本發(fā)明屬于洪水預(yù)報(bào)領(lǐng)域，更具體地，涉及一種基于廣義第二類貝塔分布(Generalized beta distribution of the second kind，GB2)的洪水頻率分析方法。

背景技術(shù)：

洪水一般用洪水發(fā)生的概率密度定義洪水大小，如20年一遇、50年一遇和百年一遇等。洪水頻率分析的目就是通過頻率曲線的外延，推求T年一遇洪水的設(shè)計(jì)洪水值。如計(jì)算的設(shè)計(jì)洪水值較大，則規(guī)模過大，會(huì)增加投資，造成浪費(fèi)；如計(jì)算的設(shè)計(jì)洪水值較低，則規(guī)模過小，又可能在不利水文條件下導(dǎo)致工程失事造成損失。

因此，開展高精度的洪水頻率分析是水利水電工程設(shè)計(jì)與規(guī)劃的首要問題，選擇合適的頻率分布線型與參數(shù)估計(jì)方法是其重要內(nèi)容。

目前多數(shù)研究?jī)H選取單一的頻率分布線型，如指數(shù)分布(Exponential，EXP)、Weibull分布、Gamma分布、Gumbel分布、廣義極值分布(GEV)、皮爾遜III型分布(P-III)、對(duì)數(shù)皮爾遜III型分布(LP-III)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布(LN)等分布進(jìn)行洪水頻率分析，其設(shè)計(jì)洪水結(jié)果具有較大的不確定性，設(shè)計(jì)洪水值的高估與低估會(huì)導(dǎo)致投資過多或安全風(fēng)險(xiǎn)增大等后果。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)的以上缺陷或改進(jìn)需求，本發(fā)明提供了一種基于廣義第二類貝塔分布(GB2)的洪水頻率分析方法，其目的在于將廣義第二類貝塔分布引入洪水頻率分析中，并依據(jù)分布函數(shù)特點(diǎn)采用最大熵原理實(shí)現(xiàn)分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)，在此基礎(chǔ)上開展基于廣義第二類貝塔分布的設(shè)計(jì)洪水計(jì)算，由此解決現(xiàn)有分析技術(shù)的洪水頻率分析精度不高的技術(shù)問題。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，按照本發(fā)明的一個(gè)方面，提供了一種基于廣義第二類貝塔分布的洪水頻率分析方法，該方法包括以下步驟：

(1)采用年最大取樣方法,采集年最大流量樣本序列；

(2)應(yīng)用廣義第二類貝塔分布建立洪水概率密度模型：

其中，變量x表示年最大洪水流量，f(x)表示流量為x的概率密度；B()為貝塔函數(shù)；r₁、r₂、r₃是形狀參數(shù)，且r₁>0,r₂>0,r₃＞0，r₃決定全局形狀，r₁控制左尾形狀，r₂控制右尾形狀，參數(shù)r₁和r₂共同決定分布的偏態(tài)特性；b為位置參數(shù)，b＞0；

(3)推求基于最大熵原理的廣義第二類貝塔分布的概率密度函數(shù)參數(shù)值，包括以下子步驟：

(31)引入最大熵原理，最大熵原理指出，某一隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)f(x)可通過最大化熵值得到：

其中，g_i(x)為x的函數(shù)；C_i為g_i(x)的期望；

依據(jù)拉格朗日乘子法，f(x)可表示為：

f(x)＝exp(-λ₀-λ₁g₁(x)-λ₂g₂(x)λ_mg_m(x)) (3)

其中：m為約束個(gè)數(shù)；λ_i,i＝0,1,2,...,m為拉格朗日乘子；

(32)基于最大熵原理，廣義第二類貝塔分布約束條件表達(dá)式為：

其中，q為構(gòu)造的約束條件參數(shù)；E為期望；

則廣義第二類貝塔分布的概率密度函數(shù)可構(gòu)造為：

其中，λ₂'為構(gòu)造的拉格朗日乘子；

(33)推導(dǎo)拉格朗日乘子與廣義第二類貝塔分布函數(shù)的約束條件之間關(guān)系，將式(5)帶入到(4a)中可得：

令p＝b^-q、和t＝px^q，則上式可化簡(jiǎn)為：

令則因?yàn)閥(0)＝0且y(∞)＝1，y∈[0,1]，則：

即有下式成立：

同時(shí)，計(jì)算λ₀的另一種方法為：

令隨后對(duì)式(9)、(10)中的λ₁和λ₂分別求導(dǎo)，可得：

式中：為digamma函數(shù)；

則拉格朗日乘子與廣義第二類貝塔分布函數(shù)約束條件之間滿足：

對(duì)式(11)求二階導(dǎo)可得下式：

(34)推導(dǎo)拉格朗日乘子與廣義第二類貝塔分布函數(shù)參數(shù)之間關(guān)系，將式(8)帶入到式(6)中，并與式(1)作比較，則下式成立：

(35)推求廣義第二類貝塔分布函數(shù)參數(shù)與約束條件之間關(guān)系，將式(16)代入式(13)和式(14)中，可得廣義第二類貝塔分布函數(shù)參數(shù)與約束條件之間滿足下式：

式中，var為方差；將步驟(1)中年最大流量樣本序列,即x序列代入公式(17)，求出參數(shù)r₁、r₂、r₃和b；

(4)將參數(shù)r₁、r₂、r₃和b代入公式(1)中，即可得到洪水概率密度函數(shù)，可利用該函數(shù)得到洪水為某一量級(jí)x時(shí)的概率值f(x)；還可利用洪水概 率密度函數(shù)，推求概率f(x)為T年一遇的設(shè)計(jì)洪水值x。

總體而言，通過本發(fā)明所構(gòu)思的以上技術(shù)方案與現(xiàn)有技術(shù)相比，具有以下技術(shù)特征及有益效果：

四參數(shù)的廣義第二類貝塔分布包含了指數(shù)分布、威布爾(Weibull)分布及伽馬(Gamma)分布，具有足夠的靈活性模擬復(fù)雜多變的數(shù)據(jù)集，因此非常適于水文頻率分析。本發(fā)明通過引入廣義第二類beta分布，并利用最大熵原理推求估計(jì)了分布函數(shù)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了精度較高的洪水頻率分析。其擬合效果優(yōu)于水文中的其它常用分布；最大熵原理能夠有效地估計(jì)分布函數(shù)的參數(shù)，得到精度高的洪水頻率分布函數(shù)。

附圖說明

圖1為本發(fā)明方法流程圖；

圖2為本發(fā)明方法擬合的洪水序列邊緣分布圖及概率密度曲線效果圖。

具體實(shí)施方式

為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案及優(yōu)點(diǎn)更加清楚明白，以下結(jié)合附圖及實(shí)施例，對(duì)本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步詳細(xì)說明。應(yīng)當(dāng)理解，此處所描述的具體實(shí)施例僅僅用以解釋本發(fā)明，并不用于限定本發(fā)明。此外，下面所描述的本發(fā)明各個(gè)實(shí)施方式中所涉及到的技術(shù)特征只要彼此之間未構(gòu)成沖突就可以相互組合。

如圖1所示，本發(fā)明包括以下流程：

(1)采用年最大取樣方法,采集年最大流量樣本序列；

(2)應(yīng)用廣義第二類貝塔分布建立洪水概率密度模型：

其中，變量x表示年最大洪水值，f(x)表示流量為x的概率密度；B()為貝塔函數(shù)；r₁、r₂、r₃是形狀參數(shù)，且r₁>0,r₂>0,r₃＞0，r₃決定全局形狀，r₁控制左尾形狀，r₂控制右尾形狀，參數(shù)r₁和r₂共同決定分布的偏態(tài)特性；b為位置 參數(shù)，b＞0；

(3)基于最大熵原理，推導(dǎo)出廣義第二類貝塔分布函數(shù)的參數(shù)計(jì)算公式：

將步驟(1)中采集年最大流量樣本序列數(shù)據(jù)作為序列x，代入以上公式，求出參數(shù)r₁、r₂、r₃和b；

(4)將參數(shù)r₁、r₂、r₃和b代入公式(1)中，得到洪水概率密度函數(shù)，可利用該函數(shù)輸入需預(yù)測(cè)洪水流量x，計(jì)算得到洪水流量達(dá)到x的概率密度f(x)；還可利用洪水概率密度函數(shù)，輸入洪水發(fā)生的概率密度f(x)，計(jì)算發(fā)生該概率下洪水流量x。

實(shí)施例：現(xiàn)利用某流域典型水文站點(diǎn)A、B和C的年最大日流量數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)廣義第二類貝塔分布的模型效果。基于最大熵原理的方法，由A、B和C三個(gè)水文站點(diǎn)的年最大日流量序列求出模型的參數(shù)，表1給出了A、B和C三個(gè)水文站點(diǎn)洪水概率密度函數(shù)的參數(shù)，圖2給出了基于GB2分布的3站年最大洪水序列邊緣分布和概率密度曲線的擬合結(jié)果，結(jié)果顯示GB2分布擬合效果良好，可用于設(shè)計(jì)洪水的計(jì)算。

表1

采用GB2分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布(EXP)、Gamma分布、Gumbel 分布、廣義正態(tài)分布(Generalized normal，GN)、P-III分布、廣義Pareto分布(Generalized Pareto，GP)及Weibull分布等擬合典型水文站C的年最大日流量序列，并基于K-S(Kolmogorov-Smirnov，K-S)檢驗(yàn)法、均方根誤差以及AIC準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)對(duì)各分部的擬合結(jié)果進(jìn)行比較分析，確定擬合最優(yōu)的分布函數(shù)，進(jìn)行洪水頻率分析。

取K-S檢驗(yàn)顯著性水平為α＝0.05，P值大于0.05時(shí)通過檢驗(yàn)，RMSE和AIC值越小說明擬合效果越好，表2給出了各分布K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值、RMSE和AIC值。結(jié)果表明，所有分布均通過了K-S檢驗(yàn)。比較各分部的RMSE和AIC值可知，GB2分布的擬合效果最優(yōu)。

表2

表3給出了基于上述分布函數(shù)計(jì)算的水文站點(diǎn)C的設(shè)計(jì)洪水值。結(jié)果表明，當(dāng)重現(xiàn)期較大時(shí)，各分布計(jì)算結(jié)果差異明顯，考慮到工程設(shè)計(jì)中，低估的設(shè)計(jì)值將大大增加大壩及下游的洪水風(fēng)險(xiǎn)，由表中數(shù)據(jù)比較分析可知GB2的頻率分析結(jié)果更優(yōu)。

表3

以上所述僅為本發(fā)明的較佳實(shí)施例而已，并不用以限制本發(fā)明，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)所作的任何修改、等同替換和改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。