本發(fā)明涉及一種基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法。

背景技術(shù)：

板結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中占有非常重要的地位，其在航空、土木、電子工程中均有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于板結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)分析是工程應(yīng)用設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵，也是振動(dòng)響應(yīng)分析的基礎(chǔ)和重要組成部分。

針對(duì)板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)模態(tài)計(jì)算的問題，眾多學(xué)者已經(jīng)開展了卓有成效的研究。Y.Xiang針對(duì)一邊帶有簡(jiǎn)支邊界條件的階梯矩形Mindlin板采用域分解計(jì)算方法對(duì)其振動(dòng)頻率進(jìn)行了計(jì)算，得到其分析解。Yufeng Xing利用直接分離變量的方法獲得了矩形Mindlin板自由振動(dòng)閉環(huán)形式的解。J.M.Lee基于鐵木辛柯梁函數(shù)采用Kantorovich方法獲得了Mindlin板特征函數(shù)，利用迭代法對(duì)矩形均質(zhì)板進(jìn)行了自由振動(dòng)分析。Gang Wang對(duì)板的自由振動(dòng)問題和振動(dòng)模態(tài)計(jì)算問題進(jìn)行了一系列的研究，主要有采用Kantorovich–Krylov變分方法針對(duì)矩形板的板內(nèi)振動(dòng)模態(tài)，彎曲振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，也采用譜有限元法對(duì)階梯板的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，但是其在計(jì)算過程中并沒有考慮板中任意一點(diǎn)兩個(gè)方向剪切角的影響，針對(duì)相對(duì)較厚的板進(jìn)行計(jì)算時(shí)精度有待提高。M.Boscolo采用一階剪切理論得到板動(dòng)態(tài)剛度元對(duì)矩形板的自由振動(dòng)進(jìn)行了準(zhǔn)確分析，然而此方法只考慮了矩形板某對(duì)邊是簡(jiǎn)支邊界條件的情況，尚未考慮應(yīng)用到矩形板具有其他邊界條件的情形。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為了解決上述技術(shù)問題，本發(fā)明提供一種準(zhǔn)確性高、實(shí)用性強(qiáng)的基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法。

本發(fā)明解決上述問題的技術(shù)方案是：一種基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，包括以下步驟：

步驟一：基于能量函數(shù)變分原理得到板振動(dòng)的邊界值問題模型，再基于變量分離方法得到兩個(gè)方向的自由振動(dòng)方程；

步驟二：確定矩形板兩個(gè)方向的邊界條件，在預(yù)設(shè)定的模態(tài)階數(shù)下采用不同方向相互迭代來計(jì)算振動(dòng)頻率和振型，直至兩個(gè)方向計(jì)算得到的振動(dòng)頻率誤差在某個(gè)指定范圍時(shí)停止；

步驟三：利用最終得到的兩個(gè)方向的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行疊加得到矩形板振動(dòng)模態(tài)。

上述基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，所述步驟一具體步驟為

建立矩形板直角坐標(biāo)系(x,y,z)，分別定義x,y,z三個(gè)方向的位移多元函數(shù)u(x,y,t)，v(x,y,t)，w(x,y,t)如下:

u(x,y,t)＝zθ_y(x,y,t)；

v(x,y,t)＝-zθ_x(x,y,t)；

w(x,y,t)＝w₀(x,y,t)；

其中w₀(x,y,t)表示板(x,y)位置在z方向t時(shí)刻的振動(dòng)幅值，θ_x表示板(x,y)位置在t時(shí)刻繞x軸的旋轉(zhuǎn)角，θ_y表示板(x,y)位置在t時(shí)刻繞y軸的旋轉(zhuǎn)角；

定義能量函數(shù)：

Π＝U+T，

其中表示w(x,y,t)的對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示θ_x(x,y,t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示θ_y(x,y,t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)常數(shù)常數(shù)

參數(shù)定義為：E：板抗彎剛度，a：板長(zhǎng)度，b：板寬度，h：板厚度，v：泊松比，ρ:板材料密度；

對(duì)w(x,y,t)，θ_x(x,y,t)和θ_y(x,y,t)進(jìn)行時(shí)空變量分離：

w(x,y,t)＝W(x,y)e^jωt,

其中二元變量W(x,y)表示板(x,y)位置的振動(dòng)幅值，二元變量表示板(x,y)位置繞x軸的旋轉(zhuǎn)角，二元變量表示板(x,y)位置繞y軸的旋轉(zhuǎn)角；ω:圓頻率(rad/s)；

求Π的變分且令變分等于0，即

對(duì)變量W(x,y),進(jìn)行二元變量分離有：

W(x,y)＝W_x(x)W_y(y)

其中W_x(x)，W_y(y)分別表示W(wǎng)(x,y)在x,y方向的分離模態(tài)函數(shù)，分別表示在x,y方向的分離模態(tài)函數(shù)，分別表示在x,y方向的分離模態(tài)函數(shù)

假定已知y向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)W_y,利用如下變分公式：

δW(x,y)＝W_yδW_x

得到關(guān)于x向三個(gè)變量的常微分方程組Ⅰ：

其中

假定已知x向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)W_x,則利用如下變分公式：

δW(x,y)＝W_xδW_y

得到關(guān)于y向三個(gè)變量的常微分方程組Ⅱ：

其中

上述基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，所述步驟二中，

針對(duì)x方向的邊界條件定義為三種：

簡(jiǎn)支邊界：W_x＝0,M_xx＝0；

夾緊邊界：W_x＝0,

自由邊界：V_xz＝0,M_xx＝0,M_xy＝0；

其中力矩經(jīng)過計(jì)算后得到如下的計(jì)算用邊界條件：

簡(jiǎn)支邊界：W_x＝0,

夾緊邊界：W_x＝0,

自由邊界：

針對(duì)y方向的邊界條件定義為三種：

簡(jiǎn)支邊界：W_y＝0,M_yy＝0；

夾緊邊界：W_y＝0,

自由邊界：V_yz＝0,M_yy＝0,M_xy＝0；

其中力矩

經(jīng)過計(jì)算后得到如下的計(jì)算用邊界條件：

簡(jiǎn)支邊界：W_y＝0,

夾緊邊界：W_y＝0,

自由邊界：

上述基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，所述步驟二中，采用不同方向相互迭代計(jì)算振動(dòng)頻率和振型函數(shù)的具體步驟如下

2-1)設(shè)定y向?yàn)榈趍階模態(tài)，根據(jù)y向邊界條件選擇相應(yīng)自由振動(dòng)梁的模態(tài)函數(shù)作為y向的模態(tài)函數(shù)；

2-2)利用給定的y向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到x向的常微分方程組Ⅰ，根據(jù)常微分方程特征值的情況確定x向模態(tài)函數(shù)的形式，根據(jù)邊界條件建立以模態(tài)函數(shù)未知系數(shù)為變量的線性方程組，對(duì)線性方程組6×6系數(shù)矩陣行列式值為0的非線性方程進(jìn)行優(yōu)化求解，得到頻率值w_x,再利用w_x代入線性方程組進(jìn)行求解得到模態(tài)函數(shù)系數(shù)，從而得到x向的模態(tài)函數(shù)；

2-3)利用步驟2-2中計(jì)算得到的x向的模態(tài)函數(shù)，計(jì)算得到y(tǒng)向的常微分方程組Ⅱ，根據(jù)常微分方程特征值的情況確定y向模態(tài)函數(shù)的形式，根據(jù)邊界條件建立以模態(tài)函數(shù)未知系數(shù)為變量的線性方程組，利用系數(shù)矩陣的行列式為0進(jìn)行優(yōu)化求解得到頻率值w_y，再利用w_y代入線性方程組進(jìn)行求解得到模態(tài)函數(shù)系數(shù)，從而得到y(tǒng)向的模態(tài)函數(shù)；

2-4)比較步驟2-2和2-3得到的頻率值的大小，如果滿足|w_x-w_y|≤ε，則退出迭代，ε為誤差值，取值為0.0001；如果不滿足條件，則將步驟2-3中得到的y向的模態(tài)函數(shù)作為給定的步驟2-2中模態(tài)函數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算。

上述基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，所述步驟2-2中，基于已知y向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到頻率值w_x和x向的模態(tài)函數(shù)方法如下：

根據(jù)常微分方程組Ⅰ，令表示微分算子d/dx，則有如下的式子：

展開式(3)中的行列式得到如下的方程:

其中ψ＝w_x,or

d₁＝a₃+b₃+c₃-b₁c₁-a₁c₂；

d₂＝a₃b₃+a₃c₃+b₃c₃+a₂b₁c₂+a₁b₂c₁-a₃b₁c₁-a₂b₂-a₁b₃c₂；

d₃＝a₃b₃c₃-a₂b₂c₃；

將試驗(yàn)解ψ＝e^λ代入方程(4)，由于表示微分算子，可產(chǎn)生如下的方程：

λ⁶+d₁λ⁴+d₂λ²+d₃＝0 (5)

令μ＝λ²，則

μ³+d₁μ²+d₂μ+d₃＝0 (6)

令判別式Δ＝18d₁d₂d₃-4d₁³d₃+d₁²d₂²-4d₂³-27d₃²，

定義w_x(x)與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值δ₁,δ₂,δ₃，與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值γ₁,γ₂,γ₃如下

其中i＝1,2,3，k為調(diào)節(jié)系數(shù)，為展開式用到的正弦函數(shù)頻率值，根據(jù)展開式不同的項(xiàng)來進(jìn)行取整數(shù)值，m＝1,2,…,∞；r_i為根據(jù)式(6)的解計(jì)算得到的值；根據(jù)判別式的符號(hào)以及式(6)中解μ₁,μ₂,μ₃的情形得到如下10種x向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)形式：

(1)判別式小于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_x(x)＝-δ₁B₂cosh(r₁x)-δ₁B₁sinh(r₁x)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)x)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)x)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)x)-δ₃B₅sin(Im(r₂)x)

(2)判別式小于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

令r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_x(x)＝-δ₁B₂cos(r₁x)-δ₁B₁sin(r₁x)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)x)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)x)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)x)-δ₃B₅sin(Im(r₂)x)

(3)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

令

(4)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(5)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(6)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(7)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(8)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(9)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(10)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

將得到的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式代入邊界條件，整理以后得到如下形式的方程組：

其中表示線性方程組系數(shù)矩陣，A₁₁～A₆₆表示對(duì)應(yīng)位置的系數(shù)值；令采用matlab中的非線性優(yōu)化函數(shù)fsolve進(jìn)行求解得到ω_x，再將ω_x代入式(7)中得到線性方程組，對(duì)線性方程組求解得到B₁,B₂,…,B₆的值，從而得到x向的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式。

上述基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，所述步驟2-3中基于已知x向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到頻率值w_y和y向模態(tài)函數(shù)方法如下：

根據(jù)常微分方程組Ⅱ，令表示微分算子d/dy，則有如下的式子：

展開式(8)中的行列式得到如下的方程:

其中ψ＝w_y,or

j₁＝e₃+f₃+g₃-e₁f₂-g₁f₁；

j₂＝g₃f₃+e₃g₃+e₃f₃+e₁f₁g₂+e₂f₂g₁-e₃g₁f₁-e₂g₂

j₃＝e₃g₃f₃-e₂g₂f₃-e₁g₃f₂；

將試驗(yàn)解ψ＝e^λ代入方程(9)，由于表示微分算子，則產(chǎn)生如下的方程：

λ⁶+j₁λ⁴+j₂λ²+j₃＝0 (10)

令μ＝λ²，則

μ³+j₁μ²+j₂μ+j₃＝0 (11)

令判別式Δ＝18j₁j₂j₃-4j₁³j₃+j₁²j₂²-4j₂³-27j₃²，

定義w_y(y)與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值仍表示為δ₁,δ₂,δ₃，與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值仍表示為γ₁,γ₂,γ₃如下

其中i＝1,2,3，k為調(diào)節(jié)系數(shù)，為展開式用到的正弦函數(shù)頻率值，根據(jù)展開式不同的項(xiàng)來進(jìn)行取整數(shù)值，m＝1,2,…,∞；r_i為根據(jù)式(11)的解計(jì)算得到的值；根據(jù)判別式的符號(hào)以及式(11)中解μ₁,μ₂,μ₃的情形得到如下10種y向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)形式：

(11)判別式小于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_y(y)＝-δ₁B₂cosh(r₁y)-δ₁B₁sinh(r₁y)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)y)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)y)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)y)-δ₃B₅sin(Im(r₂)y)

(12)判別式小于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

令r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_y(y)＝-δ₁B₂cos(r₁y)-δ₁B₁sin(r₁y)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)y)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)y)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)y)-δ₃B₅sin(Im(r₂)y)

(13)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

令

(14)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(15)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(16)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(17)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(18)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(19)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(20)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

將得到的表達(dá)式代入邊界條件，整理以后得到如下形式的方程組：

令系數(shù)矩陣的行列式采用matlab中的非線性優(yōu)化函數(shù)fsolve進(jìn)行求解得到ω_y，再將ω_y代入方程(12)中得到線性方程組，對(duì)線性方程組求解得到B₁,B₂,…,B₆的值，從而得到y(tǒng)向的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式。

本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明可針對(duì)多種組合邊界條件進(jìn)行板振動(dòng)模態(tài)的計(jì)算，并考慮板內(nèi)任意位置點(diǎn)兩個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)角對(duì)板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算的影響，得到以振幅和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角為變量的振動(dòng)方程，更加適應(yīng)計(jì)算對(duì)象板厚度變化時(shí)等實(shí)際情況，計(jì)算出來的結(jié)果更加準(zhǔn)確，具有實(shí)用性廣、方便應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)。

附圖說明

圖1為本發(fā)明的流程圖。

圖2為矩形板坐標(biāo)系圖。

圖3為預(yù)選定的y向初始模態(tài)函數(shù)及其一、二階導(dǎo)數(shù)圖。

圖4為x向振幅一階模態(tài)圖。

圖5為x向繞y軸剪切角一階模態(tài)圖。

圖6為x向繞x軸剪切角一階模態(tài)圖。

圖7為y向振幅一階模態(tài)圖。

圖8為y向繞x軸剪切角一階模態(tài)圖。

圖9為y向繞y軸剪切角一階模態(tài)圖。

圖10為矩形板振動(dòng)幅值一階空間模態(tài)圖。

圖11為矩形板繞x軸剪切角一階空間模態(tài)圖。

圖12為矩形板繞y軸剪切角一階空間模態(tài)圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖和實(shí)施例對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步的說明。

一種基于譜有限元的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，包括以下步驟：

步驟一：基于能量函數(shù)變分原理得到板振動(dòng)的邊界值問題模型，再基于變量分離方法得到兩個(gè)方向的自由振動(dòng)方程。

具體步驟為

建立矩形板直角坐標(biāo)系(x,y,z)，分別定義x,y,z三個(gè)方向的位移多元函數(shù)u(x,y,t)，v(x,y,t)，w(x,y,t)如下:

u(x,y,t)＝zθ_y(x,y,t)；

v(x,y,t)＝-zθ_x(x,y,t)；

w(x,y,t)＝w₀(x,y,t)；

其中w₀(x,y,t)表示板(x,y)位置在z方向t時(shí)刻的振動(dòng)幅值，θ_x表示板(x,y)位置在t時(shí)刻繞x軸的旋轉(zhuǎn)角，θ_y表示板(x,y)位置在t時(shí)刻繞y軸的旋轉(zhuǎn)角；

定義能量函數(shù)：

Π＝U+T，

其中表示w(x,y,t)的對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示θ_x(x,y,t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示θ_y(x,y,t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)常數(shù)常數(shù)

參數(shù)定義為：E：板抗彎剛度，a：板長(zhǎng)度，b：板寬度，h：板厚度，v：泊松比，ρ:板材料密度；

對(duì)w(x,y,t)，θ_x(x,y,t)和θ_y(x,y,t)進(jìn)行時(shí)空變量分離：

w(x,y,t)＝W(x,y)e^jωt,

其中二元變量W(x,y)表示板(x,y)位置的振動(dòng)幅值，二元變量表示板(x,y)位置繞x軸的旋轉(zhuǎn)角，二元變量表示板(x,y)位置繞y軸的旋轉(zhuǎn)角。ω:圓頻率(rad/s)；

求Π的變分且令變分等于0，即

對(duì)變量W(x,y),進(jìn)行變量分離有：

W(x,y)＝W_x(x)W_y(y)

其中W_x(x)，W_y(y)分別表示W(wǎng)(x,y)在x,y方向的分離模態(tài)函數(shù)，分別表示在x,y方向的分離模態(tài)函數(shù)，分別表示在x,y方向的分離模態(tài)函數(shù)。

假定已知y向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)W_y,利用如下變分公式：

δW(x,y)＝W_yδW_x

得到關(guān)于x向三個(gè)變量的常微分方程組Ⅰ：

其中

假定已知x向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)W_x,則利用如下變分公式：

δW(x,y)＝W_xδW_y

得到關(guān)于y向三個(gè)變量的常微分方程組Ⅱ：

其中

步驟二：確定矩形板兩個(gè)方向的邊界條件，在預(yù)設(shè)定的模態(tài)階數(shù)下采用不同方向相互迭代來計(jì)算振動(dòng)頻率和振型，直至兩個(gè)方向計(jì)算得到的振動(dòng)頻率誤差在某個(gè)指定范圍時(shí)停止。

針對(duì)x方向的邊界條件定義為三種：

簡(jiǎn)支邊界：W_x＝0,M_xx＝0；

夾緊邊界：W_x＝0,

自由邊界：V_xz＝0,M_xx＝0,M_xy＝0；

其中力矩

經(jīng)過計(jì)算后得到如下的計(jì)算用邊界條件：

簡(jiǎn)支邊界：W_x＝0,

夾緊邊界：W_x＝0,

自由邊界：

針對(duì)y方向的邊界條件定義為三種：

簡(jiǎn)支邊界：W_y＝0,M_yy＝0；

夾緊邊界：W_y＝0,

自由邊界：V_yz＝0,M_yy＝0,M_xy＝0；

其中力矩

經(jīng)過計(jì)算后得到如下的計(jì)算用邊界條件：

簡(jiǎn)支邊界：W_y＝0,

夾緊邊界：W_y＝0,

自由邊界：

采用不同方向相互迭代計(jì)算振動(dòng)頻率和振型函數(shù)的具體步驟如下

2-1)設(shè)定y(或者x)向?yàn)榈趍階模態(tài)，根據(jù)y(或者x)向邊界條件選擇相應(yīng)自由振動(dòng)梁的模態(tài)函數(shù)作為y(或者x)向的模態(tài)函數(shù)；

2-2)利用給定的y(或者x)向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到x(或者y)向的常微分方程組Ⅰ(或者Ⅱ)，根據(jù)常微分方程特征值的情況確定x(或者y)向模態(tài)函數(shù)的形式，根據(jù)邊界條件建立以模態(tài)函數(shù)未知系數(shù)為變量的線性方程組，對(duì)線性方程組6×6系數(shù)矩陣行列式值為0的非線性方程進(jìn)行優(yōu)化求解，得到頻率值w_x,再利用w_x代入線性方程組進(jìn)行求解得到模態(tài)函數(shù)系數(shù)，從而得到x(或者y)向的模態(tài)函數(shù)；

2-3)利用步驟2-2中計(jì)算得到的x(或者y)向的模態(tài)函數(shù)，計(jì)算得到y(tǒng)(或者x)向的常微分方程組Ⅱ(或者Ⅰ)，根據(jù)常微分方程特征值的情況確定y(或者x)向模態(tài)函數(shù)的形式，根據(jù)邊界條件建立以模態(tài)函數(shù)未知系數(shù)為變量的線性方程組，利用系數(shù)矩陣的行列式為0進(jìn)行優(yōu)化求解得到頻率值w_y，再利用w_y代入線性方程組進(jìn)行求解得到模態(tài)函數(shù)系數(shù)，從而得到y(tǒng)(或者x)向的模態(tài)函數(shù)；

2-4)比較步驟2-2和2-3得到的頻率值的大小，如果滿足|w_x-w_y|≤ε，則退出迭代，ε為誤差值，取值為0.0001；如果不滿足條件，則將步驟2-3中得到的y向或者x向的模態(tài)函數(shù)作為給定的步驟2-2中模態(tài)函數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算。

所述步驟2-2中，基于已知y向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到頻率值w_x和x向的模態(tài)函數(shù)方法如下：

根據(jù)常微分方程組Ⅰ，令表示微分算子d/dx，則有如下的式子：

展開式(3)中的行列式得到如下的方程:

其中ψ＝w_x,or

d₁＝a₃+b₃+c₃-b₁c₁-a₁c₂；

d₂＝a₃b₃+a₃c₃+b₃c₃+a₂b₁c₂+a₁b₂c₁-a₃b₁c₁-a₂b₂-a₁b₃c₂；

d₃＝a₃b₃c₃-a₂b₂c₃；

將試驗(yàn)解ψ＝e^λ代入方程(4)，由于D表示微分算子，可產(chǎn)生如下的方程：

λ⁶+d₁λ⁴+d₂λ²+d₃＝0 (5)

令μ＝λ²，則

μ³+d₁μ²+d₂μ+d₃＝0 (6)

令判別式Δ＝18d₁d₂d₃-4d₁³d₃+d₁²d₂²-4d₂³-27d₃²，

定義w_x(x)與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值δ₁,δ₂,δ₃，與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值γ₁,γ₂,γ₃如下

其中i＝1,2,3，k為調(diào)節(jié)系數(shù)，為展開式用到的正弦函數(shù)頻率值，根據(jù)展開式不同的項(xiàng)來進(jìn)行取整數(shù)值，m＝1,2,…,∞；r_i為根據(jù)式(6)的解計(jì)算得到的值；根據(jù)判別式的符號(hào)以及式(6)中解μ₁,μ₂,μ₃的情形得到如下10種x向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)形式：

(1)判別式小于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_x(x)＝-δ₁B₂cosh(r₁x)-δ₁B₁sinh(r₁x)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)x)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)x)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)x)-δ₃B₅sin(Im(r₂)x)

(2)判別式小于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

令r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_x(x)＝-δ₁B₂cos(r₁x)-δ₁B₁sin(r₁x)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)x)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)x)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)x)-δ₃B₅sin(Im(r₂)x)

(3)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

令

(4)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(5)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(6)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(7)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(8)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(9)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(10)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

將得到的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式代入邊界條件，整理以后得到如下形式的方程組：

其中表示線性方程組系數(shù)矩陣，A₁₁～A₆₆表示對(duì)應(yīng)位置的系數(shù)值；令采用matlab中的非線性優(yōu)化函數(shù)fsolve進(jìn)行求解得到ω_x，再將ω_x代入式(7)中得到線性方程組，對(duì)線性方程組求解得到B₁,B₂,…,B₆的值，從而得到x向的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式。

所述步驟2-3中基于已知x向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到頻率值w_y和y向模態(tài)函數(shù)方法如下：

根據(jù)常微分方程組Ⅱ，令表示微分算子d/dy，則有如下的式子：

展開式(8)中的行列式得到如下的方程:

其中ψ＝w_y,or

j₁＝e₃+f₃+g₃-e₁f₂-g₁f₁；

j₂＝g₃f₃+e₃g₃+e₃f₃+e₁f₁g₂+e₂f₂g₁-e₃g₁f₁-e₂g₂

j₃＝e₃g₃f₃-e₂g₂f₃-e₁g₃f₂；

將試驗(yàn)解ψ＝e^λ代入方程(9)，由于表示微分算子，則產(chǎn)生如下的方程：

λ⁶+j₁λ⁴+j₂λ²+j₃＝0 (10)

令μ＝λ²，則

μ³+j₁μ²+j₂μ+j₃＝0 (11)

令判別式Δ＝18j₁j₂j₃-4j₁³j₃+j₁²j₂²-4j₂³-27j₃²，

定義w_y(y)與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值仍表示為δ₁,δ₂,δ₃，與函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)關(guān)系數(shù)值仍表示為γ₁,γ₂,γ₃如下

其中i＝1,2,3，k為調(diào)節(jié)系數(shù)，為展開式用到的正弦函數(shù)頻率值，根據(jù)展開式不同的項(xiàng)來進(jìn)行取整數(shù)值，m＝1,2,…,∞；r_i為根據(jù)式(11)的解計(jì)算得到的值；根據(jù)判別式的符號(hào)以及式(11)中解μ₁,μ₂,μ₃的情形得到如下10種y向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)形式：

(11)判別式小于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_y(y)＝-δ₁B₂cosh(r₁y)-δ₁B₁sinh(r₁y)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)y)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)y)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)y)-δ₃B₅sin(Im(r₂)y)

(12)判別式小于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂,μ₃：共軛復(fù)根

令r₂,r₃為共軛復(fù)數(shù)，Re表示實(shí)部，Im表示虛部；

w_y(y)＝-δ₁B₂cos(r₁y)-δ₁B₁sin(r₁y)-δ₂B₄cosh(Re(r₂)y)-δ₂B₃sinh(Re(r₂)y)

-δ₃B₆cos(Im(r₂)y)-δ₃B₅sin(Im(r₂)y)

(13)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

令

(14)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(15)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(16)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(17)判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(18)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

(19)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃>0：實(shí)根

(20)判別式大于0，μ₁<0：實(shí)根，μ₂<0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

將得到的表達(dá)式代入邊界條件，整理以后得到如下形式的方程組：

令采用matlab中的非線性優(yōu)化函數(shù)fsolve進(jìn)行求解得到ω_y再將ω_y代入方程(12)中得到線性方程組，對(duì)線性方程組求解得到B₁,B₂,…,B₆的值，從而得到y(tǒng)向的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式。

步驟三：利用最終得到的兩個(gè)方向的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行疊加得到矩形板振動(dòng)模態(tài)。

具體實(shí)例選擇鋁合金矩形板作為計(jì)算對(duì)象，具體的參數(shù)如下：

板長(zhǎng)a＝1m，板寬b＝1m，板厚h＝0.1m,板材料密度ρ＝2700kg/m³，楊氏模量E＝70×10⁹N/m²,泊松比v＝0.3，調(diào)節(jié)系數(shù)k＝5/6，D＝6.4103×10⁶,G＝2.6923×10¹⁰。

邊界條件設(shè)定為y向均為簡(jiǎn)支邊界條件，x向也為簡(jiǎn)支邊界條件。已知y向第一階模態(tài)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，需要求解x向一階模態(tài)函數(shù)。

本發(fā)明的矩形板振動(dòng)模態(tài)計(jì)算方法，具體包括如下步驟：

步驟一：建立如圖2坐標(biāo)系，采用變分法和變量分離方法計(jì)算得到如下的兩個(gè)方程組：

步驟二：確定矩形板兩個(gè)方向的邊界條件，在預(yù)設(shè)定的模態(tài)階數(shù)下采用不同方向相互迭代來計(jì)算振動(dòng)頻率和振型，直至兩個(gè)方向計(jì)算得到的振動(dòng)頻率誤差在某個(gè)指定范圍時(shí)停止。具體步驟如下：

(Ⅰ)設(shè)定y(或者x)向?yàn)榈趍階模態(tài)，根據(jù)y(或者x)向邊界條件選擇相應(yīng)自由振動(dòng)梁的模態(tài)函數(shù)作為y(或者x)向的模態(tài)函數(shù)；

如圖所示，圖3中模態(tài)函數(shù)為先確定矩形板y向的邊界條件為簡(jiǎn)支時(shí)得到的板帶y向振動(dòng)第一階模態(tài)函數(shù)及其前兩階導(dǎo)數(shù)。

(Ⅱ)利用給定的y(或者x)向模態(tài)函數(shù)計(jì)算得到x(或者y)向的常微分方程組(Ⅰ)(或者(Ⅱ))，根據(jù)常微分方程特征值的情況確定x(或者y)向模態(tài)函數(shù)的形式，根據(jù)邊界條件建立以模態(tài)函數(shù)未知系數(shù)為變量的線性方程組，對(duì)線性方程組6×6系數(shù)矩陣行列式值為0的非線性方程進(jìn)行優(yōu)化求解，得到頻率值w_x,再利用w_x代入線性方程組進(jìn)行求解得到模態(tài)函數(shù)系數(shù)，從而得到x(或者y)向的模態(tài)函數(shù)。

則在優(yōu)化時(shí)輸入初始值20hz時(shí)，得到如下的公式計(jì)算。

(D⁶+d₁D⁴+d₂D²+d₃)ψ＝0

其中ψ＝w_x,or

d₁＝a₃+b₃+c₃-b₁c₁-a₁c₂；

d₂＝a₃b₃+a₃c₃+b₃c₃+a₂b₁c₂+a₁b₂c₁-a₃b₁c₁-a₂b₂-a₁b₃c₂；

d₃＝a₃b₃c₃-a₂b₂c₃。

其中d₁＝-1027.4，d₂＝18284.5，d₃＝281500；

用e^λ代入(D⁶+d₁D⁴+d₂D²+d₃)ψ＝0產(chǎn)生如下的方程：

λ⁶+d₁λ⁴+d₂λ²+d₃＝0

令μ＝λ²，則

μ³+d₁μ²+d₂μ+d₃＝0

則判別式Δ＝18d₁d₂d₃-4d₁³d₃+d₁²d₂²-4d₂³-27d₃²>0，

此時(shí)特征根分別為：

μ₁＝1009,μ₂＝28.2672，μ₃＝-9.8696

由于判別式大于0，μ₁>0：實(shí)根，μ₂>0：實(shí)根，μ₃<0：實(shí)根

其中模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為：

其中δ₁＝0,δ₂＝0.1780,δ₃＝0.3174，γ₁＝10.1111,γ₂＝0.0989,γ₃＝0.8951。

將得到的表達(dá)式代入邊界條件，整理以后得到如下形式的方程組：

令

采用matlab中的非線性優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行求解得到ω_x。

再將ω_x代入式(3)到線性方程組，對(duì)線性方程組求解得到B₁,B₂,…,B₆的值，從而得到x向的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式。具體的歸一化后的x向幅值、繞x軸轉(zhuǎn)角、繞y軸轉(zhuǎn)角的第一階模態(tài)如圖4-6所示。

(Ⅲ)利用步驟(Ⅱ)中計(jì)算得到的x(或者y)的模態(tài)函數(shù)，計(jì)算得到y(tǒng)(或者x)向的常微分方程組(Ⅱ)(或者(Ⅰ))，根據(jù)常微分方程特征值的情況確定y(或者x)向模態(tài)函數(shù)的形式，根據(jù)邊界條件建立以模態(tài)函數(shù)未知系數(shù)為變量的線性方程組，利用系數(shù)矩陣的行列式為0進(jìn)行優(yōu)化求解得到頻率值w_y，再利用w_y代入線性方程組進(jìn)行求解得到模態(tài)函數(shù)系數(shù)，從而得到y(tǒng)(或者x)向的模態(tài)函數(shù)。

按照如(Ⅱ)中相同步驟進(jìn)行計(jì)算得到y(tǒng)向一階模態(tài)函數(shù)如圖7-9所示。

(Ⅳ)比較步驟(Ⅱ)和(Ⅲ)得到的頻率值的大小，如果滿足|w_x-w_y|≤ε(ε為誤差值，取0.0001)，則退出迭代。如果不滿足條件，則將步驟(Ⅲ)中得到的y(或者x)向的模態(tài)函數(shù)作為給定的步驟(Ⅱ)模態(tài)函數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算。

步驟三：利用最終得到的兩個(gè)方向的一階振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行疊加得到矩形板振動(dòng)模態(tài)，如圖10-12所示。