本發(fā)明涉及一種控制器，具體涉及一種基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器，屬于機電液伺服控制領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

由于電液伺服系統(tǒng)具有功率重量比大、動態(tài)響應快、壓力、流量可控性好以及可柔性傳送動力等突出優(yōu)點，而被廣泛應用于航空、航天、汽車、船舶、和工程機械等領(lǐng)域。隨著這些領(lǐng)域的發(fā)展和技術(shù)水平的不斷進步，迫切需要高性能的電液伺服系統(tǒng)作為支撐，傳統(tǒng)基于線性化方法得到的控制性能逐漸不能滿足系統(tǒng)需求。電液伺服系統(tǒng)的非線性，如壓力動態(tài)非線性、伺服閥壓力流量非線性、摩擦非線性等，逐漸成為限制電液伺服系統(tǒng)性能提升的瓶頸因素。除此之外，電液伺服系統(tǒng)還存在諸多參數(shù)不確定性(如負載慣量、泄漏系數(shù)、液壓油彈性模量等)和不確定性非線性(如未建模的摩擦動態(tài)、外干擾等)。這些不確定性的存在成為發(fā)展先進控制策略的主要障礙。

通常情況下，自適應控制能有效的估計未知常數(shù)參數(shù)并能提高其跟蹤精度，然而當系統(tǒng)遭受大的未建模擾動時可能會不穩(wěn)定。魯棒控制器可以有效提高整個閉環(huán)系統(tǒng)對未建模擾動的魯棒性，但是不適用于建模充分只存在參數(shù)不確定性的系統(tǒng)?？偟膩砜?，自適應控制和魯棒控制有它們各自的優(yōu)缺點。美國普渡大學的Bin Yao教授團隊針對非線性系統(tǒng)所存在的所有不確定性，提出了一種數(shù)學論證嚴格的非線性自適應魯棒控制(ARC)理論框架。其團隊主要基于系統(tǒng)非線性數(shù)學模型設(shè)計非線性控制器，針對參數(shù)不確定性，設(shè)計恰當?shù)脑诰€參數(shù)估計策略，以提高系統(tǒng)的跟蹤性能；對可能發(fā)生的外干擾等不確定性非線性，通過強增益非線性反饋控制予以抑制。由于強增益非線性 反饋控制往往導致較強的保守性(即高增益反饋)，在工程使用中有一定困難，并且系統(tǒng)中潛在的大的未建模擾動可能會使系統(tǒng)的跟蹤性能變差。為了補償在ARC設(shè)計時的擾動，有學者設(shè)計了基于擴張狀態(tài)觀測器的ARC設(shè)計方法，并從理論和實驗結(jié)果上驗證了所提出的控制器能使系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。然而，以上所提出的非線性設(shè)計方法僅僅只能確保存在各種建模不確定性系統(tǒng)的跟蹤誤差有界，這樣的性能可能會難以滿足實際高精度場合的需求。對此有學者提出了基于誤差符號積分魯棒的自適應控制(ARISE)方法對存在匹配性擾動的系統(tǒng)能確保其跟蹤誤差在穩(wěn)態(tài)時趨于零，然而這種控制器設(shè)計方法相對復雜并且只能保證整個系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定,同時在復雜環(huán)境中并不能保證參數(shù)估計值始終在一個有界的區(qū)域內(nèi)。如何解決以上存在的問題仍是目前研究的焦點。

總結(jié)來說，現(xiàn)有電液伺服系統(tǒng)的控制策略的不足之處主要有以下幾點：

1.簡化系統(tǒng)非線性模型為線性或忽略系統(tǒng)建模不確定性。簡化系統(tǒng)非線性模型為線性難以準確描述實際的電液伺服系統(tǒng)，會使基于電液伺服系統(tǒng)線性模型所設(shè)計的控制器的控制精度降低。電液伺服系統(tǒng)的建模不確定性主要包括未建模摩擦和未建模擾動等。存在于電液伺服系統(tǒng)中的摩擦會引起極限環(huán)振蕩、粘滑運動等不利因素，對系統(tǒng)的高精度運動控制產(chǎn)生不利的影響。同時，實際的電液伺服系統(tǒng)不可避免的會受到外界負載的干擾，若忽略這些建模不確定性將會降低系統(tǒng)的跟蹤性能；

2.傳統(tǒng)的自適應魯棒控制(ARC)存在高增益反饋現(xiàn)象并且對同時存在參數(shù)不確定性和不確定性非線性的電液伺服系統(tǒng)系統(tǒng)只能保證跟蹤誤差有界(即保證跟蹤誤差在一個有界的范圍內(nèi)，并不能確保跟蹤誤差趨于零)。傳統(tǒng)自適應魯棒控制存在高增益反饋的問題，也就是通過增加反饋增益來減小 跟蹤誤差。然而高增益反饋易受測量噪聲影響且可能激發(fā)系統(tǒng)的高頻動態(tài)進而降低系統(tǒng)的跟蹤性能，甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定；并且對同時存在參數(shù)不確定性和不確定性非線性的系統(tǒng)只能確保系統(tǒng)的跟蹤誤差有界，在實際高精度需求的場合這樣的性能可能會難以滿足要求。

3.基于誤差符號積分魯棒的自適應控制器(ARISE)只能保證整個系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定同時在復雜環(huán)境中并不能保證參數(shù)估計值始終在一個有界的區(qū)域內(nèi)。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明為解決現(xiàn)有電液伺服系統(tǒng)控制中簡化系統(tǒng)非線性模型為線性或忽略系統(tǒng)建模不確定性、傳統(tǒng)的自適應魯棒控制存在高增益反饋現(xiàn)象以及對同時存在參數(shù)不確定性和不確定性非線性的系統(tǒng)只能保證跟蹤誤差有界，同時基于誤差符號積分魯棒的自適應控制器只能保證整個系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定以及在復雜環(huán)境中并不能保證參數(shù)估計值始終在一個有界的區(qū)域內(nèi)的問題，提出一種基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器。

本發(fā)明為解決上述問題采取的技術(shù)方案是：本發(fā)明的設(shè)計方法具體步驟如下：

步驟一、建立電液位置伺服系統(tǒng)的非線性數(shù)學模型，本發(fā)明以液壓馬達為例，根據(jù)牛頓第二定律可得系統(tǒng)的運動學方程為：

公式(1)中J為負載的轉(zhuǎn)動慣量；y為負載的角位移；P_L＝P₁-P₂為液壓馬達的負載壓力(P₁、P₂分別為液壓馬達兩腔的油壓)；D_m為液壓馬達的排量；B為粘性摩擦系數(shù)(本發(fā)明為了提高控制器設(shè)計的可理解性，側(cè)重驗證控制器對未建模動態(tài)的魯棒性，從而簡化控制器的補償部分，因而采用線性 摩擦模型)；f(t)為未建模的摩擦以及外干擾等不確定性項。

液壓馬達的負載壓力動態(tài)方程為：

公式(2)中V_t、β_e、C_t、Q_L分別為液壓馬達控制腔的總?cè)莘e、液壓油有效彈性模量、液壓馬達內(nèi)泄漏系數(shù)及伺服閥負載流量，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2(其中Q₁為由伺服閥流進液壓馬達進油腔的液壓流量，Q₂為由伺服閥流出液壓馬達回油腔的液壓流量)；q(t)為建模誤差。

伺服閥負載流量Q_L與閥芯位移x_v之間的關(guān)系為：

公式(3)中(C_d為流量系數(shù)；ω為閥芯面積梯度；ρ為油液密度)；P_s為與回油壓力P_r相關(guān)的供油壓力；sign(·)定義為：

假設(shè)伺服閥響應速度非?？旒此欧y頻寬遠遠高于系統(tǒng)頻寬，則閥芯位移x_v與控制輸入u近似為比例環(huán)節(jié)，即x_v＝k_iu(k_i為正增益)，那么(3)式可以寫為：

公式(5)中k_t＝k_qk_i為與控制輸入u相關(guān)的總的流量增益。

為使控制器的設(shè)計更具廣泛性，針對液壓馬達伺服系統(tǒng)，由式(1)(2)及(5)表征的非線性模型，定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為則系統(tǒng)非線性模型的狀態(tài)空間形式為：

公式(6)中U、d(t)表示為:

由公式(6)可以看出，為了控制器設(shè)計方便，我們定義了一個新的變量U來替代系統(tǒng)的實際控制輸入u，由于系統(tǒng)中安裝了壓力傳感器，(P_s-sign(u)P_L)^1/2的值可以實時獲得，那么實際的控制輸入u可以通過U/(P_s-sign(u)P_L)^1/2來計算，因此在以下的控制器設(shè)計過程中主要致力于通過設(shè)計U來處理液壓馬達系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性和未建模擾動。

由于系統(tǒng)的參數(shù)J、B、β_e、k_t以及C_t可能存在大的變化從而使系統(tǒng)遭受參數(shù)不確定性，因此，為了簡化(6)式，定義不確定參數(shù)集其中以及狀態(tài)空間等式(6)可以重新寫為：

假設(shè)1：期望跟蹤的位置指令x_1d＝y(tǒng)_d(t)∈C⁵并且有界；實際液壓馬達伺服系統(tǒng)在正常工作條件下，P_L有界，即0＜P_L＜P_s。

假設(shè)2：不確定性參數(shù)集滿足：

公式(9)中均已知。

假設(shè)3：公式(8)中的時變不確定性d(t)足夠光滑并且滿足：

公式(10)中δ₁、δ₂為已知正常數(shù)。

由假設(shè)1可以推出(P_s-sign(u)P_L)^1/2總是有界，因此，若設(shè)計出有界的U，那么實際的控制輸入u將會有界。在以下的控制器設(shè)計中，假設(shè)3給未建模擾動施加了一些約束使得此非線性模型(8)對于實際的液壓馬達系統(tǒng)來說顯得有點保守。雖然摩擦一般被建模為不連續(xù)函數(shù)，然而在基于模型的控制器設(shè)計時仍采用一些連續(xù)的摩擦模型，這是因為沒有哪個執(zhí)行器可以產(chǎn)生不連續(xù)的力來補償不連續(xù)摩擦力的影響，因此非線性模型(8)符合實際的液壓馬達系統(tǒng)。

步驟二、基于不連續(xù)投影算子設(shè)計自適應律對液壓馬達系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)進行估計。定義分別為的估計值及估計誤差(即定義不連續(xù)投影函數(shù)為：

公式(11)中i＝1,2,3，·_i為矢量·的第i個元素，對于兩個矢量之間的運算“＜”為矢量中相應元素之間的運算。

自適應律設(shè)計為：

公式(12)中Γ為對角自適應律矩陣且Γ＞0，σ為自適應函數(shù)。對于任意自適應函數(shù)σ，運用投影函數(shù)(12)能保證：

步驟三、針對公式(6)中的狀態(tài)方程，設(shè)計基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器，其具體步驟如下：

步驟三(一)、定義一組類似開關(guān)函數(shù)的變量為：

公式(14)中z₁為系統(tǒng)的跟蹤誤差，k₁、k₂、k₃為正反饋增益。我們在公式(14)中引入了一個輔助誤差信號z₄來獲得額外的設(shè)計自由。由于濾波的跟蹤誤差z₄依賴于加速度的時間微分從而使得它不可測，因此在進行控制器設(shè)計時并不用誤差信號z₄的值，這里僅僅用來協(xié)助以下的控制器設(shè)計。

步驟三(二)、設(shè)計自適應函數(shù)以及控制器輸入U，使得液壓馬達伺服系統(tǒng)具有全局漸近跟蹤性能。

根據(jù)公式(14)，輔助誤差信號z₄可以整理為：

基于系統(tǒng)模型(6)，我們可以得到：

根據(jù)公式(16)的結(jié)構(gòu)，自適應函數(shù)以及基于模型的控制器可以設(shè)計為：

其中k_r為正反饋增益；U_a為可調(diào)節(jié)的基于模型的前饋控制律，通過參數(shù)自適應來獲得提高的模型補償；U_s為線性魯棒控制律用來保證系統(tǒng)名義模型的穩(wěn)定性；U_n為基于輔助誤差符號z₄積分的非線性魯棒控制律，用來處理時變的擾動，U_n將在以下的設(shè)計步驟中給出。

從(17)可以看出，自適應函數(shù)σ依賴于誤差信號z₄，但是通過對σ進行積分可得：

由(18)可以看出，參數(shù)估計中并不需要用到不可測信號z₄。基于(18)對(12)進行積分可得：

由式(19)可以看出，參數(shù)的估計值并沒有直接用到誤差信號z₄，而是運用了z₄的符號sign(z₄)，為了計算sign(z₄)，定義函數(shù)h(t)為：

由于z₄(t)＝lim_τ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以選取為采樣時間，根據(jù)(19)可知我們只需要知道z₄的符號sign(z₄)即可，因此我們只需要知道h(t)增加還是減小就可以獲得sign(z₄)，其中sign(z₄)＝sign(h(t)-h(t-τ))，這樣看來，獲得sign(z₄)就比獲得z₄容易多了。

把(17)帶入到(16)中，我們可以得到：

根據(jù)公式(21)可以設(shè)計魯棒控制律為：

其中β＞0。

把(22)帶入(21)，并對公式(21)進行微分可以得到：

把公式(12)中的參數(shù)自適應律帶入到(23)中，我們可以得到：

步驟四、分析基于控制器(17)作用下的液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

引理1：定義輔助函數(shù)L(t)為：

若增益β滿足以下條件：

那么以下定義的函數(shù)P(t)總是正的：

引理1的證明：基于(14)中z₄的定義，對(25)關(guān)于時間進行積分得：

對(28)進一步整理可得：

由此可得等式(29)的上界為：

因此，若增益β滿足(26)，那么(27)中定義的函數(shù)P(t)總是正的。

理論1：通過自適應律(19)、選取增益β滿足等式(26)以及選取足 夠大的反饋增益k₁、k₂、k₃、k_r，使得(31)中定義的矩陣Λ正定，那么提出的控制律(17)能夠確保液壓馬達伺服系統(tǒng)在閉環(huán)情況下所有信號有界，并且獲得全局漸近跟蹤性能，即當t→∞時z₁→0。Λ定義為：

其中：

公式(32)中max{·}代表·的最大值。

理論1的證明：選取Lyapunov方程為：

對公式(33)關(guān)于時間進行求導可得：

把公式(14)、(24)和(27)代入公式(34)中，并經(jīng)過轉(zhuǎn)換可得：

根據(jù)公式(31)中定義的正定矩陣Λ，對公式(35)進一步轉(zhuǎn)換可得：

公式(36)中z定義為z＝[z₁,z₂,z₃,z₄]^T，λ_min(Λ)為矩陣Λ的最小特征值。

根據(jù)公式(36)可以得到V∈L_∞以及W∈L₂，同時信號z以及參數(shù)估計值有界。因此，可以得出x以及控制輸入U有界。通過假設(shè)1可以得到實際控制輸入u有界?；趜₁、z₂、z₃以及z₄的動態(tài)，可以得到W的時間導數(shù)有界，因此W一致連續(xù)。從而，根據(jù)Barbalat引理可以得到當t→∞時W→0，理論1即得到證明。

上述穩(wěn)定性分析的證明過程見具體實施方式相關(guān)部分。

步驟五、確定液壓馬達伺服系統(tǒng)中不確定性參數(shù)集的范圍即及的值并使確定數(shù)據(jù)采樣時間τ，同時調(diào)節(jié)對角自適應律矩陣Γ的值，并調(diào)節(jié)參數(shù)β、k₁、k₂、k₃以及k_r，從而來確保整個系統(tǒng)穩(wěn)定，并使液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的位置輸出y(t)準確地跟蹤期望的位置指令y_d。

上述參數(shù)的選取見具體實施方式相關(guān)部分。

本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明選取液壓馬達位置伺服系統(tǒng)作為研究對象，建立了系統(tǒng)的非線性模型，同時考慮了系統(tǒng)的參數(shù)不確定性以及外干擾等不確定性；針對系統(tǒng)的參數(shù)不確定性基于不連續(xù)投影算子所設(shè)計的參數(shù)自適應律能有效的對未知常值參數(shù)進行估計并使估計值收斂，同時能保證參數(shù)的估計值始終在已知的區(qū)域內(nèi)；基于誤差符號積分所設(shè)計的控制器針對系統(tǒng)存在的外部干擾以及未建模動態(tài)等不確定性具有良好的魯棒性；本發(fā)明所設(shè)計的基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器為全狀態(tài)反饋控制器，并能使電液伺服系統(tǒng)的位置輸出具有全局漸近跟蹤性能，即當時間趨于無窮時跟蹤誤差為零；本發(fā)明所設(shè)計的控制器的控制電壓連續(xù)，更利于在工程實際中應用。仿真結(jié)果驗證了其有效性。

附圖說明

圖1是本發(fā)明液壓馬達位置控制系統(tǒng)圖。

圖2是基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器原理示意及流程圖。

圖3是液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的參數(shù)的真值及其估計值隨時間變化的曲線。

圖4是本發(fā)明所設(shè)計的控制器(圖中以IARISE標識)和傳統(tǒng)PID控制器(圖中以PID標識)分別作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差隨時間變化的曲線。

圖5是液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的實際控制輸入u隨時間變化的曲線。

具體實施方式

結(jié)合圖1至圖2說明本實施方式，本實施方式所述一種基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器的設(shè)計方法具體步驟如下：

步驟一、建立電液位置伺服系統(tǒng)的非線性數(shù)學模型，本發(fā)明以液壓馬達(如圖1所示)為例，根據(jù)牛頓第二定律可得系統(tǒng)的運動學方程為：

公式(1)中J為負載的轉(zhuǎn)動慣量；y為負載的角位移；P_L＝P₁-P₂為液壓馬達的負載壓力(P₁、P₂分別為液壓馬達兩腔的油壓)；D_m為液壓馬達的排量；B為粘性摩擦系數(shù)(本發(fā)明為了提高控制器設(shè)計的可理解性，側(cè)重驗證控制器對未建模動態(tài)的魯棒性，從而簡化控制器的補償部分，因而采用線性摩擦模型)；f(t)為未建模的摩擦以及外干擾等不確定性項。

液壓馬達的負載壓力動態(tài)方程為：

公式(2)中V_t、β_e、C_t、Q_L分別為液壓馬達控制腔的總?cè)莘e、液壓油有效彈性模量、液壓馬達內(nèi)泄漏系數(shù)及伺服閥負載流量，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2(其 中Q₁為由伺服閥流進液壓馬達進油腔的液壓流量，Q₂為由伺服閥流出液壓馬達回油腔的液壓流量)；q(t)為建模誤差。

伺服閥負載流量Q_L與閥芯位移x_v之間的關(guān)系為：

公式(3)中(C_d為流量系數(shù)；ω為閥芯面積梯度；ρ為油液密度)；P_s為與回油壓力P_r相關(guān)的供油壓力；sign(·)定義為：

假設(shè)伺服閥響應速度非?？旒此欧y頻寬遠遠高于系統(tǒng)頻寬，則閥芯位移x_v與控制輸入u近似為比例環(huán)節(jié)，即x_v＝k_iu(k_i為正增益)，那么(3)式可以寫為：

公式(5)中k_t＝k_qk_i為與控制輸入u相關(guān)的總的流量增益。

為使控制器的設(shè)計更具廣泛性，針對液壓馬達伺服系統(tǒng)，由式(1)(2)及(5)表征的非線性模型，定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為則系統(tǒng)非線性模型的狀態(tài)空間形式為：

公式(6)中U、d(t)表示為:

由公式(6)可以看出，為了控制器設(shè)計方便，我們定義了一個新的變量U來替代系統(tǒng)的實際控制輸入u，由于系統(tǒng)中安裝了壓力傳感器， (P_s-sign(u)P_L)^1/2的值可以實時獲得，那么實際的控制輸入u可以通過U/(P_s-sign(u)P_L)^1/2來計算，因此在以下的控制器設(shè)計過程中主要致力于通過設(shè)計U來處理液壓馬達系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性和未建模擾動。

由于系統(tǒng)的參數(shù)J、B、β_e、k_t以及C_t可能存在大的變化從而使系統(tǒng)遭受參數(shù)不確定性，因此，為了簡化(6)式，定義不確定參數(shù)集其中以及狀態(tài)空間等式(6)可以重新寫為：

假設(shè)1：期望跟蹤的位置指令x_1d＝y(tǒng)_d(t)∈C⁵并且有界；實際液壓馬達伺服系統(tǒng)在正常工作條件下，P_L有界，即0＜P_L＜P_s。

假設(shè)2：不確定性參數(shù)集滿足：

公式(9)中均已知。

假設(shè)3：公式(8)中的時變不確定性d(t)足夠光滑并且滿足：

公式(10)中δ₁、δ₂為已知正常數(shù)。

由假設(shè)1可以推出(P_s-sign(u)P_L)^1/2總是有界，因此，若設(shè)計出有界的U，那么實際的控制輸入u將會有界。在以下的控制器設(shè)計中，假設(shè)3給未建模擾動施加了一些約束使得此非線性模型(8)對于實際的液壓馬達系統(tǒng)來說顯得有點保守。雖然摩擦一般被建模為不連續(xù)函數(shù)，然而在基于模型的控制器設(shè)計時仍采用一些連續(xù)的摩擦模型，這是因為沒有哪個執(zhí)行器可以產(chǎn)生不連續(xù)的力來補償不連續(xù)摩擦力的影響，因此非線性模型(8)符合實際的液壓馬 達系統(tǒng)。

步驟二、基于不連續(xù)投影算子設(shè)計自適應律對液壓馬達系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)進行估計。定義分別為的估計值及估計誤差(即定義不連續(xù)投影函數(shù)為：

公式(11)中i＝1,2,3，·_i為矢量·的第i個元素，對于兩個矢量之間的運算“＜”為矢量中相應元素之間的運算。

自適應律設(shè)計為：

公式(12)中Γ為對角自適應律矩陣且Γ＞0，σ為自適應函數(shù)。對于任意自適應函數(shù)σ，運用投影函數(shù)(12)能保證：

步驟三、針對公式(6)中的狀態(tài)方程，設(shè)計基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器，其具體步驟如下：

步驟三(一)、定義一組類似開關(guān)函數(shù)的變量為：

公式(14)中z₁為系統(tǒng)的跟蹤誤差，k₁、k₂、k₃為正反饋增益。我們在公式(14)中引入了一個輔助誤差信號z₄來獲得額外的設(shè)計自由。由于濾波的跟蹤誤差z₄依賴于加速度的時間微分從而使得它不可測，因此在進行控 制器設(shè)計時并不用誤差信號z₄的值，這里僅僅用來協(xié)助以下的控制器設(shè)計。

步驟三(二)、設(shè)計自適應函數(shù)以及控制器輸入U，使得液壓馬達伺服系統(tǒng)具有全局漸近跟蹤性能。

根據(jù)公式(14)，輔助誤差信號z₄可以整理為：

基于系統(tǒng)模型(6)，我們可以得到：

根據(jù)公式(16)的結(jié)構(gòu)，自適應函數(shù)以及基于模型的控制器可以設(shè)計為：

其中k_r為正反饋增益；U_a為可調(diào)節(jié)的基于模型的前饋控制律，通過參數(shù)自適應來獲得提高的模型補償；U_s為線性魯棒控制律用來保證系統(tǒng)名義模型的穩(wěn)定性；U_n為基于輔助誤差符號z₄積分的非線性魯棒控制律，用來處理時變的擾動，U_n將在以下的設(shè)計步驟中給出。

從(17)可以看出，自適應函數(shù)σ依賴于誤差信號z₄，但是通過對σ進行積分可得：

由(18)可以看出，參數(shù)估計中并不需要用到不可測信號z₄。基于(18)對(12)進行積分可得：

由式(19)可以看出，參數(shù)的估計值并沒有直接用到誤差信號z₄，而 是運用了z₄的符號sign(z₄)，為了計算sign(z₄)，定義函數(shù)h(t)為：

由于z₄(t)＝lim_τ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以選取為采樣時間，根據(jù)(19)可知我們只需要知道z₄的符號sign(z₄)即可，因此我們只需要知道h(t)增加還是減小就可以獲得sign(z₄)，其中sign(z₄)＝sign(h(t)-h(t-τ))，這樣看來，獲得sign(z₄)就比獲得z₄容易多了。

把(17)帶入到(16)中，我們可以得到：

根據(jù)公式(21)可以設(shè)計魯棒控制律為：

其中β＞0。

把(22)帶入(21)，并對公式(21)進行微分可以得到：

把公式(12)中的參數(shù)自適應律帶入到(23)中，我們可以得到：

步驟四、確定液壓馬達伺服系統(tǒng)中不確定性參數(shù)集的范圍即及的值并使確定數(shù)據(jù)采樣時間τ(τ＞0)，同時調(diào)節(jié)對角自適應律矩陣Γ(Γ＞0)的值，并調(diào)節(jié)參數(shù)β(β＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)、 k₃(k₃＞0)以及k_r(k_r＞0)，從而來確保整個系統(tǒng)穩(wěn)定，并使液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的位置輸出y(t)準確地跟蹤期望的位置指令y_d。

本公開中還分析基于控制器(17)作用下的液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具體如下：

引理1：定義輔助函數(shù)L(t)為：

若增益β滿足以下條件：

那么以下定義的函數(shù)P(t)總是正的：

引理1的證明：基于(14)中z₄的定義，對(25)關(guān)于時間進行積分得：

對(28)進一步整理可得：

由此可得等式(29)的上界為：

因此，若增益β滿足(26)，那么(27)中定義的函數(shù)P(t)總是正的。

理論1：通過自適應律(19)、選取增益β滿足等式(26)以及選取足夠大的反饋增益k₁、k₂、k₃、k_r，使得(31)中定義的矩陣Λ正定，那么提出 的控制律(17)能夠確保液壓馬達伺服系統(tǒng)在閉環(huán)情況下所有信號有界，并且獲得全局漸近跟蹤性能，即當t→∞時z₁→0。Λ定義為：

其中：

公式(32)中max{·}代表·的最大值。

理論1的證明：選取Lyapunov方程為：

對公式(33)關(guān)于時間進行求導可得：

把公式(14)、(24)和(27)代入公式(34)中，并經(jīng)過轉(zhuǎn)換可得：

對公式(35)進一步整理可以得到：

基于所設(shè)計的自適應律(12)以及性質(zhì)(13)中的(P2)，對公式(36)進行整理可以得到：

根據(jù)公式(31)中定義的正定矩陣Λ，對公式(37)進一步轉(zhuǎn)換可得：

公式(38)中z定義為z＝[z₁,z₂,z₃,z₄]^T，λ_min(Λ)為矩陣Λ的最小特征值。

根據(jù)公式(38)可以得到V∈L_∞以及W∈L₂，同時信號z以及參數(shù)估計值有界。因此，可以得出x以及控制輸入U有界。通過假設(shè)1可以得到實際控制輸入u有界?；趜₁、z₂、z₃以及z₄的動態(tài)，可以得到W的時間導數(shù)有界，因此W一致連續(xù)。從而，根據(jù)Barbalat引理可以得到當t→∞時W→0，理論1即得到證明。

基于非線性魯棒的電液伺服系統(tǒng)自適應位置控制器原理示意及流程如圖2所示。

實施例：

電液位置伺服系統(tǒng)參數(shù)為：負載慣量J＝0.5kg·m²；液壓馬達排量D_m＝6.0×10^-5m³/rad；總泄漏系數(shù)C_t＝1×10^-12m³/s/Pa；供油壓力P_s＝1×10⁷Pa；粘 性摩擦系數(shù)B＝90N·m·s/rad；液壓油彈性模量β_e＝7×10⁸Pa；伺服閥總流量增益k_t＝1.2×10^-8m³/s/V/Pa^-1/2；控制腔總?cè)莘eV_t＝1.15×10^-4m³；不確定參數(shù)集的范圍為:時變外干擾為f(t)＝4sin(πt)N·m；假設(shè)建模誤差q(t)為0；系統(tǒng)期望跟蹤的位置指令為曲線x_1d(t)＝sin(t)[1-exp(-t³)]rad。

本發(fā)明所設(shè)計的控制器的參數(shù)選取為:τ＝1ms、k₁＝800、k₂＝300、k₃＝50、k_r＝10以及β＝0.5、，Γ＝diag{1.2×10^-11,15,0.024}；PID控制器參數(shù)選取為：k_P＝300,k_I＝100,k_D＝0。

對比仿真結(jié)果：

圖3是液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的參數(shù)的真值及其估計值隨時間變化的曲線，從曲線可以看出所設(shè)計的基于不連續(xù)投影算子的自適應律能使系統(tǒng)的參數(shù)估計值收斂到其真值，從而能夠準確地將系統(tǒng)的未知常數(shù)參數(shù)估計出來。

控制器作用效果：圖4是本發(fā)明所設(shè)計的控制器(圖中以IARISE標識)和傳統(tǒng)PID控制器(圖中以PID標識)分別作用下系統(tǒng)的位置跟蹤誤差隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，本發(fā)明所設(shè)計的控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差明顯小于PID控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差，從而使其跟蹤性能獲得很大的提高。

圖5是液壓馬達位置伺服系統(tǒng)的控制輸入u隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，本發(fā)明所得到的控制輸入信號連續(xù)，有利于在工程實際中應用。