基于混沌多項式展開的時變可靠性全局靈敏度分析方法
【技術(shù)領(lǐng)域】：
[0001] 本發(fā)明提供一種基于混沌多項式展開的可靠性全局靈敏度分析方法，注重于解決 復雜工程模型的可靠全局靈敏度分析問題，屬于系統(tǒng)優(yōu)化設計與可靠性設計的交叉技術(shù)領(lǐng) 域。 (二)
【背景技術(shù)】：
[0002] 系統(tǒng)可靠性與性能一體化技術(shù)是一項在產(chǎn)品設計過程中考慮故障和環(huán)境擾動，采 用可靠性優(yōu)化和不確定性分析等方法來實現(xiàn)可靠性與性能綜合設計分析的新技術(shù)。由于產(chǎn) 品單元退化機理在時間軸上的發(fā)展及其在不同單元間的傳播，產(chǎn)品性能輸出隨著時間的增 長表現(xiàn)為一個逐漸退化的隨機過程，時變可靠性作為可實時反映系統(tǒng)可靠性及質(zhì)量特性的 指標，逐漸得到一體化分析設計人員的重視。曾聲奎、陳云霞等人對時變可靠性建模仿真技 術(shù)開展了大量的工作。
[0003] 靈敏度分析是在一項產(chǎn)品設計階段研究系統(tǒng)設計變量對產(chǎn)品特性影響的方法。它 包括局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度分析主要考慮由單個設計變量在標稱 值處的線性梯度所引起產(chǎn)品性能變化的比率;而全局靈敏度分析則能夠衡量所有設計變量 的不確定性對產(chǎn)品性能的綜合作用，為設計人員優(yōu)化設計方案提供一種有效手段。1990年， SoboΓ提出一種基于方差的全局靈敏度分析指標(SoboΓ指標），它能夠快速簡便地計算出 設計變量高階交叉影響項，在工程界得到廣泛應用。但是該方法需要利用蒙特卡洛積分，面 對具有復雜耦合關(guān)系和隨機過程的復雜工程模型，計算負擔很大。后來Saltelli、呂震宙等 人將Sobol'指標向可靠性領(lǐng)域進行擴展，但是為獲得某些小失效概率的結(jié)果，往往也需要 大量蒙特卡洛仿真作為支撐，進一步增加了計算成本?；旒兌囗検秸归_(Polynomial chaos expanse，PCE)采用相互正交的多項式作為基底，它將系統(tǒng)性能輸出投影到概率空間，用標 準隨機變量來表示設計變量不確定性，從而建立起產(chǎn)品性能與設計變量之間關(guān)系的代理模 型，具有較高的精度且較小的計算量。2007年，Bruno Sudret首次提出將PCE按照Sobol'分 解、重組，然后利用重組后的PCE系數(shù)直接求解Sobol'指標，引起學術(shù)界和工程界的廣泛關(guān) 注。但是這些研究的對象沒有涉及產(chǎn)品的退化過程，不能反映產(chǎn)品在整個壽命周期內(nèi)的真 實情況。
[0004] 如果能提供一種針對時變可靠性靈敏度分析方法，即使對于復雜工程模型，也能 就其退化過程進行高效、精確的分析，將顯著地提高靈敏度分析的工程實用性，擴大其應用 范圍。 (三)

【發(fā)明內(nèi)容】
：
[0005] (1)目的：
[0006] 針對上述問題，本發(fā)明提出了一種基于混沌多項式展開的時變可靠性全局靈敏度 分析方法，為可靠性與性能一體化設計提供一種客觀、合理的分析技術(shù)手段。
[0007] (2)技術(shù)方案：
[0008] 本發(fā)明是一種基于混沌多項式展開的時變可靠性全局靈敏度分析方法，該方法包 括如下四個步驟：
[0009] 步驟一:根據(jù)PCE與基于故障機理的可靠性與性能一體化仿真模型之間的關(guān)系，計 算產(chǎn)品退化過程中各離散時刻的性能PCE，用來表示性能輸出與關(guān)鍵設計變量的關(guān)系；
[0010] 步驟二:根據(jù)蒙特卡洛抽樣原理，計算各離散時刻的可靠性PCE，用來描述可靠性 與關(guān)鍵設計變量的關(guān)系；
[0011]步驟三:根據(jù)移動最小二乘原理，計算退化過程的時變可靠性PCE，其中，所述的時 變是指PCE系數(shù)隨時間變化；
[0012] 步驟四：在上述時變可靠性PCE的基礎(chǔ)上，計算時變?nèi)朱`敏度的Sobol's指標。
[0013] 其中，在步驟一中所述的"計算產(chǎn)品退化過程中各離散時刻的性能PCE"，其計算步 驟可細分為兩步。
[0014] 步驟1)確定性能PCE的基底和階數(shù)
[0015] 首先根據(jù)關(guān)鍵設計變量的分布類型選擇相應的標準正交基底，如下列表1所示，其 中，標準正交基底是相應標準隨機變量的多項式函數(shù)。注意，當模型設計變量存在多種分布 類型時，只能根據(jù)實際情況選擇一種主要的正交基底形式。然后根據(jù)工程經(jīng)驗確定階數(shù)P， 并分別計算P = k和p = k+l兩種情況下PCE及其相應的誤差估計值，如兩者誤差差別不大，則 可將階數(shù)最終確定為k+Ι，否則再計算k+2，直至相鄰兩階PCE的誤差估計值基本一致，取最 高階PCE作為最終結(jié)果。這里k為大于1的正整數(shù)。
[0016] 表1混沌多項式類型及對應的隨機變量
[0017]
[0018]
[0019] 表中，Hermite表示厄米多項式正交基底，N(0，1)表示均值為0、方差為1的正態(tài)分 布;Legendre表示勒讓德多項式正交基底，U[-l，l]表示上下界分別為1和-1的均勻分布； Laguerre表示拉蓋爾多項式正交基底;Generalized Laguerre表示廣義拉蓋爾多項式正交 基底，F(xiàn) (α+1，1)表示分布參數(shù)為α+l和1的伽馬分布。上述正交基底的具體形式可以通過公 開文獻獲得，這里不再贅述。
[0020] 由此可以得剞時玄111件能綸mV d t)的P CR的一般形忒為，
[0021]
(1)
[0022]式（1)中η是關(guān)鍵設計變量個數(shù);p是PCE展開階數(shù);N為PCE所包含系數(shù)的總個數(shù)，它 由η和ρ來確定，ΒΡ :
[0023]
.(2:).
[0024] {&(，)}=是PCE在各離散時刻t的系數(shù)，
），其 中(厶）是標準正交多項式基底彳i~N(〇，l)，i = l，…，n。
[0025] 步驟2)計算性能PCE的系數(shù)
[0026] 根據(jù)待定系數(shù)個數(shù)N - 1，在比PCE階數(shù)度高一階的標準正交多項式基底的根中選 擇合適數(shù)量的配點鏟=(#,···,〇；)，其中，ξk是PCE基底對應的標準隨機變量的一組樣本點； 然后將配點轉(zhuǎn)化變?yōu)榉抡婺Ｐ偷淖兞枯斎?，并求解系統(tǒng)響應yUk;t)。以Hermit正交基底為 例，由于Hermit正交基底對已的標準隨機變量服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則配點與仿真 模型設計變量輸入之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下列表2所示。
[0027] 表2常見分布與標準正態(tài)分布關(guān)系
[0028]
[0029]
[0030] 其中，
是高斯誤差函數(shù)，y = exp(x)=ex是指數(shù)函數(shù)。
[0031 ]再將配點代入到式(1)中多項式部分，就能得到多組計算樣本
[0032]
,利用多元線性回歸求取系數(shù) k. (，)C，
[0033]即：
[0034]
(3)
[0035] 式中Μ為配點數(shù)目，為保證系數(shù)矩陣的條件數(shù)，樣本數(shù)量要求不小于未知系數(shù)個數(shù) 的兩倍(M2 2Ν)，同時還要增加一種配點為零的選擇方案，并且在布置配點吋，應盡量關(guān)于 原點對稱。
[0036] 按上述步驟不斷重復，獲得各離散時刻的性能PCE。
[0037]
(4) [0038]式中，Mt為離散時刻數(shù)目。
[0039]其中，在步驟二中所述的"計算各離散時刻的可靠性PCE"，其目的是獲得關(guān)鍵設計 變量的分布參數(shù)與產(chǎn)品可靠度之間的關(guān)系。其中，可以認為關(guān)鍵設計變量的分布參數(shù)在取 值范圍內(nèi)的任何取值都是等可能的，即關(guān)鍵設計變量分布參數(shù)在取值范圍內(nèi)服從均勻分 布。根據(jù)表1選擇可靠性PCE的基底為Legendre基底；而可靠性PCE的階數(shù)確定方法與性能 PCE的階數(shù)確定方法相同，但根據(jù)實際經(jīng)驗，一般和性能PCE同階數(shù)。各離散時刻可靠性PCE 的形式為：
[0040]
[0041 ] 式中
）是Legendre正交多項式， k,.⑴CT是可靠性PCE系數(shù)具是可靠性PCE系數(shù)的總個數(shù)。其具體計算步驟如下：
[0042]步驟1)離散時刻可靠性PCE配點設計
[0043] 根據(jù)工程經(jīng)驗，確定關(guān)鍵設計變量的分布參數(shù)的取值范圍。然后將各關(guān)鍵設計變 量的分布參數(shù)水平均劃分為m等，進行隨機搭配，得到可靠性PCE的試驗方案。其中，總試驗 方案數(shù)目M'inf，且，不小于2N。然后將配點映射到區(qū)間[_1，1]上，得到