小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法
【專利摘要】小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法涉及物理參數(shù)的測(cè)定領(lǐng)域，特別是重力加速度的測(cè)量。為克服單擺對(duì)擺球不能實(shí)現(xiàn)有效約束容易出現(xiàn)疊加圓錐擺，本發(fā)明提出一種小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法。技術(shù)方案是：一個(gè)小球從曲率半徑為R的圓弧形凹槽一側(cè)上部滾下，在勢(shì)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)換下做往復(fù)擺動(dòng)；圓環(huán)形凹槽側(cè)面有一對(duì)透光孔，在該透光孔布置光電門的發(fā)光二極管和接收二極管，光電門測(cè)量小球擺動(dòng)的周期T，重力加速度g=(2π/T)2*1.4R。有益效果是：小球受到圓弧形凹槽的限制，不會(huì)像單擺一樣出現(xiàn)疊加圓錐擺；提出了另外一種測(cè)量重力加速度的方法，拓展了學(xué)生的思維；相對(duì)于復(fù)擺測(cè)量重力加速度，測(cè)量過(guò)程和數(shù)據(jù)處理過(guò)程像單擺測(cè)量重力加速度一樣簡(jiǎn)單。
【專利說(shuō)明】7J、球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明涉及物理參數(shù)的測(cè)定領(lǐng)域，特別是重力加速度的測(cè)量。
【背景技術(shù)】
[0002]在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室，重力加速度的測(cè)量常用單擺和復(fù)擺。單擺的擺球只受到懸掛點(diǎn)和擺線的控制，擺線是柔軟的，在做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果沒(méi)有做好，往往就做成了圓錐擺了，圓錐擺相當(dāng)于擺長(zhǎng)變短的單擺，導(dǎo)致測(cè)量的周期變變短，從而導(dǎo)致測(cè)量的重力加速度偏大；當(dāng)然，大多數(shù)的時(shí)候也不至于達(dá)到圓錐擺這樣極端，通常是在單擺運(yùn)動(dòng)中疊加一個(gè)圓錐擺運(yùn)動(dòng)。
[0003]也有人主觀認(rèn)為小球在光滑圓弧上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)和單擺完全等同，只要擺角足夠小，這個(gè)擺動(dòng)就是單擺運(yùn)動(dòng)。這時(shí)周期公式中的擺長(zhǎng)應(yīng)該是圓弧曲率半徑和小球半徑r的差。但是，單擺的運(yùn)動(dòng)是受到拉線約束的圓弧路徑上的平動(dòng)，小球在曲線上的運(yùn)動(dòng)是滾動(dòng)，而不是平動(dòng)，因此，存在與單擺的本質(zhì)差別。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004]為克服單擺對(duì)擺球不能實(shí)現(xiàn)有效約束容易出現(xiàn)疊加圓錐擺的問(wèn)題，本發(fā)明提出一種小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法，是一種替代單擺測(cè)量重力加速度的方法。
[0005]本發(fā)明實(shí)現(xiàn)發(fā)明目的采用的技術(shù)方案是:利用小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法，其特征是:一段圓弧，該段圓弧對(duì)其圓心所張的圓心角小于或者等于180度，所述圓弧繞一個(gè)距離圓弧底部為R的定點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)形成一段圓弧形凹槽，其曲率半徑為R，該圓弧形凹槽利用模具采用鑄造制成或者采用銑床銑刀制成或者能夠達(dá)到該參數(shù)特征的其它工藝制作完成；一個(gè)小球從圓弧形凹槽一側(cè)的上部滾下，在勢(shì)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)換下做往復(fù)擺動(dòng)；為避免小球滾出圓弧形凹槽，圓弧兩側(cè)邊緣到圓弧底部的高度至少要大于小球的半徑；圓環(huán)形凹槽側(cè)面有一對(duì)透光孔，在該透光孔布置光電門的發(fā)光二極管和接收二極管，光電門用于測(cè)量小球擺動(dòng)的周期T，重力加速度g= (2 π / T) 2*1.4R。
[0006]本發(fā)明的有益效果是:單擺只有一個(gè)懸掛點(diǎn)，擺球端是活動(dòng)的，擺球和擺線容易出現(xiàn)不在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)疊加一個(gè)圓錐擺的單擺運(yùn)動(dòng)，甚至演變成圓錐擺運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致等效擺長(zhǎng)變短，本發(fā)明受到圓弧形凹槽的限制，小球不會(huì)像單擺一樣出現(xiàn)圓錐擺的情形；本發(fā)明提出了另外一種測(cè)量重力加速度的方法，拓展了學(xué)生的思維；復(fù)擺測(cè)量重力加速度需要測(cè)量眾多的數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)處理過(guò)程也比較繁瑣，比較耗時(shí)，相對(duì)于復(fù)擺測(cè)量重力加速度，測(cè)量過(guò)程和數(shù)據(jù)處理過(guò)程像單擺測(cè)量重力加速度一樣簡(jiǎn)單。
【專利附圖】

【附圖說(shuō)明】
[0007]圖1是圓錐擺示意圖；圖2是一種滾動(dòng)小球測(cè)量重力加速度的方法示意圖。
[0008]其中，1、圓弧形凹槽，2、透光孔，3、小球?！揪唧w實(shí)施方式】
[0009]圓錐擺:
F拉 *cos Θ =mg
F拉 *sin Q = F 向=mco 2r= mco2* Lsin θ
兩式相除，得到
g= Co2Lcos Θ =(2pi/T) 2Lcos Θ 其中，pi=3.1415926
而單擺測(cè)量重力加速度的公式為g=?2L=(2pi/T) 2L,對(duì)于圓錐擺相當(dāng)于擺長(zhǎng)由L縮短到L*cos Θ的單擺，對(duì)于疊加圓周擺的單擺實(shí)驗(yàn)，由于重力加速度的數(shù)值是不變的，處于分子的等效擺長(zhǎng)變短，處于分母的周期T也會(huì)變短，如果還按照單擺的原始擺長(zhǎng)計(jì)算，會(huì)導(dǎo)致重力加速度測(cè)量值變大。實(shí)驗(yàn)中一般不會(huì)將單擺實(shí)驗(yàn)做成一個(gè)純粹的圓錐擺，因?yàn)檫@樣太明顯；往往是在單擺運(yùn)動(dòng)中疊加一個(gè)圓錐擺運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致測(cè)量的重力加速度的測(cè)量值有一定程度的變大，而且，非常不幸的是，不知道該圓錐擺到底有多大的曲率半徑，以至于無(wú)法估計(jì)其帶來(lái)的影響。
[0010]小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法:
小球處于起始位置相對(duì)于圓環(huán)形凹槽最低位置的勢(shì)能為mg(R-RC0S( Θ 0)),當(dāng)小球滾動(dòng)的時(shí)候，勢(shì)能為mg (R-Rcos ( Θ ));其動(dòng)能包含兩個(gè)部分:第一是質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能，mv2/2,第二是繞著質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，I ω2/2，其中I為球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為角速度，對(duì)于實(shí)心球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為(2/5)mr2，空球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2/3)mr2，如果考慮實(shí)心球體，則I ω2/2=(2/5)πr2ω2/2=(1/5)πr2ω2, rω是小球接觸圓弧形凹槽的速度，略微大于質(zhì)心的速度，當(dāng)r?R 時(shí)，可以近似認(rèn)為 r ω =v ;因此動(dòng)能為 mv2/2+ I ω 2/2= (7/5) mv2/2= (7/10) mv2。
[0011]小球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)換，如果忽略摩擦力，則總能量保持不變，小球?qū)?lái)回滾動(dòng)，mg {R-Rcos ( Θ 0) } = mg {R-Rcos ( θ ) } + (7/10) mv2,即 mgR
{ cos ( θ )-cos ( Θ。)} = (7/10) mv20
[0012]從圖1可以看出v=ds/dt=d(R Θ )/dt=R d Θ /dt,其中s為弧長(zhǎng)，因此 mgR (cos ( Θ 0) -cos ( Θ )) + (7/10) m (Rd Θ /dt) 2=0
等式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，則
mgRsin ( Θ ) *d Θ /dt+ (7/10) m 2R2d Θ /dt *d2 Θ /d2t=0
然后提取公因子，并在等式兩邊除該公因子，得到 gsin( Θ ) + (7/5) Rd2 Θ /d2t=0
在角度比較小的時(shí)候，與單擺一樣在擺動(dòng)角度小于5度，認(rèn)為sin( Θ ) = Θ，則 g Θ +(7/5) Rd2 Θ /d2t=0 或者 g Θ +1.4Rd2 Θ /d2t=0 或者 d2 Θ /d2t+ (5g) /(7R) * θ =0 其方程的解為:
Θ (t) =C1Cos [ (5g/ (7R))0.51] + C2Sin [ (5g/ (7R))0.5 t]
所以周期T滿足(5g/(7R))°_5 T=2p，則周期T T=2p(l.4R/g)0.5 ；g= (2 3i / T) 2*1.4R
根據(jù)與單擺的公式對(duì)比Τ=2π (l/g)°_5，其中I為單擺擺；這說(shuō)明了小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動(dòng)的規(guī)律與存在重大差別，性質(zhì)完全不同，但是確實(shí)也有具有某些近似性，能夠測(cè)量重力加速度。
【權(quán)利要求】
1.利用小球滾動(dòng)測(cè)量重力加速度的方法，其特征是:一段圓弧，該段圓弧對(duì)其圓心所張的圓心角小于或者等于180度，所述圓弧繞一個(gè)距離圓弧底部為R的定點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)形成一段圓弧形凹槽(1)，其曲率半徑為R，該圓弧形凹槽(I)利用模具采用鑄造制成或者采用銑床銑刀制成或者能夠達(dá)到該參數(shù)特征的其它工藝制作完成；一個(gè)小球(3)從圓弧形凹槽(I) 一側(cè)的上部滾下，在勢(shì)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)換下做往復(fù)擺動(dòng)；為避免小球(3)滾出圓弧形凹槽(1)，圓弧兩側(cè)邊緣到圓弧底部的高度至少要大于小球(3)的半徑；圓環(huán)形凹槽側(cè)面有一對(duì)透光孔(2),在該透光孔(2)布置光電門的發(fā)光二極管和接收二極管,光電門用于測(cè)量小球( 3)擺動(dòng)的周期T，重力加速度g= (2 π / T) 2*1.4R。
【文檔編號(hào)】G09B23/10GK104021709SQ201410264404
【公開日】2014年9月3日 申請(qǐng)日期:2014年6月16日 優(yōu)先權(quán)日:2014年6月16日
【發(fā)明者】李娟 , 胡再國(guó), 張俊峰, 梁雅庭, 鄒旭敏, 穆萬(wàn)軍, 朱俊, 饒大慶, 羅明蓉, 雍志華, 程艷, 王維果, 劉石丹, 李偉, 于白茹, 梁小沖, 李紫源 申請(qǐng)人:四川大學(xué)