專利名稱：硅集成電路襯底多頻率點下綜合耦合參數(shù)的快速提取方法
技術(shù)領(lǐng)域：
集成電路計算機輔助設計(IC-CAD)中的三維襯底綜合耦合參數(shù)提取軟件設計領(lǐng)域。
背景技術(shù)：
半導體集成電路(Integrated Circuit，IC)是當前電子工業(yè)、乃至信息產(chǎn)業(yè)的基石。隨著電路制造技術(shù)的發(fā)展，電路的集成度不斷增加，當今的很多芯片含有幾千萬乃至上億個CMOS等器件。與此同時，RF(射頻)電路、數(shù)模混合電路和SoC(System on a Chip，系統(tǒng)芯片)的廣泛應用(其中一例就是手機終端的日益普及)，使得對噪聲很敏感的模擬電路和高速開關(guān)操作(switch)的數(shù)字電路被制造在一塊芯片上，共享同一個襯底(substrate又有人譯作基片、基底等)。這種高集成度具有很多優(yōu)勢，比如能量消耗較少、成本較低等，但也帶來了一些挑戰(zhàn)。其中一個就是，由于共享同一塊襯底，襯底將會傳播一些耦合噪聲，這就是所謂的“襯底耦合噪聲”。一方面，數(shù)字電路的快速開關(guān)操作(switch)以及其他有源連接線會向襯底注入噪聲電流。由于襯底材料(多數(shù)為硅，Silicon)并不是理想的絕緣體，會將一部分噪聲傳遞給敏感的模擬電路，對后者的正常功能造成影響，甚至使其工作失敗。同時，通過電源線、器件等和襯底之間的寄生耦合電容，來自電源線、器件等的電壓變動將會引起襯底的電壓浮動，這種電壓浮動又會影響襯底的閾值電壓的大小，進而影響襯底上其他器件的電路性能。在較高頻率下，襯底的等效電阻可能帶來能量損耗等，這將對電路產(chǎn)生重要影響。比如，RF電路中電感器件的品質(zhì)因子(qualify factor)就很受襯底的電阻損耗影響。綜上所述，襯底耦合的嚴重性使得在電路設計中各階段都必須關(guān)注該問題。圖1顯示了一個示意圖，其中虛線框內(nèi)為襯底和其他電路的接口contact，又可稱作接觸、端口，下文中簡寫為端口。在后續(xù)的提取參數(shù)的過程中，只需要提取這些端口間的耦合參數(shù)即可。
當前，集成電路的設計流程如圖2所示。首先要提出功能描述，然后經(jīng)過邏輯設計、版圖設計得到描述半導體工藝尺寸、結(jié)構(gòu)的版圖。這時需要進行“版圖驗證”，即通過計算機軟件模擬等來驗證上述設計是否能達到當初設定的要求。如果滿足要求，就可進行下一步的生產(chǎn)制造等；否則要返回邏輯設計等進行必要的修正。重復這個迭代過程，直到版圖驗證表明設計確實能夠滿足要求為止。在版圖驗證中，一個重要的環(huán)節(jié)稱為“寄生參數(shù)提取”，其中就包括計算襯底耦合參數(shù)等。隨著電路規(guī)模的不斷增大，和特征尺寸的不斷縮小，以往的簡單估計甚至直接忽略這些參數(shù)的做法已經(jīng)很難達到足夠的精度要求。只有精確提取(計算)耦合參數(shù)，才能進行正確的電路模擬與驗證。
隨著工藝的進步和時鐘頻率的提高，襯底耦合參數(shù)的提取得到了越來越多的來自學術(shù)界和工業(yè)界的關(guān)注。當前，為進行精確的提取，需對電路版圖的三維模型進行數(shù)值模擬，其主要方法包括區(qū)域型解法(有限差分方法和有限元方法)、基于Green函數(shù)的方法和直接邊界元方法(Boundary Element Method，BEM)等。
與區(qū)域型解法相比，直接邊界元法的優(yōu)點是精度高，較少的離散變量和較強處理復雜邊界形狀的能力。與基于Green函數(shù)的方法相比，直接邊界元方法具有適應復雜結(jié)構(gòu)等優(yōu)點。雖然直接邊界元方法有上述優(yōu)點，但由于工業(yè)實際需求越來越多、三維襯底結(jié)構(gòu)也越來越大，如何提高基于直接邊界元方法的三維提取方法的計算效率就成了當務之急。
在工作頻率比較低時，襯底耦合參數(shù)表現(xiàn)為純阻性，即等效電路中端口(contact，即與其他電路器件等的接口區(qū)域，如圖1虛線框所示)之間只有寄生電阻。其提取方法包含很多，其中本人在文獻“Substrate Resistance Extraction with Direct Boundary Element Method，”Asiaand South Pacific Design Automation Conference(2005年亞洲及南太平洋地區(qū)設計自動化會議)，pp.208-211，Jan.2005(以下簡寫作ASP-DAC2005)中將直接邊界元方法應用到襯底耦合電阻提取中，取得了良好的效果。
在較高頻率下，襯底耦合參數(shù)(其中包含電阻、電容)隨著頻率改變，即等效電路中端口之間既有電阻連接，也有電容連接，且它們的數(shù)值一般都隨頻率變化。此類參數(shù)下文中稱綜合耦合參數(shù)。本人在文獻“A New Boundary Element Method for Accurate Modeling of LossySubstrates with Arbitrary Doping Profiles，”Asia and South Pacific Design Automation Conference，Yokohama，Japan，pp.683-688，Jan.2006(以下簡寫作ASP-DAC2006)將直接邊界元方法應用到綜合耦合參數(shù)的提取中，得到了較好的效果。由于該參數(shù)在不同頻率下具有不同的值，往往需要計算其在多個頻率點的具體數(shù)值，以此來全面評估耦合性能。上述第二篇文獻雖然對此做了一些改進，但仍需在每個頻率點建立、并求解一個復數(shù)的線性方程組。這在變量數(shù)很大時，效率將變得很低，因為方程組求解過程往往很慢，同時也需要較多計算機內(nèi)存。更糟的是，當需要計算很多個頻率點下的耦合參數(shù)時，總體計算時間(等于每頻點計算時間的累加和)會很高，效率很低。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明給出一種有效提取綜合耦合參數(shù)(包含電阻R、電容C兩部分)的方法，該方法對多頻率點下耦合參數(shù)的計算問題效率較高。
為便于理解，圖3顯示了一個典型的襯底結(jié)構(gòu)的示意圖。本方法稱作襯底綜合耦合參數(shù)提取器，簡寫為SubRCExtract(Substrate coupling Resistance and Capacitance Extractor)。主要創(chuàng)新點在于，不同于上文文獻ASP-DAC2006使用直接邊界元方法在每頻率點下依次計算綜合參數(shù)(其流程圖見圖4)，而是把綜合耦合參數(shù)的提取其分為兩個步驟1.ExtractCap提取襯底端口之間耦合電容；
2.ReviseCap2RC將該電容修正為綜合參數(shù)。
其中，ExtractCap和第一篇文獻中所述的電阻提取方法非常類似(詳見下文)，可能運行比較慢，但只需計算一次。ReviseCap2RC需在每個頻率點都進行一次，但每次費時很少。總體上講，SubRCExtract對多頻率點參數(shù)計算問題將會有更好的效率。同時，因為是基于嚴格的數(shù)學推導，和直接使用直接邊界元提取方法(如上述文獻ASP-DAC2006)相比，其中不會有精度的損失。
SubRCExtract方法的輸入為描述端口和襯底介質(zhì)等幾何結(jié)構(gòu)的信息，輸出為端口之間的綜合耦合參數(shù)矩陣。方法主要包括兩個模塊模塊0讀取輸入文件，得到形體信息(含襯底長、寬、高、電導率、介電常數(shù)，端口的位置、大小，工作頻率等)模塊1進行襯底耦合電容的提取，即ExtractCap。
模塊2將耦合電容進行數(shù)學修正，得到綜合參數(shù)，即ReviseCap2RC。
下面分節(jié)詳細介紹各模塊。為更好理解模塊2中的修正方法，在模塊1之后，加入使用直接邊界元進行綜合參數(shù)提取的原理。
1使用直接邊界元提取耦合電容(ExtractCap)以下原理和文獻ASP-DAC2005中的邊界元提取耦合電阻很類似，在本小節(jié)最后會給出兩者的異同之處。
以下討論基于模型襯底圖3展開，并令其內(nèi)所有的介質(zhì)都被認為是絕緣體(即電導率σ為0)，此時，端口之間的耦合作用將是純電容性的。其耦合電容可通過如下的直接邊界元方法求解得到。
任一介質(zhì)Mi內(nèi)，電壓u滿足Lapalce方程2u＝0，介質(zhì)Mi中(1)上式的混合邊界條件是u＝u，在端口表面上(強加邊界條件)(2a)q＝0，在其他表面上(自然邊界條件)(2b)其中u是在端口上預設的電壓(1V或者0V)。q是法向電場強度。除此之外，在介質(zhì)a和b的交界面上，電壓和電壓移連續(xù)ua＝ub， (3a)εaqa＝εbqb， (3b)其中εa和εb分別是a和b的介電常數(shù)，q是法向電場。
求解方程式(1)，可直接得到電場分布。然后根據(jù)電場分布數(shù)值計算端口表面的電荷，其數(shù)值和耦合電容的數(shù)值緊密相關(guān)，如下文式(7)所示。下面是具體求解電場分布的方法。
使用Green公式，并且選用自由空間Green函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)，可以將式(1)轉(zhuǎn)換成在介質(zhì)Mi的邊界Гi上成立的邊界積分方程 其中us表示某配置點s的電壓(配置點的意義將在稍后解釋)。將邊界Гi劃分為Ni邊界元Гij，j＝1，2，...，Ni。式(4)的離散形式為 其中，每個邊界元Гij上的電壓u和法向電場q都是常數(shù)，所以可挪到積分號之外。其中配置點s(或稱為采樣點，取采樣點是為了列出含有未知量的方程組，以求解出未知量)取為每一邊界元的中心點。u*是Laplace方程的基本解，等于自由空間Green函數(shù)，形式為 其中r(s，v)表示配置點s和變量點v間距離的大小，變量點v也取為Гi上每一邊界元的中心點，可和點s重合。q*是u*沿邊界外法向n的導數(shù)，表達式為-14πr2(s,v)∂r(s,v)‾∂n‾,]]>其中r(s，v)表示距離矢量。每個變量點上(即對應的邊界元上)都有兩個物理量，即電壓u和電場q。根據(jù)邊界條件(2)，如果該邊界元處在端口(contact)表面，其上u已知，即預設的電壓數(shù)值，而電場q未知；否則，即該邊界元在非端口區(qū)，其上電場q為0，電壓u未知。所以，每個邊界元實際上只有一個變量，或者為u類型變量或者為q類型變量。由(5)可知，它們的系數(shù)形式分別為 和 使用交界面方程式(3a)和式(3b)，通過變量變換(具體方式見下文)，將所有介質(zhì)的邊界積分方程式(5)連接起來，得到統(tǒng)一的方程組，寫作矩陣形式為Acapxcap＝bcap，(6’)其中，一個配置點s將產(chǎn)生Acap的一行元素，即在該配置點時由式(5)產(chǎn)生的u或者q的系數(shù)，顯然，這些系數(shù)可表示為 或 乘以1或?qū)崝?shù)εb/εa，其中εa和εb分別是相互交界的介質(zhì)a和介質(zhì)b的介電常數(shù)。bcap是將已知電壓u(乘以系數(shù))挪到方程右端而形成的，具體形式為 其中Гm是端口m的表面。xcap包含各介質(zhì)中電壓u型和電場q型變量。當需要求解很多對端口間的耦合電容時，方程組(6’)右端將含有多個向量，簡寫做AcapXcap＝B，對電容提取(6)這里B是由多個向量組成的矩陣。待解矩陣Xcap包含不同偏壓設置時的電壓u和電場q數(shù)值。
求解方程組(6)，可直接得到q的數(shù)值。如果預先設定編號為m的端口電壓為1V，其余端口k(k≠m)設為0V，端口m、k之間的耦合電容是Cmk=∫ΓkϵqdΓ,---(7)]]>其中Гk是端口k的表面，q是Гk上的電場，ε是緊貼著端口k的介質(zhì)的介電常數(shù)。由此可見，由電場q分布可很容易計算耦合電容1。
注意，在方程式(3)中有兩對變量ua、q，a和ub、q，b，可只保留其中一對，另外一對通過變量代換得到。比如，如果保留ub，q，b(屬于介質(zhì)b)，并代入式(3)式得到ua和qaua＝ub，qa＝εb/εaqb。對介質(zhì)b中的配置點而言，變量qb的系數(shù)的形式為 其中Гbj是介質(zhì)b上的某邊界元；而對介質(zhì)a中的配置點而言，變量qb的系數(shù)形式將變?yōu)?其中Гaj是介質(zhì)a上的某邊界元。
2使用直接邊界元提取綜合參數(shù)以下原理來自文獻ASP-DAC2006。
實際的襯底都是有損的，構(gòu)成襯底的介質(zhì)的電導率并不為零。根據(jù)文獻S.Ramo，J.R.Whinnery，and T.van Duzer，F(xiàn)ields and Waves in Communication Electronics，3rded.New YorkWiley，pp.283-287，pp.572-676，1994，這樣的“有損介質(zhì)”可以在一定頻率下可被近似看作“絕緣體”，擁有復數(shù)介電常數(shù)εc＝ε-jσ/ω，然后該“有損介質(zhì)”就可以當作這樣的“絕緣體”來處理。為方便，這里令“絕緣體”a和b的介電常數(shù)分別為εc，a＝εa-jσa/ω，εc，b＝εb-jσb/ω，其中σa、σb分別是介質(zhì)a和b的電導率，εa和εb是相應的實數(shù)介電常數(shù)，ω是角頻率，等于2πf，f為頻率。
為計算綜合參數(shù)，我們在端口上設置1V或者0V的電壓。邊界條件式(2a)和式(2b)保持不變。Laplace方程式(1)仍然成立，在介質(zhì)a和b交界面上，電壓仍是連續(xù)的，但式(3b)變?yōu)棣與，aqa＝εc，bqb.(3b’)將式(3b’)做如下變形1這里還有一個細節(jié)，根據(jù)文獻ASP-DAC2005，如果分別將式(3b)中的物理量εa和εb換成σa和σb(分別為介質(zhì)a和b的電導率)，其他公式保持不變，生成并求解方程組之后，可得到耦合電阻Rmk，其中1Rmk=∫ΓkσEndΓ,]]>形式上很像電容求解式(7)。
(σa+jωεa)qa＝(σb+jωεb)qb. (3_freqRC)式(3_freqRC)可以解釋為全電流守恒(包含傳導電流和位移電流)。使用式(3_freqRC)代替式(3b)，保持其他不變。采用類似的變量代換方式，可得到一個方程組AX＝B，對綜合參數(shù)提取 (8)其中系數(shù)矩陣A是復數(shù)矩陣。和上文Acap類似地，A中元素的數(shù)值(即u或者q的系數(shù))為 或 乘以1或復數(shù)(σb+jωεb)/(σa+jωεa)，其中σa、σb和εa、εb分別是相互交界的介質(zhì)a和介質(zhì)b的電導率和介電常數(shù)。只要所預設的偏壓是相等的，式(8)中的B和式(6)中的B形成原理一致，數(shù)值也均為 其中Гm是端口m的表面。
求解式(8)，流經(jīng)某個端口的電流將為 這樣，如果編號m和k的端口上預設電壓分別為1V和0V，它們之間的綜合耦合參數(shù)就是Zmk=1∫Γk(σ+jωϵ)qdΓ---(9)]]>其中Гk是端口k的表面，q是Гk上的電場，σ和ε分別是緊貼著端口k的介質(zhì)的電導率和介電常數(shù)。
在文獻ASP-DAC2006中，需要在每個頻率點下建立并求解方程組(8)，得到該頻率下的綜合耦合參數(shù)。但是，當需要許多頻率點下的綜合耦合參數(shù)時，列方程、解方程的過程將重復很多次，計算代價較高。更糟糕的是，方程組(8)往往很大，而且是復數(shù)方程組，比實數(shù)方程組更難求解。
為了保證比較好的計算效率，可通過如下“修正”方式來計算多頻率點下的耦合參數(shù)。
3從電容到綜合參數(shù)的修正方法ReviseCap2RC4.2節(jié)所述的綜合參數(shù)和4.1節(jié)的電容提取有很多的相似性。這種相似性可被充分利用，得到一種新的綜合耦合參數(shù)求解方法。首先，可按照4.1節(jié)的原理計算出耦合電容。下一步，把這些電容修正為某頻點下的綜合耦合參數(shù)。第一步需要建立并求解方程組(6)。它是實數(shù)方程組，其求解得到的信息和頻率無關(guān)，可被存儲起來，在需要時可隨時讀入。第二步在每個頻率點均需實施一次，但是，它所需要的計算很少。在需提取多個頻率點下的耦合參數(shù)時，新方法將有較大優(yōu)勢，因為費時的只是第一步，第二步僅需很少時間。簡易流程圖見圖5，在后文，將給出更易操作的流程圖11。
下面，我們將給出詳細的從電容到綜合參數(shù)的修正方法。
定理1電容提取與綜合參數(shù)提取系數(shù)矩陣相似性定理對同一襯底幾何結(jié)構(gòu)和同樣的邊界元劃分，式(8)中矩陣A和式(6)中矩陣Acap有如下關(guān)系A(chǔ)＝Acap+UVT，矩陣U和VT的構(gòu)造見下文。
方程組(8)中的矩陣A和方程組(6)中的矩陣Acap有著極大相似性。首先來看矩陣A是怎樣形成的。對每個襯底介質(zhì)都列出式(5)，并使用交界面上變量的代換來連接成為統(tǒng)一的方程組。這里以M1、M2之間交界面Г12上的u型變量(未知電壓)和q型變量(未知法向電場)為例。在該交界面兩側(cè)的u、q變量滿足交界面方程(3a)和(3_freqRC)，做如4.1節(jié)所述的變量代換。這里假設保留屬于介質(zhì)M2的變量，分別命名為u和q12，則屬于介質(zhì)M1的變量為1×u和f12×q12(根據(jù)交界面方程式(3a)和式(3_freqRC))，其中f12=σ2+jωϵ2σ1+jωϵ1.]]>在此假設下，對M2的某配置點s2，變量u的系數(shù)為積分值 變量q12的系數(shù)為 其中Г2e是介質(zhì)M2邊界上的某邊界元(上述兩個積分值都只和幾何信息有關(guān)系)；而對M1的某配置點s1，變量u的系數(shù)為 其中Г1e是介質(zhì)M1邊界上的某邊界元；變量q12的系數(shù)則為 其中f12=σ2+jωϵ2σ1+jωϵ1.]]>同樣的，對其他介質(zhì)交界面上的變量需做類似的代換。顯然，只有交界面上某些變量的系數(shù)是比較復雜的 其他的系數(shù)均可表示為 或 上述過程也可參見示意圖6，重點考察交界面變量q12、q23的系數(shù)。S21作為q12對M2中某配置點的系數(shù)，等于和M2相關(guān)的積分 由式(3_freqRC)，q12對M1中某配置點的系數(shù)為和M1相關(guān)的積分 再乘以f12=σ2+jωϵ2σ1+jωϵ1,]]>也就是f12S12。S32和f23S23，含義類似S32是和M3相關(guān)的積分值；f23=σ3+jωϵ3σ2+jωϵ2,]]>S23是和M2相關(guān)的積分值。
為敘述方便，上文f12、f23稱為交界面頻變系數(shù)，定義式為f12=σ2+jωϵ2σ1+jωϵ1,f23=σ3+jωϵ3σ2+jωϵ2.]]>同理，使用邊界元進行電容提取時(詳見4.1節(jié)原理)，也需進行變量代換。為簡單，僅以M1、M2之間交界面Г12上的電場變量為例。仍假設，保留屬于介質(zhì)M2的電場變量，命名為q12，則根據(jù)交界面方程式(3a)和式(3_b)，屬于介質(zhì)M1的電場變量則為c12×q12，其中c12=ϵ2ϵ1.]]>對介質(zhì)M2的某配置點s2，q12的系數(shù)為 其中Г2e是介質(zhì)M2邊界上的某邊界元。則對M1的某配置點s1，q12的系數(shù)為 其中Г1e是介質(zhì)M1邊界上的某邊界元，c12=ϵ2ϵ1.]]>對。該過程參見示意圖7，其中c23=ϵ3ϵ2.]]>為敘述方便，上文c12、c23稱為交界面電容系數(shù)，定義式為c12=ϵ2ϵ1,c23=ϵ3ϵ2.]]>所以，如果我們在圖6中直接令f12=c12=ϵ2ϵ1,f23=c23=ϵ3ϵ2,]]>該矩陣就變成方程組(6)的系數(shù)矩陣、如圖7所示的Acap。可以看出，兩個矩陣的差別只是和交界面變量(如q12、q23)相關(guān)的元素。兩個矩陣的差別見圖8。該差別可表示為UVT形式，其中只有VT和頻率相關(guān)。U和V可以是高度稀疏的。下面給出一種具體構(gòu)造方式。
U的大多數(shù)元素均為0，僅交界面變量的系數(shù)可能非零，且非零值等于Acap中含c12、c23的部分，詳見圖7和圖8(繁瑣地說，U的元素等于對交界面序號小的介質(zhì)中配置點時的交界面電場變量的系數(shù))。這樣U就不需要額外計算，只需提取Acap的相應元素即可。
V的形狀很簡單，基本為對角陣，但除了對應于交界面上電場變量的那些元素非零之外，其他元素都為0；非零元素計算也很簡單，為交界面頻變系數(shù)除以交界面電容系數(shù)再減掉1，比如(f12-c12)/c12，(f23-c23)/c23，數(shù)值上僅僅取決于交界面雙方介質(zhì)的物理性質(zhì)(電導率σ、介電常數(shù)ε)和角頻率ω。可見，V依賴于頻率。不同頻率下，U是固定的，V是變的。
另外，數(shù)學上有一個嚴格成立的Woodbury公式(A+UVT)-1＝A-1-A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1，其中A，U，V都是任意矩陣，成立的條件為A和I+VTA-1U都可逆。參見文獻Weisstein EW.Concise Encyclopedia of Mathematics.Boca Raton，F(xiàn)la.CRC Press，1999。
根據(jù)以上定理和Woodbury公式，可得到另一定理定理2修正電容參數(shù)可得綜合參數(shù)定理對同一襯底幾何結(jié)構(gòu)和同樣的邊界元劃分，方程組式(8)的解A-1B可通過式(6)的解Acap-1B來獲得X=A-1B=(Acap+UVT)-1B]]>=Acap-1B-Acap-1U(I+VTAcap-1U)-1VTAcap-1B]]>
=Xcap-Acap-1U(I+VTAcap-1U)-1VTXcap---(10)]]>換句話說，綜合參數(shù)可以通過修正電容參數(shù)來獲得。由于Xcap和Acap-1B是和頻率無關(guān)的，它們可只被計算一次，然后存儲起來。計算任一頻率下綜合參數(shù)時，可重新調(diào)入Xcap和Acap-1B，并使用依賴于頻率的(I+VTAcap-1U)-1來做必要的“修正”，進而得到該頻率下綜合參數(shù)的數(shù)值。
粗略看起來，式(10)雖然嚴格成立，但實用意義不大，因為計算(I+VTAcap-1U)-1和直接求解A-1一樣復雜、一樣困難，原因是它們兩個等大小，都是困難的求逆操作。但是，使用下面的定理，可高效率地計算(I+VTAcap-1U)-1定理3(I+VTAcap-1U)-1的高效計算定理求解(I+VTAcap-1U)-1等價于求一個很小矩陣M的逆。M是由(I+VTAcap-1U)-1中非零塊組成，這些非零塊不包含主對角線上的子單位陣。M的大小等于“不同”介質(zhì)之間交界面上的邊界元的總數(shù)。這里，“不同”的意思是交界面雙方介質(zhì)的電導率(σ)和介電常數(shù)(ε)不全相等。
具體做法如下。由于U和VT的高度稀疏性，I+VTAcap-1U、(I+VTAcap-1U)-1都和單位矩陣I很相像，參見圖9。將I+VTAcap-1U中非零塊抽取出來(這些非零塊不包含主對角線上等于單位陣的非零子塊)，組成矩陣M，記下M各小塊的劃分方式。計算逆矩陣W＝M-1，按照相同的方式把W劃分為很多小塊，然后把各塊按照上文“抽取”的方式反填到和I+VTAcap-1U等大小的單位陣中，這樣就得到了(I+VTAcap-1U)-1。以上過程可簡單表示為 (11)的等效性很容易在理論上得到證明只需證明圖9左圖和圖10右圖確實互為逆陣，也就是它們的乘積為單位陣；根據(jù)矩陣乘法法則，很容易驗證乘積確實為單位陣。
明顯地，M比I+VTAcap-1U小很多很多。它的精確大小等于“不同”介質(zhì)之間交界面上的變量總數(shù)，“不同”的意思是交界面雙方介質(zhì)的電導率(σ)和介電常數(shù)(ε)不全相等。原因舉例說明如下。參看圖8中矩陣VT的組成。如果介質(zhì)M1和M2有全部相同的σ和ε，則交界面頻變系數(shù)f12=σ2+jωϵ2σ1+jωϵ1=1,]]>而電容系數(shù)c12=ϵ2ϵ1=1.]]>所以，f12-c12必然等于0，體現(xiàn)在矩陣V中就是相應位置的元素為0。如果M1和M2的σ和ε不全相等，那么因子f12-c12是和頻率相關(guān)的，也就是不等于0，在矩陣V相應位置處產(chǎn)生非零元。根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，只有V(或者VT)非零的元素才會在I+VTAcap-1U產(chǎn)生(非主對角線上的)非零元。所以，M的精確大小等于“不同”介質(zhì)之間交界面上的變量總數(shù)。
現(xiàn)在，我們可以看到，通過式(10)來求解綜合參數(shù)的效率將會很高，這是因為在某頻率下，只需求解小矩陣M的逆陣。另外，其他的矩陣相乘操作如Acap-1U、VTXcap等也可以因為矩陣U、V大多數(shù)元素為0而得到加速。式(10)基于數(shù)學上嚴格的Woodbury公式，所以是嚴格成立的。
式(10)內(nèi)存使用量也不太多，因為只有Acap-1U、I+VTAcap-1U和(I+VTAcap-1U)-1中的非零元，還有Xcap需要使用內(nèi)存。其中的非零元所占比例非常小，所以，內(nèi)存使用量不會太多。矩陣Acap-1U、I+VTAcap-1U和(I+VTAcap-1U)-1的稀疏性可參看后文的實例。
4方法詳細流程下面給出實用化的方法流程。
1)輸入幾何形體信息，包括襯底各介質(zhì)Mi的長、寬、高、電導率σ、介電常數(shù)ε；端口區(qū)的位置、大小；工作頻率。
2)計算襯底不同端口之間的耦合電容ExtractCap，生成Acap，抽取Acap中部分列的部分元素組成U；具體為步驟2.1.在主端口m上設1V電壓，其余端口(包括k)設為0V；步驟2.2.把介質(zhì)Mi的邊界劃分為Ni邊界元Гij，j＝1，2，...，Ni；步驟2.3.分別以每個邊界元中心點為配置點即采樣點s，列出方程組AcapXcap＝B；其中，若設變量在邊界元Гij上，矩陣Acap的元素值為 電壓u型變量的系數(shù)；或 非交界面電場q型變量的系數(shù)；或 交界面Гab上q型變量，且配置點s在Mb上；或 交界面Гab上q型變量，且配置點s在Ma上；其中，交界面Гab位于介質(zhì)Ma和Mb之間，a＜b；u*=14πr(s,v),]]>r(s，v)為配置點s和變量點v間距離的大小，q*為u*在Гij法向上n的導數(shù)，表達式為-14πr2(s,v)∂r(s,v)‾∂n‾,]]>其中r(s，v)表示距離矢量；
步驟2.4.矩陣B的每一列對應著一個主端口m的設定；對某配置點s，B某列的某元素值為 其中Гm是主端口m的表面，q*定義同上；步驟2.5.求解方程組AcapXcap＝B，得到Xcap=Acap-1B;]]>Xcap包含電場q型變量的值；步驟2.6.可由Xcap值計算耦合電容Cmk=∫Γkϵ(k)q(k)dΓ]]>其中Гk是端口k的表面，q(k)是Гk上的電場，ε(k)是緊貼著端口k的介質(zhì)的介電常數(shù)；步驟2.7.生成矩陣U從Acap中復制形式為 的元素，其余元素設為0；步驟2.8.和步驟2.4類似地求得Acap-1U；3)對每個頻率點，執(zhí)行以下操作，將電容修正為該頻率下的綜合耦合參數(shù)步驟3.1.計算該頻率點下的V矩陣對那些對應于介質(zhì)Ma和Mb之間交界面上的電場型變量的主對角元，設定它們的數(shù)值為(fab-cab)/cab，其中a＜b，fab=σb+jωϵbσa+jωϵa,cab=ϵbϵa,]]>σa、σb和εa、εb分別是介質(zhì)a和b的電導率和介電常數(shù)；其余元素設為0；步驟3.2.生成I+VTAcap-1U，對其進行壓縮得到較小矩陣M；步驟3.3.對M求逆，得到W＝M-1，并將W反填到單位陣，得到(I+VTAcap-1U)-1；步驟3.4.實施矩陣乘，得[Acap-1U][(I+VTAcap-1U)-1][VTXcap]；步驟3.5.矩陣相減，得到Xcap-{[Acap-1U][(I+VTAcap-1U)-1][VTXcap]}；步驟3.6.由式(9)計算綜合參數(shù)，并輸出；步驟3.7.所有頻率點下耦合參數(shù)都已計算完畢？若否，則轉(zhuǎn)向步驟3.1；否則，轉(zhuǎn)向步驟4；4)結(jié)束。
以上過程見圖11。


圖1襯底耦合效應示意圖。通過襯底傳遞的耦合噪聲將影響電路的某些部分，并進而影響整體性能。
圖2一個有限區(qū)域的三維互連結(jié)構(gòu)示意圖(需要計算其中主導體與其他導體的耦合電容)。
圖3由多層介質(zhì)、多個端口(和接地板)組成的襯底結(jié)構(gòu)示意圖。
圖中標號意義Mi介質(zhì)i，i＝1～3σi電導率，非零ε1介電常數(shù)。
Г12介質(zhì)M1和介質(zhì)M2的交界面Г23介質(zhì)M2和介質(zhì)M3的交界面圖4直接使用邊界元方法提取綜合參數(shù)的流程。
(參見文獻“A New Boundary Element Method for Accurate Modeling of Lossy Substrates with ArbitraryDoping Profiles，”Asia and South Pacific Design Automation Conference，Yokohama，Japan，pp.683-688，Jan.2006)圖5本發(fā)明中較高頻耦合參數(shù)計算方法的流程圖。
注灰色塊中的矩陣元素非零。
圖6對圖3所示襯底，式(8)中矩陣A示意圖?；疑珘K中的矩陣元素非零。
注灰色塊中的矩陣元素非零。
圖7對圖3所示示例，式(6)中矩陣Acap示意圖。
圖8矩陣A和Acap的差別。
注U的結(jié)構(gòu)和A-Acap一致，其非零元數(shù)值等于Acap相應位置元素的數(shù)值。
V是非完全對角陣，由兩個對角陣組成，分別為(f12-c12)/c12I1和(f23-c23)/c23I2，其中I1和I2均為單位陣。
圖9左圖為矩陣I+VTAcap-1U的結(jié)構(gòu)，右圖為其壓縮后的等價矩陣M。
圖10把左圖所示矩陣M的逆陣W＝M-1反填到一個單位陣中得到(I+VTAcap-1U)-1，如右圖所示。
圖11本發(fā)明中較高頻耦合參數(shù)計算方法的詳細流程圖。
圖12由三層介質(zhì)組成的簡單襯底算例。
圖中符號及相關(guān)解釋σ介質(zhì)的電導率，單位為1/(Ωm))；εr介質(zhì)的相對介電常數(shù)，單位為1；t介質(zhì)的高度，單位為um。
L介質(zhì)的長度，單位為um。
W介質(zhì)的寬度，單位為um。
頂層的兩個平面端口，大小均為2um×2um，嚴格對稱分布，如右俯視圖所示。
具體實施例方式
本發(fā)明的提取方法已用C++語言編程實現(xiàn)，可以在SUN SPARC系列工作站上的UNIX操作系統(tǒng)及PC機的Linux操作系統(tǒng)上運行。下面結(jié)合一個具體實例說明含SubRCExtract方法的執(zhí)行過程。
圖12顯示了一個簡單例子。為求簡單，這里contact(端口)被看作平面，且放在頂部。
注意，這里為了簡單說明執(zhí)行過程，特意將例子的變量數(shù)降得很低。在以下的矩陣中，元素都小數(shù)點后只取一位數(shù)字。但在程序執(zhí)行中，是以計算機內(nèi)部的浮點數(shù)(float型或者double型)表示的。為求清晰，矩陣零元顯示為空。
1)輸入圖示的襯底信息。
2)設置端口1電壓為1V，端口2、接地板為0V。
步驟2.1.把各介質(zhì)邊界劃分為邊界元Гij。
步驟2.2.按照Acap元素的積分公式，計算得其具體數(shù)值為(矩陣Acap為)

生成U大部分元素為0，其余非領(lǐng)元素為Acap的一部分，即Acap中以黑體顯示的部分數(shù)字。


3)求解方程組AcapXcap＝B，其中B＝1.41.41.41.4-6.30.80000000
000000得Xcap=Acap-1B=]]>1.01.01.01.0-0.020.9-0.020.80.80.80.80.8-0.020.60.60.60.60.50.5同時也可生成Acap-1U=]]>


4)對下一頻率點(這里以計算頻率為1010Hz即10GHz下耦合參數(shù)為例)步驟4.1生成矩陣VT對兩個交界面計算以下系數(shù)f12=σ2+jωϵ2σ1+jωϵ1=2000+j6.28×1010×11.8×8.85×10-1210+j6.28×1010×11.8×8.85×10-12=1.4×102-91.3i,]]>f23=σ3+jωϵ3σ2+jωϵ2=1×10-12+j6.28×1010×3.9×8.85×10-122000+j6.28×1010×11.8×8.85×10-12=3.5×10-6+1.1×10-3i,]]>注j和i相同，均為復數(shù)單位，也就是-1的一個平方根，下同。
c12=ϵ2ϵ1=11.8×8.85×10-1211.8×8.85×10-12=1,c23=ϵ3ϵ2=3.9×8.85×10-1211.8×8.85×10-12=0.3.]]>所以，根據(jù)VT的計算公式，計算得到VT


步驟4.2生成I+VTAcap-1U，對其進行壓縮得到較小矩陣M；I+VTAcap-1U=]]>


其壓縮形式矩陣M為16.5-i10.2 -108.1+i71.0-0.1+i3.6e-40.8+i7.3e-4步驟4.3對M求逆，得到W＝M-1，并將W反填到單位陣，得到(I+VTAcap-1U)-1；W＝127.2-i1.0-i5.9e-2 95.41.4e-1-i9.0e-3 19.4-i13.8將W反填到足夠大的單位陣I中，得到的即是(I+VTAcap-1U)-1


步驟4.4實施矩陣乘，得[Acap-1U][(I+VTAcap-1U)-1][VTXcap]=]]>(其中VTXcap只是將Xcap的第7行放大139.1-i91.3倍，將第13行-1+i3.3e-3倍)-3.3e-2+i3.0e-2-3.3e-2+i3.0e-2-3.3e-2+i3.0e-2-3.3e-2+i3.0e-2-8.8e-3+i8.1e-3-6.5e-2+i5.9e-2-1.5e-2+i6.1e-5-1.2e-1+i5.9e-2-1.2e-1+i5.9e-2-1.2e-1+i5.9e-2-1.2e-1+i5.9e-2-1.7e-1+i6.0e-23.4e-3+i1.2e-3-1.4e-1+i4.6e-2-1.4e-1+i4.6e-2-1.4e-1+i4.7e-2-1.4e-1+i4.7e-2-1.2e-1+i4.2e-2-1.2e-1+i4.2e-2步驟4.5矩陣相減，得到Xcap-{[Acap-1U][(I+VTAcap-1U)-1][VTXcap]}=]]>1.0+i3.0e-21.0+i3.0e-21.0+i3.0e-21.0+i3.0e-2-6.3e-3-i8.1e-3
9.5e-1+i5.9e-2-5.3e-2+i6.1e-59.5e-1+i5.9e-29.5e-1+i5.9e-29.5e-1+i5.9e-29.5e-1+i5.9e-29.5e-1+i6.0e-2-1.8e-1+i1.2e-37.4e-1-4.6e-27.4e-1-i4.6e-27.5e-1-i4.7e-27.5e-1-i4.7e-26.7e-1-i4.2e-26.7e-1-i4.2e-2步驟4.6由式(9)計算綜合參數(shù)，并輸出端口1 端口2 GroundPlane(接地板)端口1-3.37e+03+j1.35e+05 -7.21e+04 1.02e+04-j6.22e+05-j1.63e+054.5)所有頻率點下耦合參數(shù)都已計算完畢？若否，則轉(zhuǎn)向4.1)；若是，轉(zhuǎn)5)。
5)結(jié)束。
使用相同的例子和相同的參數(shù)，文獻ASP-DAC2006中方法的計算結(jié)果為端口1 端口2GroundPlane(接地板)端口1-3.37e+03+j1.35e+05-7.21e+041.02e+04-j6.22e+05 -j1.63e+05從上兩個表格可看出，文獻方法的計算結(jié)果和本發(fā)明的方法結(jié)果一致，這里也驗證了定理2(從電容到綜合參數(shù)的修正)沒有損失計算精度。
計算效率比較以上算例證明了方法是正確的。但是由于規(guī)模太小，耗時太少，不便于比較效率。
另一個較大的計算實例(變量數(shù)為7252)，提取任一頻率下綜合耦合參數(shù)，本發(fā)明中的方法只需要9.0秒，而文獻ASP-DAC2006中方法則需要400秒以上，加速比在40倍以上。同時，本發(fā)明中方法需要60MB內(nèi)存，而文獻方法需要45MB內(nèi)存，本發(fā)明中的方法需要較多內(nèi)存是因為需要存儲額外的矩陣，比如Acap-1B、M、W等，但這些額外內(nèi)存的使用可以換來幾十倍的加速比。
權(quán)利要求
1.硅集成電路襯底多頻率點下綜合耦合參數(shù)的快速提取方法，依次有以下步驟步驟1向計算機輸入幾何信息，包括a)襯底各介質(zhì)Mi的長、寬、高；b)襯底各介質(zhì)Mi的電導率σ、介電常數(shù)ε；c)端口區(qū)的位置、大?。籨)工作頻率；步驟2計算機按以下步驟計算襯底主端口m和端口k間耦合電容Cmk步驟2.1.在主端口m上設1V電壓，其余端口(包括k)設為0V；步驟2.2.把介質(zhì)Mi的邊界劃分為Ni邊界元Γij，j＝1，2，...，Ni；步驟2.3.分別以每個邊界元中心點為配置點即采樣點s，列出方程組AcapXcap＝B；其中，若設變量在邊界元Γij上，矩陣Acap的元素值為∫Γijq*dΓ，電壓u型變量的系數(shù)；或∫Γiju*dΓ，非交界面電場q型變量的系數(shù)；或∫Γiju*dΓ，交界面Γab上q型變量，且配置點s在Mb上；或c12∫Γiju*dΓ，交界面Γab上q型變量，且配置點s在Ma上；其中，交界面Γab位于介質(zhì)Ma和Mb之間，a＜b；u*=14πr(s,v),]]>r(s，v)為配置點s和變量點v間距離的大小，q*為u*在Γij法向上 的導數(shù)，表達式為-14πr2(s,v)∂r(s,v)→∂n→,]]>其中 表示距離矢量；步驟2.4.矩陣B的每一列對應著一個主端口m的設定；對某配置點s，B某列的某元素值為∫Γm1·q*dΓ，其中Γm是主端口m的表面，q*定義同上；步驟2.5.求解方程組AcapXcap＝B，得到Xcap=Acap-1B;]]>Xcap包含電場q型變量的值；步驟2.6.可由Xcap值計算耦合電容Cmk=∫Γkϵ(k)q(k)dΓ]]>其中Γk是端口k的表面，q(k)是Γk上的電場，ε(k)是緊貼著端口k的介質(zhì)的介電常數(shù)；步驟2.7.生成矩陣U從Acap中復制形式為c12∫Γiju*dΓ的元素，其余元素設為0；步驟2.8.和步驟2.4類似地求得Acap-1U；步驟3對每個頻率點，執(zhí)行以下修正操作步驟3.1.計算該頻率點下的V矩陣對那些對應于介質(zhì)Ma和Mb之間交界面上的電場型變量的主對角元，設定它們的數(shù)值為(fab-cab)/cab，其中a＜b，fab=σb+jωϵbσa+jωϵa,]]>cab=ϵbϵa,]]>σa、σb和εa、εb分別是介質(zhì)a和b的電導率和介電常數(shù)；其余元素設為0；步驟3.2.生成矩陣I+VTAcap-1U，其中I為和Acap等大小的單位陣；提取該矩陣非對角線上的非零塊組成矩陣M；步驟3.3.對M的逆矩陣W，并將其反填到單位陣，得(I+VTAcap-1U)-1；步驟3.4.實施矩陣乘，得[Acap-1U][(I+VTAcap-1U)-1][VTXcap]；步驟3.5.矩陣相減，得X=Xcap-{[Acap-1U][(I+VTAcap-1U)-1][VTXcap]};]]>步驟3.6.由X所含電場q變量的值，計算該頻率下的綜合耦合參數(shù)Zmk=1∫Γk(σ(k)+jωϵ(k))q(k)dΓ,]]>其中Γk是端口k的表面，q(k)是Γk上的電場值，σ(k)和ε(k)分別是緊貼著端口k的介質(zhì)的電導率和介電常數(shù)；步驟3.7.所有頻率點下耦合參數(shù)都已計算完畢？若否，則轉(zhuǎn)向步驟3.1；否則，轉(zhuǎn)向步驟4；步驟4結(jié)束。
全文摘要
襯底多頻點綜合耦合參數(shù)提取方法屬于IC－CAD技術(shù)領(lǐng)域，其特征在于，根據(jù)襯底耦合電容提取和綜合參數(shù)提取的相似性，提出了任意頻率下綜合耦合參數(shù)的兩步提取方式第一步，先提耦合電容參數(shù)，第二步，將電容精確修正為該頻率下的綜合耦合參數(shù)。本發(fā)明中也同時給出了修正過程的高效實現(xiàn)方式。當使用本方法計算多頻率點下耦合參數(shù)時，電容參數(shù)提取操作只需進行一次，從電容到綜合參數(shù)的修正過程在各頻點各進行一次，但本發(fā)明中的修正過程可高效完成，每次僅需很少計算即可完成。因此，本發(fā)明對多頻點下的綜合耦合參數(shù)提取問題具有較高效率，同時由于基于嚴格的數(shù)學推導，計算精度也得到了保持。
文檔編號G06F17/50GK1885294SQ200610012140
公開日2006年12月27日 申請日期2006年6月7日 優(yōu)先權(quán)日2006年6月7日
發(fā)明者王習仁, 喻文健, 王澤毅 申請人:清華大學