本發(fā)明屬于柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中的拓?fù)鋱D提取技術(shù)領(lǐng)域，特別涉及一種柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D提取方法。

背景技術(shù)：

隨著微機(jī)電系統(tǒng)、微加工和微操作以及新材料等領(lǐng)域的迅速發(fā)展，柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)已經(jīng)成為目前國(guó)內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

采用拓?fù)鋬?yōu)化方法研究柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)只需給定設(shè)計(jì)域和指定輸入輸出位置，無(wú)須從一個(gè)已知的剛性機(jī)構(gòu)出發(fā)，且所得的機(jī)構(gòu)具有分布式柔性的優(yōu)越性能，因而引起了極大的重視。

這種方法通常是以有限元分析為基礎(chǔ)，在拓?fù)鋬?yōu)化的初始階段，首先將設(shè)計(jì)域離散成一定數(shù)量的有限元網(wǎng)格，再利用優(yōu)化方法確定單元材料的保留與刪除，以滿足預(yù)定的目標(biāo)和約束條件。

在優(yōu)化結(jié)果中，單元密度的理想取值為0或1，當(dāng)單元密度取值為0時(shí)，表示該單元被刪除，單元密度取值為1時(shí)，該單元被保留，于是，由高密度單元連接構(gòu)成機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋱D。但是，這類(lèi)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題往往很難求解。因此，人們常采用松弛法，如均勻化方法和相對(duì)密度法，用連續(xù)變量的優(yōu)化模型逼近原離散變量的優(yōu)化模型，于是，拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量可以在區(qū)間[0,1]內(nèi)連續(xù)取值，使優(yōu)化結(jié)果中出現(xiàn)中間密度單元。這一現(xiàn)象與工程實(shí)際不符。因此，在柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中，必須發(fā)展一種有效的方法，以克服中間單元問(wèn)題，提取出清晰的柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D。

目前，在包括柔順機(jī)構(gòu)在內(nèi)的拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中，主要包括以下幾種方法：

一是采用形如ρ^P,(P＞1)的懲罰形式，以減小中間密度單元的剛度影響，然而，這種方法難以徹底去除中間單元。另一種方法是閾值法，但由于其閾值選擇是啟發(fā)式的，因而必然影響到方法的執(zhí)行效果。此外，又發(fā)展了在優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)或約束條件中追加顯式的懲罰函數(shù)方法，但這種額外的懲罰項(xiàng)也可能給優(yōu)化軟件尋找可行解造成困難。類(lèi)似的懲罰函數(shù)法還有混合的SINH方法和凹約束方法，不過(guò)，這兩種方法也依然不能提取出滿意的0-1拓?fù)鋱D。另外，基于圖像的過(guò)濾技術(shù)也被嘗試來(lái)克服中間單元問(wèn)題，然而，由于其靈敏度計(jì)算復(fù)雜，使得計(jì)算效率大大降低，且所得的拓?fù)鋱D具有網(wǎng)格依賴性。

近來(lái)，又提出了一種修改最佳準(zhǔn)則表達(dá)形式的啟發(fā)式方法，但這種方法的最佳拓?fù)鋱D具有參數(shù)敏感性。除了上述方法之外，漸進(jìn)方法也是一種常用的去除中間單元的方法。它是通過(guò)逐漸地去除無(wú)效材料來(lái)獲得最佳解，其優(yōu)點(diǎn)在于不需引入太多的數(shù)學(xué)理論，不過(guò)由于該方法屬于整數(shù)規(guī)劃范疇，靈敏度連續(xù)性差，且被去除的單元不能再被利用，因而計(jì)算效率低，并易于導(dǎo)致結(jié)果不收斂。在此基礎(chǔ)上，又發(fā)展了雙向漸進(jìn)方法，這種方法旨在去除無(wú)效材料的同時(shí)，也能添加有效材料，以改進(jìn)收斂效果，但是這一方法本質(zhì)上仍是整數(shù)規(guī)劃，且無(wú)法精確評(píng)估所添加的材料單元的靈敏度。另外，還有模擬退火和SIMP相結(jié)合的方法以及單元連結(jié)參數(shù)化方法等，從它們的優(yōu)化結(jié)果來(lái)看，也依然無(wú)法提取出理想的0-1拓?fù)鋱D。并且，上述方法有著易于導(dǎo)致棋盤(pán)格的共同缺點(diǎn)。

此外，基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法也是解決中間單元問(wèn)題的一種有效方法，但是這種方法也具有初始敏感性、不能生成新孔、計(jì)算效率低和難以收斂到不光滑的角點(diǎn)等缺陷，雖然目前已提出一些改進(jìn)的方法，但這些問(wèn)題尚未完全得到很好的解決。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于克服現(xiàn)有技術(shù)的缺點(diǎn)與不足，提供一種柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D提取方法，能夠提取出滿足目標(biāo)體積的理想的柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D。

本發(fā)明的目的通過(guò)以下的技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)：一種柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D提取方法，包括以下步驟：首先建立柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型；接著，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，提取出含有中間單元的拓?fù)鋱D；然后，對(duì)含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型做進(jìn)一步優(yōu)化，提取出柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D；之后，建立下一層柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)不斷增大拓?fù)鋬?yōu)化模型體積約束值的方式逐漸逼近最佳解，最終提取出滿足目標(biāo)體積的理想的柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D。

具體步驟如下：

S1：建立柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型；

S2：對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，步驟如下:

S2-1：對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行有限元分析，并計(jì)算靈敏度；

S2-2：對(duì)靈敏度進(jìn)行過(guò)濾，以消除拓?fù)鋱D中的棋盤(pán)格；

S2-3：基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量；

S2-4：重復(fù)步驟S2-1至S2-3，直到優(yōu)化迭代收斂，提取出含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D；

S3：對(duì)含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型做進(jìn)一步優(yōu)化，步驟如下:

S3-1：對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行有限元分析，計(jì)算靈敏度；

S3-2：對(duì)靈敏度進(jìn)行過(guò)濾；

S3-3：基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量，保留已有的實(shí)心單元，抑制密度低于預(yù)設(shè)值的單元；

S3-4：重復(fù)步驟S3-1至S3-3，直到優(yōu)化迭代收斂，提取出柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D；

S4：判斷柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代次數(shù)是否大于預(yù)設(shè)閾值，以及前后兩次迭代的單元密度變化最大值是否小于一個(gè)閾值，若上述任一條件滿足則終止循環(huán)并輸出結(jié)果，否則繼續(xù)執(zhí)行以下步驟；

S5：以柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D為基準(zhǔn)，建立下一層柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型；

S6：重復(fù)步驟S2至S5，如此不斷增大拓?fù)鋬?yōu)化模型的體積約束值，直至提取出滿足目標(biāo)體積V^*的柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D。

優(yōu)選的，步驟S1中建立柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型的具體步驟如下：

以Ω₁為設(shè)計(jì)域，其為柔順機(jī)構(gòu)初始拓?fù)鋬?yōu)化模型可利用材料域；P_i和P_o分別為柔順機(jī)構(gòu)載荷輸入點(diǎn)和位移輸出點(diǎn)；F_in和F_d分別為柔順機(jī)構(gòu)輸入載荷和沿輸出位移方向的虛擬單位載荷；k_in和k_out分別為柔順機(jī)構(gòu)輸入和輸出彈簧剛度；該柔順機(jī)構(gòu)的目標(biāo)體積比為θ^*，初始階段的拓?fù)鋬?yōu)化層數(shù)為L(zhǎng)＝1，其體積比為將設(shè)計(jì)域離散為N_x行N_y列；

柔順機(jī)構(gòu)的應(yīng)變能和互應(yīng)變能如下：

E_s＝∫_Ωε(u)^TDε(u)dΩ＝U^TKU

式中，E_s是系統(tǒng)的應(yīng)變能，E_ms是系統(tǒng)的互應(yīng)變能，D為彈性矩陣，K是系統(tǒng)整體剛度矩陣，U是F_in作用下的節(jié)點(diǎn)位移向量，U_d是F_d作用下的節(jié)點(diǎn)位移向量，ε(u)和u是設(shè)計(jì)域內(nèi)任一點(diǎn)在載荷F作用下的應(yīng)變和彈性變形，ε(u_d)和u_d是設(shè)計(jì)域內(nèi)任一點(diǎn)在載荷F_d作用下的應(yīng)變和彈性變形；

通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化得到柔順機(jī)構(gòu)的應(yīng)變能和互應(yīng)變能的關(guān)系如下：

Min:式中，Min代表最小值；

首先，基于相對(duì)密度法松弛設(shè)計(jì)變量，使柔順機(jī)構(gòu)單元密度在0-1范圍內(nèi)取值，即：

0＜ρ_min≤ρ_i≤ρ_max＝1,i＝1,2,…,N₁；

式中，ρ_i是單元i的密度，ρ_min是單元密度下限，ρ_max是單元密度上限，N₁是自然數(shù)，表明初始階段可利用材料域的單元數(shù)，且N₁＝N_xN_y；

柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的整體剛度矩陣是：

式中，K_i是單元i的剛度矩陣，V_e是任一實(shí)心單元的材料體積，V是體積，P為密度ρ_i的指數(shù)，且P∈Z,P＞1，Z表示整數(shù)，K⁰為任一實(shí)心單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕褺是任一實(shí)心單元的應(yīng)變矩陣；該柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型的體積約束如下：

式中，V₀是柔順機(jī)構(gòu)初始拓?fù)鋬?yōu)化模型可利用材料的體積，ρ是由ρ_i所構(gòu)成的列向量，i＝1,2,…,N；

根據(jù)上述目標(biāo)和約束條件，得到柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型如下：

優(yōu)選的，步驟S2-1中，優(yōu)化目標(biāo)的靈敏度為：

體積約束的靈敏度為：i＝1,...,N₁。

優(yōu)選的，步驟S2-2中，過(guò)濾后的靈敏度如下：

式中，N_e為單元i的鄰域,該鄰域內(nèi)的各單元中心到單元i的中心的距離小于或等于過(guò)濾半徑r，ρ_j是單元i的鄰域內(nèi)單元j的密度，是卷積因子，如下：

式中，x_i是單元i的中心坐標(biāo)，x_j是單元j的中心坐標(biāo)。

優(yōu)選的，步驟S2-3中，最佳準(zhǔn)則如下：

式中，L≥1，Ω_L,2是第L_-1層提取的柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D中密度為ρ_max且恒定不變的單元集合，當(dāng)L＝1時(shí)，Ω_L,2為空集，Ω₁\Ω_L,2是步驟S2的可利用材料域中密度可變的單元集合，t為迭代數(shù),η(0<η<1)為松弛因子,ζ為一個(gè)移動(dòng)極限,為一個(gè)非負(fù)數(shù)，即：

式中，由Kuhn–Tucker必要條件導(dǎo)出，如下：

式中，λ為拉格朗日乘子，在設(shè)計(jì)變量更新過(guò)程中采用二分法得到，以使更新后的密度滿足體積約束，即：

式中，是步驟S2的體積比，和分別是集合Ω₁\Ω_L,2中所更新的三類(lèi)設(shè)計(jì)變量的和。

進(jìn)一步的，基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量的具體過(guò)程是：

首先，給定λ的最小值和最大值，分別是λ₁和λ₂；

然后，計(jì)算它們的中點(diǎn)值：λ＝0.5(λ₁+λ₂)，并代入密度變量更新公式，得到更新后的單元密度；

之后，計(jì)算體積約束余量再根據(jù)值修改λ₁或λ₂的值：如果則使λ₁＝λ，否則如果則使λ₂＝λ；

重復(fù)λ₁和λ₂的中點(diǎn)值的計(jì)算、單元密度更新以及λ₁或λ₂的修改過(guò)程，直至λ₂與λ₁的差小于一個(gè)閾值為止。

優(yōu)選的，步驟S3-3中，最佳準(zhǔn)則如下：

式中，β為給定的閾值，用于抑制密度低于預(yù)設(shè)值的單元，且ρ_min＜β≤1；在迭代過(guò)程中，對(duì)β采用延拓方法進(jìn)行修正；首先判斷以下體積約束條件是否成立：

如果不成立則β不變；如果體積約束條件恒成立，再判斷以下迭代數(shù)條件是否成立：

t-t₁-[(t-t₁)/t₂]t₂≡1

式中，符號(hào)[]表示取整運(yùn)算,t₁為步驟S2-4中提取出含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的總迭代數(shù)，t₂為允許β恒定不變的迭代數(shù)；

如果不成立則β不變；如果迭代數(shù)條件恒成立，β取為

β＝β+min(Δβ,1-β)

式中，Δβ為給定的β的增量，min代表最小值；

更新后的密度應(yīng)滿足如下體積約束：

式中，是步驟S2中的體積比，和分別是集合Ω₁\Ω_L,2中所更新的各類(lèi)設(shè)計(jì)變量的和。

進(jìn)一步的，步驟S3-3中，

首先，給定λ的最小值和最大值，分別是λ₁和λ₂；

然后，計(jì)算它們的中點(diǎn)值：λ＝0.5(λ₁+λ₂)，并代入密度變量更新公式，得到更新后的單元密度；

之后，計(jì)算體積約束余量再根據(jù)值修改λ₁或λ₂的值：如果則使λ₁＝λ，否則如果則使λ₂＝λ；

重復(fù)λ₁和λ₂的中點(diǎn)值的計(jì)算、單元密度更新以及λ₁或λ₂的修改過(guò)程，直至λ₂與λ₁的差小于一個(gè)閾值為止。

優(yōu)選的，步驟S5中，建立下一層柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的方法是：首先修改柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的層數(shù)L，使L＝L+1；接著，修改體積比：采用體積約束延拓方法，對(duì)下一層優(yōu)化模型，體積比取為：

式中，max代表最大值，α是體積約束延拓因子初值，且0＜α＜1，Δα是體積約束延拓因子增量，且0＜Δα＜1；

最后，得到下一層(即第L,(L≥2)層)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比，具有如下優(yōu)點(diǎn)和有益效果：

1、本發(fā)明采用體積約束延拓方法，通過(guò)不斷增大拓?fù)鋬?yōu)化模型體積約束值的方式逐漸逼近最佳解，能最大限度地保留所有可能單元，提取出柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D。

2、本發(fā)明通過(guò)給定閾值抑制較低密度單元，同時(shí)，采用延拓方法對(duì)閾值進(jìn)行修正，可有效克服基于SIMP方法松弛設(shè)計(jì)變量時(shí)所產(chǎn)生的中間單元問(wèn)題，提取出理想的柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D。

3、本發(fā)明具有連續(xù)設(shè)計(jì)變量，靈敏度連續(xù)性好，而且概念簡(jiǎn)單，方法易于執(zhí)行，不易導(dǎo)致棋盤(pán)格現(xiàn)象。

4、本發(fā)明克服了傳統(tǒng)方法的參數(shù)敏感性和網(wǎng)格依賴性的缺陷，具有較好的收斂穩(wěn)定性。

附圖說(shuō)明

圖1為本發(fā)明柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D提取方法流程圖；

圖2為實(shí)施例柔順力-位移反向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域和邊界條件示意圖；

圖3為第一層拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果示意圖；

圖4為第二層拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果示意圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合實(shí)施例及附圖對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步詳細(xì)的描述，但本發(fā)明的實(shí)施方式不限于此。

如圖1所示，為本發(fā)明所提出的一種柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D提取方法流程圖。一種柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D提取方法，包括以下步驟：首先建立柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型；接著，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，提取出含有中間單元的拓?fù)鋱D；然后，對(duì)含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型做進(jìn)一步優(yōu)化，提取出柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D；之后，建立下一層柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)不斷增大拓?fù)鋬?yōu)化模型體積約束值的方式逐漸逼近最佳解，最終提取出滿足目標(biāo)體積的理想的柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D。

具體步驟如下：

S1：建立柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型；

本發(fā)明實(shí)施例是一種典型的柔順力-位移反向機(jī)構(gòu)，其設(shè)計(jì)域和邊界條件如圖2所示。其中，設(shè)計(jì)域Ω₁大小為120×120，材料的彈性模量和泊松比分別為E＝1和v＝0.3，P_i和P_o分別為載荷輸入點(diǎn)和位移輸出點(diǎn)，輸入載荷F_in＝1，同時(shí)，沿輸出位移方向作用有一虛擬單位載荷F_d，輸入和輸出彈簧剛度分別為k_in＝1和k_out＝0.001。

柔順機(jī)構(gòu)的目標(biāo)體積比為θ^*＝0.25，靈敏度過(guò)濾半徑為r＝2.5，初始階段的拓?fù)鋬?yōu)化層數(shù)為L(zhǎng)＝1，其體積比為將設(shè)計(jì)域離散為N_x行N_y列；柔順機(jī)構(gòu)的應(yīng)變能和互應(yīng)變能如下：

E_s＝∫_Ωε(u)^TDε(u)dΩ＝U^TKU

式中，E_s是系統(tǒng)的應(yīng)變能，應(yīng)變能越小則表明系統(tǒng)的剛度越大；E_ms是系統(tǒng)的互應(yīng)變能，互應(yīng)變能越大則表明系統(tǒng)的柔性越大；D為彈性矩陣，K是系統(tǒng)整體剛度矩陣，U是F_in作用下的節(jié)點(diǎn)位移向量，U_d是F_d作用下的節(jié)點(diǎn)位移向量，ε(u)和u是設(shè)計(jì)域內(nèi)任一點(diǎn)在載荷F作用下的應(yīng)變和彈性變形，ε(u_d)和u_d是設(shè)計(jì)域內(nèi)任一點(diǎn)在載荷F_d作用下的應(yīng)變和彈性變形；

由于設(shè)計(jì)域和邊界條件具有對(duì)稱性，因此僅取設(shè)計(jì)域的下半?yún)^(qū)域進(jìn)行優(yōu)化。采用SIMP方法松弛密度變量，以柔順機(jī)構(gòu)的最大柔度和最大剛度為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化而得到柔順機(jī)構(gòu)的應(yīng)變能和互應(yīng)變能的關(guān)系如下：

Min:式中，Min代表最小值；

首先，基于相對(duì)密度法松弛設(shè)計(jì)變量，使柔順機(jī)構(gòu)單元密度在0-1范圍內(nèi)取值，即：

0＜ρ_min≤ρ_i≤ρ_max＝1,i＝1,2,…,N₁；

式中，ρ_i是單元i的密度，ρ_min是單元密度下限，ρ_max是單元密度上限，N₁是自然數(shù)，表明初始階段可利用材料域的單元數(shù)，且N₁＝N_xN_y；

柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的整體剛度矩陣是：

式中，K_i是單元i的剛度矩陣，V_e是任一實(shí)心單元的材料體積，V是體積，P為密度ρ_i的指數(shù)，且P∈Z,P＞1，Z表示整數(shù)，本實(shí)施例中，為了加快收斂，取P＝3；K⁰為任一實(shí)心單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕褺是任一實(shí)心單元的應(yīng)變矩陣；該柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型的體積約束如下：

式中，V₀是柔順機(jī)構(gòu)初始拓?fù)鋬?yōu)化模型可利用材料的體積，ρ是由ρ_i,i＝1,2,…,N所構(gòu)成的列向量；

根據(jù)上述目標(biāo)和約束條件，得到柔順機(jī)構(gòu)第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型如下：

S2：對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，步驟如下:

S2-1：對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行有限元分析，并計(jì)算靈敏度；

為了獲得優(yōu)化模型的拓?fù)鋬?yōu)化最佳結(jié)果，按以下公式對(duì)其進(jìn)行有限元分析，求出節(jié)點(diǎn)位移向量U和U_d：

KU＝F_in；

KU_d＝F_d。

進(jìn)一步得出優(yōu)化目標(biāo)和體積約束的靈敏度，優(yōu)化目標(biāo)的靈敏度為：

體積約束的靈敏度為：i＝1,...,N₁。

S2-2：對(duì)靈敏度進(jìn)行過(guò)濾，以消除拓?fù)鋱D中的棋盤(pán)格；

過(guò)濾后的靈敏度如下：

式中，N_e為單元i的鄰域,該鄰域內(nèi)的各單元中心到單元i的中心的距離小于或等于靈敏度過(guò)濾半徑r，ρ_j是單元i的鄰域內(nèi)單元j的密度，是卷積因子，即：式中，x_i是單元i的中心坐標(biāo)，x_j是單元j的中心坐標(biāo)。

S2-3：基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量，最佳準(zhǔn)則公式如下:

式中，L≥1，Ω_L,2是第L-1層提取的柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D中密度為ρ_max且恒定不變的單元集合，當(dāng)L＝1時(shí)，Ω_L,2為空集，Ω₁\Ω_L,2是第L層步驟S2的可利用材料域中密度可變的單元集合，t為迭代數(shù),η(0<η<1)為松弛因子,ζ為一個(gè)較小的移動(dòng)極限,為一個(gè)非負(fù)數(shù)，即：

式中，由Kuhn–Tucker必要條件導(dǎo)出，如下：

式中，λ為拉格朗日乘子，在設(shè)計(jì)變量更新過(guò)程中采用二分法得到，以使更新后的密度滿足體積約束，即：

式中，是步驟S2的體積比，和分別是集合Ω₁\Ω_L,2中所更新的三類(lèi)設(shè)計(jì)變量的和。

基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量的具體過(guò)程是：

首先，給定λ的最小值和最大值，分別是λ₁＝0和λ₂＝100000；

然后，計(jì)算它們的中點(diǎn)值：λ＝0.5(λ₁+λ₂)，并代入密度變量更新公式(最佳準(zhǔn)則公式)，得到更新后的單元密度；

之后，計(jì)算體積約束余量再根據(jù)值修改λ₁或λ₂的值：如果則使λ₁＝λ，否則如果則使λ₂＝λ；

重復(fù)λ₁和λ₂的中點(diǎn)值的計(jì)算、單元密度更新以及λ₁或λ₂的修改過(guò)程，直至λ₂與λ₁的差小于一個(gè)閾值為止。此條件滿足后則不再變化的值，即收斂。

下一層優(yōu)化模型，重新確定λ。

S2-4：重復(fù)步驟S2-1至S2-3，直到優(yōu)化迭代收斂，提取出含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D；

S3：對(duì)含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型做進(jìn)一步優(yōu)化，步驟如下:

S3-1：對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行有限元分析，計(jì)算靈敏度；

S3-2：對(duì)靈敏度進(jìn)行過(guò)濾；

S3-3：基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量，保留已有的實(shí)心單元，抑制較低密度單元(密度低于預(yù)設(shè)值)；

最佳準(zhǔn)則如下：

式中，β為給定的閾值，其作用是抑制較低密度單元，且ρ_min＜β≤1；

在迭代過(guò)程中，對(duì)β采用延拓方法進(jìn)行修正；首先判斷以下體積約束條件是否成立：

如果體積約束條件恒成立，再判斷以下迭代數(shù)條件是否成立：

t-t₁-[(t-t₁)/t₂]t₂≡1

式中，符號(hào)[]表示取整運(yùn)算t₁為提取出含有中間單元的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的總迭代數(shù)，t₂為允許β恒定不變的迭代數(shù)；如果迭代數(shù)條件恒成立，β取為

β＝β+min(Δβ,1-β)

式中，Δβ為給定的β的增量，min代表最小值。更新后的密度應(yīng)滿足如下體積約束：

式中，是步驟S2的體積比，和分別是集合Ω₁\Ω_L,2中所更新的各類(lèi)設(shè)計(jì)變量的和。

S3-4：重復(fù)步驟S3-1至S3-3，直到優(yōu)化迭代收斂，提取出柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D；

首先，給定λ的最小值和最大值，分別是λ₁和λ₂；

然后，計(jì)算它們的中點(diǎn)值：λ＝0.5(λ₁+λ₂)，并代入密度變量更新公式，得到更新后的單元密度；

之后，計(jì)算體積約束余量再根據(jù)值修改λ₁或λ₂的值：如果則使λ₁＝λ，否則如果則使λ₂＝λ；

重復(fù)λ₁和λ₂的中點(diǎn)值的計(jì)算、單元密度更新以及λ₁或λ₂的修改過(guò)程，直至λ₂與λ₁的差小于一個(gè)閾值為止。

S4：判斷柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代次數(shù)是否大于預(yù)設(shè)閾值，以及前后兩次迭代的單元密度變化最大值是否小于一個(gè)閾值，若上述任一條件滿足則終止循環(huán)并輸出結(jié)果，否則繼續(xù)執(zhí)行以下步驟；

S5：以柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D為基準(zhǔn)，建立下一層柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型；

首先修改柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的層數(shù)L，使L＝L+1；接著，修改體積比：采用體積約束延拓方法，對(duì)下一層優(yōu)化模型，體積比取為：

式中，max代表最大值，α是體積約束延拓因子初值，且0＜α＜1，Δα是體積約束延拓因子增量，且0＜Δα＜1；

最后，得到下一層(即第L,(L≥2)層)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

式中，Ω_L,2是第L_-1層提取的柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D中密度為ρ_max且恒定不變的單元集合，Ω₁\Ω_L,2是第L,(L≥2)層可利用材料域中密度可變的單元集合。

S6：重復(fù)步驟S2至S5，如此不斷增大拓?fù)鋬?yōu)化模型的體積約束值，直至提取出滿足目標(biāo)體積V^*的柔順機(jī)構(gòu)0-1變構(gòu)型拓?fù)鋱D。圖3為第一層拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果示意圖，圖4為第二層拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果示意圖。

上述實(shí)施例為本發(fā)明較佳的實(shí)施方式，但本發(fā)明的實(shí)施方式并不受上述實(shí)施例的限制，其他的任何未背離本發(fā)明的精神實(shí)質(zhì)與原理下所作的改變、修飾、替代、組合、簡(jiǎn)化，均應(yīng)為等效的置換方式，都包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。