本發(fā)明針對核反應(yīng)堆堆芯中子學(xué)計(jì)算領(lǐng)域，提出一種針對非均勻幾何變分節(jié)塊方法的廣義矩陣分離加速方法。

背景技術(shù)：

核反應(yīng)堆中子學(xué)計(jì)算研究以核反應(yīng)堆堆芯為應(yīng)用對象，其堆芯由許多不同種類的組件構(gòu)成。根據(jù)堆型的不同，組件內(nèi)部的幾何結(jié)構(gòu)和材料布置復(fù)雜多變。因此，實(shí)際的反應(yīng)堆中子學(xué)問題是一個(gè)三維非均勻幾何的中子學(xué)問題。對核反應(yīng)堆進(jìn)行快速、精確的中子學(xué)計(jì)算，是反應(yīng)堆設(shè)計(jì)和校核的基本保障。目前在堆芯物理設(shè)計(jì)過程中，主要采用均勻幾何的擴(kuò)散方程求解方法。

變分節(jié)塊法是核反應(yīng)堆物理設(shè)計(jì)中常用的方法之一。它以二階偶宇稱形式的中子擴(kuò)散方程為出發(fā)點(diǎn)，方程呈現(xiàn)橢圓方程的形式，有利于garlerkin方法的應(yīng)用，且更適合有限元方法的空間離散。變分節(jié)塊法的計(jì)算思想是：首先通過變分方法在非均勻幾何求解區(qū)域建立包含二階中子輸運(yùn)方程和自然邊界條件的泛函；然后采用標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式進(jìn)行ritz離散，同時(shí)利用球諧函數(shù)實(shí)現(xiàn)角度展開，并構(gòu)造響應(yīng)矩陣；最后分別在三維堆芯的各個(gè)節(jié)塊內(nèi)分別求解響應(yīng)矩陣方程；節(jié)塊之間以流和其高階矩耦合，最終得到問題區(qū)域的中子通量密度分布。變分節(jié)塊法能夠達(dá)到較高的精度，但僅能處理均勻節(jié)塊的問題。在基于均勻節(jié)塊的中子學(xué)計(jì)算過程中，無法避免均勻化過程，以及隨之而來的誤差。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)水平的提高，人們已經(jīng)越來越開始重視減少近似和假設(shè)，追求更高精度的中子學(xué)計(jì)算方法，消除均勻化過程是中子學(xué)發(fā)展的必然趨勢。因此，研究具備非均勻幾何處理能力的計(jì)算方法對于中子學(xué)計(jì)算具有十分重要的意義。

基于變分節(jié)塊法，后續(xù)研究在變分節(jié)塊法的框架下，引入了有限元方法以精確描述柵元內(nèi)部的非均勻結(jié)構(gòu)。在此工作中，各柵元被單獨(dú)處理為節(jié)塊，節(jié)塊內(nèi)部采用有限元網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，精確描述柵元和冷卻劑的材料、幾何分布。為了能夠?qū)嶋H描述柵元的非均勻幾何結(jié)構(gòu)，且保證足夠的計(jì)算精度，往往需要大量的有限元網(wǎng)格剖分，計(jì)算量很大。計(jì)算效率是制約非均勻變分節(jié)塊法在工程應(yīng)用的主要因素。因此，高效的加速方法對于非均勻幾何變分節(jié)塊方法是十分必要的。

矩陣分離算法是變分節(jié)塊法中應(yīng)用廣泛的一類方法。它利用類似于擴(kuò)散綜合加速的思想，將響應(yīng)矩陣方程分離為低階矩陣方程和高階矩陣方程。然后在迭代過程中，利用高階項(xiàng)構(gòu)造修正源項(xiàng)，來求解低階擴(kuò)散矩陣方程，通過先收斂低階項(xiàng)，后收斂高階項(xiàng)的思想來加速迭代。

然而，傳統(tǒng)的矩陣分離算法僅針對均勻節(jié)塊情況下的變分節(jié)塊法。非均勻變分節(jié)塊法在節(jié)塊軸向表面使用分片常量、在徑向表面使用正交多項(xiàng)式進(jìn)行空間離散，相比于傳統(tǒng)的變分節(jié)塊法具有特殊性，因此傳統(tǒng)的矩陣分離算法無法適用于非均勻幾何變分節(jié)塊法。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

非均勻幾何變分節(jié)塊方法軸向表面采用的分片常量離散方式大大增加了矩陣分離算法的應(yīng)用難度，為了將矩陣分離算法應(yīng)用于非均勻幾何變分節(jié)塊法，需要重新推導(dǎo)適用于非均勻幾何變分節(jié)塊方法的廣義矩陣分離加速算法，本發(fā)明的目的在于提供一種針對非均勻幾何變分節(jié)塊方法的廣義矩陣分離加速方法。

為了實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明采取了以下技術(shù)方案予以實(shí)施：

一種針對非均勻幾何變分節(jié)塊方法的廣義矩陣分離加速方法，步驟如下：

步驟1：根據(jù)節(jié)塊各個(gè)表面的不同，將公式(2)中表征各節(jié)塊表面之間中子流關(guān)系的響應(yīng)矩陣方程進(jìn)行矩陣分解，寫為6個(gè)節(jié)塊表面的貢獻(xiàn)疊加：

在非均勻幾何變分節(jié)塊方法中，中子通量密度展開矩的求解方程為

式中：

φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度展開矩向量；

j—節(jié)塊表面凈中子流密度展開矩向量；

q—中子源項(xiàng)展開矩向量；

-1—矩陣求逆符號；

—響應(yīng)矩陣，二者表達(dá)形式不同，僅與節(jié)塊內(nèi)部的材料、幾何分布有關(guān)；

響應(yīng)矩陣方程為：

式中：

j⁺—出射中子流密度展開矩向量；

j^-—入射中子流密度展開矩向量；

s—源項(xiàng)展開矩向量；

—響應(yīng)矩陣，僅與節(jié)塊內(nèi)部的材料、幾何分布有關(guān)；

首先，將公式(2)的響應(yīng)矩陣方程做矩陣分解，寫為6個(gè)節(jié)塊表面的貢獻(xiàn)疊加：

式中：

l—對應(yīng)于出射中子流的節(jié)塊表面編號，取值為1,2,3,4,5,6，分別對應(yīng)一個(gè)矩形節(jié)塊的左、右、前、后、下、上的六個(gè)面；

l’—對應(yīng)于入射中子流的節(jié)塊表面編號，取值為1,2,3,4,5,6，分別對應(yīng)一個(gè)矩形節(jié)塊的左、右、前、后、下、上的六個(gè)面；

—對應(yīng)于l表面的出射中子流密度展開矩向量；

—對應(yīng)于l‘表面的入射中子流密度展開矩向量；

—響應(yīng)矩陣中對應(yīng)于l,l’表面的分塊矩陣；

sl—節(jié)塊l的中子源展開矩向量；

步驟2：將公式(3)推導(dǎo)為關(guān)于各節(jié)塊表面平均偏中子流密度的一個(gè)6×6的低階響應(yīng)矩陣加上修正源項(xiàng)的形式：

定義6個(gè)節(jié)塊表面的平均偏中子流密度

其中：

—對應(yīng)l表面的平均偏中子流密度；

cl—對應(yīng)l表面的轉(zhuǎn)換向量；

t—轉(zhuǎn)置符號；

—對應(yīng)于l表面的出射和入射中子流密度展開矩向量；

對于x-y表面，由于離散多項(xiàng)式的正交性，其第一項(xiàng)即對應(yīng)節(jié)塊表面的平均偏中子流密度；因此，

對于z表面，其形狀函數(shù)為分片常量

式中：

j±z(x,y)—節(jié)塊軸向表面的中子流分布；

h(x,y)—分片常量向量；

j±z—節(jié)塊軸向表面的中子流密度展開矩；

δz—節(jié)塊的軸向高度；

假設(shè)第i個(gè)有限元網(wǎng)格的面積為ai，整個(gè)節(jié)塊的面積為a，則各表面偏中子流密度應(yīng)為各有限元網(wǎng)格的加權(quán)平均；則公式(4)中：

通過公式(5)與公式(7)中的算子求得公式(4)中左端的平均出射中子流密度另一方面，公式(3)中l(wèi)表面的入射中子流密度展開矩向量寫為：

將公式(4)代入以消去公式(8)中最后一項(xiàng)：

式中：—單位矩陣；

將公式(4)和公式(9)代入公式(3)得l表面的平均出射偏中子流密度的表達(dá)形式：

步驟3：將公式(10)寫為節(jié)塊l表面平均出射偏中子流密度平均入射偏中子流密度以及源項(xiàng)的形式，并重寫迭代格式；

在公式(10)中，引入迭代上標(biāo)k得：

其中

式中：

—第k+1次迭代的l表面平均出射偏中子流密度；

—第k+1次迭代的l表面平均入射偏中子流密度；

—第k次迭代的l’表面入射偏中子流密度展開矩；

—第k+1次迭代的l表面修正源項(xiàng)；

通過利用公式(11)和公式(12)替代公式(2)進(jìn)行迭代求解，能夠?qū)⒌蠼獾乃俾曙@著地提升，完成針對非均勻幾何變分節(jié)塊方法的廣義矩陣分離加速方法。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有如下突出優(yōu)點(diǎn)：

本發(fā)明通過對非均勻幾何變分節(jié)塊法中軸向表面的分片常量離散方式進(jìn)行特殊處理，重新推導(dǎo)了矩陣分離加速算法的理論模型，提高了矩陣分離加速算法的適用性，在迭代過程中先收斂軸向表面的平均偏中子流密度展開矩，再收斂各偏中子流密度展開矩的分量，能夠有效地加快非均勻幾何變分節(jié)塊法的計(jì)算效率。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合具體實(shí)施方式對本發(fā)明作進(jìn)一步詳細(xì)說明：

步驟1：根據(jù)節(jié)塊各個(gè)表面的不同，將公式(2)中表征各節(jié)塊表面之間中子流關(guān)系的響應(yīng)矩陣方程進(jìn)行矩陣分解，寫為6個(gè)節(jié)塊表面的貢獻(xiàn)疊加：

在非均勻幾何變分節(jié)塊方法中，中子通量密度展開矩的求解方程為

式中：

φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度展開矩向量；

j—節(jié)塊表面凈中子流密度展開矩向量；

q—中子源項(xiàng)展開矩向量；

-1—矩陣求逆符號；

—系數(shù)矩陣，二者表達(dá)形式不同，僅與節(jié)塊內(nèi)部的材料、幾何分布有關(guān)。

響應(yīng)矩陣方程為：

式中：

j⁺—出射中子流密度展開矩向量；

j^-—入射中子流密度展開矩向量；

s—源項(xiàng)展開矩向量；

—響應(yīng)矩陣，僅與節(jié)塊內(nèi)部的材料、幾何分布有關(guān)。

首先，將公式(2)的響應(yīng)矩陣方程做矩陣分解，寫為6個(gè)節(jié)塊表面的貢獻(xiàn)疊加：

式中：

l,l’—節(jié)塊各表面的編號：l＝1,2,3,4,5,6分別對應(yīng)一個(gè)矩形節(jié)塊的左、右、前、

l—對應(yīng)于出射中子流的節(jié)塊表面編號，可取值為1,2,3,4,5,6，分別對應(yīng)一個(gè)矩形節(jié)塊的左、右、前、后、下、上的六個(gè)面；

l’—對應(yīng)于入射中子流的節(jié)塊表面編號，可取值為1,2,3,4,5,6，分別對應(yīng)一個(gè)矩形節(jié)塊的左、右、前、后、下、上的六個(gè)面；

—對應(yīng)于l表面的出射中子流密度展開矩向量；

—對應(yīng)于l‘表面的入射中子流密度展開矩向量；

—響應(yīng)矩陣中對應(yīng)于l,l’表面的分塊矩陣；

sl—節(jié)塊l的中子源展開矩向量；

步驟2：將公式(3)推導(dǎo)為關(guān)于各節(jié)塊表面平均偏中子流密度的一個(gè)6×6的低階響應(yīng)矩陣加上修正源項(xiàng)的形式：

定義6個(gè)節(jié)塊表面的平均偏中子流密度

其中：

—對應(yīng)l表面的平均偏中子流密度；

cl—對應(yīng)l表面的轉(zhuǎn)換向量；

t—轉(zhuǎn)置符號；

—對應(yīng)于l表面的出射和入射中子流密度展開矩向量；

對于x-y表面，由于離散多項(xiàng)式的正交性，其第一項(xiàng)即對應(yīng)節(jié)塊表面的平均偏中子流密度；因此，

對于z表面，其形狀函數(shù)為分片常量

式中：

j±z(x,y)—節(jié)塊軸向表面的中子流分布；

h(x,y)—分片常量向量；

j±z—節(jié)塊軸向表面的中子流密度展開矩；

δz—節(jié)塊的軸向高度；

假設(shè)第i個(gè)有限元網(wǎng)格的面積為ai，整個(gè)節(jié)塊的面積為a，則各表面偏中子流密度應(yīng)為各有限元網(wǎng)格的加權(quán)平均；則公式(4)中：

通過公式(5)與公式(7)中的算子求得公式(4)中左端的出射中子流另一方面，公式(3)中l(wèi)表面的入射中子流密度展開矩向量寫為：

將公式(4)代入以消去公式(8)中最后一項(xiàng)：

式中：—單位矩陣；

將公式(4)和公式(9)代入公式(3)得l表面的平均出射偏中子流密度的表達(dá)形式：

步驟3：將公式(10)寫為節(jié)塊l表面平均出射偏中子流密度平均入射偏中子流密度以及源項(xiàng)的形式，并重寫迭代格式；

在公式(10)中，引入迭代上標(biāo)k得：

其中

式中：

—第k+1次迭代的l表面平均出射偏中子流密度；

—第k+1次迭代的l表面平均入射偏中子流密度；

—第k次迭代的l’表面入射偏中子流密度展開矩；

—第k+1次迭代的l表面修正源項(xiàng)；

步驟4：利用公式(12)，通過第k次迭代的l表面入射偏中子流密度展開矩和中子源項(xiàng)sl，計(jì)算得到第k次迭代的低階矩陣方程的源項(xiàng)

步驟5：利用公式(11)，通過紅‐黑掃描迭代求解第k+1次迭代的表面平均出射、平均入射偏中子流密度和

步驟6：更新表面出射偏中子流密度展開矩

步驟7：利用公式(3)，對節(jié)塊的整個(gè)響應(yīng)矩陣進(jìn)行一次(或幾次)迭代，更新高階矩；

步驟8：進(jìn)行到下一能群，直至最終的計(jì)算結(jié)果收斂，得到整個(gè)非均勻求解區(qū)域內(nèi)各群的中子通量密度分布和有效增值因子。由于公式(11)所需要的迭代運(yùn)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于原方法中公式(2)的迭代運(yùn)算量，因此采用本發(fā)明能夠?qū)崿F(xiàn)針對非均勻幾何變分節(jié)塊方法的廣義矩陣分離加速方法。