本發(fā)明涉及復雜非線性函數求解領域，尤其涉及一種基于自適應變步長混沌狼群尋優(yōu)算法的非線性函數求解方法。

背景技術：

經過漫長的自然選擇與生物進化，造就了自然界許多奇妙的群體智能現象，令人嘆為觀止的同時也給我們帶來了無盡的科學啟示。為了求解復雜非線性函數問題，人們提出了許多仿生群體智能尋優(yōu)算法，如遺傳算法(genetic algorithm,GA)、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)、人工蜂群算法(artificial bee colony,ABC)等。與傳統(tǒng)尋優(yōu)方法相比，群體智能算法實現簡單、可以不受搜索空間和目標函數形態(tài)的制約，這為大量復雜非線性函數的求解提供了諸多選擇。然而，隨著研究的深入，研究者們逐漸發(fā)現這些群體智能尋優(yōu)算法不同程度地都存在著一些不足，如算法計算精度不高、后期收斂速度較慢或易陷入局部最優(yōu)等。這些存在的問題也激發(fā)著研究者們逐步探索新的群體智能方法，為人類解決復雜非線性函數求解問題提供了許多新的思路。

Yang等人于2007年仿生狼群捕食行為在文獻(Yang Chenguang,Tu Xuyan,Chen Jie.Algorithm of marriage in honey bees optimization based on the wolf pack search[C]//Proceedings of IEEE Computer Society International Conference on Intelligent Pervasive Computing,Jeju Island,2007:462-467.)中提出一種群體智能優(yōu)化算法—狼群搜索算法(wolf pack search algorithm,WPS)，并將其成功地與ABC算法融合，應用于機器人路徑規(guī)劃優(yōu)化中。隨后WPS算法在工作流程優(yōu)化(Ye Y,Yin J,Feng Z,et al.Wolf-pack algorithm for business process model syntactic and semantic structure verification in the workflow management environment[C]//IEEE Asia-Pacific Services Computing Conference.IEEE Computer Society,2010:694-699.)、電池充電增強管理系統(tǒng)優(yōu)化(Hung T C,Huang S J,Pai F S,et al.Design of lithium-ion battery charging system enhanced with wolf pack algorithm[C]//International Conference on Innovations in Bio-Inspired Computing&Applications.IEEE,2012:195-200.)、PID參數優(yōu)化(Wu H S,Zhang F M.A uncultivated wolf pack algorithm for high-dimensional functions and its application in parameters optimization of PID controller[C]//IEEE Congress on Evolutionary Computation,2014:1477-1482.)等方面得到了應用研究。雖然WPS算法有著良好的收斂速度，但是其存在求解精度不高、易陷入局部最優(yōu)以及搜索越界降低收斂速度的不足。為彌補這個缺陷，周強等人于2013年以WPS算法為基礎，引入領導者策略，在《計算機應用研究》2013年第30卷第9期2629-2632頁刊載的“一種基于領導者策略的狼群搜索算法”文獻中提出一種基于領導者策略的狼群搜索算法(leader wolf pack search algorithm,簡稱為LWPS算法)，并通過數值實驗研究表明，LWPS算法在收斂速度和求解精度方面比WPS算法、ABC算法、PSO算法及GA算法均有較大的提高。

但是，在深入研究中發(fā)現LWPS算法尚存在以下不足：(1)在競爭領導者狼時，各競選狼隨著搜索次數的不斷增加，當前最優(yōu)解也越趨近于局部最優(yōu)解，此時競選狼的搜索步長也應該越精細，以保證算法局部最優(yōu)解的搜索精度，而LWPS算法中的搜索步長是一個常值，其不具備自適應調節(jié)能力，易影響局部最優(yōu)解的搜索精度；(2)圍攻行為要求人工狼具有較強的局部尋優(yōu)能力，這就要求圍攻步長能夠隨著迭代次數的增加自適應地調整，而LWPS算法中的圍攻步長在算法迭代后期趨近于0，導致尋優(yōu)無變化，易出現早熟收斂的現象。因此，LWPS算法的性能還有待于進一步改進。

技術實現要素：

針對上述存在問題，本發(fā)明對LWPS算法進行改進，并將其用于解決復雜非線性函數求解問題，提出一種基于自適應變步長混沌狼群尋優(yōu)算法(chaos wolf optimization algorithm with adaptive variable step,CWOA)的非線性函數求解方法，旨在彌補LWPS算法的不足，豐富非線性函數求解的理論方法。

為了解決上述存在的技術問題，本發(fā)明是通過下述技術方案來實現的：

一種基于自適應變步長混沌狼群尋優(yōu)算法(CWOA)的非線性函數求解方法，其具體實施步驟包括如下內容：

步驟一：初始化狼群

初始化狼群中人工狼的數目N，搜索空間維數D，搜索空間取值范圍[w_dmax,w_dmin]，最大迭代次數n_max，競選首領狼的數目q，最大搜索次數H_max，搜索方向h，搜索步長初始值stepa₀，移動步長stepb，圍攻閾值r₀，圍攻步長初始值stepc₀，淘汰狼的個數m；利用Logistic混沌映射表達式(1)產生N個混沌變量，并按表達式(2)把混沌變量投影到尋優(yōu)變量的取值區(qū)間，作為狼群的初始化位置；

Chaos_n+1＝μ×Chaos_n(1-Chaos_n)μ＝4,Chaos_n∈[0,1] (1)

式中，Chaos(0,1)為在區(qū)間[0,1]內均勻分布的混沌變量；

步驟二：競爭領導者狼

選取q匹適應度值較好的人工狼作為競選者，讓其在自己周圍的h個方向按表達式(3)不斷進行自適應變步長搜索，如果競選狼搜索到的位置p_kjd優(yōu)于當前位置w_jd，則進行位置移動，否則不移動；當競選狼搜索次數H達到最大搜索次數H_max，則結束搜索行為，選取位置最優(yōu)的競選狼作為領導者狼；

第j(j＝1,2…,q)匹競選狼在其周圍第k(k＝1,2…,h)個方向產生的搜索位置p_kjd為：

p_kjd＝w_jd+Chaos(-1,1)×α×stepa₀ (3)

Chaos(-1,1)＝-1+2×Chaos(0,1) (4)

式中，w_jd是第j匹競選狼在第d維的當前位置，Chaos(-1,1)為在區(qū)間[-1,1]內均勻分布的混沌變量，stepa₀為搜索步長初始值，α為搜索步長自適應調節(jié)因子，0<α<1，α采用表達式(5)進行自適應確定：

步驟三：領導者狼召喚奔襲

其它人工狼向著領導者狼的位置奔襲移動，而且在奔襲的過程中繼續(xù)搜索獵物并按表達式(6)進行位置更新；若人工狼更新后的位置g_id優(yōu)于當前位置w_id，則進行位置移動，否則不移動；

第i匹人工狼更新后的位置g_id為：

g_id＝w_id+Chaos(-1,1)×stepb×(w_ld-w_id) (6)

式中，w_id是第i匹狼在第d維的當前位置，stepb是移動步長，w_ld為領導者狼在第d維的位置；

步驟四：包圍獵物

領導者狼搜尋到獵物，通過嚎叫召喚同伴包圍獵物，其他人工狼以領導者狼為中心展開包圍，當滿足預設的圍攻閾值r₀條件時，執(zhí)行圍攻行為，通過表達式(7)進行位置更新；人工狼對獵物進行圍攻后，只有當更新后的位置優(yōu)于原來位置時才進行位置移動，否則保持位置不變；最后，依照表達式(9)對更新后的位置進行越界處理；

式中，為第n代第i匹狼在第d維的當前位置，為第n+1代第i匹狼在第d維的當前位置，rand(0,1)為在區(qū)間[0,1]內產生的隨機數，r₀為預設的圍攻閾值，stepc為圍攻步長，其值隨著迭代次數的增加而自適應地減小，表達式為式(8)：

式中，stepc₀為圍攻步長初始值；n為當前迭代次數；

狼群圍攻獵物后位置會發(fā)生變化，若不在搜索空間內，需要依照表達式(9)對更新后的位置進行越界處理：

步驟五：分配食物更新狼群

根據“優(yōu)勝劣汰”的原則進行群體更新，去除狼群中最差的m匹人工狼，同時通過Logistic混沌映射表達式(1)產生m個混沌變量，并按表達式(2)把混沌變量投影到尋優(yōu)變量的取值區(qū)間，替代最差的m匹人工狼，以保持種群的多樣性；

步驟六：終止條件判斷

判斷是否達到最大迭代次數，若滿足條件則退出循環(huán)，輸出最優(yōu)解；否則，轉至步驟二。

由于采用上述技術方案，本發(fā)明提供的一種基于自適應變步長混沌狼群尋優(yōu)算法(CWOA)的非線性函數求解方法具有這樣的有益效果：

(1)為了提高人工狼的搜索精度，本發(fā)明對搜索步長進行了改進；改進公式中加入了自適應調節(jié)因子α，使算法在優(yōu)良解域附近具有開辟新的解空間的能力，提高了算法的精細搜索能力；

(2)為了更好地適應人工狼的局部尋優(yōu)要求，本發(fā)明對圍攻步長公式進行了改進；改進公式中加入了隨機調節(jié)因子rand(0,1)，避免了圍攻步長在迭代后期由于趨近于0而易出現早熟收斂的現象，使圍攻行為具備全程自適應調節(jié)的能力；

(3)本發(fā)明利用混沌變量進行優(yōu)化搜索，相對于隨機搜索而言提高了尋優(yōu)效率。

附圖說明

圖1是本發(fā)明方法的流程圖；

圖2是本發(fā)明實施例的收斂曲線對比圖；其中a)是Matyas的收斂曲線，b)是Easom的收斂曲線，c)是Sumsquares的收斂曲線，d)是Sphere的收斂曲線，e)是Eggcrate的收斂曲線，f)是Six Hump Camel Back的收斂曲線，g)是Bohachevsky3的收斂曲線，h)是Bridge的收斂曲線，i)是Booth的收斂曲線，j)是Bohachevsky1的收斂曲線，k)是Ackley的收斂曲線，l)是Quadric的收斂曲線。

具體實施方式

下面結合附圖及實施例對本發(fā)明進行進一步詳細說明。

參見圖1，是本發(fā)明方法的流程圖，一種基于自適應變步長混沌狼群尋優(yōu)算法(CWOA)的非線性函數求解方法，其具體實施步驟包括如下內容：

步驟一：初始化狼群

初始化狼群中人工狼的數目N，搜索空間維數D，搜索空間取值范圍[w_dmax,w_dmin]，最大迭代次數n_max，競選首領狼的數目q，最大搜索次數H_max，搜索方向h，搜索步長初始值stepa₀，移動步長stepb，圍攻閾值r₀，圍攻步長初始值stepc₀，淘汰狼的個數m；利用Logistic混沌映射表達式(1)產生N個混沌變量，并按表達式(2)把混沌變量投影到尋優(yōu)變量的取值區(qū)間，作為狼群的初始化位置；

Chaos_n+1＝μ×Chaos_n(1-Chaos_n)μ＝4,Chaos_n∈[0,1] (1)

式中，Chaos(0,1)為在區(qū)間[0,1]內均勻分布的混沌變量；

步驟二：競爭領導者狼

選取q匹適應度值較好的人工狼作為競選者，讓其在自己周圍的h個方向按表達式(3)不斷進行自適應變步長搜索，如果競選狼搜索到的位置p_kjd優(yōu)于當前位置w_jd，則進行位置移動，否則不移動；當競選狼搜索次數H達到最大搜索次數H_max，則結束搜索行為，選取位置最優(yōu)的競選狼作為領導者狼；

第j(j＝1,2…,q)匹競選狼在其周圍第k(k＝1,2…,h)個方向產生的搜索位置p_kjd為：

p_kjd＝w_jd+Chaos(-1,1)×α×stepa₀ (3)

Chaos(-1,1)＝-1+2×Chaos(0,1) (4)

式中，w_jd是第j匹競選狼在第d維的當前位置，Chaos(-1,1)為在區(qū)間[-1,1]內均勻分布的混沌變量，stepa₀為搜索步長初始值，α為搜索步長自適應調節(jié)因子，0<α<1，α采用表達式(5)進行自適應確定：

步驟三：領導者狼召喚奔襲

其它人工狼向著領導者狼的位置奔襲移動，而且在奔襲的過程中繼續(xù)搜索獵物并按表達式(6)進行位置更新；若人工狼更新后的位置g_id優(yōu)于當前位置w_id，則進行位置移動，否則不移動；

第i匹人工狼更新后的位置g_id為：

g_id＝w_id+Chaos(-1,1)×stepb×(w_ld-w_id) (6)

式中，w_id是第i匹狼在第d維的當前位置，stepb是移動步長，w_ld為領導者狼在第d維的位置；

步驟四：包圍獵物

領導者狼搜尋到獵物，通過嚎叫召喚同伴包圍獵物，其他人工狼以領導者狼為中心展開包圍，當滿足預設的圍攻閾值r₀條件時，執(zhí)行圍攻行為，通過表達式(7)進行位置更新；人工狼對獵物進行圍攻后，只有當更新后的位置優(yōu)于原來位置時才進行位置移動，否則保持位置不變；最后，依照表達式(9)對更新后的位置進行越界處理；

式中，為第n代第i匹狼在第d維的當前位置，為第n+1代第i匹狼在第d維的當前位置，rand(0,1)為在區(qū)間[0,1]內產生的隨機數，r₀為預設的圍攻閾值，stepc為圍攻步長，其值隨著迭代次數的增加而自適應地減小，表達式如式(8)所示：

式中，stepc₀為圍攻步長初始值；n為當前迭代次數；

狼群圍攻獵物后位置會發(fā)生變化，若不在搜索空間內，需要依照表達式(9)對更新后的位置進行越界處理：

步驟五：分配食物更新狼群

根據“優(yōu)勝劣汰”的原則進行群體更新，去除狼群中最差的m匹人工狼，同時通過Logistic混沌映射表達式(1)產生m個混沌變量，并按表達式(2)把混沌變量投影到尋優(yōu)變量的取值區(qū)間，替代最差的m匹人工狼，以保持種群的多樣性；

步驟六：終止條件判斷

判斷是否達到最大迭代次數，若滿足條件則退出循環(huán)，輸出最優(yōu)解；否則，轉至步驟二。

為了驗證本發(fā)明方法的有效性，選取國際上常用的12個標準非線性測試函數進行測試，并將求解效果與基于領導者策略的狼群搜索算法(LWPS)以及經典的遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)進行比較。標準測試函數如表1所示。

表1標準測試函數

表1中所選函數涉及單峰、多峰、可分、不可分等多種特征的復雜非線性函數。單峰函數在定義域內只有全局最優(yōu)值，沒有局部極值；而多峰函數在定義域內有多個局部極值，相對單峰函數而言更加復雜。一般尋優(yōu)算法在對多峰函數進行尋優(yōu)時很容易陷入局部最優(yōu)，較難找到多峰函數的全局最優(yōu)值，所以多峰函數常被用來檢驗尋優(yōu)算法的全局搜索性能和避免早熟收斂的能力。另外，若一個復合函數可用單變量函數之和表示則此函數為可分的，反之為不可分函數。由于不可分函數變量間關系復雜，因此對此類函數尋優(yōu)相對更加困難。此外，搜索空間的維數也是個重要因素，很多對于低維函數效果很好的算法對于高維復雜函數的尋優(yōu)效果卻較差。表1中函數的變量維數從2維至30維，都是難度較大的復雜非線性函數尋優(yōu)問題，具有很好的測試性，可較為全面的反應尋優(yōu)算法的性能。

本發(fā)明方法基于Matlab R2013b用M語言編程實現，GA算法采用英國謝菲爾德大學(University of Sheffield)開發(fā)的算法工具箱，PSO算法采用美國北卡羅萊納州大學(North Carolina A&T State University)的Brian教授開發(fā)的工具箱，LWPS算法根據周強等在《計算機應用研究》2013年第30卷第9期2629-2632頁刊載的“一種基于領導者策略的狼群搜索算法”文獻中提供的編程思路實現。各尋優(yōu)算法的初始化規(guī)模皆設置為N＝50，最大迭代次數設置為n_max＝600，其它參數分別遵循Sriniva M等在《Computer》1994年第27卷第6期第17-26頁刊載的“Genetic algorithms:a survey”文獻、Kennedy J等在《IEEE International Conference on Neural Networks》1995年第4卷第1942-1948頁刊載的“Particle swarm optimization”文獻和周強等在《計算機應用研究》2013年第30卷第9期2629-2632頁刊載的“一種基于領導者策略的狼群搜索算法”文獻的基本原則，設置如表2所示。

表2算法參數表

為了直觀地比較各優(yōu)化算法的尋優(yōu)精度和收斂速度，分別對每個測試函數隨機進行尋優(yōu)計算，分別得到其收斂曲線，如圖2所示，其中a)是Matyas的收斂曲線，b)是Easom的收斂曲線，c)是Sumsquares的收斂曲線，d)是Sphere的收斂曲線，e)是Eggcrate的收斂曲線，f)是Six Hump Camel Back的收斂曲線，g)是Bohachevsky3的收斂曲線，h)是Bridge的收斂曲線，i)是Booth的收斂曲線，j)是Bohachevsky1的收斂曲線，k)是Ackley的收斂曲線，l)是Quadric的收斂曲線。由圖2可以看出，與GA、PSO和LWPS算法相比，本發(fā)明提出的CWOA算法具有相對更高的尋優(yōu)精度；而且能夠更快的收斂到目標函數值，具有較快的收斂速度，在尋優(yōu)精度和收斂速度方面表現出了較好的優(yōu)越性，具有較好的尋優(yōu)能力，能夠更準、更快地尋找到復雜非線性函數的最優(yōu)解。