Q[i] — 0，對Q[i]初始化后， 在滿足d[i]&l時，執(zhí)行由Q[i] — Q[i]+T[j]表示的代入運算，在不滿足d[i]&l時，執(zhí)行由 d[i] — d[i]/2表示的代入運算，將Q[i]和d[i]的值存儲在存儲器13中。然后，電子計算機用作合成裝置，使用由步驟S208運算的Q[i]，利用[式19]
k-1
i=0對標(biāo)量乘法nQ進行合成(步驟S209)。在步驟S209中，CPUl 1執(zhí)行以下動作(l)for(i = 0 ;i < k ；i++)(2)Z - Ζ+Φ； (Q[i])(3) End forBP, CPUll從存儲器13讀出Z和Q[i]的值，從i = 0到i < k重復(fù)執(zhí)行由 Ζ-Ζ+φ;(0[ ])表示的代入運算，將Z的值存儲在存儲器13中。CPUll從輸入輸出控制部15輸出Z的值。S卩，電子計算機用作輸入裝置，輸入Z作為標(biāo)量乘法的運算程序的執(zhí)行 結(jié)果(步驟S210)，宛城標(biāo)量乘法的運算程序。由此，對標(biāo)量η進行IogsIi分割，因而能夠通 過使用Φ q將橢圓二倍計算的運算次數(shù)較少為大致ClegDdmax ( χ ) /degr ( χ )。由于預(yù)先給出橢圓曲線的有限域Fq的階數(shù)q ( χ )，整除#E (Fq)的素數(shù)階數(shù)r ( χ )， 弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q的跡t ( χ )，因而能夠預(yù)先確定Ddfflax ( χ )和多項式h (Φ ,，χ )， 所以也可以預(yù)先將Ddmax(X)和多項式!!(Φ,，χ)與q(x)、r(>c)和t(x) —同安裝到標(biāo) 量乘法的運算程序中，也可以用r(χ)和t( χ )根據(jù)以下輔助程序求出Ddmax(X)和多項式 h( Φ。χ )。在電子計算機啟動輔助程序時，如圖4所示，首先用作輸入裝置。S卩，CPUll輸入 r(x)和t(x)的值并存儲在存儲器13中(步驟S221)。然后，電子計算機用作展開裝置，使用輸入的t ( X )，令t ( X ) -1 = s ( X )，利用[式 20]
『deg r(x)/degs (χ)1
Γω = Z Di(X)S(X)S O^deg(DiOO)(5(χ))
i=0 將r(x)以s(x)進制展開(步驟S222)。在此，i的大小由r(x)和s(x)自動 決定。在步驟S222中，作為S(X)進制展開的運算，CPUll執(zhí)行以下動作(l)for(i = 0 ;i <「degr ( x )/degs ( x )」；i++)(2)Di(X) —r(x) % s(x)(3)r(x) — (r ( x ) -Di ( x )) /s ( x )(4) End forBP, CPUll 從存儲器 13 讀出 r(x)和 s(x)的值，從 i = 0 到 i < degr(x)/ degs(x)重復(fù)執(zhí)行由 Di(X) —r(x) % S(x)和 r(x) — (HX)-Di(X)Vs(X)表示的 代入運算，將Di(X)和r( χ的值存儲在存儲器13中。然后，電子計算機用作抽出裝置，抽出deg^Jx))為最大者，作SDdfflax (X)輸出 (步驟S223)。即，CPUll從存儲器13讀出Di(X)的值并進行比較，將最大的Di ( x )作為 Ddfflax ( Χ )并將其值存儲在存儲器13中。然后，電子計算機用作運算裝置。S卩，CPUll進行[式21]
fdeg r(x)/degs (χ)1
h(ctvx) =^DiOO&ifd腿)-Ddmax (χ)
i=0的運算，確定多項式!!(Φ,，x )，將其值存儲在存儲器13中，并輸出(步驟S224)。 如上所述，在電子計算機使用輔助程序，能夠求出Ddmax(X)和多項式ΜΦ,，x)。通過將 Ddfflax(X)和多項式ΜΦ,，Χ)用于圖3的步驟201，能夠使圖3所示標(biāo)量乘法中橢圓二倍計 算的運算次數(shù)較少為大致ClegDdmax ( χ ) /degr ( x )。另外，使用整數(shù)變量X并分別預(yù)先由q(>c)、r(>c)、t(>c)確定橢圓曲線的有限域Fq、整除#E (Ftl)的素數(shù)階數(shù)r(x)、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t，并且將Hx)以 t(x)_l進制展開，從而由[r(x)]Q =Σ [Di ( χ ) (t ( χ )-1) iJ Q = Σ Φ ； ([Di ( χ ) ]Q) 表示Di ( χ )，當(dāng)Di ( χ )中最高次數(shù)dmax為多個時，設(shè)作為最高次數(shù)dmax的項的 Χ “的系數(shù)為Tdmax ( Φ ，使用滿足r ( χ ) I m ( χ )的最小次數(shù)的多項式m ( χ )，確定滿足ν(Φ5) |m(c^)，gCd(Tdmax((^)，V((^)) =1的V ( Φ ，并利用擴展歐幾里得互除法確定滿足Ε(Φ )ν(Φ ) = v(mod !!!(Φ,))的標(biāo)量ν和g ( Φ ，使用滿足[Tdfflax ( Φ q) XdmaxJQ=E Φ ([Ο (χ)]0)-[Τ,ω3Χ(Φ ) XdmaxJQ= [f(c^，x)]Q的多項式f ( Φ q，x )和g ( Φ ，根據(jù)Φ qkQ = Q，來確定滿足[VXdmaxJQ = [g(c^)f(cK，x)]Q = ^(Φ,, x)]Q的多項式!!(Φ,，乂)，并使該11((^，x)的關(guān)于Φ,的常數(shù)項h(0，x)滿足[vx^-h(0, x)]Q = ^(Φ,, x)-h(0, x)]Q，從而提高標(biāo)量乘法nQ的運算速度。即，令χ =a，s，= vadmax-h (0，a)，h，(Φ,) = h ( Φ q，a) _h (0，a)，代替以 Ddmax (a) 進制展開，而將標(biāo)量η以vadmax-h (0，a)進制展開，用h ( Φ q，a) _h (0，a)代替vadmax-h (0，a)， 由此消減運算次數(shù)。當(dāng)確定了s，= VadmaMi(Oia)，h，(Φ,) = h ( Φ q, a)-h (0, a)時，在標(biāo)量乘法 nQ 中， 執(zhí)行標(biāo)量乘法的運算程序，電子計算機用作標(biāo)量乘法器。此時，如圖5所示，首先CPUll輸 入標(biāo)量 n，令 χ =a、標(biāo)量 s，= Vadmax-h(0，a)、h，(Φ,) = h ( Φ q，a) _h (0，a)，并輸入有理點
QEGcE(Fqk)的值，存儲在存儲器13中(步驟S301)。此時，電子計算機用作輸入裝置。接著，電子計算機用作初始化裝置，CPUll在存儲器13中設(shè)定保持運算結(jié)果的Z， 并進行Z —0的初始化(步驟S302)。然后電子計算機用作第一運算裝置，CPUll讀出存 儲在存儲器13中的Q的值，預(yù)先進行2力的運算，存儲在存儲器13中(步驟S303)。步驟 S303的運算與步驟S103的運算動作相同，CPUll進行的處理也相同，省略其說明。然后，電子計算機用作第一展開裝置，利用[式 2幻
flog s η!
η= I OScDW
i=0將標(biāo)量η以s，進制展開(步驟S304)。步驟S304中的S，進制展開與步驟S204 中的s進制展開的動作相同，CPUll進行的處理也相同，省略其說明。接著，電子計算機用作第二展開裝置，使用h’ (Φ,)和c [i]，并根據(jù)[式2幻 k-1η = ^ d[i]<^q[, 0 < d[i] < s'
i=0
將標(biāo)量η以Φ q進制展開(步驟S305)。步驟S305中的Φ q進制展開，除了標(biāo)量 s，( = vadmax-h(0, a))與步驟S205中的標(biāo)量M = Ddfflax(a))不同以外，與步驟205中以s 進制展開動作相同，CPUll進行的處理也相同，省略其說明。步驟S305中的進制展開中，進制展開的系數(shù)大于s，。如上所述，在進 制展開的系數(shù)比s’大時(步驟S306 :N0)，相對Φ q進制展開的系數(shù)取S’的余數(shù)而進行調(diào) 整，以使進制展開的系數(shù)比s’小(步驟S307)。步驟S307中的運算，除標(biāo)量S’ (= VadmaM1 (0，a))與步驟S207中的標(biāo)量s ( = Ddmax(a))不同以外，與步驟S207的運算動作相 同，CPUll進行的處理也相同，因此省略其說明。此時，電子計算機在步驟S306中用作比較 裝置，在步驟S307中用作調(diào)整裝置。接著，電子計算機用作第二運算裝置，進行Q[i] =d[i]Q的運算(步驟S308)。在 步驟S308中，利用二進制法，步驟S308的運算與步驟S208的運算動作相同，CPUll進行的 處理也相同，省略其說明。接著，電子計算機用作合成裝置，使用在步驟S308中運算的Q[i]，利用[式24]
權(quán)利要求
一種標(biāo)量乘法的運算方法，其特征在于設(shè)橢圓曲線為E/Fq＝x3+ax+b y2＝0，其中a∈Fq，b∈Fq令，E(Fq)為由有限域Fq定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；E(Fqk)為由有限域Fq的擴域Fqk定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；φq為關(guān)于有限域Fq的有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射；t為弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射φq的跡；r為整除E(Fq)的階數(shù)#E(Fq)＝q+1 t的素數(shù)階數(shù)；E[r]為階數(shù)為素數(shù)r的有理點集合；[j]為j倍的有理點的映射；G為包含于滿足G＝E[r]∩Ker(φq [q])的E(Fqk)中的有理點集合，利用具有CPU和存儲模塊的電子計算機來運算關(guān)于非負整數(shù)n的G的有理點Q的標(biāo)量n乘法，所述運算方法包括輸入步驟，CPU輸入所述非負整數(shù)n的值、所述跡t的值、和由表示的有理點Q的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，CPU將存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊初始化；展開步驟，對于G的有理點Q，φq(Q)＝[q]Q＝[t 1]Q成立，由此CPU令s＝t 1，根據(jù)將所述n以s進制展開的下式，[式39] <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><munder> <mi>&Sigma;</mi> <mi>i</mi></munder><mi>c</mi><mo>[</mo><mi>i</mi><mo>]</mo><msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi></msup><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>&le;</mo><mi>c</mi><mo>[</mo><mi>i</mi><mo>]</mo><mo>&le;</mo><mi>s</mi> </mrow>從i＝0開始重復(fù)進行規(guī)定次數(shù)的由C[i]←n％s和n←(n c[i])/s表示的代入運算，將各系數(shù)c[i]和非負整數(shù)n的值存儲在所述存儲模塊中；運算步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述有理點Q和所述系數(shù)c[i]，從i＝0開始重復(fù)進行規(guī)定次數(shù)的由Q[i]＝c[i]Q表示的運算，將各Q[i]的值存儲在所述存儲模塊中；和合成步驟，用弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射φq取代t 1，標(biāo)量乘法nQ表示為下式[式40] <mrow><mi>nQ</mi><mo>=</mo><munder> <mi>&Sigma;</mi> <mi>i</mi></munder><msup> <msub><mi>&phi;</mi><mi>q</mi> </msub> <mi>i</mi></msup><mrow> <mo>(</mo> <mi>Q</mi> <mo>[</mo> <mi>i</mi> <mo>]</mo> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow>CPU根據(jù)該式，從所述存儲模塊讀出Q[i]和運算結(jié)果Z，從i＝0開始重復(fù)規(guī)定次數(shù)的由Z←Z+φqi(Q[i])表示的代入運算，將標(biāo)量乘法的運算結(jié)果Z存儲在存儲模塊中。FPA00001208044000011.tif
2.如權(quán)利要求1所述的標(biāo)量乘法的運算方法，其特征在于在利用整數(shù)變量χ分別由q(>c)、r(>c)、t(>c)給出所述橢圓曲線的有限域Fq的階數(shù)q、整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡t時，包括輔助輸入步驟，CPU輸入所述q(>c)、r(>c)、t(>c)各值，存儲在所述存儲模塊中； 輔助展開步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Hx)和t(x)的值，令所述s(x)= t(x)_l，根據(jù)將r(x)以s(x)進制展開的下式 [式 41]
3.如權(quán)利要求2所述的標(biāo)量乘法的運算方法，其特征在于 當(dāng)所述系數(shù)Di (χ)中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di (χ)時， 所述輔助輸入步驟還包括，CPU輸入滿足r (χ) |m(X)的m(X)的值，并存儲在所述存 儲模塊中的步驟， 并具有第二輔助確定步驟，CPU令作為degQJx))的最高次數(shù)dmax項的Xdmax的系數(shù)為 U Φ)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)Di (χ)，在所述存儲模塊中對Τ(Φ,，χ)和υ(Φ,，χ) 分配初始值“0”，從i = 0到i <「degr(>c)/degS(>c)」重復(fù)進行如下代入運算，該代入運 算中，當(dāng)deg^Jx)) = dmax時，進行由Τ(Φ,，χ)x )+Di ( χ ) Φ /表示的代入運算，其他情況下，進行由υ(Φ,，χ)XHDi(X) Φ^表示的代入運算，將Τ(Φ,，χ)和υ(Φ,，χ)的值存儲在存儲模塊中，確定最高次數(shù)系數(shù)Tdmax(CK)；第三輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出m(X)和R(X)的值，用滿足 H χ ) Im(X)的最小次數(shù)的多項式m(X)，進行由W(Cj5q) 一 gccKTjc^)，m(c^))和 ν(Φ,) -ΚΦ,)表示的代入運算，確定滿足 ν(Φ,) ImQ^gccKUc^)，V(Cj5q)) = 1 的V ( Φ ，將所述V ( Φ 的值存儲在存儲模塊中；第四輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出V( Φ 和m(c^)的值，利用擴展歐幾里 得互除法確定滿足三 ν (mod m((j5q))的整數(shù)標(biāo)量ν和g ( Φ 的值，將所述標(biāo)量ν和g ( Φ 存儲在所述存儲模塊中； 第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Tdmax(CK)、 χ “、Di ( χ )、Q 各值，使用滿足[Tdmax (Φ,) χ dmax] Q=E Φ / ([Di ( χ ) ] Q) - [Tdfflax (Φ q)dmax] Q = [ΜΦ,，x)]Q的多項式ΜΦ,，x)和所述β(Φ )，根據(jù)= 9確定滿足 [ν X dmaxJQ= [g(c^)f(cK，x)]Q= ^(Φ,, x)]Q的多項式h(c^，\)，將所述多項式11((^，χ)的值存儲在所述存儲模塊中；和 CPU從所述存儲模塊讀出所述h(c^，χ)的值， 使該ΜΦ,，χ)的關(guān)于Φ,的常數(shù)項h(0，χ)滿足 [vxdmax-h(0, x)]Q = ^(Φ,, x)-h(0，x)]Q，由此令 χ = a，進行由 s，= VadmaMi(Oia)和 h，(φ,) = h ( Φ q, a)-h (0, a)表示的運算，將 s’和h’ (Φ,)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以Ddmax(a)進制展開，對以t-1進制展開后 的所述n，以VadmaM1 (0，a)進制展開，并用h ( Φ q，a) _h (0，a)代替VadmaM1 (0，a)的步驟。
4. 一種冪運算的運算方法，其特征在于 令Fqk為階數(shù)q的有限域Fq的k次擴域，H為Fqk的素數(shù)階數(shù)r的乘法子群，Φ q為關(guān)于有限域Fq的元素的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射，利用具有CPU和存儲模塊的電子計算機來運算關(guān)于非負整數(shù)η的H的元素A的η次冪 的冪運算，所述運算方法包括輸入步驟，CPU輸入所述非負整數(shù)η的值、所述階數(shù)q的值、所述F^k的素數(shù)階數(shù)r的值、 由AEHcFqk表示的元素A的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，CPU對存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊進行初始化； 第一運算步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述階數(shù)q、所述元素A的值，令所述q與r的 差為s = q_r，從j = 0到j(luò) <「lo&s」重復(fù)進行由T[j] 一 A和A — A*A表示的代入運算， 將所述T[j]和所述A的值存儲在所述存儲模塊中；展開步驟，CPU從所述存儲模塊讀出所述η和差s的值，根據(jù)以差s展開的下式 [式 42]
5.如權(quán)利要求4所述的冪運算的運算方法，其特征在于 設(shè)X" {Y}表示Xy,在使用整數(shù)變量χ分別由q(>c)、r(>c)、S(>c)給出所述階數(shù)q、所述素數(shù)階數(shù)r、所述 s時，包括輔助輸入步驟，CPU輸入所述q(>c)、r(>c)、S(>c)各值，存儲在所述存儲模塊中； 輔助展開步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Hx)和S(X)，用所述S(X)根據(jù)將r (X) 以S(X)進制展開的下式 [式 44]
6.如權(quán)利要求5所述的冪運算的運算方法，其特征在于當(dāng)所述系數(shù)Di (χ)中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di (χ)時， 所述輔助存儲步驟還包括，CPU輸入滿足r (χ) |m(X)的m(X)的值，并存儲在所述存 儲模塊中的步驟， 并具有第二輔助確定步驟，CPU令作為degQJx))的最高次數(shù)dmax項的Xdmax的系數(shù)為 Tdfflax (q)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)Di (X)，在所述存儲模塊中對T (q，x)和U(q，x )的分 配初始值“0”，從i = 0到i <「degr (χ)/degs ( χ )」重復(fù)進行代入運算，該代入運算中， ^deg(Di(x)) =dmax時，進行由T(q，χ) —T(q，x )+Di ( χ ) Qi表示的代入運算，其他情 況下，進行由U(q，x) -U(q, x )+Di (X)Cii表示的代入運算，將T (q，x)和U(q，x )的值 存儲在所述存儲模塊中，確定最高次數(shù)系數(shù)Tdmax (q)；第三輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出m(X)和R(X)的值，用滿足r(x) |m(x)的最小次數(shù)的多項式m(X)，進行由ff(q) — gcd (Tdfflax (q), m(q))和 V(q) — W(q)表示的運算，確定滿足V(q) Im(q), gcd(Tdmax(Q), V(q)) = 1 的V (q)，將所述V (q)的值存儲在所述存儲模塊中；第四輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出V(q)和m(q)的值，利用擴展歐幾里得互 除法確定滿足g (q) V (q) = ν (mod m(q))的整數(shù)標(biāo)量ν和g (q)，將所述標(biāo)量ν和g (q)的值存儲在所述存儲模塊中； 第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Tdfflax (q)、X dma\ Di ( X )、Q 各值，利用滿足 A" (Tdfflax (q) χ dmax} =Α"{ Σ Di ( χ ) Qi-Tdmax (q) χ dmax) =A"{fq, x)}的多項式f(q，x)和所述g(q)，根據(jù)Φ,ΥΑ) =A確定滿足 Α" {ν X dmax} = A"{g(q)f(q, x)} = A"{h(q, x)}的多項式h(q，X)，將所述多項式h(q，x)的值存儲在所述存儲模塊中；和 CPU從所述存儲模塊讀出所述h(q，x)的值， 使該h(q，X)的關(guān)于q的常數(shù)項h(0，X)滿足 A"{vxdmax-h (0, x)} = A"{h(q, x)-h (0, x)},令 x = a，進行由 s’ = vadmax-h(0, a)和 h’ (q) = h(q，a)_h(0，a)表示的運算，將 s’ 和h’ (q)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以Ddmax (a)進制展開，對以s進行展開后的所述 η 以 VadmaMi (0，a)進制展開，并用 h(q，a)-h(0, a)代替 vadmax-h (0，a)的步驟。
7. —種記錄有標(biāo)量乘法的運算程序的能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)，其特征在于所述標(biāo)量乘法的運算程序用于，由具有CPU和存儲模塊的電子計算機來運算關(guān)于非負 整數(shù)η的G的有理點Q的標(biāo)量η乘法，其中，設(shè)橢圓曲線為 E/F, = x3+ax+b-y2 = 0，其中 a G Fq，b e Fq 令，E(Fq)為由有限域Fq定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；E(F^k)為由有限域Fq的擴域F^k定義的橢圓曲線的有理點構(gòu)成的加法群；Φ q為關(guān)于有限域Fq的有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射；t為弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射的跡；r為整除E(Fq)的階數(shù)#E(Fq) = q+1-t的素數(shù)階數(shù)；E[r]為階數(shù)為素數(shù)r的有理點集合；[j]為j倍的有理點的映射；G為包含于滿足G = E[r] η ΚθΓ(ΦΓ[α])的E (Fqk)中的有理點集合，并在電子計算機中執(zhí)行輸入步驟，輸入所述非負整數(shù)η的值、所述跡t的值、和由QEGc=E(Fqk)表示的有理 點Q的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，將存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊初始化； 展開步驟，對于G的有理點Q， Φ q(Q) = [q]Q = [t_l]Q 成立，由此 令s = t-Ι，根據(jù)將所述η以s進制展開的下式， [式 45]
8.如權(quán)利要求7所述的能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)，其特征在于 在利用整數(shù)變量χ分別由q(>c)、r(>c)、t(>c)給出所述橢圓曲線的有限域Fq的階數(shù) q、整除#E(Fq)的素數(shù)階數(shù)r、弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射Φ q的跡t時，在電子計算機中執(zhí)行 輔助輸入步驟，輸入所述q(x)、r(X)、t(X)各值，存儲在所述存儲模塊中； 輔助展開步驟，從所述存儲模塊讀出r ( χ )和t ( χ )的值，令所述s ( χ ) = t ( χ ) -1，根 據(jù)將r(x)以S(X)進制展開的下式 [式 47]
9.如權(quán)利要求8所述的能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)，其特征在于 當(dāng)所述系數(shù)Di (χ)中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di (χ)時，所述輔助輸入步驟還包括，輸入滿足r (χ) |m(X)的m(X)的值，并存儲在所述存儲模 塊中的步驟，在電子計算機中執(zhí)行第二輔助確定步驟，令作為degQi (χ))的最高次數(shù)dmax項的Xdmax的系數(shù)為 U Φ)，從所述存儲模塊讀出系數(shù)Di (χ)，在所述存儲模塊中對Τ(Φ,，χ)和υ(Φ,，χ) 分配初始值“0”，從i = 0到i <「degr(>c)/degS(>c)」重復(fù)進行如下代入運算，該代入運 算中，當(dāng)deg^Jx)) = dmax時，進行由Τ(Φ,，χ)x )+Di ( χ ) Φ /表示的代入運算，其他情況下，進行由υ(Φ,，χ)x)+DiX) Φ 表示的代入運算，將Τ(Φ,，χ)和υ(Φ,，χ)的值存儲在存儲模塊中，確定最高次數(shù)系數(shù)Tdmax(CK)；第三輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出m((X)和R(x)的值，用滿足r(x) |m(X) 的最小次數(shù)的多項式m( χ )，進行由W(Cj5q) —gccKUc^)，πΚΦ))和ν(Φ,) -ΚΦ,) 表示的代入運算，確定滿足ν(Φ,) ImQ^gccKUc^)，V(Cj5q)) = 1 的V ( Φ ，將所述V ( Φ 的值存儲在存儲模塊中；第四輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出V( Φ 和m(c^)的值，利用擴展歐幾里 得互除法確定滿足Ε(Φ )ν(Φ )三 ν (mod m(c^))的整數(shù)標(biāo)量ν和g ( Φ 的值，將所述標(biāo)量ν和g ( Φ 存儲在所述存儲模塊中； 第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，CPU從所述存儲模塊讀出Tdmax(CK)、 χ dmaxJi (χ)、Q 各值，使用滿足[Tdmax(Cttl) XdmaxJQ=E Φ ([ (χ)]0)-[Τ(1ω3Χ(Φ(1) xdmax]Q =[ΜΦ,，x)]Q的多項式ΜΦ,，x)和所述β(Φ )，根據(jù)= 9確定滿足 [VXdmaxJQ= [g(c^)f(cK，x)]Q= ^(Φ,, x)]Q的多項式h(c^，\)，將所述多項式11((^，χ)的值存儲在所述存儲模塊中；和 從所述存儲模塊讀出所述h(c^，X)的值， 使該h(c^，χ)的關(guān)于Φ,的常數(shù)項h(0，χ)滿足 [vxdmax-h(0, x)]Q = ^(Φ,, x)-h(0，X)]Q，由此令 χ = a，進行由 s，= VadmaMi(Oia)和 h，(φ,) = h ( Φ q, a)-h (0, a)表示的運算，將 s’和h’ (Φ,)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以Ddmax(a)進制展開，對以t-1進制展開后 的所述n，以VadmaM1 (0，a)進制展開，并用h ( Φ q，a) _h (0，a)代替VadmaM1 (0，a)的步驟。
10.一種記錄有冪運算的運算程序的能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)，其特征在于所述冪運算的運算程序用于，由具有CPU和存儲模塊的電子計算機來運算關(guān)于非負整 數(shù)η的H的元素A的η次冪，其中， 令Fqk為階數(shù)q的有限域Fq的k次擴域； H為Fqk的素數(shù)階數(shù)r的乘法子群； Φ q為關(guān)于有限域Fq的元素的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射， 并在電子計算機中執(zhí)行輸入步驟，輸入所述非負整數(shù)η的值、所述階數(shù)q的值、所述F^k的素數(shù)階數(shù)r的值、由 AeHcFqk表示的元素A的值，并存儲在所述存儲模塊中；初始化步驟，對存儲運算結(jié)果Z的所述存儲模塊進行初始化； 第一運算步驟，從所述存儲模塊讀出所述階數(shù)q、所述元素A的值，令所述q與r的差為 s = q_r，從j = 0到j(luò) <「lo&s」重復(fù)進行由T[j] 一 A和A — A*A表示的代入運算，將所 述T[j]和所述A的值存儲在所述存儲模塊中；展開步驟，從所述存儲模塊讀出所述η和差s的值，根據(jù)以差s展開的下式 [式 48]
11.如權(quán)利要求10所述的能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)，其特征在于 設(shè)X" {Y}表示Xy,在使用整數(shù)變量χ分別由q(>c)、r(>c)、S(>c)給出所述階數(shù)q、所述素數(shù)階數(shù)r、所述 S時，在電子計算機中執(zhí)行輔助輸入步驟，輸入所述q(x)、r(X)、S(X)各值，存儲在所述存儲模塊中； 輔助展開步驟，從所述存儲模塊讀出r (χ)和s(x)，用所述S(X)根據(jù)將r(x)以 s(x)進制展開的下式 [式 50]
12.如權(quán)利要求11所述的能夠由電子計算機讀取的記錄介質(zhì)，其特征在于 當(dāng)所述系數(shù)Di (χ)中存在多個為最高次數(shù)dmax的系數(shù)Di (χ)時， 所述輔助存儲步驟還包括，輸入滿足r (χ) |m(X)的m(X)的值，并存儲在所述存儲模 塊中的步驟，在電子計算機中執(zhí)行第二輔助確定步驟，令作為deg(Di (X))的最高次數(shù)dmax項的x ^=1的系數(shù)為Tdmax(q)， 從所述存儲模塊讀出系數(shù)Di(X),在所述存儲模塊中對T(q，x)和U(q，x)的分配初 始值“0”，從i = 0到i <「degr(>c)/degS(>c)」重復(fù)進行代入運算，該代入運算中，當(dāng) deg^Jx)) =dmaX時，進行由T(q，x)—T(q，x )+Di ( χ ) Qi表示的代入運算，其他情況 下，進行由U(q，x) -U(q, x )+Di (X)Cii表示的代入運算，將T (q，x)和U(q，x )的值存 儲在所述存儲模塊中，確定最高次數(shù)系數(shù)Tdmax (q)；第三輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出m(X)和R(X)的值，用滿足r(x) |m(X)的 最小次數(shù)的多項式m(X)，進行由W(q) -gcd (Tdfflax (q),m(q))和V(q) —W(q)表示的運算， 確定滿足V(q) |m(q), gcd(Tdmax(Q), V(q)) = 1 的V (q)，將所述V (q)的值存儲在所述存儲模塊中；第四輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出V(q)和m(q)的值，利用擴展歐幾里得互除法 確定滿足g (q) V (q) = ν (mod m(q))的整數(shù)標(biāo)量ν和g (q)，將所述標(biāo)量ν和g (q)的值存儲在所述存儲模塊中； 第五輔助確定步驟，替代所述輔助確定步驟，從所述存儲模塊讀出Tdmax(q)、xdma\ Di(X)、Q各值，利用滿足A" ITdmax (q) X dmaxI = Α" { Σ Di ( X ) Qi-Tdmax (q) x dmax) =A"{f(q, x)}的多項式f(q，x)和所述g(q)，根據(jù)Φ,ΥΑ) =A確定滿足 Α" {ν X dmax} = A"{g(q)f(q, x)} = A"{h(q, x)}的多項式h(q，X)，將所述多項式h(q，x)的值存儲在所述存儲模塊中；和 CPU從所述存儲模塊讀出所述h(q，x)的值， 使該h(q，X)的關(guān)于q的常數(shù)項h(0，X)滿足A"{vxdmax-h(0, χ)} = A"{h(q, x)-h(0, χ)},令 x = a，進行由 s’ = vadmax-h(0, a)和 h’ (q) = h(q，a)_h(0，a)表示的運算，將 s’ 和h’ (q)的值存儲在所述存儲模塊中，代替以Ddmax (a)進制展開，對以s進行展開后的所述 η 以 VadmaMi (0，a)進制展開，并用 h(q，a)-h(0, a)代替 vadmax-h (0，a)的步驟。
全文摘要
本發(fā)明涉及能夠快速進行運算的標(biāo)量乘法或冪運算的運算方法、以及標(biāo)量乘法或冪運算的程序。在電子計算機中，關(guān)于非負整數(shù)n的G的有理點Q的標(biāo)量n乘法的運算方法和運算程序中，φq(Q)＝[q]Q＝[t-1]Q成立，由此對標(biāo)量n以t-1進制展開，使用有理點的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射φq取代t-1。另外，在電子計算機中，關(guān)于非負整數(shù)n的H的元素A的n次冪的冪運算方法和運算程序中，令q和r的差為s＝q-r，則對于H的非零元素A，φq(A)＝Aq＝As成立，由此對指數(shù)n以s進制展開，使用關(guān)于元素的弗羅貝尼烏斯自同態(tài)映射φq取代s。
文檔編號G09C1/00GK101965602SQ20098010637
公開日2011年2月2日 申請日期2009年2月25日 優(yōu)先權(quán)日2008年2月25日
發(fā)明者加藤英洋, 森川良孝, 赤根正剛, 野上保之 申請人:國立大學(xué)法人岡山大學(xué)