本發(fā)明屬于圖像處理與模式識別領域，具體地屬于一種圖像正交矩數(shù)值穩(wěn)定性分析方法。

背景技術：

正交矩作為圖像分析與模式識別領域的一類重要技術手段，與經(jīng)典幾何矩相比，具有較多優(yōu)勢，如1)正交性：即理論上可以完美重建原始圖像，因此在圖像分析領域中，具有比幾何矩更好的應用前景；2)不變性：即正交矩具有平移、旋轉(zhuǎn)、尺度、伸縮等多畸不變性；3)低噪聲敏感度：具有很強噪聲抑制能力的矩才能更好地描述圖像，正交矩的矩值對噪聲不敏感，可以準確地描述圖像特征。因此隨著矩技術的發(fā)展及許多新的正交矩函數(shù)的提出，用正交矩進行圖像處理得到了廣泛的應用，如在圖像重構(gòu)中、圖像檢索中、圖像壓縮中和圖像水印中等。

正交矩的基函數(shù)一般為正交多項式，而正交多項式的結(jié)構(gòu)復雜，計算量大，受計算機寄存器字長限制，極易產(chǎn)生數(shù)值溢出，尤其是正交多項式遞歸計算的數(shù)值傳遞誤差中由三項遞歸公式計算產(chǎn)生的數(shù)值傳遞誤差常常無法避免。隨著多項式計算階數(shù)的增加，多項式值的計算誤差越來越大。由于沒有一套嚴謹?shù)臄?shù)值誤差穩(wěn)定性評價體系，極大地限制了正交矩在大型圖像模式識別與重構(gòu)中的應用。

目前的正交矩計算方法評價都是以少數(shù)試驗驗證，在什么條件下收斂，在什么條件下不收斂都不能確認，因此給技術人員帶來較多業(yè)務上的麻煩。

技術實現(xiàn)要素：

為解決上述技術問題，本發(fā)明的目的在于提供了一種圖像正交矩數(shù)值穩(wěn)定性分析方法。該分析方法利用矩陣的SVD分解，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢粋€旋轉(zhuǎn)矩陣與一個對角矩陣構(gòu)造等效狀態(tài)方程，基于李雅普諾夫定理，推導出兩個新的不穩(wěn)定性判據(jù)。從而尋找到影響經(jīng)典離散正交矩Tchebichef與Krawtchouk多項式遞歸計算不穩(wěn)定性的根本原因，為后續(xù)研究奠定了指導作用。

本發(fā)明公開了一種圖像正交矩數(shù)值穩(wěn)定性分析方法，包括如下步驟：

1)分析正交多項式三項遞歸公式不穩(wěn)定性的原因；

2)采用離散控制理論分析正交多項式三項遞歸公式的迭代穩(wěn)定性：所述離散控制理論為李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，所述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理包含引理A，所述引理A包含對n階離散線性時變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分必要條件的判斷，即所述n階離散線性時變系統(tǒng)X(k)＝G(k)X(k-1)，對于任意一個給定的正定矩陣Q，如下的離散型矩陣Lyapunov方程：G(k)^TN(k)G(k)-N(k-1)＝-Q(k)有唯一正定解矩陣N；

3)對G(k)作SVD分解，滿足如下公式：

G(k)＝U(k)S(k)V(k)^T；

4)設定U(k)和V(k)為單位旋轉(zhuǎn)矩陣，則n階離散線性時變系統(tǒng)X(k)＝G(k)X(k-1)等量替換成X(k)＝U(k)S(k)V(k)^TX(k-1)，將X(k)＝U(k)S(k)V(k)^TX(k-1)展開得到如下公式：

X(k)＝U(k)S(k)[V(k)^TU(k-1)]S(k-1)[V(k-1)^T...U(1)]S(1)V(1)^TX(1)，

定義：R(k)＝U(k)、R(k-1)＝V(k)^TU(k-1)、Y(1)＝V(1)^TX(1)、Y(k)＝X(k)，

則，Y(k)＝R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)...R(2)S(2)Y(1)，

定義：D(k)＝R(k)S(k)，

則，Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)，

因此Y(k)＝D(k)Y(k-1)。

進一步地，所述步驟4)中，所述R(k)為單位旋轉(zhuǎn)矩陣，且滿足如下公式：

所述S(k)為對角陣，且滿足如下公式：

再進一步地，所述步驟4)中，所述R(k)以逆時針旋轉(zhuǎn)角度為正，使向量i逆時針單位旋轉(zhuǎn)θ(k)，θ(k)控制在[0,π]之間；

所述S(k)中，σ₁(k)≥σ₂(k)＞0，σ_i為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)的正奇異值，i為1～r之間的正整數(shù)。

更進一步地，所述步驟4)中，所述Y(k)＝D(k)Y(k-1)的漸近穩(wěn)定性的充分必要條件滿足：任意一個給定的正定矩陣P，有如下離散型矩陣Lyapunov方程：

D(k+1)^TF(k+1)D(k+1)-F(k)＝-Q(k+1)，有唯一正定解矩陣F。

更進一步地，所述步驟4)中，定義Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)和Y(k)＝D(k)Y(k-1)為RS系統(tǒng)，所述RS系統(tǒng)單象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對于二階離散時變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)＞σ₂(k)，σ₂(k)＜1，當滿足：

0<θ(k)≤θ_max(k)、0<κ₂(k)<κ′(k)和

且

則所述RS系統(tǒng)單象限是不穩(wěn)定的。

更進一步地，所述步驟4)中，定義Y(k)＝D(k)Y(k-1)的離散時變線性系統(tǒng)為RS系統(tǒng)，所述RS系統(tǒng)兩象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對于二階離散時變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)>σ₂(k)，σ₂(k)<1，π/2<θ(k)<π-η，當滿足：

θ_min(k)≤θ(k)<π,、0>κ₂(k)>κ′(k)，和

其中η是一個極小的數(shù)值，

則所述RS系統(tǒng)兩象限是不穩(wěn)定的。

更進一步地，所述步驟3)中，所述G(k)為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，所述S(k)為由系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)唯一確定，所述U(k)和V(k)是非唯一酉矩陣，且SVD分解為奇異值分解。

更進一步地，所述k為方程的階數(shù)。

本發(fā)明的分析方法的有益效果：

本發(fā)明為尋找判定正交多項式三項遞歸計算穩(wěn)定性的一般規(guī)律，基于離散控制理論，將正交多項式的三項遞歸公式轉(zhuǎn)化為對階數(shù)k的變系數(shù)微分方程，然后進一步的采取矩陣的SVD分解，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢粋€旋轉(zhuǎn)矩陣與一個對角矩陣構(gòu)造的等效狀態(tài)方程，并推導出兩個不穩(wěn)定性判據(jù)。解決了三項遞歸公式的正交矩特征計算過程中，正交多項式發(fā)散造成的正交矩數(shù)值不穩(wěn)定性問題，同時也尋找到影響經(jīng)典Tchebichef與Krawtchouk多項式遞歸計算不穩(wěn)定性的根本原因，為后續(xù)研究奠定了指導作用。

附圖說明

圖1為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)中的旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)圖示；

圖2為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)中的對角陣S(k)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)圖示；

圖3為RS系統(tǒng)單象限在二維相平面y₁-y₂內(nèi)不穩(wěn)定情況圖示；

圖4為RS系統(tǒng)兩象限在二維相平面y₁-y₂內(nèi)不穩(wěn)定情況圖示；

圖5為Legendre多項式迭代計算的相對誤差隨k變化圖示；

圖6為Legendre多項式迭代計算的絕對誤差隨k變化圖示；

圖7至圖10為Tchebichef多項式相關參數(shù)圖示；

圖11為Tchebichef多項式迭代計算的相對誤差隨k變化圖示；

圖12為Tchebichef多項式迭代計算的絕對誤差隨k變化圖示；

圖13、圖14為Krawtchouk多項式相關參數(shù)圖示；

圖15、圖16為Krawtchouk多項式的對角陣S(k)變換前后模值對比函數(shù)圖示；

圖17為Krawtchouk多項式迭代計算的相對誤差隨k變化圖示；

圖18為Krawtchouk多項式迭代計算的絕對誤差隨k變化圖示。

具體實施方式

為了更好地解釋本發(fā)明，以下結(jié)合具體實施例進一步闡明本發(fā)明的主要內(nèi)容，但本發(fā)明的內(nèi)容不僅僅局限于以下實施例。

實施例1

本實施例公開了一種圖像正交矩數(shù)值穩(wěn)定性分析方法，包括如下步驟：

(1)分析正交多項式三項遞歸公式不穩(wěn)定性的原因；

三項遞歸公式如下：

P_k(x)＝A_k(x)P_k-1(x)-B_K(x)P_k-2(x)＝(α_kx-ω_k)P_k-1(x)-γ_kP_k-2(x) (1-1)

其中，P_k(x)，P_k-1(x)和P_k-2(x)分別為第n階，第n-1階和第n-2階離散正交多項式，A_k(x)和B_k(x)為迭代系數(shù)。

在實際計算機運算過程中，由于系統(tǒng)位數(shù)的決定而產(chǎn)生截斷誤差，使觀測值偏離實際值。該截斷誤差在遞歸過程中不斷變化，有可能會影響我們觀測到的期望值的可信度。因此，需要分析截斷誤差在遞歸過程中的數(shù)值穩(wěn)定性。

假定正交多項式三相遞歸公式的觀測值為P_k(x)，其真實值為P^*_k(x)，計算誤差為e_k(x)，起始二項P₀(x)和P₁(x)的誤差為e₀(x)和e₁(x)。因此，可以將式(1-1)變?yōu)椋?/p>

易得遞歸誤差滿足：

e_k(x)＝A_k(x)e_k-1(x)-B_k(x)e_k-2(x) (1-3)

可見，正交多項式三項遞歸誤差分析的本質(zhì)，是研究基于式(1-3)的二階誤差微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性。將式(1-3)的階數(shù)k看成一個離散自變量，該公式可以看成是一個離散時變線性控制系統(tǒng)。

因此，可以運用離散控制理論研究誤差三項遞歸方程的迭代穩(wěn)定性。如果離散時變線性系統(tǒng)(1-3)是穩(wěn)定的，則正交多項式三項遞歸式(1-1)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)(1-1)是不穩(wěn)定的。

對于離散時變線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別，一般采用李雅普諾夫第二法推演系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，但使得系統(tǒng)收斂或發(fā)散區(qū)域大大縮小，因此必須考慮新的方法與手段解決該問題。

(2)采用離散控制理論研究正交多項式三項遞歸公式的迭代穩(wěn)定性；

(2.1)所述離散控制理論為李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，所述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理包含引理A，引理A包含對n階離散線性時變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分必要條件的判斷，n階離散線性時變系統(tǒng)如下列公式：

X(k)＝G(k)X(k-1) (1-4)

其中，G(k)為狀態(tài)矩陣，所述n階離散線性時變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：任一給定的正定矩陣Q，如下的離散型矩陣Lyapunov方程：

G(k)^TN(k)G(k)-N(k-1)＝-Q(k) (1-5)

有唯一正定解矩陣N。

(2.2)離散線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，可以應用舒爾-科恩(Schur-Cohn)穩(wěn)定性判據(jù)來判定系統(tǒng)矩陣的特征值是否位于復平面的單位圓之內(nèi)。

所述舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)為：

設m×n矩陣G∈C^m×n，C為復數(shù)集，rankG＝r(r＞0)，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得：

其中∑＝diag(σ₁,σ₂,......σ_r)，且σ₁≥σ₂≥……σ_r＞0，而σ_i(i＝1,2,3,...,r)為矩陣G的正奇異值。

根據(jù)舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)作SVD分解，所述SVD分解為奇異值分解，則滿足如下公式：

G(k)＝U(k)S(k)V(k)^T (1-7)

其中，對角矩陣S(k)由狀態(tài)矩陣G(k)唯一確定，U(k)，V(k)是非唯一酉矩陣。為方便討論，將U(k)，V(k)設定為單位旋轉(zhuǎn)矩陣，式(1-4)就有如下等量代換系統(tǒng)：

X(k)＝U(k)S(k)V(k)^TX(k-1) (1-8)

將式(1-8)展開得：

X(k)＝U(k)S(k)[V(k)^TU(k-1)]S(k-1)[V(k-1)^T...U(1)]S(1)V(1)^TX(1) (1-9)

重新定義：R(k)＝U(k)、R(k-1)＝V(k)^TU(k-1)、Y(1)＝V(1)^TX(1)及Y(k)＝X(k)得：

Y(k)＝R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)...R(2)S(2)Y(1) (1-10)

定義：D(k)＝R(k)S(k)，則式(1-10)改寫為：

Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1) (1-11)

即Y(k)＝D(k)Y(k-1) (1-12)

可見，二維離散時變線性系統(tǒng)(1-4)與系統(tǒng)(1-12)是等價的，因此可將系統(tǒng)(1-4)的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)(1-12)的穩(wěn)定性分析。

優(yōu)選地，式(1-12)中的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

且逆時針旋轉(zhuǎn)角度為正；

對角陣為：

σ₁(k)≥σ₂(k)＞0,σ_i(i＝1,2,3,...,r)為矩陣G(k)的正奇異值。

因此，式(1-4)中每一步的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)可轉(zhuǎn)換成(1-11)中的兩個狀態(tài)變化過程R(k)與S(k)，在二維相平面y₁-y₂，旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)與對角陣S(k)的性質(zhì)如圖1和圖2所示，

結(jié)合圖1可知，旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)使向量i逆時針單位旋轉(zhuǎn)θ(k)，其中θ(k)為[0，π]，不改變模值大小，可能改變最終狀態(tài)向量的角度與象限；

結(jié)合圖2可知，由于σ₁(k)>σ₂(k)，對角陣S(k)會使某一向量i在一三象限順時針旋轉(zhuǎn)角度ω'(k)，而在二四象限逆時針旋轉(zhuǎn)角度ω”(k)，都趨向于y₁軸同時改變i的模值大小，但不會改變向量i的象限。

(2.3)所述Y(k)＝D(k)Y(k-1)的漸近穩(wěn)定性的充分必要條件滿足：任意一個給定的正定矩陣Q，有如下離散型矩陣Lyapunov方程：D(k+1)^TF(k+1)D(k+1)-F(k)＝-Q(k+1)，有唯一正定解矩陣F。

優(yōu)選地，定義式(1-11)Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)和式(1-12)Y(k)＝D(k)Y(k-1)為RS系統(tǒng)，且該RS系統(tǒng)的不穩(wěn)定性運動軌跡不穩(wěn)定模型之一如圖3所示；

則圖3所示的RS系統(tǒng)單象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對于二階離散時變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)>σ₂(k)，σ₂(k)<1，當滿足：

0<θ(k)≤θ_max(k) (1-16)

0<κ₂(k)<κ′(k) (1-17)

和

其中，

則RS系統(tǒng)單象限是不穩(wěn)定的。

優(yōu)選地，定義Y(k)＝D(k)Y(k-1)的離散時變線性系統(tǒng)為RS系統(tǒng)，所述RS系統(tǒng)的不穩(wěn)定性判據(jù)為，且所述RS系統(tǒng)的不穩(wěn)定運動軌跡的不穩(wěn)定模型之一如圖4所示，

則圖4所示的RS系統(tǒng)兩象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對于二階離散時變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)>σ₂(k)，σ₂(k)<1與π/2<θ(k)<π-η，當滿足：

θ_min(k)≤θ(k)<π, (1-20)

0>κ₂(k)>κ′(k) (1-21)

與

其中η是一個極小的數(shù)值，

則RS系統(tǒng)兩象限是不穩(wěn)定的。

因此，本實施例討論離散時變線性系統(tǒng)，是基于李雅普諾夫定理將系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)作SVD分解，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢粋€旋轉(zhuǎn)矩陣與一個對角矩陣構(gòu)造等效狀態(tài)方程，在這些等效狀態(tài)方程采用了從新組合遞歸計算，得出新的RS系統(tǒng)，研究其在相平面內(nèi)的零輸入響應，根據(jù)李雅普諾夫第二法判定每一階段的能量函數(shù)都是增加的，就可說明其RS系統(tǒng)是發(fā)散的，推導出兩個新的不穩(wěn)定判據(jù)。推導的過程使用了分區(qū)域逐步說明其問題，這樣的分析更加清晰明了。

實施例2

本實施例是討論連續(xù)正交Legendre多項式、離散正交Tchebichef多項式與離散正交Krawtchouk多項式遞歸計算中的不穩(wěn)定性分析。

(1)Legendre多項式遞歸計算穩(wěn)定性分析：

Legendre多項式的三項遞歸公式：

根據(jù)第一不穩(wěn)定性定理，重新定義變量y₁(k)＝L(k),y₂(k)＝L(k+1)，則式(1-15)可寫成：

Y(k)＝(y₂(k),y₁(k))^T＝G(k)Y(k-1) (2-2)

與

對于Legendre多項式有A_x(k)＝(2k-1)x/k和B(k)＝(k-1)/k，

假設漸進正定陣Q的元素q₁₁(k)>0，q₁₂(k)≤0以及q₂₂(k)>0并考慮其有一個解P，式(13)可表示為：

若指定q₁₁(k)＝μ>0，q₂₂(k)＝ν>0，q₁₂(k)＝q₂₁(k)＝0且對稱陣P(k+1)＝P(k)，則

p₁₁＝B²(k+1)p₂₂+μ (2-5)

且式(2-7)可進一步地表示為

滿足α(k)＝B³(k+1)+B²(k+1)-B(k+1)A_x²(k+1)+A_x²(k+1)-B(k+1)-1，

有如下結(jié)果：

若B(k)>0且x∈(0,1)，可得α(k)<0，p₂₂(k)>0和p₁₁(k)>0。P的二階主子式為：

因此，存在一個正定矩陣Q，存在一個正定解矩陣使得式(2-4)有解，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

對Legendre多項式進行迭代計算測試，對其迭代計算誤差采用相對誤差用如下對數(shù)形式表示：

絕對誤差采用如下對數(shù)式表示：

圖5和圖6分別為Legendre多項式迭代計算的相對誤差和絕對誤差隨K變化圖示。根據(jù)圖5和圖6可知，Legendre多項式的相對誤差在e^-16～e^-12之間，絕對誤差在e^-14以下，這與式(2-1)與(2-10)分析Legendre多項式在區(qū)間[-1,1]內(nèi)收斂的結(jié)論是一致的。

(2)Tchebichef多項式遞歸計算穩(wěn)定性分析：

Tchebichef多項式的三項遞歸迭代公式：

式(2-13)中，T₀(x)＝1，T₁(x)＝(2x+1-N)/N，A_x(k)＝(2k-1)T₁(x)/k和B(k)＝(k-1)[1-(k-1)²/N²]/k。

將Tchebichef多項式整理為二階離散線性時變系統(tǒng)(1-4)，利用舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)，將每一階狀態(tài)矩陣分解為兩個旋轉(zhuǎn)矩陣與一個斜變換對角陣，再通過式(1-8)至(1-10)可以得到一系列變換R(k)與S(k)，令x＝390，SVD分解得到的一系列R(k)旋轉(zhuǎn)角度θ(k)、對角陣的S(k)主對角線參數(shù)σ₁(k)，σ₂(k)范圍如圖7、圖8、圖9和圖10所示。

應用第二定理，計算該點Tchebichef多項式的R(k)矩陣旋轉(zhuǎn)角度，結(jié)合圖7、圖8、圖9和圖10可知，

當k>123時，有滿足式(1-16)。

給定S(k)的奇異值σ₁(k)，σ₂(k)，

當k＝123時，表明在該點是穩(wěn)定的；

當k>124時，函數(shù)計算值如圖9所示，不等式(1-17)成立，κ₂(k)<κ'(k)符合舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)所要求的。結(jié)合舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)，Tchebichef多項式系統(tǒng)x＝390的點是不穩(wěn)定的。

Tchebichef多項式進行迭代計算測試，根據(jù)公式(2-11)與(2-12)，作出相應的相對誤差圖11與絕對誤差圖12。

由以上實驗數(shù)據(jù)可知，x＝390，k>124時，Tchebichef多項式迭代

計算相對與絕對誤差開始增大，與上述理論分析一致。則Tchebichef多項式至少存在一點x＝390具有數(shù)值不穩(wěn)定，因此影響其作為核函數(shù)的Tchebichef矩的不穩(wěn)定性，符合Mukundan的結(jié)論。本文還檢測x＝0，Tchebichef多項式迭代計算在前段相對與絕對誤差開始增大，也與上述理論分析一致；x＝200，Tchebichef多項式迭代計算相對與絕對誤差始終偏小，其在該點穩(wěn)定，但不影響對其定理的判定。

(3)Krawtchouk多項式遞歸計算穩(wěn)定性分析：

Krawtchouk多項式的三項遞歸迭代公式：

K_k(x；p，N-1)＝A_x(k)K_k-1(x；p，N-1)-B(k)K_k-1(x；p，N-1) (2-14)

且滿足K₀(x；p，N-1)＝1和

式(2-14)中的系數(shù)為：

在x＝398下，p＝0.1，p＝0.3，p＝0.5，p＝0.7，p＝0.9，將Krawtchouk多項式整理為二階離散線性時變系統(tǒng)(1-4)，利用舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)將每一階狀態(tài)矩陣分解為兩個旋轉(zhuǎn)矩陣與一個斜變換對角陣，再通過式(1-8)至(1-10)得到一系列變換R(k)與S(k)，SVD分解得到的一系列R(k)旋轉(zhuǎn)角度θ(k)、對角陣的S(k)主對角線參數(shù)σ₁(k)，σ₂(k)范圍如圖13和圖14所示。

應用第三定理，計算該點Krawtchouk多項式的R(k)矩陣旋轉(zhuǎn)角度，有滿足條件式(1-20)，如圖13所示。

給定S(k)的奇異值σ₁(k)，σ₂(k)，結(jié)合式(1-22)可以計算出在p條件下k的范圍如表1；

表1 p條件下k的范圍

其S(k)變換前后模值對比函數(shù)如圖15、圖16所示，對Krawtchouk多項式進行迭代計算測試，根據(jù)式(2-11)和式(2-12)作出相應的相對誤差17與絕對誤差圖18；

由以上實驗數(shù)據(jù)可知，以上5點遞歸計算誤差都是不穩(wěn)定的，但是不穩(wěn)定的形式不同。x＝398，p＝0.1與p＝0.3，相對誤差圖在末端增大，而絕對誤差卻是一直增大；p＝0.5，相對誤差與絕對誤差在前段平緩，在k＝250左右逐漸增大；p＝0.7與p＝0.9，相對誤差圖在前半段增加較快，而絕對誤差大部分卻在(-1，1)。在理論分析中表格13，在K的絕大部分范圍內(nèi)Krawtchouk多項式迭代計算誤差是不穩(wěn)定的與在實際計算中Krawtchouk多項式迭代計算的相對與絕對誤差分析一致。則Krawtchouk多項式至少存在一點x＝398具有數(shù)值不穩(wěn)定，因此影響其作為核函數(shù)的Krawtchouk矩的不穩(wěn)定性。

以上實施例僅為最佳舉例，而并非是對本發(fā)明的實施方式的限定。除上述實施例外，本發(fā)明還有其他實施方式。凡采用等同替換或等效變換形成的技術方案，均落在本發(fā)明要求的保護范圍。