一種確定累積法建模最小階次的方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種確定累積法建模最小階次的方法，包括設累積回歸模型為：式中為模型參數(shù)估計值；取K＝N+2，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建K階累積和及累積廣義均值；根據(jù)K階累積和，結(jié)合最小二乘原理，構(gòu)建K(>N+1)階累積方程組，并轉(zhuǎn)化成矩陣形式；利用最小二乘原理，將累積正規(guī)方程中的系數(shù)作為數(shù)據(jù)源輸入最小二乘法求解，并得出此時模型的殘余標準差；基于F分部檢驗，對K＝N+2時的模型殘余標準差進行單側(cè)檢驗，相較于K＝N+1時的殘余標準差是否有顯著減小。本發(fā)明可以在提高建模精度的同時，減小算法的復雜度，有效解決了累積法建模中累積階次K的選取問題。
【專利說明】
一種確定累積法建模最小階次的方法
技術領域
[0001 ]本發(fā)明涉及一種確定累積法建模最小階次的方法。
【背景技術】
[0002] 累積法最早是意大利數(shù)學家馬爾奇西在1778年提出，與傳統(tǒng)的最小二乘法相比， 累積法具有簡單、直觀，不直接處理模型的誤差項等特點，其建立的模型可以保證平均誤差 為零，絕對誤差最小，并且建模精度、建模效率相比較傳統(tǒng)的最小二乘法有所改善，近年來 在工程投資預算、建筑材料參數(shù)估計、彈道測量數(shù)據(jù)處理等方面得到了廣泛應用。但該方法 在應用中也存在以下兩個主要問題：（1)普通累積法采用K = N+1的累積階次，其建模精度比 最小二乘法沒有顯著改善；（2)隨著累積階次K的增加，建模精度雖有提高，但計算量增加、 求估計復雜、建模效率下降。
[0003] 如發(fā)明專利（201410310180.3)公開了一種基于黃金分割及累積回歸的機床熱誤 差建模方法和測試系統(tǒng)，其利用黃金分割法尋找出最佳布點區(qū)域，并在主軸熱敏區(qū)域上布 置多個溫度傳感器、主軸端部一個位移傳感器，利用累積法將采集的溫度和位移信號擬合， 所建模型效率和精度均優(yōu)于最小二乘法。
[0004] 但是，上述文獻中只是對累積法的簡單應用，為避免計算量增加和求估計復雜，累 積階次K選取K = N+1，未考慮累積階次K>N+1時的情況，對此本發(fā)明提出了一種確定累積法 建模最小階次的方法。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明的目的在于提供一種在提高建模精度的同時，減小算法的復雜度的確定累 積法建模最小階次的方法。
[0006] 本發(fā)明的技術解決方案是：
[0007] -種確定累積法建模最小階次的方法，包括如下步驟：
[0008] 1)設累積回歸模型為：$二A+A，式中(m)為模型參數(shù) 估計值，（Xji，Xjr_X jn)，j = 1，2·，為η個樣本觀察值，$ ,j=l, 2.. .m為預測值；
[0009] 2)取K>N+1，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建K階累積
累積廣義均值
[0012] 3)根據(jù)K階累積和，結(jié)合最小二乘原理，構(gòu)建K(>N+1)階累積方程組，，使方程數(shù)大 于未知量數(shù)：
[0014] 4)根據(jù)累積廣義均值將累積方程組轉(zhuǎn)化成矩陣形式：
[0016] 5)利用取小 一乘原理，設 A (、）= .，C (.?)=~，...Z 將累積正規(guī) 方程中的系數(shù)作為數(shù)據(jù)源輸入最小二乘法求解，并得出最小二乘正規(guī)方程：
[0018] 6)按矩陣形式求解，則正規(guī)方程解的矩陣表達式為：
[0021]將下式帶入求解，實現(xiàn)建模與參數(shù)估計，并求解出模型殘余標準差：
[0023] 7)基于F分部檢驗，選擇α = 〇. 05的顯著性水平作為評判標準，對Κ>Ν+1時的模型殘 余標準差進行單側(cè)檢驗。相較于Κ = Ν+1時的殘余標準差是否有顯著減小。若沒有，則增加累 積階次Κ直至殘余標準差有顯著減小，此時的Κ即為建模的最小階次。
[0024]本發(fā)明可以在提高建模精度的同時，減小算法的復雜度，有效解決了累積法建模 中累積階次K的選取問題。
【附圖說明】
[0025] 下面結(jié)合附圖對本發(fā)明作進一步詳細說明：
[0026] 圖1是一種確定累積法建模最小階次的方法的工作流程圖；
[0027] 圖2是數(shù)控機床主軸熱誤差測試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖；
[0028]圖3是熱誤差測試結(jié)果折線圖。
[0029] 圖4是Κ = 4時熱誤差累積法建模結(jié)果示意圖。
[0030] 圖5是Κ = 8時熱誤差累積法建模結(jié)果示意圖。
【具體實施方式】
[0031] 為使本發(fā)明的目的、技術方案和優(yōu)點更加清楚明了，下面結(jié)合【具體實施方式】并參 照附圖，對本發(fā)明進一步詳細說明。應該理解，這些描述只是示例性的，而并非要限制本發(fā) 明的范圍。此外，在以下說明中，省略了對公知結(jié)構(gòu)和技術的描述，以避免不必要地混淆本 發(fā)明的概念。
[0032] -種確定累積法建模最小階次的方法，包括如下步驟：
[0033] 1)設累積回歸模型為：f = A+++...+Λ&,式中(m)為模型參數(shù) 估計值，(Xji，Xjr_Xjn)，j = 1，2···πι為η個樣本觀察值，2.. .m為預測值；
[0034] 2)取K>N+1，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建K階累積
累積廣義均值
[0037] 3)根據(jù)Κ階累積和，結(jié)合最小二乘原理，構(gòu)建Κ(>Ν+1)階累積方程組，，使方程數(shù)大 于未知量數(shù)：
[0039] 4)根據(jù)累積廣義均值將累積方程組轉(zhuǎn)化成矩陣形式：
[0041 ] 5)利用最小二乘原理，設UiOi,, ?：店卜~；f(n = )',,將累積正規(guī) 方程中的系數(shù)作為數(shù)據(jù)源輸入最小二乘法求解，并得出最小二乘正規(guī)方程：
[0043] 6)按矩陣形式求解，則正規(guī)方程解的矩陣表達式為：
[0046]將下式帶入求解，實現(xiàn)建模與參數(shù)估計，并求解出模型殘余標準差：
[0048] 7)基于F分部檢驗，選擇α = 〇. 05的顯著性水平作為評判標準，對K>N+1時的模型殘 余標準差進行單側(cè)檢驗。相較于K = N+1時的殘余標準差是否有顯著減小。若沒有，則增加累 積階次K直至殘余標準差有顯著減小，此時的K即為建模的最小階次。
[0049] 具體例：
[0050]選取一臺VMC1060數(shù)控機床為被測對象，測試系統(tǒng)如圖1所示，其中，分布的溫度傳 感器測量機床主軸熱敏區(qū)域內(nèi)溫度信息，而激光位移傳感器測量主軸軸向的變形;上位機 對溫度傳感器及激光位移傳感器同步發(fā)送命令，并將接收的溫度、熱位移信息實時顯示存 儲。測試時，每隔3min采集一次各測點溫度X和熱位移y，共采集43組數(shù)據(jù)。測試結(jié)果如圖2所 不。
[0051 ]確定累積法建模最小累積階次之前，需要確定初始累積階次K和熱誤差樣本容量 m，由于本熱誤差實驗選取兩個熱敏測點進行測試，即熱誤差方程的自變量為溫度X1和溫度 χ2，且各含有43組數(shù)據(jù)，因此有：
[0053]根據(jù)累積法性質(zhì)矩陣X(k)與X具有相同的秩，得ran(X(k))=ranX = 3,所以首先取K = 4(>2+l)，m = 43。然后，對熱誤差樣本的k階累積和進行計算以構(gòu)建出累積矩陣：
[0055] 因此，可構(gòu)建熱誤差正規(guī)方程Y(k)=X(k)i3,在LabVIEW中的運行結(jié)果如圖4所示。 [0056]由程序計算結(jié)果得K = 4(>2+1)時，回歸模型下的殘余標準差〇22,與K = 3( = 2+l) 時，普通累積法的殘余標準差σι2比較，并進行F檢驗，得F = 0.851>F0.95(43，43) =0.591，可 知K = 4時累積法的模型精度有所提高，但并未達到α = 〇. 05的顯著性水平。
[0057] 增大累積階次，使Κ = 5(>2+1)并進行回歸建模，經(jīng)過程序運行可知，Κ = 5時累積法 的模型精度有所提高，但仍未達到α = 〇.05的顯著性水平。
[0058] 故繼續(xù)增大累積階次。直至Κ = 8(>2+1)時，從圖5可以看出，熱誤差累積法模型為y =0 · 00790x1-0 · 00469x2+0 ·00173。經(jīng)過F檢驗可知F = 0 · 589〈F0 · 95(43，43) =0 · 591，即其殘 余標準差的減小已經(jīng)達到了 α = 〇.05的顯著性水平，得到的建模結(jié)果如圖5所示。
[0059] 因此可確定累積法建模最小累積階次Κ = 8(>2+1)。在此累積階次下，建模精度相 較于K = 3(=2+l)時的累積法模型精度有顯著提高，同時保證算法不會過于復雜。
[0060] 應當理解的是，本發(fā)明的上述【具體實施方式】僅僅用于示例性說明或解釋本發(fā)明的 原理，而不構(gòu)成對本發(fā)明的限制。因此，在不偏離本發(fā)明的精神和范圍的情況下所做的任何 修改、等同替換、改進等，均應包含在本發(fā)明的保護范圍之內(nèi)。此外，本發(fā)明所附權利要求旨 在涵蓋落入所附權利要求范圍和邊界、或者這種范圍和邊界的等同形式內(nèi)的全部變化和修 改例。
【主權項】
1. 一種確定累積法建模最小階次的方法，其特征是:包括下列步驟： 步驟1，設累積回歸模型為4 = Λ+Λ L+Λ心+…+Λ A,式中(A，A…/)為模型參數(shù) 估計值，（Xji,Xj2"_Xjn), j = 1,2···ηι為η個樣本觀察值，,j= 1,2...m為預測值； 步驟2，取K>N+1，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建K階累積和1?及累積廣義均值范幻：步驟3,根據(jù)K階累積和，結(jié)合最小二乘原理，構(gòu)建K(>N+1)階累積方程組，使方程數(shù)大于 未知量數(shù)：步驟4,根據(jù)累積廣義均值將累積方程組轉(zhuǎn)化成矩陣形式：步驟5,利用最小二乘原理，將累積正規(guī)方程中的系數(shù)作為數(shù)據(jù)源輸入進行最小二乘法 求解，步驟6，基于F分部檢驗，對K>N+1時的模型殘余標準差進行檢驗，相較于K = N+1時的殘 余標準差是否有顯著減小。若沒有，則增加階次K直至殘余標準差有顯著減小，此時的K即為 建模的最小階次。2. 根據(jù)權利要求1所述的一種確定累積法建模最小階次的方法，其特征是：步驟2中的 累積階次K的最初取值為K = N+2。3. 根據(jù)權利要求2所述的一種確定累積法建模最小階次的方法，其特征是：步驟6中采 用單側(cè)檢驗對K>N+1時的模型殘余標準差進行檢驗，并選擇α = 0.05的顯著性水平作為評判 標準。
【文檔編號】G06F17/50GK105868473SQ201610188144
【公開日】2016年8月17日
【申請日】2016年3月29日
【發(fā)明人】袁江, 周成, 周成一, 高傳耀, 邱自學, 邵建新
【申請人】南通大學, 南通第五機床有限公司