對(duì)滲透率是指該相流體的有效滲透率與絕對(duì)滲透率的比值。
[0089] 求解式（3)時(shí)，對(duì)于源匯項(xiàng)，存在定液和定壓生產(chǎn)兩種內(nèi)邊界條件，且實(shí)際模擬計(jì) 算時(shí)會(huì)存在兩者間相互轉(zhuǎn)化，下面給出兩種條件下的壓力求解過程。
[0092]
[0090] 1)定液生產(chǎn)求解：[0091] 定液生產(chǎn)即ff為已知常數(shù)，（3)式經(jīng)整理得：
JC = I[0094] η時(shí)刻與n-1時(shí)刻壓力關(guān)系可表示為：
[0093]
[0095]
[0096] 通過求解（8)式即可獲得η時(shí)刻各單井泄油區(qū)的平均壓力，進(jìn)而可以得出各井間 連通單元內(nèi)流體流動(dòng)方向及流量：
[0097]
<9)
[0098] 式中L為第k層、η時(shí)刻的第i井和第j井間的流速，單位m3/d。
[0099] 2)定壓生產(chǎn)求解：
[0100] 定壓生產(chǎn)即井底流壓為已知常數(shù)，此時(shí)需要求得各井的生產(chǎn)（或注水）指數(shù)，其可 通過各連通方向的生產(chǎn)指數(shù)疊加算得。以第i井為例，其和第j井在第k層上的井間連通 單元所形成的泄油區(qū)如圖3黑色區(qū)域所示，由滲流理論 [16]，該連通方向的生產(chǎn)指數(shù)J1]k為：
[0101]
(10)
[0102] 式中，Θ i]k為黑色區(qū)域?qū)?yīng)近似扇形的弧度；h 1]k為第i和第j井在第k層平均有 效厚度，m ;rlk為井筒半徑，m ;s lk為表皮因子。
[0103] 此外，由于傳導(dǎo)率和連通體積滿足：
[0108] 則第i井總的生產(chǎn)指數(shù)/Γ為：
[0119] 求解（18)式可得各時(shí)刻單井平均壓力，其中P1" \ P2n 1……PNwn 1代表各個(gè)時(shí)刻的 壓力，并由（9)式計(jì)算井間連通單元的流量（流速在實(shí)際工程中叫做流量），（9)式通過P 和T求得q，同時(shí)由（15)式通過井底流壓可反算單井日注采量，（15)式通過P和J求得q。
[0120] 實(shí)際計(jì)算中當(dāng)采用定液生產(chǎn)模式、模型參數(shù)偏離正常范圍較遠(yuǎn)時(shí)，由（15)式計(jì)算 出的井底流壓較小甚至出現(xiàn)負(fù)值，這明顯不符合事實(shí)。對(duì)此，可對(duì)井底流壓設(shè)置一個(gè)下限值 (如大氣壓或泡點(diǎn)壓力），當(dāng)井底流壓小于此值，說明此井難以滿足定液生產(chǎn)，需轉(zhuǎn)成定壓 生產(chǎn)模式，且井底流壓取該下限值。
[0121] 含水飽和度追蹤計(jì)算：
[0122] 井間連通單元內(nèi)油水流動(dòng)主要沿著井間最大壓降梯度方向，對(duì)井間連通單元內(nèi)的 飽和度計(jì)算可近似看成一維兩相滲流問題。由貝克萊前緣推進(jìn)理論 [16]，距離注入端任意位 置處含水飽和度與累積流量間滿足：
[0123]
(2〇)
[0124] 式中，Φ為札隙度；A為滲流橫截面積；Qt為累積注入量；S w為位置X處的含水飽 和度；C (Sw)為水相分流量（含水率）4對(duì)S w的導(dǎo)數(shù)。另取一點(diǎn)X u，其為X的上游點(diǎn)，滿 足Xu< X，則，
[0132] 上式說明：儲(chǔ)層中某位置的含水率導(dǎo)數(shù)是其上游值加上流入兩者間控制單元的無 因次累積流量的倒數(shù)。
[0133] 由此可得，某井點(diǎn)的含水飽和度可由其所有上游井點(diǎn)的含水飽和度追蹤求得，與 下游井點(diǎn)無關(guān)。通過前面壓力求解計(jì)算可以判斷各口井的上游井點(diǎn)，考慮第k層，第i井和 第j井之間的井間連通單元，若K ，即第j井為i井上游井，應(yīng)用（24)式可得：
[0134]
[0135] 式中，訴)為在第k層從j井追蹤到i井處的含水率導(dǎo)數(shù)；為 第j井在第k層的含水率導(dǎo)數(shù)；Fvl]k為從j井流向i井的無因次累積流量，其可由各時(shí)刻 井間連通單元的瞬時(shí)流量累加求得。當(dāng)發(fā)生關(guān)停井或油井轉(zhuǎn)注等措施調(diào)整時(shí)，油藏壓 力分布和流動(dòng)方向?qū)l(fā)生較大變化，下游節(jié)點(diǎn)會(huì)發(fā)生對(duì)換，此時(shí)，F(xiàn) vl]k應(yīng)取為壓力變化之 后的無因次累積流量，重新計(jì)算)后，為實(shí)現(xiàn)計(jì)算穩(wěn)定性，根據(jù)一些學(xué)者研究（宋 考平，吳玉樹，計(jì)秉玉.水驅(qū)油藏剩余油飽和度分布預(yù)測(cè)的函數(shù)法[J].石油學(xué)報(bào)，2006， 27 (3) : 91-95)，這里取其和上一時(shí)刻井點(diǎn)含水率導(dǎo)數(shù)值)的最小值，即
[0136]
[0137] 獲得到后可反算出在第k層來自于第j井方向的含水率_/；；^，依次計(jì) 算出各個(gè)上游方向的含水率后，可得到該層的綜合含水率/(i，
[0138]
/=1
[0139] 式中，Nwu為第i井在第k層的上游井點(diǎn)數(shù)。
[0140] 獲得分層含水率后，結(jié)合各層日產(chǎn)液量就可計(jì)算整體含水率，由傳統(tǒng)數(shù)模處理方 法，各層日產(chǎn)液（注入）量可利用生產(chǎn)（注入）指數(shù)進(jìn)行劈分算得，
[0141]
[0142] 式中，qlk為第i井第k層的日產(chǎn)液（注入）量，m3/d。確定單井各層日產(chǎn)液和含 水率后，其綜合含水率為，
[0143]
[0144] 求得各井分層產(chǎn)液量及含水率、綜合含水率后，就可以進(jìn)一步計(jì)算其其它單井分 層及區(qū)塊整體的動(dòng)態(tài)指標(biāo)。本文模型還能實(shí)時(shí)的得到注采井間流量分配系數(shù)、單井分層產(chǎn) 液、產(chǎn)油、注水劈分系數(shù)等信息，完成了對(duì)油藏從平面到縱向上流動(dòng)動(dòng)態(tài)的刻畫，這些都是 礦場(chǎng)動(dòng)態(tài)分析和剩余油評(píng)價(jià)的重要基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，也是油氣田開發(fā)研究的難點(diǎn)問題。這里的流 量分配系數(shù)能夠表征不同時(shí)刻注采之間的連通性，與當(dāng)前連通性模型中的連通性系數(shù)是定 值相比，更能準(zhǔn)確的反映工作制度及措施變化，便于分析油藏實(shí)際生產(chǎn)狀況。這些動(dòng)態(tài)指標(biāo) 計(jì)算表達(dá)式如下：
[0148] 式中，^^分別表示第i井和第j井間在第k層的流量分配系數(shù)、第i
[0145]
[0146]
[0147] 井第k層的日產(chǎn)液劈分系數(shù)和第k層的日產(chǎn)油劈分系數(shù)。
[0149] 基于以上模型建立過程可以看出，本文模型相比當(dāng)前連通性模型較好的把握了水 驅(qū)油藏多層油水滲流的本質(zhì)特征，考慮因素更加全面、預(yù)測(cè)功能更加強(qiáng)大。相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)值 模擬方法，需要求解的壓力方程維數(shù)較低，與井?dāng)?shù)相等，且飽和度追蹤是以井間連通單元為 對(duì)象通過半解析方法求解，因此，整個(gè)過程運(yùn)算代價(jià)較小，計(jì)算快速、穩(wěn)定，該模型可以近似 看成是介于兩種方法之間的中間模型。此外，油藏井網(wǎng)越完善，所建模型反映的油水動(dòng)態(tài)與 實(shí)際情況就越接近，因而，實(shí)際計(jì)算中對(duì)于注采井網(wǎng)不完善部分，可人為補(bǔ)充產(chǎn)量為〇的虛 擬井進(jìn)行完善。
[0150] 模型參數(shù)反演方法：
[0151] 基于所建立的連通性模型進(jìn)行水驅(qū)開發(fā)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的計(jì)算，其結(jié)果取決于各井間連 通單元的特征參數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中通過優(yōu)化這些參數(shù)使模型計(jì)算動(dòng)態(tài)與實(shí)際歷史動(dòng)態(tài)相吻合 即可實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的反演求解，為此定義如下最小化問題：
[0156] 式中，s. t.為subject to的縮寫，即限制條件；Vpi_jk°代表第k層，i井與j井之間 的控制體積；O(X)為待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；X為由連通特征參數(shù)組成的向量；Cl cibs為實(shí)際動(dòng)態(tài)指 標(biāo)向量；S (X)為連通模型預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)向量；(^為動(dòng)態(tài)協(xié)方差陣；VR為油藏總孔隙體積， 單位為Hl3。
[0157] 優(yōu)化上述問題的關(guān)鍵就是如何獲得目標(biāo)函數(shù)的梯度，當(dāng)井間連通單元較少 時(shí)，可采用簡(jiǎn)單的有限差分近似梯度法來計(jì)算，有限差分近似梯度法針對(duì)Nu維控制變 量的問題，有限差分梯度（Finite-Difference Gradient，簡(jiǎn)稱FDG)的計(jì)算公式為：
J對(duì)于井間連通單元較多的大規(guī)模優(yōu)化問題，這里選 取隨機(jī)擾動(dòng)梯度法（SPSA)來計(jì)算，所述隨機(jī)擾動(dòng)梯度法作為一種有效的梯度近似算法， SPSA算法可對(duì)控制變量進(jìn)行同步擾動(dòng)來獲得搜索方向，其計(jì)算簡(jiǎn)便，每個(gè)迭代步僅需對(duì)目 標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，不需要梯度的求解，易于和各種商業(yè)化模擬器相結(jié)合，因此，該方法可被 認(rèn)為是一種無（免）梯度（Derivative free)求解方法，且其搜索方向恒為上山方向，保證 了算法的收斂性。該方法是一種與有限差分梯度法近似的擾動(dòng)方法，其通過對(duì)模型參數(shù)進(jìn) 行同步隨機(jī)擾動(dòng)計(jì)算來獲取近似梯度，每個(gè)迭代步最少僅需最少僅需兩次目標(biāo)函數(shù)計(jì)算， 所得近似梯度恒為上山方向，且期望值為真實(shí)梯度，其計(jì)算表達(dá)式如下：
[0158]
(365
[0159] 式中，X1是第1個(gè)迭代步的模型參數(shù)；ε i是擾動(dòng)步長(zhǎng)；Δ i是服從參數(shù)為±1的對(duì) 稱伯努利（Bernoulli)分布擾動(dòng)向量。在實(shí)際運(yùn)用中，為了提高提高近似梯度與真實(shí)梯度 的逼近程度，可以使用多次擾動(dòng)梯度的平均值來進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。
[0160] 獲取梯度后，本文采用傳統(tǒng)的投影梯度算法對(duì)該約束優(yōu)化問題進(jìn)行迭代求解，所 述投影梯度算法的基本思想是，當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域的內(nèi)部時(shí)，以該點(diǎn)的負(fù)梯度方向?yàn)橄陆?可行方向；而當(dāng)?shù)c(diǎn)位于可行域的邊界上且其梯度方向指向可行域外部時(shí)，則取它的負(fù) 梯度方向在邊界上的投影為下降可行方