本發(fā)明涉及一種基于Rudin-Shapiro非周期序列的波帶片構(gòu)造方法及波帶片。

背景技術(shù)：

光學(xué)波帶片由透明和不透明圓環(huán)交替組成，它能產(chǎn)生一個(gè)主焦點(diǎn)和許多次焦點(diǎn)。光學(xué)波帶片在最近幾十年有許多新的應(yīng)用[1‐3]，例如，太赫茲成像[4]，X射線顯微鏡[5]，眼科學(xué)[6]，光學(xué)數(shù)據(jù)讀寫(xiě)技術(shù)[7]，光篩[8]，光鑷[9,10]等。

近年來(lái)，不同于菲涅爾波帶片[11]，許多數(shù)學(xué)非周期序列被用于產(chǎn)生新的波帶片，這種波帶片有特殊聚焦性質(zhì)。其中最典型的為分形波帶片[3]，F(xiàn)ibonacci(Fi)波帶片[12]，和Thue‐Morse(TM)波帶片[13]。分形波帶片的聚焦光場(chǎng)分布為分形分布，除了主焦點(diǎn)之外，還分布有一系列的次級(jí)焦點(diǎn)，呈自相似分布[14,15]。利用分形波帶片能利用擴(kuò)展焦深的自相似多焦點(diǎn)提升圖像質(zhì)量，雖然其相比于菲涅爾波帶片色差有所減小[16]，但是，其在白光照射下仍有較大的色差。Fi波帶片通過(guò)特定的斐波納契數(shù)來(lái)確定雙焦點(diǎn)的位置，由于它的雙焦點(diǎn)并不是自相似的，因此，利用它成像會(huì)有高的色差[12,17]。TM波帶片[13,18]充分吸取了分形波帶片和Fi波帶片的優(yōu)點(diǎn)，如降低色差和雙焦點(diǎn)，但是，它的雙焦點(diǎn)沿著軸向是對(duì)稱(chēng)分布的，而且軸向焦點(diǎn)的強(qiáng)度和分辨率太低。

現(xiàn)有技術(shù)中提出了許多減小色差的方法，例如，將不同級(jí)次的波帶片中心區(qū)域和外圍區(qū)域進(jìn)行混合產(chǎn)生混合波帶片，不僅可產(chǎn)生緩慢的色度變化，并且能增加焦點(diǎn)的光強(qiáng)[18,19]。另一種方法是通過(guò)魔鬼階梯序列產(chǎn)生階梯相位分布的魔鬼棱鏡[20]，它能減少圖像的色差，并且大幅度提高光強(qiáng)。但是，混合波帶片和魔鬼棱鏡的焦點(diǎn)在色度圖上對(duì)應(yīng)的色差點(diǎn)仍然與理想白點(diǎn)(色度圖上多色聚集點(diǎn)，是色差最低點(diǎn))有一定的距離，即這兩種方法仍然存在較大的成像色差。

因此，有必要設(shè)計(jì)一種成像色差更小的的波帶片構(gòu)造方法及波帶片。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：
：

本發(fā)明所解決的技術(shù)問(wèn)題是，針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)的不足，提出一種基于Rudin-Shapiro非周期序列的波帶片構(gòu)造方法及波帶片，本發(fā)明構(gòu)造的RS波帶片可對(duì)入射光束在光軸方向產(chǎn)生一系列聚焦焦點(diǎn),且產(chǎn)生的一系列焦點(diǎn)具有好的多色性，成像色差小。

本發(fā)明的技術(shù)方案為：

一種基于Rudin-Shapiro非周期序列的波帶片構(gòu)造方法，包括以下步驟：

步驟1：將Rudin-Shapiro非周期序列，即RS序列的四個(gè)初始種子，即第零級(jí)RS序列D₀分別用字母A，B，C，D表示；基于初始種子，按照以下規(guī)則變換生成后續(xù)的每一級(jí)RS序列：A→AB，B→AC，C→DB，D→DC，直至生成第S級(jí)RS序列D_S。

步驟2：對(duì)D_S進(jìn)一步按照以下規(guī)則替換：{A,B}→A和{C,D}→B，即將A和B出現(xiàn)的地方全部替換為A，C和D出現(xiàn)的地方全部替換為B；得到更新的D_S。

例如：第零級(jí)RS序列D₀為A，則更新的第一級(jí)RS序列D₁為AA，第二級(jí)RS序列D₂為AAAB，第三級(jí)RS序列D₃為AAABAABA，第四級(jí)RS序列D₄為AAABAABAAAABBBAB等等。通過(guò)這種方式變換，并簡(jiǎn)化得到雙字母變換規(guī)則，原來(lái)的替換規(guī)則可變換為：AA→AAAB，AB→AABA，BA→BBAB，BB→BBBA；由更新的第一級(jí)RS序列D₁及上述簡(jiǎn)化得到的雙字母變換規(guī)則，可直接得到更新的第S級(jí)RS序列D_S。

步驟3：將更新的第S級(jí)RS序列D_S的各個(gè)字母由內(nèi)而外依次映射到波帶片圓環(huán)上，D_S中字母A代表透明區(qū)域，B代表不透明區(qū)域，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的RS波帶片。

所述步驟3通過(guò)傳輸函數(shù)q(ζ)實(shí)現(xiàn)，即基于更新的第S級(jí)RS序列D_S，通過(guò)傳輸函數(shù)q(ζ)構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的波帶片：

首先，以波帶片圓心為原點(diǎn)，波帶片上兩條相互垂直的直徑為x軸和y軸，對(duì)于波帶片上任一位置(x，y)，計(jì)算其與圓心的距離再將r與波帶片最外環(huán)半徑a的平方之比，即r的平方的歸一化值記為ζ，ζ＝(r/a)²ζ∈[0,1]；波帶片最外環(huán)半徑a依據(jù)模擬的空間光調(diào)制器的尺寸和像素確定；若模擬的空間光調(diào)制器的尺寸為512×512，像素為15μm×15μm，則波帶片最外環(huán)半徑a為256×15μm。

然后，將ζ代入傳輸函數(shù)q(ζ)中，計(jì)算q(ζ)的值；傳輸函數(shù)q(ζ)如式(1)所示：

在公式(1)中，t_S,j為傳輸值，與第S級(jí)的RS序列D_S中的第j個(gè)字母D_S,j的類(lèi)別有關(guān)：當(dāng)D_S,j為“A”時(shí)，t_S,j等于1，當(dāng)D_S,j為“B”時(shí)，t_S,j等于0；d_S＝1/2^S；第S級(jí)的波帶片在一維方向能被分為2^S部分，每一部分的長(zhǎng)度為d_S＝1/2^S；rect[·]矩形函數(shù)，定義如下：

最后，根據(jù)q(ζ)的值進(jìn)行判斷，如果q(ζ)＝1，則相應(yīng)位置是透明的，否則，相應(yīng)位置不透明。

所述步驟3中，將整個(gè)波帶片上每個(gè)圓環(huán)都改為透光的，原來(lái)透明的圓環(huán)位相設(shè)為π，原來(lái)不透明圓環(huán)的位相設(shè)為0，從而將波帶片轉(zhuǎn)化為位相型波帶片，以提高波帶片的透光效率。

也可以直接在步驟3中，將更新的第S級(jí)RS序列D_S的各個(gè)字母由內(nèi)而外依次映射到波帶片圓環(huán)上，整個(gè)波帶片上每個(gè)圓環(huán)都設(shè)為透光的，D_S中字母A映射的圓環(huán)位相設(shè)為π，B映射的圓環(huán)位相設(shè)為0，從而形成位相型波帶片，以提高波帶片的透光效率。這種情況下，若傳遞函數(shù)q(ζ)＝1，則對(duì)應(yīng)位置透光且位相為π，否則，對(duì)應(yīng)位置透光且位相為0。

一種基于Rudin-Shapiro非周期序列的波帶片，采用上述的波帶片構(gòu)造方法進(jìn)行構(gòu)造：波帶片各個(gè)圓環(huán)填充為透明或不透明取決于RS序列中對(duì)應(yīng)序數(shù)的字母，若為A，圓環(huán)填充為透明，否則為不透明。

將整個(gè)波帶片上每個(gè)圓環(huán)都改為透光的，原來(lái)透明的圓環(huán)位相設(shè)為π，原來(lái)不透明圓環(huán)的位相設(shè)為0，從而將波帶片轉(zhuǎn)化為位相型波帶片，以提高波帶片的透光效率。

由于波帶片為二維結(jié)構(gòu)，本發(fā)明通過(guò)傳遞函數(shù)q(ζ)將二維結(jié)構(gòu)的兩個(gè)變量x,y(橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo))轉(zhuǎn)化為一維結(jié)構(gòu)的一個(gè)變量ζ來(lái)制作波帶片，實(shí)現(xiàn)波帶片二維圓環(huán)結(jié)構(gòu)。不同的波帶片構(gòu)造方法有不同的傳遞函數(shù)，本發(fā)明基于特有的RS序列得到特有的傳遞函數(shù)，構(gòu)造特有的波帶片，得到成像低色差特性。

有益效果：

本發(fā)明基于Rudin‐Shapiro(RS)非周期序列設(shè)計(jì)波帶片的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生一種波帶片,即RS波帶片。與同等級(jí)次的菲涅爾波帶片相比，RS波帶片可對(duì)入射光束在光軸方向產(chǎn)生一系列聚焦焦點(diǎn),且這些焦點(diǎn)以同等級(jí)次的菲涅爾波帶片的焦點(diǎn)位置對(duì)稱(chēng)分布。RS波帶片產(chǎn)生的一系列焦點(diǎn)具有好的多色性，通過(guò)這種波帶片成像能減少圖像的色差。RS波帶片比混合波帶片，魔鬼棱鏡和TM波帶片的成像色差都要小。

附圖說(shuō)明

圖1為RS序列結(jié)構(gòu)、一維序列轉(zhuǎn)換圖、級(jí)次S為5的RS和菲涅爾波帶片的相位輪廓；圖1(a)為從第零級(jí)到第四級(jí)RS序列結(jié)構(gòu)；圖1(b)為一維序列到二維波帶片結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換圖；圖1(c)為第四級(jí)RS序列產(chǎn)生的RS波帶片和同等級(jí)次的菲涅爾波帶片二維結(jié)構(gòu)圖。

圖2為級(jí)次S為5的RS和菲涅爾波帶片衍射后的軸向歸一化光強(qiáng)分布。

圖3為波長(zhǎng)分別為650nm，550nm和450nm的光分別照射級(jí)次S為5的RS和菲涅爾波帶片的軸向光強(qiáng)分布、歸一化軸向光照度Y、色度分布；圖3(a)為軸向光強(qiáng)分布，圖3(b)為歸一化軸向光照度Y，圖3(c)為色度分布。

圖4為“CSU”字符的二值圖、RS波帶片和菲涅爾波帶片衍射圖像；圖4(a)為“CSU”字符的二值圖，級(jí)次S為5的RS波帶片和菲涅爾波帶片的相位輪廓圖；圖4(b)為波長(zhǎng)從450nm到650nm間隔50nm的混合光照射菲涅爾波帶片在50mm，70mm和80mm處所成圖像；圖4(c)為波長(zhǎng)從450nm到650nm間隔50nm的混合光照射RS波帶片在50mm，70mm和80mm處所成圖像。

具體實(shí)施方式

以下結(jié)合附圖和具體實(shí)施方式對(duì)本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步具體說(shuō)明。

本發(fā)明了一種基于Rudin-Shapiro非周期序列的波帶片構(gòu)造方法，包括以下步驟：

步驟1：將Rudin-Shapiro非周期序列，即RS序列的四個(gè)初始種子，即第零級(jí)RS序列D₀分別用字母A,B,C,D表示；基于初始種子，按照以下規(guī)則變換生成后續(xù)的每一級(jí)RS序列：A→AB，B→AC，C→DB，D→DC，直至生成第S級(jí)RS序列D_S；

步驟2：對(duì)D_S進(jìn)一步按照以下規(guī)則替換：{A,B}→A和{C,D}→B，即將A和B出現(xiàn)的地方全部替換為A，C和D出現(xiàn)的地方全部替換為B；得到更新的D_S；

若第零級(jí)RS序列D₀為A，則更新的第一級(jí)RS序列D₁為AA，第二級(jí)RS序列D₂為AAAB，第三級(jí)RS序列D₃為AAABAABA，第四級(jí)RS序列D₄為AAABAABAAAABBBAB等等。通過(guò)這種方式變換，并簡(jiǎn)化得到雙字母變換規(guī)則，原來(lái)的替換規(guī)則可變換為：AA→AAAB,AB→AABA,BA→BBAB,BB→BBBA。

步驟3：將更新的第S級(jí)RS序列D_S的各個(gè)字母由內(nèi)而外依次映射到波帶片圓環(huán)上，D_S中字母A代表透明區(qū)域，B代表不透明區(qū)域，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的RS波帶片。

圖1所示為RS序列結(jié)構(gòu)、一維序列轉(zhuǎn)換圖、級(jí)次S為5的RS和菲涅爾波帶片的相位輪廓；圖1(a)為從第零級(jí)到第四級(jí)RS序列結(jié)構(gòu)；圖1(b)為一維序列到二維波帶片結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換圖；圖中m為RS序列中字母所對(duì)應(yīng)的序數(shù)，r_m為m對(duì)應(yīng)的RS波帶片半徑。與菲涅爾波帶片一樣，半徑可以用公式(f為焦距，λ為波長(zhǎng))計(jì)算出來(lái)。將RS序列的各個(gè)字母由內(nèi)而外依次映射到波帶片圓環(huán)上，兩個(gè)相鄰半徑之間的圓環(huán)填充為透明或不透明取決于RS序列中序數(shù)m對(duì)應(yīng)的字母，若為A，環(huán)就是透明的；否則，不透明。這種波帶片也可以轉(zhuǎn)化為位相型波帶片，,即整個(gè)波帶片的每個(gè)圓環(huán)都是透光的，但設(shè)計(jì)為透明的圓環(huán)部分位相設(shè)為π,不透明圓環(huán)的位相設(shè)為0，從而提高波帶片的透光效率。圖1(c)為第四級(jí)RS序列產(chǎn)生的RS波帶片和同等級(jí)次的菲涅爾波帶片二維結(jié)構(gòu)圖，其中白色部分表示位相值π，黑色部分表示位相值0。

由于RS波帶片由透明和不透明部分組成，RS波帶片能用由0和1組成的矩陣表達(dá)。利用菲涅爾近似公式計(jì)算單色平面波照射該波帶片后的軸向強(qiáng)度，如式(2)所示。

式(2)中，u＝a²/(2λz)為軸向坐標(biāo)，λ和z分別為波長(zhǎng)和軸向距離。聯(lián)合公式(1)和(2)，得到光強(qiáng)公式(3)：

利用公式(3)，可求解出軸向任意位置的光強(qiáng)。

計(jì)算級(jí)次S為5的RS和菲涅爾波帶片的軸向光強(qiáng)分布，并繪制出軸向強(qiáng)度曲線，如圖2所示。在圖2中，u＝a²/(2λz)為橫坐標(biāo)，I為縱坐標(biāo)。從圖2中可看出，RS波帶片能產(chǎn)生許多次焦點(diǎn)，特別的是，這些次焦點(diǎn)以同等級(jí)次菲涅爾波帶片的焦點(diǎn)位置為中心對(duì)稱(chēng)分別。然而，菲涅爾波帶片在圖2只顯示了一個(gè)焦點(diǎn)。對(duì)這兩種波帶片的I和u作等變量分析，其共同的焦距公式為f＝a²/(λ2^S)，f為主焦點(diǎn)的焦距。

圖3(a)為650nm，550nm和450nm三種不同波長(zhǎng)的光照射RS和菲涅爾波帶片后的軸向強(qiáng)度分布，注意，縱坐標(biāo)為各自波帶片的最大光強(qiáng)歸一化的相對(duì)強(qiáng)度，橫坐標(biāo)為與以波長(zhǎng)為550納米的光照射菲涅爾波帶片的焦距f＝a²/λ2^S的相對(duì)軸向距離。從圖3(a)中能夠看出，對(duì)于三種波長(zhǎng)的軸向焦點(diǎn)分布，RS波帶片不僅產(chǎn)生許多次焦點(diǎn)，并且，三種不同波長(zhǎng)光的焦點(diǎn)大部分重疊，但菲涅爾波帶片的主焦點(diǎn)基本不重疊。如果成像面上存在不同波長(zhǎng)的光的焦點(diǎn)，那么這個(gè)位置能夠產(chǎn)生低色差的圖像。因此，RS波帶片比同等級(jí)次菲涅爾波帶片的成像色差小。

利用傳統(tǒng)方法，RS波帶片在白光照射下沿著光軸的三刺激值能用公式(4)計(jì)算[19]。

其中，S(λ)為光源的譜分布，為人眼的光譜三刺激值函數(shù)(CIE 1931)，(λ₁,λ₂)為計(jì)算的波長(zhǎng)間隔。軸向的成像質(zhì)量通常用軸向光照度Y和軸向色度坐標(biāo)(x,y)來(lái)衡量[19]，如式(5)所示，

利用標(biāo)準(zhǔn)光源C照射RS和菲涅爾波帶片，并數(shù)值模擬了從380nm到780nm間隔為10nm共41個(gè)波長(zhǎng)的強(qiáng)度分布。級(jí)次S為5的RS和菲涅爾波帶片的光照度Y在圖3(b)表示。圓圈代表兩種波帶片的焦點(diǎn)，三角形或正方形分別以圓圈為中心對(duì)稱(chēng)分布。由于RS波帶片有許多焦點(diǎn)，選取主焦點(diǎn)和周?chē)囊粋€(gè)次焦點(diǎn)與菲涅爾波帶片的主焦點(diǎn)進(jìn)行比較。在圖3(b)中，RS波帶片有兩個(gè)圓圈代表選取的兩個(gè)焦點(diǎn)，而菲涅爾波帶片唯一的圓圈代表主焦點(diǎn)。圖3(c)是RS波帶片的主焦點(diǎn)，周?chē)囊粋€(gè)次焦點(diǎn)和菲涅爾波帶片的主焦點(diǎn)的色度分布圖，圖上的黑線，灰線，圓圈，三角形和正方形分別與圖3(b)中的內(nèi)容相對(duì)應(yīng)。當(dāng)圖像位置對(duì)應(yīng)的色度值在色度圖中越接近白光點(diǎn)C時(shí)，圖像越接近真正的彩色圖，圖像的色差就越小。圖3(c)表示，相比于菲涅爾波帶片的黑色曲線的圓圈，RS波帶片的灰色和黑色曲線的圓圈更接近于白點(diǎn)C。因此，RS波帶片所成像的色差比菲涅爾波帶片更低。

用MATLAB模擬了RS波帶片成像來(lái)驗(yàn)證RS波帶片的低色差成像。程序在Pentium CPU B940,2.00GHz內(nèi)存電腦上的MATLAB R2013a軟件平臺(tái)上進(jìn)行。空間光調(diào)制器用512×512像素，每個(gè)像素為15微米×15微米大小。波長(zhǎng)從450nm到650nm間隔50nm的混合光作為光源。級(jí)次為5的RS和菲涅爾波帶片的相位輪廓表示在圖4(a)。在圖4(b)和圖4(c)中，分別為菲涅爾波帶片和RS波帶片后衍射距離為50mm，70mm和80mm處的衍射圖像。圖4(b)和圖4(c)右邊的灰度條中，數(shù)值從0到1變化代表圖中灰度從黑色到白色的逐漸變化，黑色代表最低光強(qiáng)，白色代表最高光強(qiáng)。我們都知道，對(duì)于單色光成像而言，成像位置越接近焦點(diǎn)所成像越清晰，并且圖像的亮度越大，遠(yuǎn)離焦點(diǎn)位置產(chǎn)生的圖像會(huì)產(chǎn)生重影。在圖4(b)和圖4(c)中，當(dāng)衍射距離為50毫米時(shí)，菲涅爾和RS波帶片的圖像的字母S都能被完整的顯示，但是，菲涅爾波帶片圖像上的字母C和U有重影，RS波帶片圖像上字母基本沒(méi)有，并且，光強(qiáng)比菲涅爾波帶片圖像上字母的光強(qiáng)更大。因此，相比于菲涅爾波帶片的焦點(diǎn)，這個(gè)位置更靠近RS波帶片的焦點(diǎn)。當(dāng)衍射距離為70mm時(shí)，菲涅爾波帶片的圖像的字母C和U出現(xiàn)了較大的重影，這些字母的光強(qiáng)比較低。然而，RS波帶片的圖像的字母C和U基本無(wú)重影現(xiàn)象，并且，光強(qiáng)比菲涅爾波帶片的C和U強(qiáng)，菲涅爾和RS波帶片的圖像的字母S都能被完整的顯示。因此，相比于菲涅爾波帶片的焦點(diǎn)，這個(gè)位置更靠近RS波帶片的焦點(diǎn)。當(dāng)衍射距離為80mm時(shí)，兩種波帶片所得圖像上的字母S都能完整顯示，菲涅爾波帶片的圖像的字母C和U出現(xiàn)了嚴(yán)重的重影，兩個(gè)字母C和U分得更開(kāi)了，并且，字母的光強(qiáng)比較低。然而，由于許多光強(qiáng)集中于RS波帶片的字母C和U，以至于C和U看起來(lái)基本無(wú)放大和重影現(xiàn)象，并且，光強(qiáng)比菲涅爾波帶片的C和U強(qiáng)。因此，相比于菲涅爾波帶片的焦點(diǎn)，這個(gè)位置更靠近RS波帶片的焦點(diǎn)。總之，與菲涅爾波帶片比較，不同波長(zhǎng)光照射RS波帶片在以上多個(gè)位置基本都更接近它的焦點(diǎn)位置。之所以出現(xiàn)這種情況，是因?yàn)镽S波帶片能產(chǎn)生許多多色焦點(diǎn)，當(dāng)受到不同波長(zhǎng)的光照射時(shí)，不同波長(zhǎng)光的大多數(shù)焦點(diǎn)重合，不像菲涅爾波帶片，對(duì)于不同波長(zhǎng)光的焦點(diǎn)基本沒(méi)重合。由于不同波長(zhǎng)的光都有焦點(diǎn)存在，所以，RS波帶片所成圖像有低的色差。同時(shí)，與TM的波帶片[13],混合波帶片[19]和魔鬼棱鏡[20]中色度圖焦點(diǎn)與理想白點(diǎn)的距離相比，RS波帶片色度圖的焦點(diǎn)與理想白點(diǎn)的距離更低，這說(shuō)明RS波帶片所成圖像的色差更低。

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