本發(fā)明涉及濾波器技術領域，尤其涉及一種基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器設計方法及濾波器。

背景技術：

有限時間長度窄脈沖信號欠Nyquist采樣技術是近年來國內外研究的熱點，在雷達、超聲波探測等眾多領域都具有廣泛的應用。針對這類信號，以色列理工的Ewa Matusiak和Yonina C.Eldar根據(jù)Gabor采樣原理，提出基于Gabor框架的窄脈沖信號欠Nyquist采樣和重構的理論模型，能夠將采樣率減小為瞬態(tài)信號的持續(xù)時間分之一，并利用壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論降低采樣通道數(shù)，具有重要的理論意義。但是其采樣系統(tǒng)的設計工程性較差。在模擬域中對信號加窗調制的過程中使用的窗函數(shù)復雜，其實現(xiàn)成本高昂且對時鐘要求高，無法通過類似MWC中簡單的濾波器的形式實現(xiàn)。非確定性的測量矩陣在實際應用中難以工程化，尤其是在多通道條件下實現(xiàn)更加困難。

技術實現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的技術問題是提供一種基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器設計方法及濾波器，具有極其簡單的指數(shù)函數(shù)形式的時域調制函數(shù)，實現(xiàn)容易。

為解決上述技術問題，本發(fā)明所采取的技術方案是：一種基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器設計方法，其特征在于包括如下步驟：

首先，將多脈沖信號x(t)的時間域從t∈[-T/2,T/2]拓展到t∈[0,T]，多脈沖信號x(t)的單個脈沖h(t)最大寬度為W，且在時域緊支撐，脈沖最大個數(shù)為N_p，其中WN_p＜＜T，信號x(t)為實函數(shù)，其模型的數(shù)學表達式為

其中

信號x(t)進入第(j,m)個通道，首先與頻率調制函數(shù)w_j(t)相乘，再利用濾波器χ_m(t)進行濾波，最終采集t＝τ時刻的輸出完成信號采樣；

信號x(t)同步進入JM個通道，在第(j,m)個通道中，信號x(t)首先和函數(shù)q_j,m(t)＝w_j(t)s_m(t)相乘，再利用積分器完成積分，其中0≤j≤J-1，0≤m≤M-1，且函數(shù)q_j,m(t)根據(jù)Gabor框架進行設計，其窗函數(shù)g(t)在時間域[0,W_g]上緊支撐，且其-本質帶寬為[-B_g/2,B_g/2]；令K₁、K₂和L₀滿足和其中，B和Ω分別為多脈沖信號x(t)和指數(shù)再生窗函數(shù)g(t)的本質帶寬，N表示指數(shù)再生窗函數(shù)g(t)的平滑階數(shù)；

則q_j,m(t)的表達式為

q_j,m(t)＝w_j(t)s_m(t) (2)

其中

式(3)中，w_j(t)為頻域調制函數(shù)，s_m(t)為時域調制函數(shù)；信號x(t)經過第(j,m)個通道后進行采樣，每一個通道上的測量值通過式(4)表示：

通過采樣系統(tǒng)獲得測量值y_j,m后，根據(jù)調制函數(shù)中的d_jl和c_mk參數(shù)信息求解出Gabor系數(shù)z_k,l，再利用式(5)合成出原始信號x(t)；

改進的基于指數(shù)再生窗函數(shù)的Gabor框架采樣系統(tǒng)，若其窗函數(shù)為g(t)＝β_α(tN/W_g)，時頻柵格為(μW_g,1/W_g)，x(t)在第(j,m)個通道的響應為經w_j(t)調制的信號通過濾波器χ_m(t)在時間處的瞬時響應，χ_m(t)表達式為

采樣系統(tǒng)中，采樣時刻為χ_m(t)是將系統(tǒng)第jm個通道內積環(huán)節(jié)轉化為卷積環(huán)節(jié)后，s_m(t)所對應的濾波器函數(shù)，這樣框架窗函數(shù)β_α(t)的設計就轉化成了濾波器χ_m(t)設計的問題；對χ_m(t)進行拉普拉斯變換得到頻率響應

令α_m＝α₀+iλ(m)，其中m＝1,2,...M，由拉普拉斯變換收斂要求知Re[s]＞-α₀；為了簡化X_m(s)，取α₀＝W_g/WN；由于信號x(t)脈寬遠小于總時長，即T＞＞W(wǎng)，如果W≥W_g，則滿足這樣系統(tǒng)第jm個通道的s_m(t)就轉化為一階巴特沃斯濾波器

另外，g(t)＝β_α(tN/W_g)為N個一階指數(shù)樣條函數(shù)β_αm(tN/W_g)的卷積，為了保證窗函數(shù)g(t)為緊支撐的實函數(shù)，對于m＝1,...,M，選取序列α能夠滿足

λ(m)+λ(M+1-m)＝0 (9)

根據(jù)改進的采樣系統(tǒng)模型的設計，第m個通道中的指數(shù)再生窗進行加權積分構成的濾波器函數(shù)如式(8)，這是一個單復數(shù)極點濾波器函數(shù)，在工程實際中是無法實現(xiàn)的；因此，考慮將具有共軛對稱極點的兩個通道進行合并，為保證窗函數(shù)g(t)＝β_α(t)為實函數(shù)，α＝(α₁,α₂,...,α_N)中的元素由共軛對構成；假設總的通道數(shù)為M，且M＝N，分別對第m和第M+1-m通道相加和相減得到

為了避免重復，令0≤m≤(M+1)/2,則由m和M+1-m表示的所有元素可構成集合{1,2,…,M}；

在此基礎上，首先可得兩個通道在采樣時刻t＝T_s的響應y′_p(m)(T_s)和y′_p(M+1-m)(T_s)，再根據(jù)理論分析推導出實際需要的兩個通道響應y_m(T_s)和y_M+1-m(T_s)；然后利用CS重構算法進行子空間探測；這里需要完成的兩個最關鍵的問題是得到t＝T_s采樣時刻響應結果之間的映射關系，設實數(shù)響應到復數(shù)響應的算子為算子需要保證滿足

令

則

令將式(13)帶入(10)可得濾波器的數(shù)學模型為

根據(jù)式(14)設計出基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器。

本發(fā)明還公開了一種基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器，其特征在于所述濾波器包括濾波器X′_p(m)(s)和濾波器X′_p(M+1-m)(s)，所述濾波器X′_p(m)(s)包括運算放大器U1，電阻Rm1的一端為所述X′_p(m)(s)濾波器的信號輸入端，電阻Rm1的另一端分為兩路，第一路經電容Cm1與運算放大器U1的輸出端連接，第二路經電阻R’m2后又分為兩路，第一路與運算放大器U1的同相輸入端連接，第二路依次經電容Cm2、電阻R’m3后接地；電阻R’a的一端接運算放大器U1的輸出端，電阻R’a的另一端經電阻R’b后接地，電阻R’a與電阻R’b的結點接運算放大器U1的反相輸入端；

所述濾波器X′_p(M+1-m)(s)包括運算放大器U2，另一個電阻Rm1的一端為所述X′_p(M+1-m)(s)濾波器的信號輸入端，另一個電阻Rm1的另一端分為兩路，第一路經另一個電容Cm1與運算放大器U2的輸出端連接，第二路經電阻Rm2后又分為兩路，第一路與運算放大器U2的同相輸入端連接，第二路經另一個電容Cm2接地；電阻Ra的一端接運算放大器U2的輸出端，電阻Ra的另一端經電阻Rb后接地，電阻Ra與電阻Rb的結點接運算放大器U2的反相輸入端。

進一步的技術方案在于：

若令K_R＝1+R_b/R_a，則濾波器X′_p(m)(s)和濾波器X′_p(M+1-m)(s)的數(shù)學模型X′_p(m)(s)和X′_p(M+1-m)(s)分別為

令R_b＝0，再將R_a斷開，即R_a＝∞，則K_R＝1；令則于是式(15)簡化為

則為了保證式(16)分母相同，需要滿足

結合式(14)，可知在確定電阻和電容的數(shù)值時，還需要滿足

另外，為了保證濾波器的增益和式(14)相同，需要分別在X′_p(m)(s)和X′_p(M+1-m)(s)兩個濾波器前增加一個放大電路，這兩個電路的增益分別為

采用上述技術方案所產生的有益效果在于：所述方法設計的濾波器具有極其簡單的指數(shù)函數(shù)形式的時域調制函數(shù)，為了進一步提高可實現(xiàn)性，對于頻域調制后的信號，將時域調制函數(shù)與之相乘再進行積分的過程等價為一個指數(shù)濾波器，更容易實現(xiàn)。

附圖說明

圖1是指數(shù)再生窗Gabor采樣系統(tǒng)濾波器結構模型；

圖2是本發(fā)明實施例中濾波器X′_p(m)(s)的原理圖；

圖3是本發(fā)明實施例中濾波器X′_p(M+1-m)(s)的原理圖；

圖4是本發(fā)明實施例中濾波器X′_p(26)(s)的幅頻特性曲線圖；

圖5是本發(fā)明實施例中濾波器X′_p(26)(s)的階躍響應曲線圖；

圖6是本發(fā)明實施例中濾波器X_p(26)(s)的幅頻特性曲線圖；

圖7是本發(fā)明實施例中濾波器X_p(26)(s)的階躍響應曲線圖。

具體實施方式

下面結合本發(fā)明實施例中的附圖，對本發(fā)明實施例中的技術方案進行清楚、完整地描述，顯然，所描述的實施例僅僅是本發(fā)明的一部分實施例，而不是全部的實施例?；诒景l(fā)明中的實施例，本領域普通技術人員在沒有做出創(chuàng)造性勞動前提下所獲得的所有其他實施例，都屬于本發(fā)明保護的范圍。

在下面的描述中闡述了很多具體細節(jié)以便于充分理解本發(fā)明，但是本發(fā)明還可以采用其他不同于在此描述的其它方式來實施，本領域技術人員可以在不違背本發(fā)明內涵的情況下做類似推廣，因此本發(fā)明不受下面公開的具體實施例的限制。

本發(fā)明公開了一種基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器設計方法，包括如下步驟：

首先，將多脈信號x(t)的時間域從t∈[-T/2,T/2]拓展到t∈[0,T]，多脈沖信號x(t)的單個脈沖h(t)最大寬度為W，且在時域緊支撐，脈沖最大個數(shù)為N_p，其中WN_p＜＜T，信號x(t)為實函數(shù)，其模型的數(shù)學表達式為

其中

改進采樣系統(tǒng)結構如圖1所示，信號x(t)進入第(j,m)個通道，首先與頻率調制函數(shù)w_j(t)相乘，再利用濾波器χ_m(t)進行濾波，最終采集t＝τ時刻的輸出完成信號采樣；

信號x(t)同步進入JM個通道，在第(j,m)個通道中，信號x(t)首先和函數(shù)q_j,m(t)＝w_j(t)s_m(t)相乘，再利用積分器完成積分，其中0≤j≤J-1，0≤m≤M-1，且函數(shù)q_j,m(t)根據(jù)Gabor框架進行設計，其窗函數(shù)g(t)在時間域[0,W_g]上緊支撐，且其-本質帶寬為[-B_g/2,B_g/2]；令K₁、K₂和L₀滿足和其中，B和Ω分別為多脈沖信號x(t)和指數(shù)再生窗函數(shù)g(t)的本質帶寬，N表示指數(shù)再生窗函數(shù)g(t)的平滑階數(shù)；

則q_j,m(t)的表達式為

q_j,m(t)＝w_j(t)s_m(t) (2)

其中

式(3)中，w_j(t)為頻域調制函數(shù)，s_m(t)為時域調制函數(shù)；信號x(t)經過第(j,m)個通道后進行采樣，每一個通道上的測量值通過式(4)表示：

通過采樣系統(tǒng)獲得測量值y_j,m后，根據(jù)調制函數(shù)中的d_jl和c_mk參數(shù)信息求解出Gabor系數(shù)z_k,l，再利用式(5)合成出原始信號x(t)；

改進的基于指數(shù)再生窗函數(shù)的Gabor框架采樣系統(tǒng)，若其窗函數(shù)為g(t)＝β_α(tN/W_g)，時頻柵格為(μW_g,1/W_g)，x(t)在第(j,m)個通道的響應為經w_j(t)調制的信號通過濾波器χ_m(t)在時間處的瞬時響應，χ_m(t)表達式為

采樣系統(tǒng)中，采樣時刻為χ_m(t)是將系統(tǒng)第jm個通道內積環(huán)節(jié)轉化為卷積環(huán)節(jié)后，s_m(t)所對應的濾波器函數(shù)，這樣框架窗函數(shù)β_α(t)的設計就轉化成了濾波器χ_m(t)設計的問題；對χ_m(t)進行拉普拉斯變換得到頻率響應

令α_m＝α₀+iλ(m)，其中m＝1,2,...M，由拉普拉斯變換收斂要求知Re[s]＞-α₀；為了簡化X_m(s)，取α₀＝W_g/WN；由于信號x(t)脈寬遠小于總時長，即T＞＞W(wǎng)，如果W≥W_g，則滿足這樣系統(tǒng)第jm個通道的s_m(t)就轉化為一階巴特沃斯濾波器

另外，g(t)＝β_α(tN/W_g)為N個一階指數(shù)樣條函數(shù)的卷積，為了保證窗函數(shù)g(t)為緊支撐的實函數(shù)，對于m＝1,...,M，選取序列α能夠滿足

λ(m)+λ(M+1-m)＝0 (9)

根據(jù)改進的采樣系統(tǒng)模型的設計，第m個通道中的指數(shù)再生窗進行加權積分構成的濾波器函數(shù)如式(8)，這是一個單復數(shù)極點濾波器函數(shù)，在工程實際中是無法實現(xiàn)的；因此，考慮將具有共軛對稱極點的兩個通道進行合并，為保證窗函數(shù)g(t)＝β_α(t)為實函數(shù)，α＝(α₁,α₂,...,α_N)中的元素由共軛對構成；假設總的通道數(shù)為M，且M＝N，分別對第m和第M+1-m通道相加和相減得到

為了避免重復，令m≤(M+1)/2；由m和M+1-m可共同構成指數(shù)序列集合{1,2,…,M}；

在此基礎上，首先可得兩個通道在采樣時刻t＝T_s的響應y′_p(m)(T_s)和y′_p(M+1-m)(T_s)，再根據(jù)理論分析推導出實際需要的兩個通道響應y_m(T_s)和y_M+1-m(T_s)；然后利用CS重構算法進行子空間探測；這里需要完成的兩個最關鍵的問題是得到t＝T_s采樣時刻響應結果之間的映射關系，設實數(shù)響應到復數(shù)響應的算子為算子需要保證滿足

令

則

令將式(13)帶入(10)可得濾波器的數(shù)學模型為

根據(jù)式(14)設計出基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器。

本發(fā)明還公開了一種基于指數(shù)再生窗時域調制濾波器，述濾波器包括濾波器X′_p(m)(s)和濾波器X′_p(M+1-m)(s)，濾波器X′_p(m)(s)和X′_p(M+1-m)(s)的設計可以考慮采用無源濾波器或有源濾波器。由于采用無源濾波器可能需要體積較大且精確的電感，調整時過于麻煩，因此本發(fā)明考慮使用Sallen-Key濾波器，這種濾波器結構簡單，且只需要一個放大器和較少的電容和電阻就能實現(xiàn)，因此本發(fā)明決定采用Sallen-Key濾波器。低通Sallen-Key濾波器原理圖如圖2-3所示。

若令K_R＝1+R_b/R_a，則

如果令R_b＝0，再將R_a斷開，即R_a＝∞，則K_R＝1；令則于是式(15)簡化為

則為了保證式(16)分母相同，需要滿足

結合式(14)，可知在確定電阻和電容的數(shù)值時，還需要滿足

另外，為了保證濾波器的增益和式(14)相同，需要分別在X′_p(m)(s)和X′_p(M+1-m)(s)兩個濾波器前增加一個放大電路。這兩個電路的增益分別為

濾波器電路參數(shù)的選?。?/p>

對濾波器進行理論模型分析的過程中，為了便于計算，令α₀＝W_g/WN。但是在實際系統(tǒng)設計過程中，考慮到采樣系統(tǒng)可以利用開關對濾波器響應函數(shù)實現(xiàn)截斷，因此，可以將α₀設置為一個更加趨近于0的值，使得采樣時間t＝τ處的階躍響應值盡可能大，本發(fā)明令α₀＝0.01W_g/N。采樣系統(tǒng)中濾波器設計成功與否的三個關鍵參數(shù)是：指數(shù)響應衰減因子A_m，指數(shù)響應調制因子B_m和系統(tǒng)帶寬BW。

式(16)中的濾波器響應函數(shù)可以用式(20)統(tǒng)一進行表示

這是一個二階系統(tǒng)函數(shù)，函數(shù)的諧振點為

濾波器階躍響應是指數(shù)衰減的周期響應，其周期為B_m/2π，當f₀和B_m/2π都很準確時，就能保證A_m的準確性。另外，系統(tǒng)帶寬要足夠寬，才能保證窄脈沖信號在采樣的過程中不會出現(xiàn)信息丟失。

在實踐中，針對長度T＝20ms的有限時間長度的多脈沖信號設計了濾波器。設定信號中包含窄脈沖的最大寬度為W＝0.5ms的Gaussain脈沖，其帶寬可以粗略的估計為BW_P＝1/W＝2kHz，因此需要至少滿足BW≥BW_P。

根據(jù)式(17)和式(18)，R_m1、R_m2、C_m1和C_m2的具體計算表達式為

取C_m1＝10μF，經過PSpice仿真，可以得知，當M+1-2m≥26時，滿足濾波器設計帶寬的要求，即BW≥BW_P。

這里首先分析當M+1-2m≥26時濾波器的設計。此時，C_m2＝33.3pF，R_m1＝15kΩ，R_m2＝3kΩ。濾波器X′_p(26)(s)的幅頻特性曲線如圖4所示。

在此參數(shù)設定條件下，濾波器的諧振點f₀＝1.3007kHz，濾波器X′_p(26)(s)仿真得到的諧振點為誤差為0.0384％，因此能夠保證A_m和B_m的精確度。帶寬為滿足設計要求。

濾波器X′_p(26)(s)的階躍響應曲線如圖5所示，為了方便和X_p(26)(s)的響應曲線進行對比，利用電路將數(shù)據(jù)進行歸一化。由圖5可得響應曲線的角頻率為7.9294×10³，而B₂₆＝8.1681×10³，誤差2.92％。此誤差小于相鄰兩個通道角頻率之間的偏差，考慮到在信號子空間探測的過程中測量矩陣C本身存在的冗余性，濾波器的響應曲線滿足設計要求。

相應地，根據(jù)式(17)可以求得濾波器X_p(26)(s)的電容和電阻值，其幅頻特性曲線如圖6所示。

由圖可知，濾波器X_p(26)(s)的帶寬遠遠大于信號帶寬BW_P。這是因為系統(tǒng)函數(shù)X_p(26)(s)相當于在X′_p(26)(s)的基礎之上增加了零點，延緩了諧振點之后幅度隨頻率的衰減。和圖7相比，諧振頻率基本與濾波器X′_p(26)(s)相當。濾波器X_p(26)(s)的階躍響應曲線如圖7所示。

由圖7可知，響應曲線的角頻率為8.3472×10³，而B₂₆＝8.1681×10³，誤差2.19％，符合設計要求。和圖5相比，響應曲線相位平移了π/4，證明兩個濾波器的響應通過式(13)可以合成出相應的復指數(shù)系數(shù)。

以上分析了M+1-2m＝26條件下濾波器的設計，并對其基本特性進行了仿真。由于此種濾波器需要成對進行設計，為了保證M+1-2m≥26，需要窗函數(shù)平滑指數(shù)滿足N≥52。在使用低通Sallen-Key濾波器搭建采樣系統(tǒng)時需要排除m≤25的通道，因此實際的通道數(shù)應該為M＝N-50。N越大且通道數(shù)越多，采樣重構效果越好，所以在采樣系統(tǒng)可接受復雜程度下，盡可能大的選取N。

所述方法具有極其簡單的指數(shù)函數(shù)形式的時域調制函數(shù)，為了進一步提高可實現(xiàn)性，對于頻域調制后的信號，將時域調制函數(shù)與之相乘再進行積分的過程等價為一個指數(shù)濾波器，更容易實現(xiàn)。