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技術領域：
】本發(fā)明提供基于絕對節(jié)點坐標法的繩系運輸系統(tǒng)的動力學分析方法，它涉及一種包含廣義彈性力、廣義重力和運輸艙約束的繩系運輸系統(tǒng)的動力學過程的分析方法，屬于航天工程中繩系衛(wèi)星
技術領域：
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背景技術：
：繩系系統(tǒng)在空間技術應用方面有很大的潛力。有許多學者針對各種繩系系統(tǒng)的動力學和控制問題做了大量的研究。同時已有空間繩系實驗驗證了太空中應用柔性系繩的可行性，包括電動力繩和非電動力繩。太空電梯的概念首先由齊奧爾科夫斯基(tsiolkovsky)在19世紀末期提出，并有許多學者做了大量的理論工作。雖然現(xiàn)在依然離實現(xiàn)尚遠，但是大量的研究工作使用了不同的模型方法揭示了太空電梯的運動本質(zhì)。為了解決物質(zhì)上的障礙，所以近年來涌現(xiàn)出了大批關于模擬太空電梯及類似物的研究。這些研究成果為未來的實際應用打下堅實的基礎。然而這些方法都是采用離散的方法并且建立在將系繩視為剛體的基礎上的。有的方法甚至把系繩當作分段無質(zhì)量的剛性桿。但是由此建立的動力學公式依然冗長、不直觀。為了研究實際系繩的運動，需要在模型中應用一些連續(xù)介質(zhì)學上的理論使運動公式更加直觀。絕對節(jié)點坐標法(ancf)是一種用于求解柔性體大變形并適用于任意旋轉(zhuǎn)和平移運動的一種有效方法，由謝巴納(shabana)于1996年提出。絕對節(jié)點坐標法使用節(jié)點處的絕對斜率和位移作為節(jié)點坐標。對于可視作易彎細長梁的柔性繩，使用傳統(tǒng)忽視梁截面變形的建模方法建立運動公式是可行的。在繩系系統(tǒng)的運動過程中必須包括節(jié)點坐標中系繩的廣義引力計算。在廣義彈性力的計算中，求解系繩彈性勢能的有關形函數(shù)的體積分可以在解算動力學方程前計算一次即可，而系繩的廣義引力的表達式?jīng)Q定了無法采用類似的方法進行處理。所以在動力學解算中的每一步都必須重新計算體積積分的廣義引力，這將消耗大量的運算時間。所以需要設計一個合理的估算方法來加速模擬計算。技術實現(xiàn)要素：(一)發(fā)明的目的本發(fā)明的目的針對現(xiàn)有方法的不足，提出一種使用絕對節(jié)點坐標法分析包含廣義彈性力、廣義重力和運輸艙約束的繩系運輸系統(tǒng)的動力學過程方法。(二)本發(fā)明的技術方案：本發(fā)明設計了一種基于絕對節(jié)點坐標法的繩系運輸系統(tǒng)的動力學分析方法，具體步驟如下：步驟一、系統(tǒng)假設所謂的繩系運輸系統(tǒng)包括兩顆衛(wèi)星位于系繩兩端和一個在系繩上運動的運輸艙；需要認為系繩細而輕，這樣系繩才能在受力的時候產(chǎn)生較大的形變；為了簡化處理，僅考慮軌道平面內(nèi)的運動，忽略系繩的面外運動和其他的軌道平面外的運動；為了突出重點問題并簡化運動方程，做如下假設：(1)地球的重力場是均勻的；(2)位于系繩兩端的衛(wèi)星可以被認為是質(zhì)點；(3)忽略系繩的截面形變將系繩當作一維的梁；(4)所有運動發(fā)生在軌道平面；步驟二、基于絕對節(jié)點坐標法進行系統(tǒng)動力學建模首先定義絕對斜率和絕對位移作為絕對節(jié)點坐標法中的節(jié)點坐標，并設計包含整體剛體模態(tài)的全局形狀函數(shù)；變形體中的任一點的位置向量可以描述為r＝se(1)其中s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)；如果分解到相應的軸的位移場被假定為一個三次多項式，則平面梁的單元節(jié)點坐標矢量e可以選擇為其相應的形函數(shù)為s＝[s1is2is3is4i](3)其中i是一個2×2的單位矩陣，sj(j＝1,2,3,4)可以被表示為s1＝1-3ξ2+2ξ3,s2＝l(ξ-2ξ2+ξ3),s3＝3ξ2-2ξ3,s4＝l(ξ3-ξ2)(4)其中ξ是被選取點的無量綱坐標，定義為ξ＝x/l(5)式中l(wèi)為單元長度；相比于軌道的半徑，系繩的長度是很短的；因此，需要選取合理的坐標系統(tǒng)來減少數(shù)值誤差；地心慣性系的選擇如下：原點位于地球中心，其中ii坐標軸指向衛(wèi)星1的初始位置而坐標軸i在軌道平面內(nèi)指向運動的方向；用于采用絕對節(jié)點坐標法進行分析的軌道坐標系各軸總是平行于慣性系，其中y坐標軸方向向上而x軸指向運動的前進方向；它的坐標原點位于相對于慣性系位置向量為ra的衛(wèi)星1的中心，并以軌道角速度ω0的恒定角速度運動；使用上述形函數(shù)，可以將系繩的質(zhì)量矩陣表示為mt＝∫vρstsdv(6)因為衛(wèi)星1和2都在系繩上，所以沒有必要將它們的質(zhì)量從系繩的質(zhì)量矩陣分開并加上衛(wèi)星位置的約束；來源于衛(wèi)星1和2的質(zhì)量矩陣的增量可以表示為m1＝m1s(0)ts(0)(7)m2＝m2s(l)ts(l)(8)所以相對于絕對節(jié)點坐標包含衛(wèi)星1和2和系繩的整個系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣表示為ma＝mt+m1+m2(9)運動質(zhì)量塊mm的瞬時位置總是在系繩上，所以其位矢rm可以表示為rm＝s(xm)e(10)式中：xm為運輸艙在系繩上的坐標，s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量；運輸艙在系繩上的坐標xm用于與系繩上相應固定點進行區(qū)分，因為xm是一個隨時間變化的量；所以運動質(zhì)量的速度矢量為由此，動能t可以表示為式中：為形函數(shù)s對xm的偏導數(shù)；相對于位置坐標[etxm]t的運輸艙的質(zhì)量矩陣mm可以寫作式中：xm為運輸艙在系繩上的坐標，s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量，為形函數(shù)s對xm的偏導數(shù)；同時得到相對于廣義坐標q＝[etxm]t的全系統(tǒng)質(zhì)量矩陣m為了計算廣義彈性力，對單元采用線性彈性假設，得到應變能u的表達式為其中e是彈性模量，a是橫截面積，i是面積二次矩；ul為單元縱向變形，ut為單元橫向變形；因此，以彈性勢梯度表示的彈性力可以表示為對于廣義重力的計算，可以通過虛功原理得到；在軌道坐標系內(nèi)重力對系繩上每一點所做的虛元功δwgt為式中：ra為主星位置矢量，μ為地球引力常數(shù)，ρ為系繩密度，dv為系繩微元的體積；由此得到整個系繩相對于絕對節(jié)點坐標的單元廣義重力qgt表達式式中：s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量，μ為地球引力常數(shù)，ρ為系繩密度，dv為系繩微元的體積；很明顯，系繩的廣義重力與當前的系繩構形相關，它指出了動力學解算過程中需要逐步求解線性積分；需要注意的是，在動力學方程的解算中加入數(shù)值積分的運算將非常耗時；加速計算的一個可行的方法是將系繩分成有限多段，并假設每段所受的廣義重力等同于與系繩段相同質(zhì)量的質(zhì)點的廣義重力；代表每段系繩的質(zhì)點的位置位于各段中心，然后將每段系繩所受的廣義重力求和作為系繩的廣義重力代入動力學方程，即其中n是總段數(shù)，qgti是第i段的廣義重力；n的值越大，廣義重力的計算就越精確；為了得到qgti，首先應當計算簡化后的質(zhì)點的質(zhì)量和位置，通過公式mti＝ρal/n前者可以很容易得到，而后者可以表示為由此，qgti可以表示為式中：ra為主星位置矢量，s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，μ為地球引力常數(shù)；經(jīng)過這樣的簡化，上式中的定積分可以在進行解算前只計算一次以節(jié)省時間；雖然這種做法是實際物理過程的近似，但仍然包含了重力梯度等主要的重力影響因素；對于衛(wèi)星1或2，用e表示的廣義重力qgj為式中：ra為主星位置矢量，mj代表所對應衛(wèi)星的質(zhì)量；對于運輸艙，重力所做的虛功δwgm為式中：xm為運輸艙在系繩上的坐標，s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量，μ為地球引力常數(shù)；所以相對于q＝[etxm]t的運輸艙的廣義重力qgm為式中：ra為主星位置矢量，s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量，μ為地球引力常數(shù)；所以基于所選擇的廣義坐標q的系統(tǒng)的總的廣義重力qg為式中：qgm為相對于q＝[etxm]t的運輸艙的廣義重力；根據(jù)選取軌道坐標系的方法，導致系統(tǒng)所受慣性力qi為其中式中：qit，qij，qim分別為系繩、兩端衛(wèi)星和運輸艙所受慣性力；運動的運輸艙和系繩之間的非完整約束由相對速度vr表示；相對速度vr的方向沿著當前位置系繩的切線；運輸艙的絕對速度可以使用位置向量的時間導數(shù)與相對運動關系兩種方式得到式中：s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量，vr是運動的運輸艙和系繩之間的非完整約束由相對速度；所以可以求得運輸艙在系繩上當前位置的時間導數(shù)為得到xm的二階導數(shù)式中：s是基于點初始位形的x軸坐標的全局形狀函數(shù)，e是平面梁的單元節(jié)點坐標矢量，vr是運動的運輸艙和系繩之間的非完整約束由相對速度，為形函數(shù)s對xm的偏導數(shù)；將等式(32)重新表示為其中cq＝[01]，qc是等式(32)的余項；綜上所述，本步驟二所述的“絕對節(jié)點坐標法進行系統(tǒng)動力學建?！?，規(guī)納總結(jié)如下：先對所采用的坐標系進行定義，對系統(tǒng)采用絕對節(jié)點坐標法進行建模，得到其對應于廣義坐標的質(zhì)量陣。然后求出重力、彈性力和慣性力等的廣義力表達式。最后建立約束方程；步驟三、用拉格朗日(lagrange)乘子方法推導系統(tǒng)動力學方程在建立動力學方程時，可以使用lagrange乘子方法推導由一個系繩、2個視作質(zhì)點的衛(wèi)星和一個運輸艙組成的整個系統(tǒng)的動力學方程；lagrange乘子方法既適用于完整系統(tǒng)，也適用于非完整系統(tǒng)；其中qe＝qg+qk+qi對于一個繩系運輸系統(tǒng)，系繩長度可能很長并且衛(wèi)星的質(zhì)量會很大；因此在動力學方程中有必要對位置和質(zhì)量進行歸一化；選擇如下無量綱單元形函數(shù)式中：i是單位矩陣，l為單元長度；由此無量綱絕對節(jié)點坐標可以表示為式中：r1和r2為衛(wèi)星1和2的位置矢量，l為單元長度；同樣運輸艙在系繩上當前位置xm應該除以系繩長度；ξm＝xm/l(37)式中：ξm是被選取點的無量綱坐標，l為單元長度。；同樣的方法也適用于質(zhì)量維度，從而最終得到的運動方程式中：m*，q*e分別為無量綱質(zhì)量陣，無量綱廣義坐標和無量綱廣義力；為無量綱約束方程中的相關項；步驟四、動力學解算本發(fā)明數(shù)值仿真軟件的編寫平臺為矩陣實驗室(matlab)平臺，matlab系列產(chǎn)品在航天工程領域已經(jīng)得到了非常廣泛的應用，被證明是在動力學和控制相關問題研制開發(fā)過程中十分可靠的數(shù)值仿真軟件；對于可能的運動過程，主要分為子星在上和子星在下的兩種情況；設定系繩全長l；相對較重的主星位置矢量ra，質(zhì)量為m1；系繩另一端的子星的質(zhì)量設為m2，而系繩上的運輸艙的質(zhì)量為mm；給出系繩的材料和幾何屬性,包括長度、橫截面積、密度、楊氏模量；并且在情況1和2中，系繩在開始時都處于非變形狀態(tài)；給出運輸艙的運動方式，主要是相對于系繩的速度變化；如系繩速度達到設定值后保持不變，直到在釋放運動中的運輸艙和子衛(wèi)星之間的系繩的長度或者在回收運動中的運輸艙和母船之間的系繩的長度小于所設定值如100米；再在matlab平臺上，根據(jù)步驟三所得的動力學方程編寫此動力學方程的微分方程函數(shù)，即將動力學方程編為matlab程序文件；得到此動力學方程的matlab文件后，將上述所需參數(shù)的具體值代入，并選擇合適的解微分方程的matlab數(shù)值解程序，求解得到系統(tǒng)的動力學響應過程；本步驟四所述的“動力學解算”，歸納作法如下：選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)，如繩長，橫截面積，彈性模量，軌道高度等，然后給定運輸艙的運動方式；根據(jù)系統(tǒng)動力學方程編寫微分方程函數(shù)；將上述參數(shù)代入動力學方程并選擇合適的求微分方程數(shù)值解的函數(shù)進行解算，如使用四階、五階龍格-庫塔單步算法的數(shù)值解函數(shù)。通過以上步驟，結(jié)合仿真結(jié)果對本發(fā)明所設計的基于絕對節(jié)點坐標法的繩系運輸系統(tǒng)的動力學分析方法效果進行分析，驗證了本方法的計算精確的效果，得到了繩系運輸系統(tǒng)的真實動力學響應。(三)本發(fā)明的優(yōu)點和功效本發(fā)明所述方法能夠?qū)K系運輸系統(tǒng)的動力學采用絕對節(jié)點坐標法進行建模。相比于傳統(tǒng)的剛體動力學模型，該方法能更加精確地反映系統(tǒng)的真實動力學響應。數(shù)值仿真的結(jié)果驗證了該方法的有效性。【附圖說明】圖1本發(fā)明所述系統(tǒng)示意圖。圖2假定系繩為變形梁示意圖。圖3慣性坐標系和軌道坐標系示意圖。圖4情況1下運輸艙回收運動軌跡圖。圖5情況1下運輸艙釋放運動軌跡圖。圖6情況1下不同單元數(shù)系繩回收運動形態(tài)變化示意圖。圖7情況1下不同單元數(shù)系繩釋放運動形態(tài)變化示意圖。圖8情況2下運輸艙回收運動軌跡圖。圖9情況2下運輸艙釋放運動軌跡圖。圖10情況2下不同單元數(shù)系繩回收運動形態(tài)變化示意圖。圖11情況2下不同單元數(shù)系繩釋放運動形態(tài)變化示意圖。圖12本發(fā)明所述方法流程圖。圖中標號說明如下：圖中m1為主星質(zhì)量，m2為子星質(zhì)量，mm為運輸艙質(zhì)量，ra為主星位置矢量?！揪唧w實施方式】下面結(jié)合附圖1～12對
發(fā)明內(nèi)容進一步詳述如下：首先對系統(tǒng)進行必要假設，然后采用絕對節(jié)點坐標法建模，對系統(tǒng)動力過程進行分析，再使用lagrange乘子方法推導系統(tǒng)的動力學方程，最后對所發(fā)明的方法進行動力學解算仿真。本發(fā)明一種基于絕對節(jié)點坐標法的繩系運輸系統(tǒng)的動力學分析方法，見圖12所示，其具體步驟如下：步驟一、系統(tǒng)假設所謂的繩系運輸系統(tǒng)包括兩顆衛(wèi)星位于系繩兩端和一個在系繩上運動的運輸艙，如圖1所示。需要認為系繩細而輕，這樣系繩才能在受力的時候產(chǎn)生較大的形變，如圖2所示。為了簡化處理，僅考慮軌道平面上的運動，忽略系繩的面外運動和其他的軌道平面外的運動。為了突出重點問題并簡化運動方程，做如下假設：(1)地球的重力場是均勻的；(2)位于系繩兩端的衛(wèi)星可以被認為是質(zhì)點；(3)忽略系繩的截面形變將系繩當作一維的梁；(4)所有運動發(fā)生在軌道平面。步驟二、基于絕對節(jié)點坐標法進行系統(tǒng)動力學建模首先定義絕對斜率和絕對位移作為絕對節(jié)點坐標法中的節(jié)點坐標，并設計包含整體剛體模態(tài)的全局形狀函數(shù)。以此得到相對于絕對節(jié)點坐標的全系繩單元廣義重力表達式等相關參數(shù)。把運動方程中的體積積分包括在內(nèi)進行計算會非常耗時。加速計算過程的一個可行的方法是將繩分成幾段，并假設每個截面廣義重力等同于與系繩段相同質(zhì)量的質(zhì)點的廣義重力。坐標系如圖3所示，具體方案，如
發(fā)明內(nèi)容所述，這里不再贅述。步驟三、用拉格朗日(lagrange)乘子方法推導系統(tǒng)動力學方程通過以上步驟得到系統(tǒng)相關參數(shù)后，可以使用lagrange乘子方法推導由一個系繩、2個視作質(zhì)點的衛(wèi)星和一個運輸艙組成的整個系統(tǒng)的動力學方程。對于完整和非完整系統(tǒng)都可以應用lagrange乘子方法。具體方案，如
發(fā)明內(nèi)容所述，這里不再贅述。步驟四、動力學解算本發(fā)明數(shù)值仿真軟件的編寫平臺為matlab的仿真(simulink)平臺，matlab系列產(chǎn)品在航天工程領域已經(jīng)得到了非常廣泛的應用，被證明是在動力學和控制相關問題研制開發(fā)過程中十分可靠的數(shù)值仿真軟件。采用不同的繩系運輸系統(tǒng)布置實驗來觀察系統(tǒng)在各個可能應用參數(shù)下的動力學表現(xiàn)。對于可能的運動過程，主要分為子星在上和子星在下的兩種情況。系繩全長l設為1000千米。處于半徑為ra＝42164km的地球同步軌道上的相對較重的主星質(zhì)量為m1＝105kg。系繩另一端的子星的質(zhì)量設為m2＝103kg，而系繩上的運輸艙的質(zhì)量為mm＝100kg。系繩的材料和幾何屬性由表1給出。并且在情況1和2中，系繩在開始時都處于非變形狀態(tài)。運輸艙相對于系繩的速度vr從0開始用100秒的時間恒定加速到100米每秒。之后保持不變，直到在釋放運動中的運輸艙和子衛(wèi)星之間的系繩的長度或者在回收運動中的運輸艙和母船之間的系繩的長度小于100米。屬性數(shù)值長度(km)1000橫截面積(mm2)2密度(kg/m3)1440楊氏模量(gpa)131表1系繩的材料和幾何屬性情況1在情況1中，子星初始位于主星的上方，模擬運輸艙從主星開始的釋放和回收運動。在此情形下的系統(tǒng)開始的軌道周期在回收運動時為23.955小時而在釋放運動時為23.95小時。周期可以使用在動力學建模部分中呈現(xiàn)的用于重力計算的相應方法來獲得。對分成不同數(shù)量單元的系繩實驗來得到分段數(shù)對模擬精度的影響。簡言之，所有的結(jié)果都顯示在以與軌道坐標系的原點重合的相同軌道周期旋轉(zhuǎn)的坐標系中。圖4和圖5顯示了運輸艙向下移動到主星并從主星向上移動到子衛(wèi)星的軌跡。而圖6和圖7顯示了當運輸艙達到系繩的2/5、4/5時系繩的形狀以及系繩被分為1、5、60和100個系繩單元時運輸艙的最終位置。對于回收運動，由于科里奧利效應運輸艙的軌跡顯示出相對軌道運動方向的彎曲。此外，在整個過程期間的軌跡振蕩運動。繩系系統(tǒng)的形態(tài)不嚴格地與當?shù)刂亓Ψ较驅(qū)?，因為初始系繩張力設置為零。因此，主星的軌道角速率大于子衛(wèi)星并導致系統(tǒng)傾斜。實驗中發(fā)現(xiàn)運輸艙的軌道速度在運動過程中增加，這可以由圖4中x軸坐標的增量所證實。這是由啞鈴狀系統(tǒng)和運輸艙之間的能量轉(zhuǎn)換引起的，當運輸艙向下運動時，系統(tǒng)的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能。軌跡的振蕩則反映了由張力變化和非線性耦合激發(fā)的系繩的振動。對于情況1中的釋放運動，幾乎可以采用完全相同的解釋。但相反，由于運輸艙的上升運動，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為重力勢能，這導致與回收運動相比系繩彎曲的呈現(xiàn)相反趨勢。盡管由科里奧利力加速，但回收和釋放過程之間的另一個顯著差異是釋放運動中運輸艙的軌道速度從不超過主星軌道速度，這就導致運輸艙的軌跡前期具有比回收運動更小的曲率。并且與子星不同，考慮到主星的巨大質(zhì)量，主星的軌道運動沒有明顯受到運輸艙的影響。單元的數(shù)量影響動力學響應的準確性和模態(tài)?？梢院侠淼募僭O，在本發(fā)明中，系繩采用更多的分段將使模擬具有更高的精度。在圖4和圖5中，代表1單元系繩模型結(jié)果的曲線與代表具有更多單元的系繩的曲線相比具有更大的曲率。其中，在運輸艙的軌跡的前8千米運動中代表大于5個單元的系繩模型的曲線是一樣的。然而，當系繩被分成更多單元時，曲線出現(xiàn)較高頻率的振動。在圖6和圖7的系繩曲線中可以觀察到類似的現(xiàn)象。在高階模型中，由星形符號代表的運輸艙越接近終點，系繩的橫向振蕩越明顯。系繩的縱向振動受到運輸艙運動擾動，而橫向振動由耦合效應激發(fā)。其中耦合效應不能被低階模型掩蓋。并且由于質(zhì)量較小，子星附近的系繩更容易激發(fā)振動。同時可以看到在圖中，由于y軸方向的變化與橫向變形相比非常小，所以具有模擬中自由邊界的系繩顯示出為分別具有在y軸上0和106m處的兩個固定點。因此調(diào)整圖像的范圍以聚焦于系繩形變。情況2在這種情況下，子星位于主星之下，由1000公里的繩子固定。而主星位于與情況1相同的軌道半徑處。在此情形下的系統(tǒng)開始的軌道周期在回收運動時為23.913小時而在釋放運動時為23.914小時。圖8和圖9顯示了選擇不同單元數(shù)目系繩下的運輸艙的軌跡，而圖10和圖11顯示了系繩形狀的變化?？梢匀缜闆r1中那樣進行類似的討論，因此在該部分中不再重復相同的過程。關鍵是，與前一種情況相比，回收和釋放運動的結(jié)果是相反的，而響應的模態(tài)幾乎相同。它表明兩個衛(wèi)星的相對位置對運動的影響與運輸艙行進的方向所造成的影響相比不太重要。綜上所述，本發(fā)明設計并得到了一種使用絕對節(jié)點坐標法分析包含廣義彈性力、廣義重力和運輸艙約束的繩系運輸系統(tǒng)的動力學過程方法。該方法能有效地計算運動過程中地廣義重力，并有效地節(jié)省了計算時間，提高了計算效率。而且提供了一種標準化運動方程以避免此系統(tǒng)計算過程中質(zhì)量矩陣過于簡化，提高了計算精度。并且分析表明此發(fā)明地的方法適用于不同地系統(tǒng)配置。以上所述僅是本發(fā)明的具體實施方式，應當指出，對于本
技術領域：
的普通技術人員來說，在不脫離本發(fā)明方法的前提下，還可以做出若干改進，或者對其中部分技術特征進行等同替換，這些改進和替換也應視為本發(fā)明的保護范圍。當前第1頁12