一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于計(jì)算機(jī)技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方 法。
【背景技術(shù)】
[0002] 隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的迅猛發(fā)展以及虛擬設(shè)計(jì)的興起，工業(yè)生產(chǎn)加工過程中對(duì)仿 真技術(shù)的在適用性、準(zhǔn)確性、實(shí)時(shí)性、可靠性等性能的要求也越來越高。
[0003] 目前，業(yè)界應(yīng)用的多物理場(chǎng)建模軟件主要包括Simulink、Ansys、MapleSim、 Dymola、SimulationX、MWork等，其中主流軟件主要以速度較快的數(shù)值計(jì)算為主，但其在計(jì) 算過程中會(huì)由于截?cái)嗾`差的累積造成精度的降低，以及無(wú)法保留化簡(jiǎn)結(jié)果以便下次計(jì)算， 無(wú)法應(yīng)用到實(shí)時(shí)性要求較高的硬件在環(huán)檢測(cè)技術(shù)上。而符號(hào)計(jì)算雖然能有效的避免中間 過程的階段誤差，時(shí)不變系統(tǒng)實(shí)時(shí)性好，能夠便于研發(fā)人員研宄系統(tǒng)輸入、輸出量之間的關(guān) 系，但是其計(jì)算過程速度慢。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 有鑒于此，本發(fā)明的目的在于提供一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方 法，該方法適用于多物理場(chǎng)建模軟件中的符號(hào)線性系統(tǒng)化簡(jiǎn)求解，能夠極大的提高線性系 統(tǒng)進(jìn)行快速高斯約當(dāng)消去符號(hào)計(jì)算的速度。
[0005] 為達(dá)到上述目的，本發(fā)明提供如下技術(shù)方案：
[0006] -種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，其特征在于：包括以下步驟：
[0007] 步驟一：根據(jù)工程系統(tǒng)問題，建立數(shù)學(xué)物理模型，拉氏變換后構(gòu)建為線性系統(tǒng)，列 出符號(hào)矩陣形式的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程；
[0008] 步驟二：根據(jù)矩陣大小確定需要進(jìn)行消去的次數(shù)，利用快速高斯約當(dāng)消去方法直 接構(gòu)造出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程化簡(jiǎn)為對(duì)角矩陣后的準(zhǔn)確結(jié)果；
[0009] 步驟三：根據(jù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出該系統(tǒng)輸入、輸出量之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系。
[0010] 進(jìn)一步，步驟一中的根據(jù)工程系統(tǒng)問題，建立數(shù)學(xué)物理模型，拉氏變換后構(gòu)建為線 性系統(tǒng)，列出的符號(hào)矩陣形式系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的一般形式為：Ax=b，其中，
為狀態(tài)矩陣，X=[Xix2…xn]T為輸出量，b=[bib2…bn]T為輸入量。
[0011] 進(jìn)一步，步驟二中的確定需要消去的次數(shù)s表述為：由步驟一所得狀態(tài)空間方程 的增廣矩陣（A|b) = (ay)^的大小nXm來確定，s=min(n,m)，工程中通常n=m-1，s =n〇
[0012] 進(jìn)一步，步驟二中的快速高斯約當(dāng)（Gauss-Jordan)消去方法具體包括以下步驟：
[0013] 1)初始值設(shè)定：定義 表示增廣矩陣（A|b)經(jīng)過k次消去后第i行第j列元素， 表示增廣矩陣（A|b)經(jīng)過k次消去后第i行第j列元素的構(gòu)造因子；給定=0;當(dāng) 1 <i<n，1 <j〈m時(shí)，
；當(dāng) 1 <i<n，j=m時(shí)，=夂；
[0014] 2)進(jìn)行第k次消去后（0彡k彡s)，
[0015] 當(dāng)i>k，j>k時(shí)，元素的構(gòu)造因子
[0016] 當(dāng)i〈k，j>k時(shí)，元素的構(gòu)造因子
[0017] 3)結(jié)合步驟2)，增廣矩陣（A|b)進(jìn)行第k次消去后（0彡k彡s)轉(zhuǎn)變?yōu)椋ˋ|b)k， 其中（A|b)k的元素滿足：
[0019] 經(jīng)過k=s次消去化簡(jiǎn)后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程對(duì)角矩陣形式為：
[0021] 進(jìn)一步，在步驟三中，根據(jù)步驟二中的化簡(jiǎn)結(jié)果，同時(shí)根據(jù)工程系統(tǒng)通常m=n+1， 判斷出該系統(tǒng)輸入、輸出量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并計(jì)算出它們之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系。
[0022] 本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明所述的方法在化簡(jiǎn)速度上遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法，避免 了高斯消去法的回代過程，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間；同時(shí)，符號(hào)計(jì)算有利于保證計(jì)算結(jié)果的精度和 明確的物理關(guān)系，能夠極大的提高線性系統(tǒng)進(jìn)行快速高斯約當(dāng)消去符號(hào)計(jì)算的速度。
【附圖說明】
[0023] 為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案和有益效果更加清楚，本發(fā)明提供如下附圖進(jìn)行 說明：
[0024] 圖1為本發(fā)明所述方法的流程示意圖；
[0025] 圖2為本發(fā)明實(shí)施案例示意圖。
【具體實(shí)施方式】
[0026] 下面將結(jié)合附圖，對(duì)本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施例進(jìn)行詳細(xì)的描述。
[0027]圖1為本發(fā)明所述方法的流程示意圖，如圖所示，本方法包括以下步驟：步驟一， 根據(jù)工程系統(tǒng)問題，建立數(shù)學(xué)物理模型，拉氏變換后構(gòu)建為線性系統(tǒng)，列出符號(hào)矩陣形式的 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程；步驟二，根據(jù)矩陣大小確定需要進(jìn)行消去的次數(shù)，利用快速高斯約當(dāng)消 去方法直接構(gòu)造出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程化簡(jiǎn)為對(duì)角矩陣后的準(zhǔn)確結(jié)果；步驟三，根據(jù)一一對(duì) 應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出該系統(tǒng)輸入、輸出量之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系。
[0028] 下面將結(jié)合附圖1，對(duì)本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施例進(jìn)行詳細(xì)的描述：
[0029] 步驟一中的工程系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的一般形式為：
[0031] 其中，x=[Xix2…xn]T為狀態(tài)變量，y= [y丄y2…y」1為輸出變量，u=[u1u2 ???111)]1為輸入變量，六=(3。(〇)11><11為系統(tǒng)矩陣，8=〇^(〇) 11><1)為控制、輸入或分布矩 陣，C= 為輸出矩陣，D= ((^。.⑴丨^為輸出分布矩陣。
[0032] 對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，拉氏變換線性化后的矩陣形式的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：
[0034] 結(jié)合附圖2，在本實(shí)施例中，狀態(tài)變量
，輸出變量y=[yiy2] T
[0035] 輸入變量u=[ulU2]T，系統(tǒng)矩陣
|控制、輸入或分布矩 陣
，輸出矩陣C= [1 0 1 0]，輸出分布矩陣D= [0 0]。
[0036] 針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程，進(jìn)行拉氏變換后，其增廣矩陣為
[0038]所得狀態(tài)空間方程的增廣矩陣的大小為4X5,故需要消去的次數(shù)s= 4。
[0039] 利用快速高斯約當(dāng)消去方法對(duì)其進(jìn)行處理：
[0040]1)初始值設(shè)定：定義表示增廣矩陣（(I-A) |(BU(s)))經(jīng)過k次消去后第i行 第j列元素，表示增廣矩陣（(I-A) |(BU(s)))經(jīng)過k次消去后第i行第j列元素的構(gòu) 造因子；給定
當(dāng)1彡i彡4, 1彡j〈5時(shí)
；當(dāng)丄彡i彡4,j= 5時(shí)，
[0041] 2)進(jìn)行第k次消去后（0彡k彡4)，
[0042] 當(dāng)i>k，j>k時(shí)，元素的構(gòu)造因子
[0043] 當(dāng)i〈k，j>k時(shí)，元素的構(gòu)造因子
[0044] 3)結(jié)合步驟2)，增廣矩陣（(I-A) |(BU (s)))進(jìn)行第k次消去后（0彡k彡4)轉(zhuǎn)變 為（(I-A) | (BU(s)))k，其中（(I-A) | (BU(s)))k的元素滿足：
[0046] 步驟二中的經(jīng)過4次快速高斯約當(dāng)消去方法化簡(jiǎn)后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程對(duì)角矩 陣形式為：
[0047]
[0048]根據(jù)步驟二中的化簡(jiǎn)結(jié)果由（Is-A) ?X(s) =B?U(s)可以判斷出該系統(tǒng)輸入、 輸出量存在 對(duì)應(yīng)關(guān)系，即
[0051] 將本發(fā)明方法在Maple軟件上編程實(shí)現(xiàn)后，對(duì)本實(shí)施案例進(jìn)行化簡(jiǎn)處理，傳統(tǒng)的 高斯約當(dāng)消去法的程序響應(yīng)總時(shí)間為〇. 063秒，其中CPU進(jìn)行的化簡(jiǎn)時(shí)間0. 016秒，而本發(fā) 明方法的程序總響應(yīng)時(shí)間為0. 046秒，其中CPU進(jìn)行的化簡(jiǎn)時(shí)間幾乎為0秒?？梢?，本發(fā) 明方法在化簡(jiǎn)速度上遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法，避免了高斯消去法的回代過程，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間；同 時(shí)，符號(hào)計(jì)算有利于保證計(jì)算結(jié)果的精度和明確的物理關(guān)系。特別地，有限元分析過程中， 網(wǎng)格化后的單元都可以看作是一個(gè)個(gè)串聯(lián)或者并聯(lián)的等效的質(zhì)量一一阻尼一一彈簧系統(tǒng)， 與該實(shí)施案例類似，采用本發(fā)明方法對(duì)其計(jì)算精度和計(jì)算速度都有很好的保證。
[0052] 最后說明的是，以上優(yōu)選實(shí)施例僅用以說明本發(fā)明的技術(shù)方案而非限制，盡管通 過上述優(yōu)選實(shí)施例已經(jīng)對(duì)本發(fā)明進(jìn)行了詳細(xì)的描述，但本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)理解，可以在 形式上和細(xì)節(jié)上對(duì)其作出各種各樣的改變，而不偏離本發(fā)明權(quán)利要求書所限定的范圍。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，其特征在于：包括以下步驟： 步驟一：根據(jù)工程系統(tǒng)問題，建立數(shù)學(xué)物理模型，拉氏變換后構(gòu)建為線性系統(tǒng)，列出符 號(hào)矩陣形式的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程； 步驟二：根據(jù)矩陣大小確定需要進(jìn)行消去的次數(shù)，利用快速高斯約當(dāng)消去方法直接構(gòu) 造出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程化簡(jiǎn)為對(duì)角矩陣后的準(zhǔn)確結(jié)果； 步驟三：根據(jù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出該系統(tǒng)輸入、輸出量之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，其特征 在于：步驟一中的根據(jù)工程系統(tǒng)問題，建立數(shù)學(xué)物理模型，拉氏變換后構(gòu)建為線性系統(tǒng)，列 出的符號(hào)矩陣形式系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的一般形式為：Ax = b，其中，為狀態(tài)矩 陣，X = [X1 X2…χη]τ為輸出量，b = [b i b2…bn]T為輸入量。3. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，其特征 在于：步驟二中的確定需要消去的次數(shù)s表述為：由步驟一所得狀態(tài)空間方程的增廣矩陣 (A|b) = (ai; j)nXm的大小 nXm 來確定，s = min(n, m)，工程中通常 n = m-1，s = η。4. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，其特征在 于：步驟二中的快速高斯約當(dāng)消去方法具體包括以下步驟： 1) 初始值設(shè)定：定義表示增廣矩陣（A|b)經(jīng)過k次消去后第i行第j列元素， 表示增廣矩陣（A|b)經(jīng)過k次消去后第i行第j列元素的構(gòu)造因子；給定= O ;當(dāng) I < i < n，I < j〈m 時(shí)，〇):.)= <.=式】；當(dāng) I < i < n，j = m 時(shí)，= ^ ; 2) 進(jìn)行第k次消去后（0彡k彡s)，當(dāng)i>k, j>k時(shí)，元素的構(gòu)造因子' 當(dāng)i〈k, j>k時(shí)，元素的構(gòu)造因子? 3) 結(jié)合步驟2)，增廣矩陣（A|b)進(jìn)行第k次消去后（0彡k彡s)轉(zhuǎn)變?yōu)椋ˋ|b)k，其中 (A|b)k的元素滿足：經(jīng)過k = S次消去化簡(jiǎn)后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程對(duì)角矩陣形式為：5.根據(jù)權(quán)利要求4所述的一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，其特征在 于：在步驟三中，根據(jù)步驟二中的化簡(jiǎn)結(jié)果，同時(shí)根據(jù)工程系統(tǒng)通常m = n+1，判斷出該系統(tǒng) 輸入、輸出量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并計(jì)算出它們之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系。
【專利摘要】本發(fā)明涉及一種用于符號(hào)線性系統(tǒng)的快速高斯約當(dāng)消去方法，屬于計(jì)算機(jī)技術(shù)領(lǐng)域。本方法包括以下步驟：1)根據(jù)工程系統(tǒng)問題，建立數(shù)學(xué)物理模型，拉氏變換后構(gòu)建為線性系統(tǒng)，列出符號(hào)矩陣形式的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程；2)根據(jù)矩陣大小確定需要進(jìn)行消去的次數(shù)，利用快速高斯約當(dāng)消去方法直接構(gòu)造出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程化簡(jiǎn)為對(duì)角矩陣后的準(zhǔn)確結(jié)果；3)根據(jù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出該系統(tǒng)輸入、輸出量之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系。本方法將復(fù)雜的高斯約當(dāng)消去過程通過數(shù)學(xué)方法分析轉(zhuǎn)換，直接根據(jù)初始的狀態(tài)方程計(jì)算出化簡(jiǎn)后的狀態(tài)方程，省去了中間過程的計(jì)算；此外，化簡(jiǎn)后的矩陣為對(duì)角線矩陣，為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，減少了其他消去方法的回代過程，極大的提高了計(jì)算速度。
【IPC分類】G06F17/16
【公開號(hào)】CN104899183
【申請(qǐng)?zhí)枴緾N201510362146
【發(fā)明人】李軼, 朱廣, 馮勇, 楊文強(qiáng)
【申請(qǐng)人】中國(guó)科學(xué)院重慶綠色智能技術(shù)研究院
【公開日】2015年9月9日
【申請(qǐng)日】2015年6月26日