本發(fā)明涉及一種測量控制技術(shù)，特別涉及一種滾珠絲杠等效抗扭、抗拉及抗彎剛度的計(jì)算方法。

背景技術(shù)：

滾珠絲杠是工業(yè)中常見的一種傳動(dòng)設(shè)備，被廣泛應(yīng)用于各類場合。滾珠絲杠優(yōu)點(diǎn)很多，其系統(tǒng)為點(diǎn)接觸系統(tǒng)，工作中摩擦阻力小，靈敏度高，傳動(dòng)效率高，精度高，運(yùn)動(dòng)具有可逆性。剛度作為絲杠的一個(gè)重要的性能參數(shù)，在對絲杠進(jìn)行研究和測控時(shí)起到重要的作用。絲杠的抗拉剛度可以根據(jù)國標(biāo)gb-t17587.4-2008進(jìn)行求得，但國標(biāo)中忽略了絲杠內(nèi)徑、導(dǎo)程和線數(shù)對剛度的影響，計(jì)算結(jié)果存在偏差，且并未提及絲杠抗扭和抗彎剛度的計(jì)算方式，仍有待補(bǔ)充。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明是針對現(xiàn)在滾珠絲杠參數(shù)剛度計(jì)算存在的問題，提出了一種滾珠絲杠等效抗扭、抗拉及抗彎剛度的計(jì)算方法，該方法考察了單線絲杠的截面，并引入尺寸效應(yīng)系數(shù)這一概念。借助有限元仿真計(jì)算大量絲杠樣本，建立起尺寸效應(yīng)系數(shù)與絲杠參數(shù)之間的關(guān)系。并引入剛度削減量和修正后的二維對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，通過疊加原理最終計(jì)算出絲杠的等效剛度。本發(fā)明提供的絲杠剛度的計(jì)算公式，其計(jì)算結(jié)果更精確，適用性更廣，將為絲杠的控制、動(dòng)力學(xué)和熱學(xué)及安裝一致性研究提供了基礎(chǔ)。

本發(fā)明的技術(shù)方案為：一種滾珠絲杠等效抗扭、抗拉及抗彎剛度的計(jì)算方法，首先考察單線絲杠，計(jì)算出與單線絲杠截面相同的等截面梁的抗扭、抗拉剛度，此截面為垂直于絲杠軸線的截面；通過有限元方法計(jì)算不同單線絲杠樣本的等效抗扭剛度與等效抗拉剛度，并根據(jù)算出與單線絲杠樣本截面相同的等截面梁剛度的抗扭剛度與抗拉剛度，定義所得等截面梁剛度除以等效剛度為單線絲杠樣本的尺寸效應(yīng)系數(shù)；再通過引入二維對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)對尺寸效應(yīng)系數(shù)進(jìn)行擬合，得到尺寸效應(yīng)系數(shù)表達(dá)式；結(jié)合等截面梁的抗扭、抗拉剛度和尺寸效應(yīng)系數(shù)表達(dá)式得到單線絲杠的等效抗扭、抗拉及抗彎剛度。

所述計(jì)算出與單線絲杠截面相同的等截面梁的抗扭、抗拉剛度具體步驟如下：

對與單線絲杠截面相同的等截面梁，將截面按扇形和缺月牙形分割成區(qū)域i和區(qū)域ii兩個(gè)面，計(jì)算與單線滾珠絲杠截面相同的等截面梁的抗扭及抗拉剛度：

其中g(shù)(iρ)為等截面梁的抗扭剛度，e(a)為等截面梁的抗拉剛度，g為絲杠材料的剪切模量，e為絲杠材料的彈性模量，iⅰ是區(qū)域i的極慣性矩，iⅱ是區(qū)域ii的極慣性矩，aⅰ是區(qū)域i的面積，aⅱ是區(qū)域ii的面積，

iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的計(jì)算公式為：

其中：

c1-c5和βmax是為了簡化iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的計(jì)算公式所引入的量，其中d1為絲杠外徑，d2為絲杠內(nèi)徑，dg為絲杠溝槽直徑，計(jì)算中取滾珠直徑的1.08倍，ph為絲杠的導(dǎo)程，等于絲杠的線數(shù)與節(jié)距的乘積，α為絲杠的螺紋升角。

所述引入二維對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)對尺寸效應(yīng)系數(shù)進(jìn)行擬合，給定抗扭剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)表達(dá)式：

給定抗拉剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)表達(dá)式：

其中dw為絲杠的滾珠直徑，

ai,bi,ci,di,ei,fi為抗扭剛度尺寸效應(yīng)系數(shù)的待擬合系數(shù)，

aa,ba,ca,da,ea,fa為抗拉剛度尺寸效應(yīng)系數(shù)的待擬合系數(shù)，

通過非線性擬合方法對計(jì)算絲杠樣本得到的尺寸效應(yīng)系數(shù)進(jìn)行擬合得到。

所得到單線絲杠的等效剛度計(jì)算公式如下：

g(iρ)s＝g(iρ)÷f

e(a)s＝e(a)÷g

g(iρ)s為單線絲杠等效抗扭剛度，e(a)s為單線絲杠等效抗拉剛度，e(iz)s為單線絲杠的等效抗彎剛度，g(iρ)為單線絲杠對應(yīng)的等截面梁的抗扭剛度，e(a)為單線絲杠對應(yīng)的等截面梁的抗拉剛度。

所述滾珠絲杠等效抗扭、抗拉及抗彎剛度的計(jì)算方法，對滾珠絲杠線數(shù)不為1的或通孔的滾珠絲杠等效抗扭、抗拉及抗彎剛度的計(jì)算方法為：

首先，計(jì)算出絲杠單線時(shí)相對于等外徑圓柱體，其溝槽引起的剛度削減量；若絲杠通孔，則另須計(jì)算出通孔部分造成的剛度削減量；其中，絲杠單線時(shí)相對于等外徑圓柱體,溝槽引起的剛度削減量為：

δa為溝槽引起的抗扭剛度削減量，δb為溝槽引起的抗拉剛度削減量。

通孔部分對絲杠造成的剛度削減量為：

δc為通孔部分造成的抗扭剛度削減量，δd為通孔部分造成的抗拉剛度削減量，d3為絲杠通孔部分孔徑；

然后，在內(nèi)徑、外徑、溝槽直徑和導(dǎo)程相同的情況下，溝槽造成的剛度削減正比與溝槽數(shù)量之比，溝槽數(shù)量與線數(shù)相等，根據(jù)疊加原理計(jì)算得到絲杠的等效剛度：

g(iρ)eq為絲杠等效抗扭剛度，e(a)eq為絲杠等效抗拉剛度，e(iz)eq為絲杠等效抗彎剛度，n為絲杠線數(shù)。

本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明滾珠絲杠等效抗扭、抗拉及抗彎剛度的計(jì)算方法，相對現(xiàn)有的計(jì)算方法，與國家標(biāo)準(zhǔn)及其他現(xiàn)有方法相比，優(yōu)點(diǎn)在于：該方法將決定絲杠截面形狀的所有幾何參數(shù)包括外徑、內(nèi)徑、滾珠直徑、導(dǎo)程和線數(shù)均納入考慮范圍，計(jì)算得到的結(jié)果更為精確，且適用性更強(qiáng)。將為絲杠的控制、動(dòng)力學(xué)和熱學(xué)及安裝一致性研究提供了基礎(chǔ)。

附圖說明

圖1為單線絲杠的截面圖；

圖2為單線滾珠絲杠圖；

圖3為與圖2其截面相同的等截面梁圖；

圖4為本發(fā)明單線滾珠絲杠的參數(shù)圖；

圖5為本發(fā)明剛度削減量、圓柱體和單線絲杠的關(guān)系示意圖；

圖6為本發(fā)明雙線中空絲杠疊加原理的示意圖。

具體實(shí)施方式

為了計(jì)算出絲杠的等效剛度，本發(fā)明提供的計(jì)算方案步驟是：

1)、對當(dāng)線數(shù)為1時(shí)的絲杠截面進(jìn)行考察，如圖1所示單線絲杠的截面圖，將截面按扇形和缺月牙形分割成區(qū)域i和區(qū)域ii兩個(gè)面，如圖2和圖3所示單線滾珠絲杠圖及與圖2其截面相同的等截面梁圖，計(jì)算與單線滾珠絲杠截面(截面垂直于絲杠軸線)相同的等截面梁的抗扭及抗拉剛度：

其中g(shù)(iρ)為等截面梁的抗扭剛度，e(a)為等截面梁的抗拉剛度，g為絲杠材料的剪切模量，e為絲杠材料的彈性模量，iⅰ是區(qū)域i的極慣性矩，iⅱ是區(qū)域ii的極慣性矩，aⅰ是區(qū)域i的面積，aⅱ是區(qū)域ii的面積，

iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的計(jì)算公式為：

其中：

c1-c5和βmax是為了簡化iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的計(jì)算公式所引入的量，如圖4為本發(fā)明單線滾珠絲杠的參數(shù)圖，其中d1為絲杠外徑，d2為絲杠內(nèi)徑，dg為絲杠溝槽直徑，計(jì)算中取滾珠直徑的1.08倍，ph為絲杠的導(dǎo)程，等于絲杠的線數(shù)與節(jié)距的乘積，α為絲杠的螺紋升角。

2)、為建立尺寸效應(yīng)系數(shù)與絲杠各個(gè)參數(shù)間的關(guān)系式，并使其具有通用性，通過有限元方法計(jì)算不同絲杠樣本的等效抗扭剛度g(iρ)s與等效抗拉剛度e(a)s，并根據(jù)步驟1)算出與這些絲杠截面相同的等截面梁剛度g(iρ)與e(a)，通過下式得到這些樣本的尺寸效應(yīng)系數(shù)：

f＝g(iρ)÷g(iρ)s

g＝e(a)÷e(a)s

觀察樣本發(fā)現(xiàn)尺寸效應(yīng)系數(shù)與絲杠各參數(shù)之間的關(guān)系接近二維對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。在已有的二維對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)公式上，對其進(jìn)行修正使其更接近尺寸效應(yīng)系數(shù)的分布規(guī)律。根據(jù)修正后的概率密度公式給定抗扭剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)表達(dá)式：

再給定抗拉剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)表達(dá)式：

dw為絲杠的滾珠直徑，

ai,bi,ci,di,ei,fi為抗扭剛度尺寸效應(yīng)系數(shù)的待定系數(shù)，

aa,ba,ca,da,ea,fa為抗拉剛度尺寸效應(yīng)系數(shù)的待定系數(shù)，

通過非線性擬合方法對計(jì)算絲杠樣本得到的尺寸效應(yīng)系數(shù)進(jìn)行擬合，得到了公式中各待定系數(shù)的值：

ai＝1.9515,bi＝0.8500,ci＝-2.6317,di＝0.5937,ei＝-1.5181,fi＝1.0694，

aa＝1.2576,ba＝0.1117,ca＝-2.8640,da＝0.4280,ea＝-1.2404,fa＝1.0535

這些待定系數(shù)的值會(huì)隨樣本數(shù)量的增減而變化，樣本越多，擬合得到的公式計(jì)算結(jié)果越精確。

3)、將需進(jìn)行剛度計(jì)算的絲杠幾何參數(shù)分別代入步驟1)的等截面梁剛度計(jì)算公式以及步驟2)通過擬合得到的尺寸效應(yīng)系數(shù)公式，再折算出絲杠單線時(shí)的等效抗扭和抗拉剛度。

絲杠單線時(shí)的等效剛度計(jì)算公式如下：

g(iρ)s＝g(iρ)÷f

e(a)s＝e(a)÷g

g(iρ)s為絲杠單線時(shí)的等效抗扭剛度，e(a)s為絲杠單線時(shí)的等效抗拉剛度。

4)、若滾珠絲杠線數(shù)不為1，須計(jì)算出絲杠單線時(shí)相對于等外徑圓柱體，其溝槽引起的剛度削減量；若絲杠通孔，則另須計(jì)算出通孔部分造成的剛度削減量；其中，絲杠單線時(shí)相對于等外徑圓柱體,溝槽引起的剛度削減量為：

δa為溝槽引起的抗扭剛度削減量，δb為溝槽引起的抗拉剛度削減量。

通孔部分對絲杠造成的剛度削減量為：

δc為通孔部分造成的抗扭剛度削減量，δd為通孔部分造成的抗拉剛度削減量，d3為絲杠通孔部分孔徑。

5)、在內(nèi)徑、外徑、溝槽直徑和導(dǎo)程相同的情況下，單線絲杠溝槽與多線絲杠溝槽形狀完全一致，只存在數(shù)量上的區(qū)別，因此溝槽造成的剛度削減正比與溝槽數(shù)量之比，溝槽數(shù)量與線數(shù)相等。根據(jù)步驟4)可以得到溝槽與通孔造成的剛度削減量，之后可根據(jù)疊加原理:線性系統(tǒng)中，幾種不同原因綜合產(chǎn)生的效果，等于這些不同原因單獨(dú)影響的累加，從等外徑圓柱體的剛度中減去溝槽和通孔引起的剛度削減量，計(jì)算得到絲杠的等效剛度：

g(iρ)eq為絲杠等效抗扭剛度，e(a)eq為絲杠等效抗拉剛度，e(iz)eq為絲杠等效抗彎剛度，n為絲杠線數(shù)。

假設(shè)有一根絲杠，其參數(shù)為：線數(shù)n＝2，節(jié)距p＝0.02m，外徑d1＝0.04m，內(nèi)徑d2＝0.0349m，滾珠直徑dw＝0.007m，中間通有一直徑d3＝0.008m的孔。絲杠材料的彈性模量e＝2.06×10¹¹pa，泊松比μ＝0.3。通過以上參數(shù)，可以換算出絲杠的導(dǎo)程ph＝0.04m，剪切模量g＝0.7923×10¹¹pa。

將上述參數(shù)代入到步驟1中的表達(dá)式可以得到等截面梁的抗扭和抗拉剛度分別為：

g(iρ)＝18732.7nm/rad

e(a)＝2.50348×10⁸n/m

根據(jù)絲杠的參數(shù)和步驟2)中的的尺寸效應(yīng)系數(shù)公式，可以得到絲杠尺寸效應(yīng)系數(shù)的值為：

f＝1.03108

g＝1.04572

再計(jì)算絲杠單線時(shí)的等效剛度，可得：

g(iρ)s＝18168nm/rad

e(a)s＝2.39404×10⁸n/m

參考圖2、3所示單線滾珠絲杠圖及其截面相同的等截面梁圖，根據(jù)步驟4)和圖5可得到單線絲杠相對于等外徑圓柱體，其溝槽引起的剛度削減量，分別為：

由于絲杠中心通孔，考慮通孔對絲杠的剛度削減量：

最后參考圖6和步驟5)，根據(jù)疊加原理，這跟滾珠絲杠的實(shí)際抗扭剛度和抗拉剛度值為：

由此可繼續(xù)計(jì)算得到滾珠絲杠的實(shí)際抗彎剛度值為：

同種絲杠，采用國標(biāo)計(jì)算結(jié)果可得其抗拉剛度為0.785×10⁸n/m，有限元仿真值為2.135×10⁸n/m，本方法的計(jì)算值為2.095×10⁸n/m，國標(biāo)在忽略內(nèi)徑、導(dǎo)程和線數(shù)的情況下計(jì)算得到的剛度數(shù)值與仿真值相差超過一倍，本方法計(jì)算的值更貼近有限元仿真的數(shù)值，由此可見本方法在剛度計(jì)算上的準(zhǔn)確性。