本發(fā)明涉及一種尼曼蝸輪的精確建模方法。

背景技術(shù)：

蝸輪蝸桿傳動(dòng)是一種以緊湊型、大速比為主要特點(diǎn)的傳動(dòng)類型，一級(jí)可以替代多級(jí)圓柱齒輪傳動(dòng)，可以在較小空間內(nèi)布置，在現(xiàn)代工業(yè)中得到廣泛應(yīng)用。蝸輪蝸桿傳動(dòng)包括圓柱蝸桿傳動(dòng)、環(huán)面蝸桿傳動(dòng)及錐蝸桿傳動(dòng)三大類，前者又包括阿基米德圓柱蝸桿傳動(dòng)(ZA)、法向直廓圓柱蝸桿傳動(dòng)(ZN)、漸開線圓柱蝸桿傳動(dòng)(ZI)、錐面包絡(luò)圓柱蝸桿傳動(dòng)(ZK)與圓弧圓柱蝸桿傳動(dòng)(ZC)。

ZC₁型蝸桿傳動(dòng)由德國(guó)尼曼教授發(fā)明(又稱為尼曼蝸桿傳動(dòng))，是一種兩次包絡(luò)的圓柱蝸桿傳動(dòng)：蝸桿齒面由圓弧面砂輪包絡(luò)而成，呈圓弧形凹面形狀；蝸輪齒面由蝸桿包絡(luò)而成，是一種復(fù)雜的空間曲面。尼曼蝸桿傳動(dòng)是凹凸齒廓嚙合，綜合曲率半徑大，有利于形成潤(rùn)滑油膜，蝸輪齒根齒厚較大，抗彎強(qiáng)度高，承載能力大。尼曼蝸桿傳動(dòng)還具有傳動(dòng)精度高、傳動(dòng)效率高、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，另外其蝸桿齒形雖然是由砂輪圓弧面包絡(luò)而成的復(fù)雜空間曲線，但砂輪齒形為簡(jiǎn)單的圓弧形，容易修整，具有良好的加工工藝性。由于上述優(yōu)點(diǎn)，尼曼蝸輪蝸桿作為精密蝸桿傳動(dòng)的代表性產(chǎn)品，目前得到廣泛應(yīng)用，是冶金、礦山、環(huán)保等行業(yè)重型或精密蝸桿傳動(dòng)的主要形式。我國(guó)進(jìn)口的用于大型冶金、環(huán)保等設(shè)備的蝸桿傳動(dòng)大部分是尼曼蝸桿傳動(dòng)。

長(zhǎng)期以來，尼曼蝸輪的加工方式以滾切為主，這種方式主要有以下缺點(diǎn)：首先，蝸輪滾刀的設(shè)計(jì)加工周期長(zhǎng)、成本高，在產(chǎn)品試制、多品種小批量制造中該問題尤其突出；其次，滾切加工屬于范成法加工，蝸輪齒面在滾切后具有范成加工工藝特有的切削痕跡，表面加工質(zhì)量不佳；最后，滾切加工方式下，受制于蝸輪滾刀的設(shè)計(jì)制造，直接對(duì)蝸輪修形比較困難。

隨著五軸數(shù)控機(jī)床及其加工技術(shù)的迅猛發(fā)展，尼曼蝸輪試制以及多品種小批量制造完全可以使用通用五軸數(shù)控機(jī)床加工，刀具可以采用通用、標(biāo)準(zhǔn)的銑刀，相比傳統(tǒng)滾切加工，該方法制造周期短、成本低、柔性程度高。在傳統(tǒng)滾切加工方式下，尼曼蝸輪的三維數(shù)字模型是不需要的；在五軸加工的新方法下，必須建立尼曼蝸輪的三維精確數(shù)字模型，因?yàn)檫@是五軸數(shù)控加工計(jì)算機(jī)輔助編程系統(tǒng)所需要的。

由于尼曼蝸輪齒面的復(fù)雜特性，目前在生產(chǎn)實(shí)踐中，多采用仿真法：在三維軟件中建立較為簡(jiǎn)單的砂輪模型，仿真砂輪磨削包絡(luò)運(yùn)動(dòng)得出蝸桿模型，再用蝸桿模型進(jìn)行滾切仿真，得到蝸輪的滾切曲面，并以此曲面為基礎(chǔ)，重構(gòu)蝸輪的光順齒面。仿真法雖然能得出蝸輪的齒面模型，但是仿真前后需要大量的前期處理與后期曲面重構(gòu)的工作，總體效率偏低，并且模型精度依賴于后期曲面重構(gòu)的方法。

基于齒輪嚙合理論，某些類型齒輪(比如直齒圓柱齒輪)可以直接推導(dǎo)得出解析解的齒面方程。但是在蝸桿傳動(dòng)中，蝸輪齒面方程包含的嚙合方程是三角函數(shù)超越方程，沒有解析解，只能通過數(shù)值解法構(gòu)建蝸輪齒面。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于克服現(xiàn)有技術(shù)中的不足，提供一種尼曼蝸輪的精確建模方法，采用數(shù)值方法直接解算點(diǎn)集從而構(gòu)建蝸輪齒面的光順曲面。

為解決現(xiàn)有技術(shù)問題，本發(fā)明公開了一種尼曼蝸輪的精確建模方法，包括：

設(shè)定蝸輪蝸桿的基本參數(shù)；

建立砂輪的圓環(huán)面方程；

建立砂輪蝸桿的嚙合方程；

建立蝸桿齒面方程；

建立蝸輪蝸桿嚙合方程；

根據(jù)蝸桿齒面方程和蝸輪蝸桿嚙合方程得到接觸點(diǎn)的坐標(biāo)公式，然后利用數(shù)值方法解得接觸點(diǎn)集；

將接觸點(diǎn)集導(dǎo)入三維軟件生成蝸輪實(shí)體。

進(jìn)一步地，建立砂輪圓環(huán)面方程的方法包括：

建立如下坐標(biāo)系：

砂輪的坐標(biāo)系為O_uX_uY_uZ_u，坐標(biāo)原點(diǎn)O_u為砂輪的中心，坐標(biāo)軸Z_u為砂輪的回轉(zhuǎn)軸線，砂輪的圓環(huán)面的圓心為O_u，；

蝸桿的坐標(biāo)系為O₁X₁Y₁Z₁，坐標(biāo)原點(diǎn)O₁為蝸桿的中心，坐標(biāo)軸Z₁為蝸桿的回轉(zhuǎn)軸線；

砂輪與蝸桿的中心距為a₁；

根據(jù)砂輪圓環(huán)面上任意一點(diǎn)P的位置建立在O_uX_uY_uZ_u坐標(biāo)系下的右半圓環(huán)面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝ρcosβ-d；

其中，c＝r_u-ha^*m-ρsinα_n，表示坐標(biāo)軸Z_u與砂輪圓環(huán)面圓心O_u’的徑向距離；d＝ρcosα_n，表示坐標(biāo)軸Z_u與砂輪圓環(huán)面圓心O′_u的軸向距離；r_u為砂輪半徑，m為蝸桿軸向模數(shù)，ha^*為蝸桿齒頂高系數(shù)，ρ為砂輪圓環(huán)的半徑，α_n為蝸桿法向齒形角，β為點(diǎn)O′_uP與坐標(biāo)軸Z_u的夾角，ψ為O_uP與坐標(biāo)軸X_u的夾角；

同理可建立在O_uX_uY_uZ_u坐標(biāo)系下的左半圓環(huán)面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝d-0.6πmcosγ-ρcosβ。

進(jìn)一步地，建立砂輪蝸桿嚙合方程的方法包括：

砂輪相對(duì)蝸桿的速度v_u1在O_uX_uY_uZ_u坐標(biāo)系下的分量公式為：v_u1xu＝ω₁(z₁ sinγ-y_u cosγ)，v_u1yu＝ω₁[(x_u+a₁)cosγ+p sinγ]，v_u1zu＝-ω₁[(x_u+a₁)sinγ-p cosγ]；其中，ω₁為蝸桿的角速度；

根據(jù)砂輪圓環(huán)面方程，求出砂輪圓環(huán)面上任意一點(diǎn)的法向量；

砂輪右半圓環(huán)面上任意一點(diǎn)處的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量公式為：

砂輪左半圓環(huán)面上任意一點(diǎn)處的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量公式為：

將上述公式代入一般形式的嚙合方程得到最終形式的砂輪蝸桿嚙合方程：

砂輪右半圓環(huán)面與蝸桿的嚙合方程最終形式如下：

tanβ＝(a₁-p cotγ-c cosψ)/(d cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

砂輪左半圓環(huán)面與蝸桿的嚙合方程最終形式如下：

tanβ＝(c cosψ-a₁+p cotγ)/(-k cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

其中，k＝d-0.6πmcosγ。

進(jìn)一步地，建立蝸桿齒面方程的方法包括：

將砂輪圓環(huán)面方程轉(zhuǎn)換到蝸桿坐標(biāo)系中并與砂輪蝸桿嚙合方程聯(lián)立得到原始形式的蝸桿齒面方程；轉(zhuǎn)換矩陣為：其中θ為蝸桿齒面上任意一點(diǎn)相對(duì)蝸桿回轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)角；

由砂輪右半圓環(huán)面包絡(luò)出蝸桿齒槽的右齒面方程為：

由砂輪左半圓環(huán)面包絡(luò)出蝸桿齒槽的左齒面方程為：

令齒面方程中z₁為零得到蝸桿端面齒廓曲線方程：

蝸桿齒槽的右齒面端面齒廓曲線方程為：

蝸桿齒槽的左齒面端面齒廓曲線方程為：

由蝸桿端面齒廓曲線做螺旋運(yùn)動(dòng)得到蝸桿齒面在蝸桿坐標(biāo)系下新的簡(jiǎn)便方程：其中η為ψ的函數(shù)，ψ表征蝸桿齒面上點(diǎn)在徑向的位置，ζ表征蝸桿齒面上點(diǎn)在周向的位置。

進(jìn)一步地，建立蝸桿蝸輪嚙合方程的方法包括：

推導(dǎo)蝸桿齒面上任意點(diǎn)處法向量在蝸桿坐標(biāo)系中的表達(dá)公式為：

推導(dǎo)正交嚙合時(shí)，蝸桿相對(duì)蝸輪在蝸桿坐標(biāo)系下的速度表達(dá)公式為：

其中，i₂₁＝ω₂/ω₁＝z₁/z₂，z₁、z₂分別為蝸桿的頭數(shù)和蝸輪齒數(shù)，x₁、y₁、z₁為蝸輪蝸桿嚙合點(diǎn)在蝸桿坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，a₂為蝸桿蝸輪的中心距，為蝸桿轉(zhuǎn)角；

將上述公式代入一般形式的嚙合方程得到蝸桿坐標(biāo)系下的蝸桿蝸輪嚙合方程：

進(jìn)一步地，計(jì)算接觸點(diǎn)集的方法包括：

將蝸桿齒面方程與蝸桿蝸輪嚙合方程聯(lián)立，解得每個(gè)接觸瞬間的蝸桿齒面上接觸點(diǎn)集坐標(biāo)公式為：

其中η為ψ的函數(shù)；

分別對(duì)該坐標(biāo)公式的參數(shù)ζ、ψ的取值范圍進(jìn)行迭代計(jì)算，并進(jìn)一步解得初始位置下蝸桿齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)；

將接觸點(diǎn)集坐標(biāo)將經(jīng)兩次變換后得到蝸輪齒面上的接觸點(diǎn)集坐標(biāo)。

進(jìn)一步地，ψ的取值范圍的計(jì)算方法包括：

a：求解對(duì)應(yīng)蝸桿右齒面齒頂圓上ψ值的步驟如下：

sa1.令ψ＝0.5π；

sa2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

sa3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒頂，輸出ψ_右頂＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ-0.01返回步驟sa2；

b：求解對(duì)應(yīng)蝸桿右齒面齒根圓上的ψ值的步驟如下：

sb1.令ψ＝-0.5π；

sb2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

sb3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒根，輸出ψ_右根＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ+0.01返回步驟sb2。

c：求解對(duì)應(yīng)蝸桿左齒面齒頂圓上ψ值的步驟如下：

sc1.令ψ＝-0.5π；

sc2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

sc3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒頂，輸出ψ_左頂＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ+0.01返回步驟sc2；

d：求解對(duì)應(yīng)蝸桿左齒面齒根圓上ψ值的步驟如下：

sd1.令ψ＝0.5π；

sd2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

sd3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒根，輸出ψ_左根＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ-0.01返回步驟sd2；其中d_a1為蝸桿齒頂圓直徑，d_f1為蝸桿齒根圓直徑。

進(jìn)一步地，的取值范圍的計(jì)算方法包括：

a：求解蝸桿右齒面最大值的步驟如下：

sa1.令ψ＝ψ_右頂，

sa2.令

sa3.令

sa4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sa5.令

sa6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟s7，否則轉(zhuǎn)向步驟sa9；

sa7.令

sa8.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sa3，否則程序結(jié)束；

sa9.令ζ＝ζ+0.0025；

sa10.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟sa5，否則轉(zhuǎn)向步驟sa11；

sa11.令

sa12.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sa3，否則程序結(jié)束；

b：求解蝸桿左齒面最小值的步驟如下：

sb1.令ψ＝ψ_左頂，

sb2.令

sb3.令

sb4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sb5.令

sb6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟sb7，否則轉(zhuǎn)向步驟sb9；

sb7.令

sb8.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sb3，否則程序結(jié)束；

sb9.令ζ＝ζ+0.0025；

sb10.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟sb5，否則轉(zhuǎn)向步驟sb11；

sb11.令

sb12.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sb3，否則程序結(jié)束。

進(jìn)一步地，計(jì)算接觸點(diǎn)集的方法包括：

a：求解蝸桿右齒面包絡(luò)蝸輪左齒面接觸點(diǎn)集的步驟如下：

sa1.令

sa2.令

sa3.令ψ＝ψ_右頂；

sa4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sa5.令

sa6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟sa7，否則轉(zhuǎn)向步驟sa12；

sa7.將r⁽¹⁾，η，ζ代入蝸桿齒面方程可得初始位置下蝸桿齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₁,y₁,z₁)，再將該點(diǎn)依次繞蝸桿回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得初始位置下蝸輪齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₂,y₂,z₂)，輸出(x₂,y₂,z₂)；

sa8.令ζ＝ζ+0.001；

sa9.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟sa3，否則轉(zhuǎn)向步驟sa10；

sa10.令

sa11.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sa2，否則程序結(jié)束；

sa12.令ψ＝ψ-0.00004；

sa13.判斷是否滿足ψ≥-0.0742，如果是則表示ψ迭代還未結(jié)束，返回步驟sa4，否則轉(zhuǎn)向步驟sa14；

sa14.令ζ＝ζ+0.001；

sa15.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟sa3，否則轉(zhuǎn)向步驟sa16；

sa16.

sa17.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sa2，否則程序結(jié)束；

b：求解蝸桿左齒面包絡(luò)蝸輪右齒面接觸點(diǎn)集的步驟如下：

sb1.令

sb2.令

sb3.令ψ＝ψ_左頂；

sb4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sb5.令

sb6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟sb7，否則轉(zhuǎn)向步驟sb12；

sb7.將r⁽¹⁾，η，ζ代入蝸桿齒面方程可得初始位置下蝸桿齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₁,y₁,z₁)，再將該點(diǎn)依次繞蝸桿回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得初始位置下蝸輪齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₂,y₂,z₂)，輸出(x₂,y₂,z₂)；

sb8.令ζ＝ζ+0.001；

sb9.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟sb3，否則轉(zhuǎn)向步驟sb10；

sb10.令

sb11.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟s2，否則程序結(jié)束；

sb12.令ψ＝ψ+0.00004；

s13.判斷是否滿足ψ≤ψ_左根，如果是則表示ψ迭代還未結(jié)束，返回步驟sb4，否則轉(zhuǎn)向步驟sb14；

sb14.令ζ＝ζ+0.001；

sb15.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟sb3，否則轉(zhuǎn)向步驟16；

sb16.

sb17.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟sb2，否則程序結(jié)束。

進(jìn)一步地，根據(jù)初始位置下的蝸輪齒面接觸點(diǎn)集建立蝸輪模型的方法包括：

將初始位置下的蝸輪齒面接觸點(diǎn)集導(dǎo)入三維軟件中，擬合生成光順曲面，并分別延伸與齒根回轉(zhuǎn)面修剪后縫合；

縫合后的曲面再去剪切蝸輪毛坯，得到蝸輪的一個(gè)齒槽；

將齒槽繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)陣列得到完整的尼曼蝸輪三維模型。

本發(fā)明具有的有益效果：基于齒輪嚙合理論，采用數(shù)值方法求解蝸桿蝸輪嚙合方程，得到尼曼蝸輪齒面上的點(diǎn)集，從而構(gòu)建蝸輪的精確光順齒面曲面；相比于仿真建模法，建模費(fèi)時(shí)少、精度高；適當(dāng)修改標(biāo)準(zhǔn)砂輪參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可以快速得到與標(biāo)準(zhǔn)蝸桿失配(即點(diǎn)接觸)的蝸輪模型，為蝸輪修形技術(shù)建立了良好的基礎(chǔ)；本發(fā)明思路可以適用于其它類型圓柱蝸桿副的建模。

附圖說明

圖1為本發(fā)明中砂輪及尼曼蝸桿相對(duì)位置及其坐標(biāo)系示意圖；

圖2為本發(fā)明中蝸桿法向截面內(nèi)的砂輪右半圓環(huán)面磨削蝸桿示意圖；

圖3為本發(fā)明中砂輪圓環(huán)面上任意一點(diǎn)P的位置示意圖；

圖4為本發(fā)明中蝸桿端面齒廓曲線及其螺旋運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系；

圖5為本發(fā)明中蝸桿右齒面齒頂圓上的ψ值的求解流程圖；

圖6為本發(fā)明中蝸桿右齒面齒根圓上的ψ值的求解流程圖；

圖7為本發(fā)明中蝸桿左齒面齒頂圓上的ψ值的求解流程圖；

圖8為本發(fā)明中蝸桿左齒面齒根圓上的ψ值的求解流程圖；

圖9為本發(fā)明中蝸桿右齒面最大值的求解流程圖；

圖10為本發(fā)明中蝸桿左齒面最小值的求解流程圖；

圖11為本發(fā)明中蝸桿右齒面包絡(luò)蝸輪左齒面接觸點(diǎn)的求解流程圖；

圖12為本發(fā)明中蝸桿左齒面包絡(luò)蝸輪右齒面接觸點(diǎn)的求解流程圖；

圖13為本發(fā)明中在三維軟件中建立蝸輪模型的示意圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步描述。以下實(shí)施例僅用于更加清楚地說明本發(fā)明的技術(shù)方案，而不能以此來限制本發(fā)明的保護(hù)范圍。

S1建立方法砂輪的圓環(huán)面方程

S1.1建立如下坐標(biāo)系：

如圖1所示，砂輪的坐標(biāo)系為O_uX_uY_uZ_u，坐標(biāo)原點(diǎn)O_u為砂輪的中心，坐標(biāo)軸Z_u為砂輪的回轉(zhuǎn)軸線，砂輪只做旋轉(zhuǎn)主運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)系是空間固定的。

坐標(biāo)系OXYZ為固定坐標(biāo)系，O_uO是砂輪回轉(zhuǎn)軸與蝸桿軸線的公垂線。

蝸桿的坐標(biāo)系為O₁X₁Y₁Z₁，繞Z軸旋轉(zhuǎn)并同時(shí)沿著Z軸平移pθ，θ為蝸桿旋轉(zhuǎn)角，p為蝸桿旋轉(zhuǎn)單位弧度時(shí)軸向移動(dòng)距離，γ為蝸桿分度圓柱上螺旋線的導(dǎo)程角，a₁為砂輪與蝸桿的中心距；坐標(biāo)原點(diǎn)O₁為蝸桿的中心，坐標(biāo)軸Z₁為蝸桿的回轉(zhuǎn)軸線。

S1.2推導(dǎo)砂輪圓環(huán)面方程：

如圖2所示，砂輪的X_u軸為蝸桿軸、砂輪回轉(zhuǎn)軸的最短距離線，其通過蝸桿分度點(diǎn)M。砂輪的圓環(huán)面的圓心為O′_u，c為砂輪回轉(zhuǎn)軸與砂輪圓弧中心的徑向距離，d為砂輪X_u軸與砂輪圓弧中心的軸向距離，α_n為蝸桿法向齒形角，r_g為蝸桿分度圓半徑，a₁為砂輪軸與蝸桿軸的距離；b為砂輪圓環(huán)中心與蝸桿軸投影線的距離。

如圖3所示，根據(jù)砂輪圓環(huán)面上任意一點(diǎn)P的位置建立在O_uX_uY_uZ_u坐標(biāo)系下的右半圓環(huán)面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝ρcosβ-d；

其中，ψ的取值范圍為[-π/2,π/2]，β的取值范圍為[0,π/2]，c＝r_u-ha^*m-ρsinα_n，d＝ρcosα_n，r_u為砂輪半徑，m為蝸桿軸向模數(shù)，ha^*為蝸桿齒頂高系數(shù)，ρ為砂輪圓環(huán)的半徑，β為點(diǎn)O′_uP與坐標(biāo)軸Z_u的夾角，ψ為O_uP與坐標(biāo)軸X_u的夾角。

類似于上述推導(dǎo)過程，同理可建立在O_uX_uY_uZ_u坐標(biāo)系下的左半圓環(huán)面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝d-0.6πm cosγ-ρcosβ。

S2建立砂輪蝸桿的嚙合方程

S2.1推導(dǎo)砂輪蝸桿相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度：

砂輪相對(duì)蝸桿的速度v_u1在O_uX_uY_uZ_u坐標(biāo)系下的分量為(砂輪左右圓環(huán)面相同)：

其中，ω₁為蝸桿的角速度。

S2.2推導(dǎo)砂輪蝸桿嚙合點(diǎn)的法向量：

根據(jù)S1中的砂輪圓環(huán)面方程，可以根據(jù)微分幾何學(xué)方法求出砂輪圓環(huán)面上任意一點(diǎn)的法向量。

砂輪右半圓環(huán)面上任意一點(diǎn)處的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量為：

砂輪左半圓環(huán)面上任意一點(diǎn)處的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量為：

S2.3砂輪蝸桿的嚙合方程：

根據(jù)嚙合方程的一般形式：將S2.1中的相對(duì)速度公式與S2.2中的法向量公式代入嚙合方程、整理化簡(jiǎn)得到最終的砂輪蝸桿嚙合方程。

砂輪右半圓環(huán)面與蝸桿的嚙合方程最終形式如下：

tanβ＝(a₁-p cotγ-c cosψ)/(d cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

砂輪左半圓環(huán)面與蝸桿的嚙合方程最終形式如下：

tanβ＝(c cosψ-a₁+p cotγ)/(-k cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

其中，k＝d-0.6πmcosγ。

S3建立蝸桿齒面方程

S3.1推導(dǎo)蝸桿齒面方程的原始形式：

將砂輪圓環(huán)面方程轉(zhuǎn)換到蝸桿坐標(biāo)系中并與砂輪蝸桿嚙合方程聯(lián)立得到蝸桿齒面方程的原始形式。

砂輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到蝸桿坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

其中θ為蝸桿齒面上任意一點(diǎn)相對(duì)蝸桿回轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)角(dθ/dt＝ω₁)。

由砂輪右半圓環(huán)面包絡(luò)出蝸桿齒槽的右齒面方程為：

由砂輪左半圓環(huán)面包絡(luò)出蝸桿齒槽的左齒面方程為：

上述蝸桿齒面方程包括了3個(gè)參變量θ、ψ、β，其中β不是獨(dú)立變量，獨(dú)立參變量是θ、ψ。

S3.2原始形式蝸桿齒面方程的轉(zhuǎn)換：

上述原始形式蝸桿齒面方程較為繁瑣，以此來確定蝸桿蝸輪嚙合方程很不方便。注意到蝸桿原始形式齒面方程中z₁的形式較為簡(jiǎn)單，令其為零可得到θ的表達(dá)式，使得θ成為非獨(dú)立變量，該蝸桿齒面方程即轉(zhuǎn)化為蝸桿端面齒廓曲線方程，其獨(dú)立參變量為ψ。以蝸桿端面齒廓曲線方程做螺旋運(yùn)動(dòng)可以得出另一種更簡(jiǎn)潔的蝸桿齒面方程。

蝸桿齒槽的右齒面端面齒廓曲線方程為：

蝸桿齒槽的左齒面端面齒廓曲線方程為：

如圖4所示，O_aX_aY_aZ_a是蝸桿端面齒廓相對(duì)于蝸桿坐標(biāo)系O₁X₁Y₁Z₁做螺旋運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，在初始時(shí)刻二者重合于Z₁＝0處。η是蝸桿端面齒廓上一點(diǎn)的徑矢與X₁軸的夾角，是蝸桿端面齒廓的切線矢量，μ是蝸桿端面齒廓上一點(diǎn)的徑矢與的夾角。

先給出ψ值，可以根據(jù)上述蝸桿端面齒廓曲線方程求出β、θ、x₁、y₁的值，也就可以求得端面齒廓的法向量分量n_{x1_end}、n_{y1_end}，則η＝arctan(y₁/x₁)，蝸桿端面齒廓的徑矢長(zhǎng)度為r⁽¹⁾＝x₁/cosη＝y(tǒng)₁/sinη，μ＝π/2-η+arctan(n_{y1_end}/n_{x1_end})。

O_aX_aY_aZ_a到O₁X₁Y₁Z₁的轉(zhuǎn)換矩陣為：

其中，ζ為蝸桿端面齒廓相對(duì)于蝸桿坐標(biāo)系O₁X₁Y₁Z₁做螺旋運(yùn)動(dòng)的螺旋角。

將蝸桿齒面看成蝸桿端面齒廓曲線做螺旋運(yùn)動(dòng)而成，則蝸桿齒面方程在蝸桿坐標(biāo)系下的方程可表示為比較簡(jiǎn)潔的形式：

其中η為ψ的函數(shù)，從幾何意義上將，ψ表征蝸桿齒面上點(diǎn)在徑向的位置，ζ表征蝸桿齒面上點(diǎn)在周向的位置。

S4建立蝸桿蝸輪嚙合方程

S4.1推導(dǎo)蝸桿齒面法向量：

蝸桿齒面上任意點(diǎn)處的法向量在蝸桿坐標(biāo)系O₁X₁Y₁Z₁中的表達(dá)式為：

S4.2推導(dǎo)蝸桿相對(duì)蝸輪的速度：

對(duì)于正交蝸桿副，蝸桿相對(duì)蝸輪的速度在蝸桿坐標(biāo)系O₁X₁Y₁Z₁中的表達(dá)式為：

其中，i₂₁＝ω₂/ω₁＝z₁/z₂，z₁、z₂分別為蝸桿的頭數(shù)和蝸輪齒數(shù)，x₁、y₁、z₁為蝸輪蝸桿嚙合點(diǎn)在蝸桿坐標(biāo)系O₁X₁Y₁Z₁中的坐標(biāo)，為蝸桿轉(zhuǎn)角，a₂為蝸輪蝸桿的中心距。由于上式右邊乘以ω₁才是相對(duì)速度的真實(shí)值，但在嚙合方程中ω₁可以消去，因此上式中不寫ω₁。

S4.3推導(dǎo)蝸桿蝸輪的嚙合方程：

根據(jù)一般形式的嚙合方程將S4.1中的法矢量公式與S4.2中的相對(duì)速度公式代入嚙合方程中，整理化簡(jiǎn)后得到在蝸桿坐標(biāo)系中的嚙合方程：

其中η和μ均為ψ的函數(shù)，因此該方程獨(dú)立變量為ψ和ζ。

S5計(jì)算接觸點(diǎn)集

S5.1求解單個(gè)嚙合位置下的蝸桿齒面上接觸點(diǎn)集：

將蝸桿齒面方程與蝸桿蝸輪嚙合方程聯(lián)立，解得蝸桿齒面接觸點(diǎn)集的坐標(biāo)：

對(duì)于某一給定的對(duì)應(yīng)于蝸桿齒面上一條接觸線點(diǎn)集，ψ對(duì)應(yīng)這條接觸線點(diǎn)集的徑向位置，ζ對(duì)應(yīng)這條接觸線點(diǎn)集的周向位置。

S5.2求解嚙合過程的蝸桿齒面點(diǎn)集：

蝸輪蝸桿一對(duì)齒從嚙入到嚙出的過程中，取一系列的值，將在蝸桿齒面上對(duì)應(yīng)形成一系列的接觸線點(diǎn)集。為了將蝸桿齒面上的接觸點(diǎn)集變換到蝸輪齒面上，必須先將每個(gè)接觸線點(diǎn)集先繞蝸桿回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)這樣得到的接觸線點(diǎn)集同時(shí)也是嚙合位置下的蝸輪齒面接觸線點(diǎn)集。此嚙合位置即蝸輪從初始位置繞自身旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)了角的位置，因此還需要將上述嚙合位置下的蝸輪齒面接觸線點(diǎn)集反向繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才是初始位置的蝸輪齒面上接觸線點(diǎn)集。

S6生成蝸輪模型

如圖13a至g所示，S6.1將接觸線點(diǎn)集坐標(biāo)導(dǎo)入三維軟件中，擬合生成光順曲面，并分別延伸與齒根回轉(zhuǎn)面修剪后縫合；

S6.2縫合后的面再去剪切蝸輪毛坯，得到蝸輪的一個(gè)齒槽；

S6.3將齒槽繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)陣列得到完整尼曼蝸輪的三維模型。

下面以某五頭尼曼蝸桿副為例具體說明蝸輪的建模步驟。

設(shè)定蝸桿副的各項(xiàng)參數(shù)值

蝸桿的軸向模數(shù)m＝9.5mm，蝸桿頭數(shù)Z₁＝5，蝸輪齒數(shù)Z₂＝24，蝸桿法向齒形角α_n＝23°，蝸桿齒頂高系數(shù)h_a＝0.8947，蝸桿齒根高系數(shù)h_f＝1.16，蝸桿分度圓柱上螺旋線導(dǎo)程角γ＝33.05138889°，砂輪半徑r_u＝150mm，砂輪圓環(huán)面半徑ρ＝54mm，蝸桿直徑系數(shù)p＝Z₁/tanγ＝7.6842，蝸桿分度圓柱直徑d₁＝m*q＝73mm，蝸桿分度圓柱半徑r₁＝d₁/2＝36.5mm，砂輪回轉(zhuǎn)軸線與蝸桿軸線的最短距離a₁＝r_u-h_a*m+r₁＝178mm，砂輪回轉(zhuǎn)軸與砂輪圓環(huán)面中心的徑向距離c＝a₁-(r₁+ρsinα_n)＝120.4mm，砂輪的X_u軸與砂輪圓弧中心的軸向距離d＝ρcosα_n＝49.7073mm，蝸桿左齒面軸向距離偏置量k＝d-0.6πm cosγ＝34.6979mm，蝸桿齒頂圓直徑da₁＝d₁+2h_am＝90mm，蝸桿齒根圓直徑d_f1＝d₁-2h_fm＝50.96mm，蝸桿分度圓柱上螺旋線導(dǎo)程p_z＝πmZ₁＝149.2257mm，蝸桿螺旋線旋轉(zhuǎn)單位弧度時(shí)軸向移動(dòng)距離p＝p_z/(2π)＝23.75mm，蝸輪變位系數(shù)χ＝1，蝸輪蝸桿中心距a₂＝(q+Z₂+2χ)m/2＝160mm，蝸輪與蝸桿轉(zhuǎn)速之比i₂₁＝Z₁/Z₂＝0.2083，蝸桿的一個(gè)齒從嚙入到嚙出過程中蝸桿旋轉(zhuǎn)角度行程(單位為弧度)。

求ψ的精確取值范圍

ψ的粗略取值范圍為[-π/2,π/2]，這個(gè)范圍太大。為了提高計(jì)算效率，必須找出ψ的精確取值范圍。

蝸桿端面齒廓總是貫通蝸桿齒面，終止在蝸桿齒頂圓和蝸桿齒根圓上，ψ作為蝸桿齒面方程的一個(gè)獨(dú)立參變量，與蝸桿端面齒廓曲線上的點(diǎn)有單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于砂輪右半圓環(huán)面包絡(luò)的蝸桿右齒面端面齒廓，位于蝸桿齒頂圓上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ψ值大于位于蝸桿齒根圓上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ψ值；對(duì)于砂輪左半圓環(huán)面包絡(luò)的蝸桿左齒面端面齒廓，位于蝸桿齒頂圓上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ψ值小于位于蝸桿齒根圓上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ψ值。

如圖5所示，求解對(duì)應(yīng)蝸桿右齒面齒頂圓上ψ值的步驟如下：

1.令ψ＝0.5π；

2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒頂，輸出ψ_右頂＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ-0.01返回步驟2。

如圖6所示，求解對(duì)應(yīng)蝸桿右齒面齒根圓上的ψ值的步驟如下：

1.令ψ＝-0.5π；

2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒根，輸出ψ_右根＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ+0.01返回步驟2。

如圖7所示，求解對(duì)應(yīng)蝸桿左齒面齒頂圓上ψ值的步驟如下：

1.令ψ＝-0.5π；

2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒頂，輸出ψ_左頂＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ+0.01返回步驟2。

如圖8所示，求解對(duì)應(yīng)蝸桿左齒面齒根圓上ψ值的步驟如下：

1.令ψ＝0.5π；

2.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出徑矢長(zhǎng)r⁽¹⁾；

3.判斷是否滿足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是則表示ψ對(duì)應(yīng)蝸桿齒根，輸出ψ_左根＝ψ，程序結(jié)束，否則令ψ＝ψ-0.01返回步驟2。

經(jīng)過計(jì)算可得：對(duì)應(yīng)蝸桿右齒面齒頂圓上的ψ值ψ_右頂＝0.1318(弧度單位，下同)，對(duì)應(yīng)蝸桿右齒面齒根圓上的ψ值ψ_右根＝-0.0742，對(duì)應(yīng)蝸桿左齒面齒頂圓上的ψ值ψ_左頂＝-0.1843，對(duì)應(yīng)蝸桿左齒面齒根圓上的ψ值ψ_左根＝0.026。

求取蝸桿旋轉(zhuǎn)角的取值范圍

蝸輪蝸桿一對(duì)齒從嚙入到嚙出過程中蝸桿旋轉(zhuǎn)角的角度行程已知，欲求其取值范圍，只需要知道一個(gè)極值即可。蝸輪蝸桿一對(duì)齒在嚙出時(shí)，蝸桿齒頂上一點(diǎn)與蝸輪齒根部分接觸，因此求嚙出時(shí)的比較方便。在嚙出時(shí)：對(duì)于蝸桿右齒面對(duì)應(yīng)其最大值，對(duì)于蝸桿左齒面對(duì)應(yīng)其最小值。蝸輪蝸桿一對(duì)齒從嚙入到嚙出過程中，對(duì)于蝸桿右齒面ζ的取值范圍為而在嚙出位置ζ應(yīng)該約等于蝸輪蝸桿一對(duì)齒從嚙入到嚙出過程中，對(duì)于蝸桿左齒面ζ的取值范圍為而在嚙出位置，ζ應(yīng)該約等于

如圖9所示，求解蝸桿右齒面最大值的步驟如下：

1.令ψ＝ψ_右頂，

2.令

3.令

4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟7，否則轉(zhuǎn)向步驟9；

7.令

8.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則程序結(jié)束；

9.令ζ＝ζ+0.0025；

10.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟5，否則轉(zhuǎn)向步驟11；

11.令

12.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則程序結(jié)束。

如圖10所示，求解蝸桿左齒面最小值的步驟如下：

1.令ψ＝ψ_左頂，

2.令

3.令

4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟7，否則轉(zhuǎn)向步驟9；

7.令

8.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則程序結(jié)束；

9.令ζ＝ζ+0.0025；

10.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟5，否則轉(zhuǎn)向步驟11；

11.令

12.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則程序結(jié)束。

求解結(jié)果：蝸桿右齒面取值范圍為[1.0995,3.6128]，蝸桿左齒面取值范圍為[-4.3633,-1.85]，單位均為弧度。

求取蝸輪齒面上的點(diǎn)

解算蝸輪齒面上的點(diǎn)，三個(gè)參變量的迭代順序是ζ、ψ。蝸桿右齒面包絡(luò)蝸輪左齒面時(shí)ζ的取值范圍為蝸桿左齒面包絡(luò)蝸輪右齒面時(shí)ζ的取值范圍為

如圖11所示，求解蝸桿右齒面包絡(luò)蝸輪左齒面接觸點(diǎn)集的步驟如下：

1.令

2.令

3.令ψ＝0.1318；

4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟7，否則轉(zhuǎn)向步驟12；

7.將r⁽¹⁾，η，ζ代入蝸桿齒面方程可得初始位置下蝸桿齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₁,y₁,z₁)，再將該點(diǎn)依次繞蝸桿回轉(zhuǎn)軸(即Z軸)旋轉(zhuǎn)繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得初始位置下蝸輪齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₂,y₂,z₂)，輸出(x₂,y₂,z₂)；

8.令ζ＝ζ+0.001；

9.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則轉(zhuǎn)向步驟10；

10.令

11.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟2，否則程序結(jié)束；

12.令ψ＝ψ-0.00004；

13.判斷是否滿足ψ≥-0.0742，如果是則表示ψ迭代還未結(jié)束，返回步驟4，否則轉(zhuǎn)向步驟14；

14.令ζ＝ζ+0.001；

15.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則轉(zhuǎn)向步驟16；

16.

17.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟2，否則程序結(jié)束。

如圖12所示，求解蝸桿左齒面包絡(luò)蝸輪右齒面接觸點(diǎn)集的步驟如下：

1.令

2.令

3.令ψ＝-0.1843；

4.將ψ值代入蝸桿端面齒廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判斷是否滿足|f0|≤0.001，如果是則表示找到了蝸桿蝸輪嚙合方程的解，轉(zhuǎn)向步驟7，否則轉(zhuǎn)向步驟12；

7.將r⁽¹⁾，η，ζ代入蝸桿齒面方程可得初始位置下蝸桿齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₁,y₁,z₁)，再將該點(diǎn)依次繞蝸桿回轉(zhuǎn)軸(即Z軸)旋轉(zhuǎn)繞蝸輪回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得初始位置下蝸輪齒面上一個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)(x₂,y₂,z₂)，輸出(x₂,y₂,z₂)；

8.令ζ＝ζ+0.001；

9.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則轉(zhuǎn)向步驟10；

10.令

11.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟2，否則程序結(jié)束；

12.令ψ＝ψ+0.00004；

13.判斷是否滿足ψ≤0.026，如果是則表示ψ迭代還未結(jié)束，返回步驟4，否則轉(zhuǎn)向步驟14；

14.令ζ＝ζ+0.001；

15.判斷是否滿足如果是則表示ζ迭代還未結(jié)束，返回步驟3，否則轉(zhuǎn)向步驟16；

16.

17.判斷是否滿足如果是則表示迭代還未結(jié)束，返回步驟2，否則程序結(jié)束。

以上所述僅是本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施方式，應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于本技術(shù)領(lǐng)域的普通技術(shù)人員來說，在不脫離本發(fā)明技術(shù)原理的前提下，還可以做出若干改進(jìn)和變形，這些改進(jìn)和變形也應(yīng)視為本發(fā)明的保護(hù)范圍。