專利名稱：一種插補(bǔ)方法
專利說明一種插補(bǔ)方法 技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明屬于計(jì)算機(jī)數(shù)控領(lǐng)域，尤其是涉及一種控制物體運(yùn)動(dòng)軌跡的插補(bǔ)方法。
背景技術(shù)：
1)插補(bǔ)的任務(wù) 數(shù)控系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于機(jī)械運(yùn)動(dòng)軌跡的控制，可以控制機(jī)床、機(jī)器人、縫紉機(jī)、焊接機(jī)等的運(yùn)動(dòng)軌跡。所需路徑或輪廓線的“插補(bǔ)”是數(shù)控技術(shù)的關(guān)鍵。
插補(bǔ)的任務(wù)就是在所需路徑或輪廓線Q的二個(gè)已知點(diǎn)間插入若干個(gè)中間點(diǎn)，并確定所述中間點(diǎn)的位置坐標(biāo)值。
插補(bǔ)所得結(jié)果將依次送給直線插補(bǔ)器；對(duì)應(yīng)一組相鄰二點(diǎn)的位置坐標(biāo)值，直線插補(bǔ)器產(chǎn)生一組分布均勻的脈沖序列，并通過步進(jìn)馬達(dá)或伺服系統(tǒng)控制受控對(duì)象運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生一個(gè)直線段的運(yùn)動(dòng)軌跡?；蛘?，插補(bǔ)所得結(jié)果直接以數(shù)值方式依次送給伺服系統(tǒng)，控制受控對(duì)象運(yùn)動(dòng)；對(duì)應(yīng)一組相鄰二點(diǎn)的位置坐標(biāo)值，產(chǎn)生一個(gè)直線段的運(yùn)動(dòng)軌跡。受控對(duì)象整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡將是一個(gè)由上述首尾相接的直線段構(gòu)成的折線，折線的起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間點(diǎn)與所需路徑或輪廓線Q的對(duì)應(yīng)起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間點(diǎn)重合。換句話說，在所需路徑或輪廓線Q的二個(gè)端點(diǎn)間插入若干個(gè)中間點(diǎn)，將曲線Q上相鄰二點(diǎn)以直線段連接，這些首尾相接的直線段構(gòu)成的折線就是受控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡。
插補(bǔ)的目的就是確定受控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡，使之盡可能接近所需路徑或輪廓線Q；或者說，插補(bǔ)的目的就是確定所述的折線，也即受控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡，以此擬合所需路徑或輪廓線Q，且擬合誤差不超過允許值。
2)現(xiàn)狀 對(duì)于常見的正弦曲線、橢圓、圓弧等所需路徑或輪廓線，準(zhǔn)確確定所述中間點(diǎn)位置坐標(biāo)值的運(yùn)算涉及三角函數(shù)等比較復(fù)雜的計(jì)算。這樣的計(jì)算，靠單片計(jì)算機(jī)很難完成，而由PC級(jí)計(jì)算機(jī)采用高級(jí)語言不難完成。在運(yùn)動(dòng)控制裝置中，如果作為整個(gè)裝置的控制核心配置PC級(jí)計(jì)算機(jī)，直接由之承擔(dān)插補(bǔ)的實(shí)時(shí)運(yùn)算將占用大量資源，從而影響整個(gè)裝置工作；如果專為插補(bǔ)工作配置PC級(jí)計(jì)算機(jī)，將導(dǎo)致裝置成本提高。
當(dāng)前，運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域，甚至將進(jìn)入普通家庭，如家用機(jī)器人等；基于現(xiàn)有插補(bǔ)方法的產(chǎn)品難以適應(yīng)、滿足市場的需求。
可是，可以在單片計(jì)算機(jī)上快速、準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)的插補(bǔ)方法，至今未見在公開資料上發(fā)表或在產(chǎn)品中使用。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的目的是針對(duì)正弦函數(shù)類所需路徑或輪廓線，包括正弦曲線、橢圓曲線、圓弧曲線，提出一種通過算術(shù)運(yùn)算的遞推公式準(zhǔn)確確定曲線中間點(diǎn)位置坐標(biāo)值增量的插補(bǔ)方法，并且還提出一種設(shè)定替代曲線的方法，以提高擬合精度或減小插補(bǔ)運(yùn)算量。所述方法運(yùn)算簡單，對(duì)于同樣的分段段數(shù)，完成運(yùn)算所需時(shí)間少，相當(dāng)于提高了插補(bǔ)運(yùn)算速度；或者，在同等的運(yùn)算時(shí)間內(nèi)，允許增加曲線分段段數(shù)，從而提高折線擬合曲線的精度。由于運(yùn)算簡單，這種方法可在單片計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，從而降低了插補(bǔ)器的成本。因此，這種插補(bǔ)方法速度快，精度高，裝置成本低。
本發(fā)明的目的是按如下技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)的 1、本發(fā)明所述的一種插補(bǔ)方法，其所針對(duì)的所需路徑或輪廓線Q的位置坐標(biāo)ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中包括有一個(gè)或若干個(gè)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)，對(duì)應(yīng)所述一個(gè)或若干個(gè)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐標(biāo)函數(shù)分別可以表示為以參數(shù)t為自變量、幅值分別為Hk(k＝1、2、3、……mΨ)、初始相位分別為αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、周期相同為(2π/ω)的正弦函數(shù)，其表達(dá)式為 Ψk(t)＝Hk sin(ωt+αk)(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-1) 所述曲線Q對(duì)應(yīng)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐標(biāo)函數(shù)指的是描述所述曲線Q上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)變化的以參數(shù)t為自變量的函數(shù)， 所述參數(shù)t可以是該曲線Q位置坐標(biāo)ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中的一個(gè)坐標(biāo)，也可以是這些坐標(biāo)之外的另一個(gè)參數(shù)， 所述的所需路徑或輪廓線Q指的是二個(gè)已知點(diǎn)間的曲線段，所述曲線Q各坐標(biāo)函數(shù)的定義域相同，定義域的二個(gè)端點(diǎn)分別與曲線Q二個(gè)已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)著相同的t值。
某一t值所對(duì)應(yīng)的所需路徑或輪廓線Q上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)值，就是同一t值所對(duì)應(yīng)的所述坐標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值。針對(duì)所需路徑或輪廓線Q的插補(bǔ)也就是針對(duì)其坐標(biāo)函數(shù)ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的插補(bǔ)，即在其各個(gè)坐標(biāo)函數(shù)ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的定義域二個(gè)端點(diǎn)間插入若干個(gè)中間點(diǎn)并確定對(duì)應(yīng)所述中間點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)值。
申請(qǐng)人:注意到，對(duì)所需路徑或輪廓線Q進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，為了提高擬合精度，或減小插補(bǔ)運(yùn)算量，可以設(shè)定相應(yīng)的替代曲線Qδ；在替代曲線Qδ的二個(gè)端點(diǎn)間插入若干個(gè)中間點(diǎn)，將替代曲線Qδ上相鄰的二個(gè)點(diǎn)以直線段連接，用這些首尾相接的直線段構(gòu)成的折線擬合二個(gè)已知點(diǎn)間的所需路徑或輪廓線Q。為此，需通過插補(bǔ)確定所述替代曲線Qδ的中間點(diǎn)及其位置坐標(biāo)值。
替代曲線Qδ的坐標(biāo)函數(shù)ΩδP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)稱為替代坐標(biāo)函數(shù)，也稱為所述曲線Q的坐標(biāo)函數(shù)ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的替代坐標(biāo)函數(shù)。確定替代曲線Qδ中間點(diǎn)及其位置坐標(biāo)值，就是確定相應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΩδP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)定義域的中間點(diǎn)及其函數(shù)值。插補(bǔ)中確定的中間點(diǎn)將所述定義域分成分段，每個(gè)分段定義域?qū)?duì)應(yīng)一個(gè)線性函數(shù)，所述各個(gè)分段定義域的端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)值與替代坐標(biāo)函數(shù)值相等，整個(gè)定義域?qū)?duì)應(yīng)一個(gè)由各個(gè)分段定義域?qū)?yīng)的線性函數(shù)組成的分段線性函數(shù)ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，而坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)將以分段線性函數(shù)ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)擬合。
申請(qǐng)人:還注意到，所述曲線Q或Qδ二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)的位置坐標(biāo)值，可依據(jù)與之相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或所述曲線的起始端點(diǎn)其位置坐標(biāo)值與位置坐標(biāo)值增量之和決定，因此，插補(bǔ)中確定了中間點(diǎn)的位置坐標(biāo)值增量，也就確定了相應(yīng)中間點(diǎn)的位置坐標(biāo)值?；蛘哒f，插補(bǔ)中確定了定義域中間點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)值增量，也就確定了定義域相應(yīng)中間點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)值。
針對(duì)坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的插補(bǔ)步驟包括， (1)設(shè)定對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)， (2)確定替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定義域二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)，包括， ①確定所述中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值或其增量Δt的值， ②確定所述中間點(diǎn)的個(gè)數(shù)， (3)確定所述中間點(diǎn)的替代坐標(biāo)函數(shù)值或其增量值， (4)存儲(chǔ)/輸出運(yùn)算結(jié)果， 上述插補(bǔ)步驟也適用于針對(duì)坐標(biāo)函數(shù)ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的插補(bǔ)。
本發(fā)明提出的插補(bǔ)方法，其特征在于 (1)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐標(biāo)函數(shù)設(shè)定為與相應(yīng)的坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、相同定義域但不同幅值的正弦函數(shù)，其表達(dá)式為 Ψδk(t)＝Hδk sin(ωt+αk)(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-2) 式中，Hδk＝Hk+δk，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-3) 其中δk(k＝1、2、3、……、mΨ)為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hδk(k＝1、2、3、……、)相對(duì)相應(yīng)的坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hk(k＝1、2、3、……、)的幅值差，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，或說是對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差， δk＝Hδk-Hk，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-4) δk≥0，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-5) δk的數(shù)值可根據(jù)第4至11點(diǎn)所述的方法確定。
(2)將對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的各替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定義域等分，以等分分段的交點(diǎn)作為定義域的中間點(diǎn)，這些中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值增量ΔΨδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，按下述公式確定 ΔΨδΛ(tu+1)＝ΔΨδΛ(tu)cosΔTΛ+ΔΦδΛ(tu+1)sinΔTΛ，(1-6) ΔΦδΛ(tu+1)＝ΔΦδΛ(tu)cosΔTΛ-ΔΨδΛ(tu)sinΔTΛ，(1-7) 式中，①ΨΛ表示所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)坐標(biāo)，Λ為序號(hào)k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)序號(hào)， (②u+1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域二個(gè)端點(diǎn)間的某個(gè)中間點(diǎn)的序號(hào)，u就是與之相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域的起點(diǎn)的序號(hào)， 以nΛ表示替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域等分分段的段數(shù)，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)作為分段的序號(hào)，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ，nΛ+1)作為包括定義域的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，二個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)1及nΛ+1，二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)，u+1就是序號(hào)iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)中的某一個(gè)序號(hào)，u就是序號(hào)iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ)中與u+1相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)的序號(hào)，u+2就是序號(hào)iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ，nΛ+1)中與u+1相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)的序號(hào)， 所述定義域起點(diǎn)指的是與所述替代曲線Qδ起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的定義域的端點(diǎn)，所述定義域的終點(diǎn)指的是與所述替代曲線Qδ終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的定義域的端點(diǎn)， ③tu+1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域二個(gè)端點(diǎn)間序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， tu為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， tu+2為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， t1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， t(nΛ+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， ④ΔTΛ為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域各等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中序號(hào)為iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域各等分分段所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，其數(shù)值為所述參數(shù)t的增量ΔτΛ的ω倍，是常數(shù)， ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常數(shù)，(1-8)
(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)，(1-9) 其中，t(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)為序號(hào)為(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， t(iΛ)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)為序號(hào)為iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， ⑤ΔΨδΛ(tu+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量， ΔΨδΛ(tu+1)＝ΨδΛ(tu+2)-ΨδΛ(tu+1)，(1-10) 其中，ΨδΛ(tu+2)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值， ΨδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值， ⑥ΔΨδΛ(tu)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值增量， ΔΨδΛ(tu)＝ΨδΛ(tu+1)-ΨδΛ(tu)，(1-11) 其中，ΨδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值， ΨδΛ(tu)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值， ⑦ΔΦδΛ(tu+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量， ΔΦδΛ(tu+1)＝ΦδΛ(tu+2)-ΦδΛ(tu+1)，(1-12) 其中，ΦδΛ(tu+2)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值， ΦδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值， ⑧ΔΦδΛ(tu)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值增量， ΔΦδΛ(tu)＝ΦδΛ(tu+1)-ΦδΛ(tu)，(1-13) 其中，ΦδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值， ΦδΛ(tu)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值， ⑨sinΔTΛ為對(duì)應(yīng)ΔTΛ的正弦函數(shù)值，cosΔTΛ為對(duì)應(yīng)ΔTΛ的余弦函數(shù)值， 上述⑦、⑧中所述的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)ΦδΛ(t)是為簡化公式(1-6)、(1-7)的表述設(shè)定的函數(shù)，ΨδΛ(t)與ΦδΛ(t)是一組具有相同幅值HδΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αΛ及相同定義域的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，其表達(dá)式為 ΨδΛ(t)＝HδΛsin(ωt+αΛ)，(1-14) ΦδΛ(t)＝HδΛcos(ωt+αΛ)。，，(1-15) ΦδΛ(t)或說是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)函數(shù)ΨΛ(t)設(shè)定的虛擬坐標(biāo)函數(shù)ΦΛ(t)的替代坐標(biāo)函數(shù)，ΨΛ(t)與ΦΛ(t)是一組具有相同幅值HΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αΛ及相同定義域的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，其表達(dá)式為 ΨΛ(t)＝HΛsin(ωt+αΛ)，(1-16) ΦΛ(t)＝HΛcos(ωt+αΛ)，(1-17) 其中HδΛ＝HΛ+δΛ， (1-18) 說明 (1)參見圖2。如果所需路徑或輪廓線的位置坐標(biāo)只包括了二個(gè)個(gè)坐標(biāo)t和ΨA，且坐標(biāo)軸t和ΨA構(gòu)成了直角坐標(biāo)系tOΨA；則所需路徑或輪廓線就是平面tOΨA上幅值為HA、初始相位為αA、周期為(2π/ω)的的正弦曲線段ZA，其替代曲線就是平面tOΨA上幅值為HδA、初始相位為αA、周期為(2π/ω)的替代正弦曲線段ZδA。
(2)參見圖5。以序號(hào)為A的坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)為例，坐標(biāo)軸ΨA和ΦA(chǔ)構(gòu)成了虛擬直角坐標(biāo)系ΦA(chǔ)OΨA，坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)與虛擬坐標(biāo)函數(shù)ΦA(chǔ)(t)在ΦA(chǔ)OΨA虛擬平面上的圖形即為圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為HA的圓弧段CA。圓弧段CA上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΦA(chǔ)的夾角即為(ωt+αA)。替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)與虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)ΦδA(t)在ΦA(chǔ)OΨA虛擬平面上的圖形即為圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為HδA的替代圓弧段CδA。圓弧段CδA上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΦA(chǔ)的夾角即為(ωt+αA)。替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域的端點(diǎn)與中間點(diǎn)對(duì)應(yīng)著圓弧段CδA相應(yīng)的端點(diǎn)與中間點(diǎn)。圖中CA、CδA分別是第一象限的圓弧段。
(3)公式(1-6)、(1-7)的依據(jù)是 參見圖6。以序號(hào)為A的坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)為例，替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域中序號(hào)為i(i＝2、3、……、n)的中間點(diǎn)對(duì)應(yīng)著圓弧段CδA上相應(yīng)的中間點(diǎn)。這些中間點(diǎn)將圓弧段CδA等分成序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)n個(gè)分段。圓弧段CδA的等分分段對(duì)應(yīng)的圓心角即為ΔTA。以lδA表示圓弧段CδA一個(gè)分段的內(nèi)接弦的長度，對(duì)應(yīng)于tu有 式中，ΔTA＝ωΔτA。(1-21) 以u(píng)+1表示所述的某個(gè)中間點(diǎn)的序號(hào)，則 (4)公式(1-6)、(1-7)中所述正弦函數(shù)值sinΔTΛ與余弦函數(shù)值cosΔTΛ，可按下述公式確定， 其中， 式中，①v′+2為正整數(shù)，數(shù)值等于等式(1-24)右邊部分的項(xiàng)數(shù)， v′≥0，(1-28) ②γ′的取值范圍為 0≤γ′≤ΔTΛ，(1-29) ③v″+2為正整數(shù)，數(shù)值等于等式(1-25)右邊部分的項(xiàng)數(shù) v″≥0，(1-30) ④γ″的取值范圍為 0≤γ″≤ΔTΛ。(1-31) 按公式(1-24)、(1-25)確定sinΔTΛ、cosΔTΛ時(shí)，可以將RS、RC取值為0。sinΔTΛ、cosΔTΛ數(shù)值精度由舍去的RS、RC數(shù)值決定，而RS、RC數(shù)值由ΔTΛ及v′、v″決定。v′、v″的選擇可參見實(shí)施例。
公式(1-24)、(1-25)的依據(jù)是 即 其中， 即 其中， (5)公式(1-6)、(1-7)中對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨΛ的替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域起點(diǎn)的函數(shù)值增量ΔΨδΛ(t1)、ΔΦδΛ(t1)，可按下述公式確定， ΔΨδΛ(t1)＝ΨδΛ(t1)cosΔTΛ+ΦδΛ(t1)sinΔTΛ-ΨδΛ(t1)，(1-34) ΔΦδΛ(t1)＝ΦδΛ(t1)cosΔTΛ-ΨδΛ(t1)sinΔTΛ-ΦδΛ(t1)。(1-35) 其依據(jù)是 ΔΨδΛ(t1)＝ΨδΛ(t1+Δt1)-ΨδΛ(t1)＝ ＝HδΛsin(ω(t1+Δt1)+αΛ)-ΨδΛ(t1)＝ ＝HδΛsin(ωt1+αΛ+ΔTΛ)-ΨδΛ(t1)＝ ＝HδΛ[sin(ωt1+αΛ)cosΔTΛ+cos(ωt1+αΛ)sinΔTΛ]-ΨδΛ(t1)＝ ＝ΨδΛ(t1)cosΔTΛ+ΦδΛ(t1)sinΔTΛ-ΨδΛ(t1)，(1-36) ΔΦδΛ(t1)＝ΦδA(t1+Δt1)-ΦδΛ(t1)＝ ＝HδΛcos(ω(t1+Δt1)+αΛ)-ΦδΛ(t1)＝ ＝HδΛcos(ωt1+αΛ+ΔTΛ)-ΦδΛ(t1)＝ ＝HδΛ[cos(t1+αΛ)cosΔTΛ-sin(t1+αΛ)sinΔTΛ]-ΦδΛ(t1)＝ ＝ΦδΛ(t1)cosΔTΛ-ΨδΛ(t1)sinΔTΛ-ΦδΛ(t1)。(1-37) 2、如第1點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為 (1)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、……、mΨ)共有二個(gè)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2)或Ψ1、Ψ2，對(duì)應(yīng)Ψ1、Ψ2的坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示為一組幅值分別為H1與H2、周期相同為(2π/ω)、初始相位相同為α0的余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，其表達(dá)式為 Ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝H2sin(ωt+α0)，(2-2) 式中， α2＝α0，(2-4) (2)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1及Ψ2的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)為 Ψδ1(t)＝Hδ1cos(ωt+α0)，(2-5) Ψδ2(t)＝Hδ2sin(ωt+α0)，(2-6) 式中，Hδ1＝H1+δ1，(2-7) Hδ2＝H2+δ2。(2-8) 坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)、Ψδ1(t)、Ψδ2(t)具有相同的定義域。
參見圖7。如果所需路徑或輪廓線的位置坐標(biāo)只包括了二個(gè)個(gè)坐標(biāo)Ψ1和Ψ2，且坐標(biāo)軸Ψ1和Ψ2構(gòu)成了直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2，則所需路徑或輪廓線即為Ψ1OΨ2平面上中心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O的橢圓弧段ZE。圖中ZE是一個(gè)第一象限的橢圓弧段。其在直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2下的曲線方程為 式中，H1和H2為橢圓的半軸。
橢圓弧段ZE上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸原點(diǎn)O的連線相對(duì)Ψ1軸的夾角即為(ωt+α0)。
當(dāng)H1＝H2＝R0，(2-10) 所述的橢圓弧段ZE即成為半徑為R0的圓弧段ZC。
3、如第2點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為 (1)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1、Ψ2的坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)具有相同幅值R0，函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)的表達(dá)式為 Ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝R0sin(ωt+α0)，(3-2) 式中，H1＝H2＝R0，(3-3) α2＝α0，(3-5) (2)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨX及ΨY的替代坐標(biāo)函數(shù)為Ψδ1(t)、Ψδ2(t)具有相同的幅值Rδ0，函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)的表達(dá)式為 Ψδ1(t)＝Hδ1cos(ωt+α0)＝Rδ0cos(ωt+α0)，(3-6) Ψδ2(t)＝Hδ2sin(ωt+α0)＝Rδ0sin(ωt+α0)，(3-7) 式中，Hδ1＝Hδ2＝Rδ0，(3-8) Hδ1＝H1+δ1＝Hδ2＝H2+δ2＝R0+δR，(3-9) 其中，δ1＝δ2＝δR，(3-10) (3)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1、Ψ2的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域等分為相同的nC個(gè)分段，或者說，替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域各分段起點(diǎn)對(duì)應(yīng)相同的參數(shù)t的增量ΔτC或等效增量ΔTC， n1＝n2＝nC，(3-11) Δτ1＝Δτ2＝ΔτC，(3-12) ΔT1＝ΔT2＝ΔTC。(3-13) 由所述特點(diǎn)可知 ①在按第1點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法確定替代坐標(biāo)函數(shù)值增量時(shí)，對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)函數(shù)Ψ2(t)的虛擬坐標(biāo)函數(shù)Φ2(t)就是坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)， Φ2(t)＝R0cos(ωt+α0)＝Ψ1(t)，(3-10) 虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)Φδ2(t)就是替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)， Φδ2(t)＝Ψδ1(t)。(3-11) 因此，在確定ΔΨδ1(t)、ΔΨδ2(t)過程中，無需為Ψδ1(t)、Ψδ2(t)另設(shè)虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)。
②如果所需路徑或輪廓線的位置坐標(biāo)只包括了二個(gè)個(gè)坐標(biāo)Ψ1和Ψ2，且坐標(biāo)軸Ψ1和Ψ2構(gòu)成了直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2，則所需路徑或輪廓線即為Ψ1OΨ2平面上圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為R0的圓弧段ZC。圓弧段ZC上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸Ψ1的夾角即為(ωt+α0)。每個(gè)等分圓弧段所對(duì)應(yīng)的圓心角為 ΔTC＝ωΔτC。(3-12) 曲線在直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2下的方程為 Ψ12+Ψ22＝R02。(3-13) 替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)的圖形就是半徑為Rδ0的與ZC同心的替代圓弧段ZδC。其曲線方程為 Ψ12+Ψ22＝Rδ02(3-14) 所述圖形可參見圖5，Ψ1、Ψ2、R0、Rδ0、α0、t、ZC、ZδC分別對(duì)應(yīng)圖中的ΦA(chǔ)、ΨA、HA、HδA、αA、t、CA、CδA。圖中CA、CδA分別是第一象限的圓弧段。
4、如上述第1至3點(diǎn)中任何一點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)其幅值差的取值、其替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量的取值及替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段段數(shù)的取值滿足下述公式， 0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA，(4-1) 式中，①ΨA表示所述坐標(biāo)中的某一個(gè)坐標(biāo)，A是序號(hào)k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)序號(hào)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)ΨA的坐標(biāo)函數(shù)與替代坐標(biāo)函數(shù)為 ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(4-4) ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(4-5) ②δA為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)ΨA的幅值差， δA＝HδA-HA，(4-6) ③ΔTA為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，其數(shù)值為所述參數(shù)t的增量ΔτA的ω倍， ΔTA＝ωΔτA，(4-7) ④n表示替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域等分分段的段數(shù)， ⑤t1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， tn+1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， ⑥|sin(ωt+αA)|MAX為對(duì)應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域|sin(ωt+αA)|的最大值， ⑦εA為以分段線性函數(shù)ΨδLA(t)擬合坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)的誤差絕對(duì)值|δΨδL-A(t)|的允許值， δΨδL＝A(t)＝ΨδLA(t)-ΨA(t)，(4-8) 對(duì)應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)的第i(i＝1、2、3、……、n)個(gè)分段定義域，所述的分段線性函數(shù)ΨδLA(t)為 式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域n個(gè)等分分段的序號(hào)，等分分段的交點(diǎn)就是定義域的中間點(diǎn)，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作為包括定義域的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，二個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)1及n+1，二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)i(i＝2、3、……、n)， (b)ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， (c)ΔΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量， ΔΨδA(ti)＝ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti )，(i＝1、2、3、……、n)，(4-10) 其中，ΨδA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域中與序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)相鄰的后一個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值， ΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值。
滿足公式(4-1)、(4-2)、(4-3)的δA、|ΔTA|、n取值，將使得所述的擬合誤差|δΨδL-A(t)|不超過允許值εA。
參見圖2。如果所需路徑或輪廓線的位置坐標(biāo)只包括了二個(gè)個(gè)坐標(biāo)t和ΨA，且坐標(biāo)軸t和ΨA構(gòu)成了直角坐標(biāo)系tOΨA；則所需路徑或輪廓線即為平面tOΨA上幅值為HA、初始相位為αA的正弦曲線段ZA。其替代曲線段即為幅值為HδA、初始相位為αA的正弦曲線段ZδA。參見圖3，分段線形函數(shù)ΨδLA(t)的圖形就是由替代正弦曲線段ZδA的n個(gè)首尾相連的等長內(nèi)接弦構(gòu)成的折線ZδLA。以ΨδLA(t)擬合ΨA(t)，即相當(dāng)于以折線ZδLA擬合ZA。正弦曲線段ZδA分段的交點(diǎn)即為需要設(shè)定的正弦曲線段ZδA的中間點(diǎn)，i(i＝1、2、3、……、n、n+1)就是包括正弦曲線段ZδA的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)。
根據(jù)公式(4-1)、(4-2)、(4-3)確定δA、|ΔTA|、n取值的依據(jù)是 (1)以替代圓弧段CδA的內(nèi)接弦擬合圓弧段CA的徑向誤差 ①坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)與對(duì)應(yīng)的虛擬坐標(biāo)函數(shù)ΦA(chǔ)(t)是一組具有相同幅值HΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定義域的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)， ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(4-11) ΦA(chǔ)(t)＝HAcos(ωt+αA)。(4-12) 替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)與對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)ΦδA(t)是一組具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定義域的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)， ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(4-13) ΦδA(t)＝HδAcos(ωt+αA)，(4-14) 其中，HδA＝HA+δA，(4-15) δA為替代坐標(biāo)函數(shù)的幅值差。
②參見圖5，坐標(biāo)軸ΨA和ΦA(chǔ)構(gòu)成了虛擬直角坐標(biāo)系ΦA(chǔ)OΨA，坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)與虛擬坐標(biāo)函數(shù)ΦA(chǔ)(t)在ΦA(chǔ)OΨA虛擬平面上的圖形即為圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為HA的圓弧段CA，圓弧段CA上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΦA(chǔ)的夾角即為(ωt+αA)。替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)與虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)ΦδA(t)在ΦA(chǔ)OΨA虛擬平面上的圖形即為圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為HδA的替代圓弧段CδA，圓弧段CδA上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΦA(chǔ)的夾角即為(ωt+αA)。替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域的端點(diǎn)與中間點(diǎn)對(duì)應(yīng)著圓弧段CδA的端點(diǎn)與中間點(diǎn)。圖中CA、CδA分別是第一象限的圓弧段。
③以CδA的內(nèi)接弦擬合CδA的徑向誤差 參見圖6，將替代圓弧段CδA分成序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的n個(gè)等分分段，每個(gè)分段對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量為ΔTA，ΔTA也是每個(gè)等分圓弧段對(duì)應(yīng)的圓心角， ΔTA＝ωΔτA，(4-16) 式中，ΔτA為每個(gè)分段對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的增量。
以圓弧段CδA的n個(gè)等分分段的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合CδA。擬合產(chǎn)生的最大徑向誤差絕對(duì)值|δHδA|發(fā)生在內(nèi)接弦的中點(diǎn)處，且 式中，|δHA|為以圓弧段CA的n個(gè)等分圓弧段的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合圓弧段CA的最大徑向誤差的絕對(duì)值。
④以CδA的內(nèi)接弦擬合CA的誤差 以圓弧段CδA的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合圓弧段CA，其最大徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A|發(fā)生在內(nèi)接弦的中點(diǎn)或內(nèi)接弦的二個(gè)端點(diǎn)處。
(a)在中點(diǎn)處圓弧段CδA各內(nèi)接弦擬合圓弧段CA的徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A，M| i)當(dāng)CδA內(nèi)接弦與圓弧段CA相交，CδA內(nèi)接弦就成為CA的割線， 此時(shí)， 或 ii)當(dāng)CδA內(nèi)接弦與圓弧段CA相切， 或 iii)當(dāng)內(nèi)接弦不與圓弧段CA相交，在圓弧段外側(cè)， 此時(shí) 且|δHδ-A，M|≤δA。(4-25) (b)在端點(diǎn)處圓弧段CδA各內(nèi)接弦擬合圓弧段CA的徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A，D|恒為δA， |δHδ-A，D|＝δA。(4-26) (2)δA、|ΔTA|、n的取值 ①δA的取值 由于CδA內(nèi)接弦端點(diǎn)處徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A，D|恒為δA，為使所述|δHδ-A，D|不超過允許值εΦ其值不能超過允許值εΦ，δA取值應(yīng)滿足下述公式， 0≤δA≤εΦ。(4-27) ②|ΔTA|的取值 (a)在端點(diǎn)處，以CδA內(nèi)接弦擬合CA的徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A，D|恒為δA，不受|ΔTA|取值的影響。
(b)在中點(diǎn)處，以CδA內(nèi)接弦擬合CA的徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A，M|應(yīng)不超過允許值εΦ， |δHδ-A，M|≤εΦ。(4-28) i)當(dāng)圓弧段CδA內(nèi)接弦與圓弧段CA相交， 由式(4-18)可知，為使所述的擬合誤差|δHδ-A，M|不超過允許εΦ，|ΔTA|的取值應(yīng)滿足下述公式， ii)當(dāng)圓弧段CδA內(nèi)接弦與圓弧段CA相切， 此時(shí)， iii)當(dāng)內(nèi)接弦不與圓弧段CA相交，在圓弧段外側(cè)， 且|δHδ-A，M|≤δA。(4-25) 由于式(4-27)的限定，擬合誤差|δHδ-A，M|肯定不超過允許值εΦ， |δHδ-A，M|≤δA≤εΦ。(4-30) VI)綜合i)、ii)、iii)所述可知，只要ΔTA的取值滿足公式(4-29)，就可滿足公式(4-28)的要求，使所述的擬合誤差|δHδ-A，M|不超過允許值εΦ。
③綜合①、②所述可知，為使以CδA內(nèi)接弦擬合CA的徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A|不超過允許值εΦ，δA的取值應(yīng)滿足下述公式， 0≤δA≤εΦ，(4-31) ΔTA的取值應(yīng)滿足下述公式， 或|ΔτA|的取值應(yīng)滿足下述公式， 相應(yīng)地，圓弧段CδA的分段段數(shù)由于 其取值應(yīng)滿足 ④|ΔTA|的最大允許取值 (a)為加大|ΔTA|取值，以減少分段數(shù)；δR的取值應(yīng)盡量大，取 δA＝εΦ。(4-36) 相應(yīng)地，ΔTA的取值應(yīng)滿足下述公式， 或 (b)|ΔTA|或|ΔτA|的最大允許取值即為 或 而且，|ΔTA|MAX對(duì)應(yīng)著|δHδA|或|δHA|的最大值|δHδA|MZX或|δHA|MAX， 此時(shí)，CδA內(nèi)接弦中點(diǎn)與端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的徑向誤差絕對(duì)值相等， |δHδ-A，M|＝|δHA|MAX-δA＝2δA-δA＝δA＝|δHδ-A，D|。(4-42) (3)以分段線形函數(shù)ΨδLA(t)擬合坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)的誤差δΨδL＝A(t) ①以ΨδLA(t)擬合ΨA(t)的誤差記以δΨδL＝A(t)， δΨδL＝A(t)＝ΨδLA(t)-ΨA(t)。(4-43) ②參見圖2至圖6。在tOΨA平面上，將ΨδA(t)所對(duì)應(yīng)的正弦曲線段ZδA分成序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的n個(gè)等分分段；在虛擬ΦA(chǔ)OΨA平面上，將ΨδA(t)與ΦδA(t)所對(duì)應(yīng)的圓弧段CδA分成相同的n個(gè)等分分段。序號(hào)相同的ZδA分段端點(diǎn)與CδA分段端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的t值相同，都是ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)。ZδA分段與CδA分段對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的增量或等效增量相同。以ZδA的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合ZA，其擬合誤差為δΨδL＝A(t)；以CδA的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合CA，其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸ΨA擬合誤差等于內(nèi)接弦徑向誤差在坐標(biāo)軸上的投影值δHδ＝A，Ψ(t)。圖6中，以tM，u表示一個(gè)分段中點(diǎn)處的參數(shù)t的值，對(duì)應(yīng)tM，u的所述徑向誤差絕對(duì)值在坐標(biāo)軸上的投影值即為|δHδ-A，Ψ(tM，u)|。
③以CδA的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合CA，其徑向誤差絕對(duì)值的最大值|δHδ-A|發(fā)生在CδA內(nèi)接弦的中點(diǎn)或端點(diǎn)tM/D處，且|δHδ-A|在坐標(biāo)軸ΨA上的投影為 |δHδ-A，Ψ(tM/D)|＝|δHδ-A|×|sin(ωtM/D+αA)|。(4-44) ④相應(yīng)地認(rèn)為，一個(gè)分段內(nèi)在中點(diǎn)或端點(diǎn)tM/D處，以正弦曲線段ZA的內(nèi)接弦擬合正弦曲線段ZδA的誤差絕對(duì)值|δΨδ-LA(tM./D)|也是最大；且等于對(duì)應(yīng)tM/D處|δHδ-A|在坐標(biāo)軸ΨA上的投影， |δΨδ-LA(tM./D)|＝|δHδ-A|×|sin(ωtM/D+αA)|。(4-45) ⑤在定義域范圍內(nèi)，|δΨδ-LA(tM./D)|的最大值|δΨδ-LA(tM./D)|MAX為|δΨδ-LA(tM./D)|MAX＝|δHδ-A|×|sin(ωtM/D+αA)|MAX，(4-46) 式中，|sin(ωtM/D+αA)|MAX為對(duì)應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域|sin(ωtM/D+αA)|的最大值。
由于|ΔTA|或說|ΔτA|很小，可以認(rèn)為 |sin(ωtM/D+αA)|MAX＝|sin(ωt+αA)|MAX，(4-47) 式中，|sin(ωt+αA)|MAX為對(duì)應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域|sin(ωt+αA)|的最大值，式(4-46)可以改寫為 |δΨδ-LA(tM./D)|MAX＝|δHδ-A|×|sin(ωt+αA)|MAX。(4-48) 由于所述的|δΨδ-LA(tM./D)|的最大值|δΨδ-LA(tM./D)|MAX也就是所述的擬合誤差δΨδL＝A(t)絕對(duì)值的最大值|δΨδ-LA(t)|MAX，因此， |δΨδ-LA(t)|MAX＝|δHδ-A|×|sin(ωt+αA)|MAX。(4-49) (4)δA、|ΔTA|、n的取值 ①δA的取值 CδA內(nèi)接弦端點(diǎn)處徑向誤差絕對(duì)值|δHδ-A，D|恒為δA，相應(yīng)地，端點(diǎn)處以ΨδLA(t)擬合ΨA(t)的誤差絕對(duì)值的最大值|δΨδ-LA(t)|MAX為δA|sin(t+αA)|MAX，其值不能超過允許值εA；因此，δA取值應(yīng)滿足 0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA，(4-50) 或0≤δA≤εA/|sin(ωt+αA)|MAX。(4-51) ②|ΔTA|的取值 (a)在端點(diǎn)處，以ΨδLA(t)擬合ΨA(t)的誤差絕對(duì)值|δΨδ-LA(t)|恒為δA|sin(ωt+αA)|MAX，不受|ΔTA|取值的影響，只要δA取值滿足式(4-50)，|δΨδ-LA(t)|就不會(huì)超過允許值εA。
(b)在中點(diǎn)處以ΨδLA(t)擬合ΨA(t)的誤差絕對(duì)值的最大值|δΨδ-LA(t)|MAX應(yīng)不超過允許值εA， |δΨδ-LA(t)|MAX＝|δHδ-A，M||sin(ωt+αA)|MAX≤εA，(4-52) i)當(dāng) CδA內(nèi)接弦與圓弧段CA相交，CδA內(nèi)接弦就成為CA的割線；此時(shí)，為滿足式(4-52)的要求，由式(4-18)、(4-52)可知，應(yīng)有 或 ii)當(dāng) CδA內(nèi)接弦與圓弧段CA相切，中點(diǎn)處|δHδ-A，M|將為0， 因而，相應(yīng)的ΨδLA(t)擬合ΨA(t)的誤差|δΨδ-LA(t)|為0， |δΨδ-LA(t)|＝|δHδ-A，M||sin(ωt+αA)|MAX＝0＜εA。(4-55) iii)當(dāng) CδA內(nèi)接弦不與圓弧段CA相交，在圓弧段CA外側(cè)，此時(shí)總有 |δHδ-A，M|＜δA，(4-25) 只要δA取值滿足式(4-50)，|δΨδ-LA(t)|MAX都不會(huì)超過允許值εA， |δΨδ-LA(t)|MAX＝|δHδ-A，M||sin(ωt+αA)|MAX＜δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA。(4-56) VI)綜合i)、ii)、iii)所述可知，只要ΔTA的取值滿足公式(4-53)，就可滿足公式(4-52)的要求，使所述的擬合誤差|δΨδ-LA(t)|MAX不超過允許值εA。
③綜合①、②所述可知，為使所述的擬合誤差|δΨδL-A(t)|不超過允許值εA，δA的取值應(yīng)滿足下述公式， 0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA， (4-57) 或0≤δA≤εA/|sin(ωt+αA)|MAX。(4-58) ΔTA的取值應(yīng)滿足下述公式， 或|ΔτA|的取值應(yīng)滿足下述公式 相應(yīng)地，替代坐標(biāo)函數(shù)定義域的等分分段段數(shù)n的取值應(yīng)滿足 ④|ΔTA|的最大允許取值值 (a)為加大|ΔTA|取值，以減少分段數(shù)；δA的取值盡量大，取 δA|sin(ωt+αA)|MAX＝εA。(4-62) 相應(yīng)地，ΔTA的取值應(yīng)滿足下述公式， 或 (b)|ΔTA|或|ΔτA|的最大允許取值即為 或 而且，|ΔTA|MAX對(duì)應(yīng)著|δHδA|或|δHA|的最大值 此時(shí)，CδA內(nèi)接弦中點(diǎn)與端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的徑向誤差絕對(duì)值相等， |δHδ-A，M|＝|δHA|MAX-δA＝2δA-δA＝δA＝|δHδ-A，D|。(4-68) 5、如第4點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)ΨA其幅值差δA取值為 δA＝εA/|sin(ωt+αA)|MAX。(5-1) 相應(yīng)地，對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨA其替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量ΔTA的取值及其替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段段數(shù)n的取值滿足下述公式， |ΔTA|的最大允許取值即為 其依據(jù)見第4點(diǎn)中對(duì)確定δA、|ΔTA|、n取值的依據(jù)的分析。
6、如第4點(diǎn)所述的一種插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為所述|sin(ωt+αA)|MAX以1替換。
相應(yīng)地，所述δA、ΔTA及n的取值滿足下述公式， 0≤δA≤εA，(6-1) 滿足公式(6-1)、(6-2)、(6-3)的δA、|ΔTA|、n的取值，可以使得對(duì)任何可能的定義域，都可做到以分段線性函數(shù)ΨδLA(t)擬合坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)的誤差絕對(duì)值|δΨδL-A(t)|不超過允許值εA。
7、如第6點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)ΨA其幅值差δA取值為εA， δA＝εA。(7-1) 相應(yīng)地，對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨA其替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量ΔTA的取值及其替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段段數(shù)n的取值滿足下述公式， |ΔTA|的最大允許取值即為 依據(jù)式(7-4)確定的|ΔTA|MAX是對(duì)任何可能的的定義域所述擬合誤差|δΨδL-A(t)|都不超過允許值εA的|ΔTA|的最大允許取值 8、如第3點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1、Ψ2其幅值差δR的取值、其替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量|ΔTC|的取值及其替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域等分分段段數(shù)nC的取值滿足下述公式， 0＜δR≤εC，(8-1) 式中，①t1為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定義域起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， t(nC+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定義域終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， ②εC為以圓弧段ZδC的等分圓弧分段內(nèi)接弦擬合圓弧段ZC的徑向誤差的絕對(duì)值的允許值，圓弧段ZδC為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)在坐標(biāo)軸Ψ1和Ψ2構(gòu)成的直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2的坐標(biāo)平面上的圖形，圓弧段ZC為坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)在坐標(biāo)平面Ψ1OΨ2上的圖形。所述圓弧段ZC、ZδC可參見圖5，Ψ1、Ψ2、R0、Rδ0、α0、t、ZC、ZδC分別是圖中的ΦA(chǔ)、ΨA、HA、HδA、αA、t、CA、CδA。
滿足公式(8-1)、(8-2)、(8-3)的δR、|ΔTC|或nC取值，將使得以圓弧段ZδC的等分圓弧分段內(nèi)接弦擬合圓弧段ZC的徑向誤差的絕對(duì)值不超過允許值εC。
公式(8-1)、(8-2)、(8-3)的依據(jù)見第4點(diǎn)對(duì)δA、|ΔTA|、n取值依據(jù)的分析。
9、如第8點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為所述δR取值為εC， δR＝εC。(9-1) 相應(yīng)地，所述|ΔTC|及nC的取值滿足下述公式， |ΔTA|的最大允許取值即為 其依據(jù)見第4點(diǎn)中對(duì)δA、|ΔTA|、n取值依據(jù)的分析。
10、如第1至3點(diǎn)或第5至9點(diǎn)中的任何一點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為 ω＝1。(10-1) 也就是說，所述坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的正弦坐標(biāo)函數(shù)的周期為2π。此時(shí)，所述坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)定義域各等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，等于所述參數(shù)t的增量；以A表示所述坐標(biāo)其序號(hào)k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)序號(hào)，則有 ΔTA＝ΔτA。(10-2) 11、如第4點(diǎn)所述的插補(bǔ)方法，其特點(diǎn)為 ω＝1。(11-1) 也就是說，所述坐標(biāo)ΨA對(duì)應(yīng)的正弦坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)的周期為2π。此時(shí)，所述替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域各等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量ΔTA，等于所述參數(shù)t的增量ΔτA， ΔTA＝ΔτA。(11-2) 值得注意的是，如果一個(gè)坐標(biāo)函數(shù)是由若干個(gè)函數(shù)之和構(gòu)成，則該坐標(biāo)函數(shù)的插補(bǔ)結(jié)果等于構(gòu)成該坐標(biāo)函數(shù)的各個(gè)函數(shù)各自的插補(bǔ)結(jié)果之和。特別是構(gòu)成該坐標(biāo)函數(shù)的某個(gè)函數(shù)如果是常量，則該常量不會(huì)影響該函數(shù)的增量值。此外，所需路徑或輪廓線其所在的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸平移時(shí)，也不影響其位置坐標(biāo)值增量的數(shù)值。
本發(fā)明的有益效果為本發(fā)明針對(duì)正弦函數(shù)類所需路徑或輪廓線，包括正弦曲線、橢圓曲線、圓弧曲線，提出一種通過算術(shù)運(yùn)算的遞推公式準(zhǔn)確確定曲線中間點(diǎn)位置坐標(biāo)值增量的插補(bǔ)方法，并且還提出一種設(shè)定替代曲線的方法，以提高擬合精度或減小插補(bǔ)運(yùn)算量。由于運(yùn)算簡單，對(duì)于同樣的分段段數(shù)，完成運(yùn)算所需時(shí)間少，相當(dāng)于提高了插補(bǔ)運(yùn)算速度；或者，在同等的運(yùn)算時(shí)間內(nèi)，允許增加曲線分段段數(shù)，從而提高折線擬合曲線的精度。由于運(yùn)算簡單，這種方法可在單片計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，從而降低了插補(bǔ)器的成本。因此，這種插補(bǔ)方法速度快，精度高，裝置成本低。


圖1是本發(fā)明的坐標(biāo)函數(shù)ΨΛ(t)插補(bǔ)的程序流程圖， 圖2是本發(fā)明的正弦曲線示意圖， 圖3是本發(fā)明的分段線性函數(shù)示意圖， 圖4是本發(fā)明的正弦曲線段局部示意圖， 圖5是本發(fā)明的圓弧曲線示意圖， 圖6是本發(fā)明的圓弧曲線局部示意圖， 圖7是本發(fā)明的橢圓曲線示意圖。
具體實(shí)施方式
一、參見圖1，這是坐標(biāo)函數(shù)ΨΛ(t)插補(bǔ)的程序流程圖。所述的坐標(biāo)函數(shù)為 ΨΛ(t)＝HΛsin(ωt+αΛ)，(J1-1) 程序由步驟(1)至步驟(9)組成 (1)設(shè)定ΨΛ(t)的替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t) ΨδΛ(t)＝HδΛsin(ωt+αΛ)，(J1-2) HδΛ＝HΛ+δΛ，(J1-3) 確定替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)的幅值差δΛ的數(shù)值； (2)確定替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域起點(diǎn)及中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量ΔTΛ，其數(shù)值為所述參數(shù)t的增量ΔτΛ的ω倍，是常數(shù)， ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常數(shù)，(J1-4) (3)確定替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中間點(diǎn)的個(gè)數(shù)nΛ-1，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ、nΛ+1)表示包括定義域端點(diǎn)與中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，中間點(diǎn)的序號(hào)為iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)； (4)初始化iΛ值，即將iΛ設(shè)置為2， 2→iΛ；(J1-5) (5)確定序號(hào)為iΛ的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)函數(shù)值增量ΔΨδΛ(t)的值； (6)存儲(chǔ)/輸出運(yùn)算結(jié)果； (7)判定 iΛ＝nΛ？(J1-6) 若iΛ≠nΛ，表明插補(bǔ)尚未完成，則轉(zhuǎn)至步驟(8)， 若iΛ＝nΛ，則轉(zhuǎn)至步驟(9)； (8)將iΛ加1，并保存， iΛ+1→iΛ，(J1-7) 再轉(zhuǎn)至步驟(5)，繼續(xù)進(jìn)行插補(bǔ)； (9)插補(bǔ)完成。
二、參見圖2，這是正弦曲線示意圖。在直角坐標(biāo)系tOΨA下的一個(gè)幅值為HA、初始相位為αA的正弦曲線QA，其坐標(biāo)函數(shù)為 ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(J2-1) 曲線QA的替代曲線為幅值為HδA、初始相位為αA的正弦曲線QδA，相應(yīng)地，替代坐標(biāo)函數(shù)為 ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(J2-2) 式中，HδA＝HA+δA，(J2-3) δA是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)的幅值差。
對(duì)應(yīng)于所需路徑或輪廓線，坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)、ΨδA(t)定義域?yàn)閇t1，tn+1]，該定義域?qū)?yīng)的正弦曲線段記以ZA，對(duì)應(yīng)的替代正弦曲線段記以ZδA。
三、參見圖3，這是等分分段線性函數(shù)示意圖。在直角坐標(biāo)系tOΨA下的替代正弦曲線段ZδA，其替代坐標(biāo)函數(shù)為 ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(J3-1) n是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域的等分分段數(shù)。正弦曲線段ZδA的n個(gè)等分分段的內(nèi)接弦構(gòu)成折線ZδLA，其相應(yīng)的分段線性函數(shù)ΨδLA(t)為 (i＝1、2、3、……、n)，(J3-2) 式中，①i(i＝1、2、3、……、n)是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域n個(gè)等分分段的序號(hào)，等分分段的交點(diǎn)就是定義域的中間點(diǎn)，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作為包括定義域的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，二個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)1及n+1，二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)i(i＝2、3、……、n)， ②ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， t1是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， tn+1是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值， [t1、tu+1]是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)的定義域， ③ΔTA是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域各等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量的值，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域各等分分段所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，是所述參數(shù)t的增量ΔτA的ω倍，是常數(shù)， ΔTA＝ωΔτA，(J3-3)
④ΔΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量， ΔΨδA(ti)＝ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti)，(i＝1、2、3、……、n)，(J3-5) 其中，ΨδA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域中與序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)相鄰的后一個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值， ΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值。
四、參見圖4，這是正弦曲線段局部示意圖。示意圖表示相應(yīng)于定義域[t1，tn+1]的一個(gè)分段，正弦曲線段ZA、替代正弦曲線段ZδA及由替代正弦曲線段ZδA內(nèi)接弦構(gòu)成的折線ZδLA之間的關(guān)系。圖中以u(píng)表示所示分段的序號(hào)，該分段對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的區(qū)間為[tu，tu+1]，[tu，tu+1]的中點(diǎn)以tM，u表示。ΨA(tM，u)、ΨδA(tM，u)、ΨδLA(tM，u)分別是對(duì)應(yīng)于tM，u函數(shù)ΨA(t)、ΨδA(t)、ΨδLA(t)的值，δΨδ-LA(tM，u)是對(duì)應(yīng)于點(diǎn)tM，u以ΨδLA(t)擬合ΨA(t)的誤差δΨδ-LA(t)， δΨδ-LA(tM，u)＝ΨδLA(tM，u)-ΨA(tM，u)。(J4-1) 五、參見圖5，這是圓弧曲線示意圖。在直角坐標(biāo)系ΦA(chǔ)OΨA下的一個(gè)圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為HA的圓弧曲線QC，其曲線方程為 ΦA(chǔ)2+ΨA2＝HA2。(J5-1) 曲線的坐標(biāo)函數(shù)為 ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(J5-2) ΦA(chǔ)(t)＝HAcos(ωt+αA)。(J5-3) 圓弧QC上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΦA(chǔ)的夾角即為(ωt+αA)。
替代圓弧曲線QCδ為圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為HδA的圓弧，其曲線方程為 ΦA(chǔ)2+ΨA2＝HδΛ2。(J5-4) 曲線QCδ的坐標(biāo)函數(shù)為 ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(J5-5) ΦδA(t)＝HδAcos(ωt+αA)，(J5-6) 式中HδA＝HA+δA，(J5-7) δA是ΨδA(t)、ΦδA(t)的幅值差。
圓弧QCδ上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΦA(chǔ)的夾角即為(ωt+αA)。
坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)、ΦA(chǔ)(t)、ΨδA(t)、ΦδA(t)定義域?yàn)閇t1，tn+1]，該定義域?qū)?yīng)的圓弧曲線段記以CA，對(duì)應(yīng)的替代圓弧曲線段記以CδA；圖中CA、CδA分別是第一象限的圓弧段。
六、參見圖6，這是圓弧曲線局部示意圖。示意圖表示相應(yīng)于圓弧曲線段CA在第一象限的一個(gè)分段其圓弧段CA、替代圓弧段CδA及由替代圓弧曲線段CδA內(nèi)接弦之間的關(guān)系。
①圖中圓弧段CδA的內(nèi)接弦就是圓弧段CA的割線。以圓弧段CδA內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合圓弧段CA，實(shí)際上就是由圓弧段CA的割線構(gòu)成的折線擬合圓弧段CA，從而減小擬合的誤差。
②以tM，u表示一個(gè)分段中點(diǎn)處的參數(shù)t的值。對(duì)應(yīng)tM，u，所述CδA內(nèi)接弦擬合CA的徑向誤差絕對(duì)值在坐標(biāo)軸上的投影值即為|δHδ-A，Ψ(tM，u)|。
③圓弧段CδA的等分分段對(duì)應(yīng)的圓心角為ΔTA。以lδA表示圓弧段CδA一個(gè)分段的內(nèi)接弦的長度，對(duì)應(yīng)于tu有 式中，ΔTA＝ωΔτA。(J6-3) 七、參見圖7，這是橢圓曲線示意圖。在直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2下的中心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O的橢圓曲線QE，其曲線方程為 式中H1和H2為橢圓的半軸。
曲線的坐標(biāo)函數(shù)為 Ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝H2sin(ωt+α0)，(J7-3) 式中， α2＝α0，(J7-5) 橢圓曲線QE上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸原點(diǎn)O的連線相對(duì)Ψ1軸的夾角即為(ωt+α0)。
坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)定義域所對(duì)應(yīng)的橢圓曲線段記以ZE；圖中ZE是一個(gè)第一象限的橢圓弧段。
八、實(shí)施例 所需路徑或輪廓線是在直角坐標(biāo)平面ΨXOΨY上的圓心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O、半徑為R0的第1象限圓弧段ZC，其曲線方程為 ΨX2+ΨY2＝R02。(L-1) 曲線的坐標(biāo)函數(shù)為 ΨX(t)＝R0cost，(L-2) ΨY(t)＝R0sint。(L-3) R0＝50000， 圓弧段ZC上的點(diǎn)與圓心O的連線相對(duì)軸ΨX的夾角即為參數(shù)t。要求以折線擬合圓弧段ZC的最大徑向誤差絕對(duì)值不超過εC， εC＝0.5。(L-4) 參見圖5，ΨX、ΨY、R0、t、ZC分別是圖中的ΦA(chǔ)、ΨA、HA、ωt、CA。
以替代圓弧段ZδC的內(nèi)接弦構(gòu)成的折線擬合圓弧段ZC，其插補(bǔ)過程如下 1、設(shè)定替代曲線確定幅值差 (1)設(shè)定替代曲線 以與圓弧段ZC同心的第1象限圓弧段ZδC設(shè)定為圓弧段ZC的替代曲線，以替代圓弧段ZδC的內(nèi)接弦擬合圓弧段ZC。ZδC的曲線方程為 ΨX2+ΨY2＝Rδ02。(L-5) 曲線的坐標(biāo)函數(shù)為 ΨδX(t)＝Rδ0cost，(L-6) ΨδY(t)＝Rδ0sint，(L-7) Rδ0＝R0+δR。(L-8) (2)確定ΨδX(t)、ΨδY(t)的幅值差δR 根據(jù)公式(9-1)，取 δR＝εC＝0.5，(L-9) 則Rδ0＝R0+δR＝50000.5。(L-10) 參見圖5，ΨX、ΨY、Rδ0、t、ZδC分別是圖中的ΦA(chǔ)、ΨA、HδA、t、CδA。
2、確定內(nèi)接弦對(duì)應(yīng)的圓心角ΔTC與圓弧段ZδC的分段 (1)確定ΔTC 將圓弧段ZδC等分，以ΔTC表示圓弧段ZδC各等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，ΔTC也就是圓弧段ZδC內(nèi)接弦對(duì)應(yīng)的圓心角。對(duì)于本例，ΔTC等于所述參數(shù)t的增量ΔτC， ΔTC＝ΔτC。(L-11) 如果要求ZδC內(nèi)接弦擬合ZC在內(nèi)接弦中點(diǎn)處的徑向誤差絕對(duì)值的最大值|δRδ-0，M|不超過0.5，則根據(jù)公式(9-2)， 取|ΔTC|＝0.012649，(L-13) (2)確定圓弧段ZδC分段段數(shù) 依據(jù)式(L-13)確定的ΔTC值，對(duì)圓弧段ZδC進(jìn)行分段，其分段段數(shù)理論值應(yīng)為 實(shí)際分段段數(shù)nC只能是整數(shù)，根據(jù)公式(9-3)，取 nC＝125，(L-15) 此時(shí)，|ΔTC|實(shí)際值為 根據(jù)公式(4-18)，ZδC內(nèi)接弦擬合ZC中點(diǎn)處徑向誤差為 |δRδ-0，M|＝|δRδ0|-δR＝0.487＜εC＝0.5，(L-17) 根據(jù)公式(4-26)，ZδC內(nèi)接弦擬合ZC端點(diǎn)處的徑向誤差絕對(duì)值為 |δRδ-0，D|＝δR＝εC＝0.5。(L-18) 3、確定替代坐標(biāo)函數(shù)定義域中間點(diǎn)的位置坐標(biāo)值 以iC(iC＝1、2、3、……、125、126)表示構(gòu)成逼近圓弧ZC的折線的125個(gè)內(nèi)接弦的起點(diǎn)及最后一個(gè)內(nèi)接弦的終點(diǎn)在內(nèi)的各點(diǎn)的序號(hào)，也就是坐標(biāo)函數(shù)ΨδX(t)、ΨδY(t)定義域的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，二個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)1及126，二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào) iC＝2、3、……、125。(L-19) (1)當(dāng)iC＝1，即圓弧段ZC起點(diǎn)，其位置坐標(biāo)值為已知 ΨδX(t1)＝Rδ0＝50000.5，(L-20) ΨδY(t1)＝0，(L-21) 式中t1＝0。
(2)當(dāng)iC＝2～175，以v+1表示iC(iC＝2、3、……、nC-1)中的某個(gè)中間點(diǎn)的序號(hào)，v代表與之相鄰的前一個(gè)點(diǎn)的序號(hào).，根據(jù)第3點(diǎn)的說明可知，ΨX(t)可視為ΨY(t)的虛擬坐標(biāo)函數(shù)，因此，可根據(jù)公式(1-6)、(1-7)確定圓弧段各中間點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)值增量， ΔΨδX(tv+1)＝ΔΨδX(tv)cosΔTC-ΔΨδY(tv)sinΔTC，(L-22) ΔΨδY(tv+1)＝ΔΨδY(tv)cosΔTC+ΔΨδX(tv)sinΔTC。(L-23) 相應(yīng)的各中間點(diǎn)的位置坐標(biāo)值ΨδX(tv+1)、ΨδY(tv+1)由下式確定 ΨδX(tv+1)＝ΨδX(tv)+ΔΨδX(tv)，(L-24) ΨδY(tv+1)＝ΨδY(tv)+ΔΨδY(tv)，(L-25) 式(L-22)、(L-23)中， ①根據(jù)公式(1-24)、(1-25)，sinΔTC、cosΔTC可按下式確定， ②根據(jù)公式(1-34)、(1-35)，對(duì)應(yīng)圓弧段ZδC起點(diǎn)的位置坐標(biāo)值增量ΔΨδX(t1)、ΔΨδY(t1)可按下式確定， ΔΨδX(t1)＝ΨδX(t1)cosΔTC-ΨδY(t1)sinΔTC-ΨδX(t1)，(L-28) ΔΨδY(t1)＝ΨδY(t1)cosΔTC+ΨδX(t1)sinΔTC-ΨδY(t1)。(L-29) 式中，t1＝0。(L-30) (3)當(dāng)iC＝125，即對(duì)應(yīng)最后一個(gè)中間點(diǎn)，其相應(yīng)的位置坐標(biāo)值增量ΔΨδX(t125)、ΔΨδY(t125)無需計(jì)算，因?yàn)樽詈笠粋€(gè)內(nèi)接弦的終點(diǎn)即圓弧段ZδC的終點(diǎn)，其位置坐標(biāo)值是已知的， ΨδX(t126)＝0，(L-31) ΨδY(t126)＝50000.5。(L-32) 如果不設(shè)替代曲線，直接以圓弧段ZC的內(nèi)接弦擬合圓弧段ZC，為了保證內(nèi)接弦相對(duì)圓弧段ZC的徑向誤差絕對(duì)值不超過εC，對(duì)本例εC為0.5，則應(yīng)有 若取 則其取值是式(L-13)取值的

倍。由此可見，設(shè)定替代曲線將減小分段段數(shù)，從而減小插補(bǔ)運(yùn)算量。
由于第一象限的1/4圓弧相對(duì)角XOY的平分線是對(duì)稱的；因此，插補(bǔ)可以只針對(duì)圓心角為0～(π/4)部分的圓弧進(jìn)行就可以了。圓心角為(π/4)～(π/2)部分的圓弧的位置坐標(biāo)值或其增量可利用所述的對(duì)稱性獲得，計(jì)算量可以節(jié)省50％。
權(quán)利要求
1.一種插補(bǔ)方法，其所針對(duì)的所需路徑或輪廓線Q上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中包括有一個(gè)或若干個(gè)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)，對(duì)應(yīng)所述一個(gè)或若干個(gè)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐標(biāo)函數(shù)分別可以表示為以參數(shù)t為自變量、幅值分別為Hk(k＝1、2、3、……mΨ)、初始相位分別為αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、周期相同為(2π/ω)的正弦函數(shù)，其表達(dá)式為
Ψk(t)＝Hk sin(ωt+αk)，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-1)
所述曲線Q對(duì)應(yīng)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐標(biāo)函數(shù)指的是描述所述曲線Q上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)變化的以參數(shù)t為自變量的函數(shù)，
所述參數(shù)t可以是該曲線Q上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中的一個(gè)坐標(biāo)，也可以是這些坐標(biāo)之外的另一個(gè)參數(shù)，
所述曲線Q各坐標(biāo)函數(shù)的定義域相同，定義域的二個(gè)端點(diǎn)分別與曲線Q二個(gè)已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)著相同的t值，
針對(duì)所需路徑或輪廓線Q的插補(bǔ)就是針對(duì)其坐標(biāo)函數(shù)ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的插補(bǔ)，
針對(duì)坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的插補(bǔ)步驟包括，
(1)設(shè)定對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，
(2)確定替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定義域二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)，包括，
①確定所述中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值或其增量Δt的值，
②確定所述中間點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
(3)確定所述中間點(diǎn)的替代坐標(biāo)函數(shù)值或其增量值，
(4)存儲(chǔ)/輸出運(yùn)算結(jié)果，
所述的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)是替代所需路徑或輪廓線Q的替代曲線Qδ對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐標(biāo)函數(shù)，或說是坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐標(biāo)函數(shù)，
插補(bǔ)中確定的中間點(diǎn)將所述定義域分成分段，每個(gè)分段定義域?qū)?duì)應(yīng)一個(gè)線性函數(shù)，所述各個(gè)分段定義域的端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)值與替代坐標(biāo)函數(shù)值相等，整個(gè)定義域?qū)?duì)應(yīng)一個(gè)由各個(gè)分段定義域?qū)?yīng)的線性函數(shù)組成的分段線性函數(shù)ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，而坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)將以分段線性函數(shù)ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)擬合，
其特征在于
(1)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐標(biāo)函數(shù)設(shè)定為與相應(yīng)的坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、相同定義域但不同幅值的正弦函數(shù)，其表達(dá)式為
Ψδk(t)＝Hδk sin(ωt+αk)，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-2)
式中，Hδk＝Hk+δk， (k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-3)
其中δk(k＝1、2、3、……、mΨ)為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hδk(k＝1、2、3、……、mΨ)相對(duì)相應(yīng)的坐標(biāo)函數(shù)Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hk(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，或說是對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，
δk＝Hδk-Hk， (k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-4)
δk≥0， (k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-5)
(2)將對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的各替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定義域等分，以等分分段的交點(diǎn)作為定義域的中間點(diǎn)，這些中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值增量ΔΨδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，按下述公式確定，
ΔΨδΛ(tu+1)＝ΔΨδΛ(tu)cosΔTΛ+ΔΦδΛ(tu+1)sinΔTΛ，(1-6)
ΔΦδΛ(tu+1)＝ΔΦδΛ(tu)cosΔTΛ-ΔΨδΛ(tu)sinΔTΛ， (1-7)
式中，①ΨΛ表示所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)坐標(biāo)，Λ為序號(hào)k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)序號(hào)，
②u+1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域二個(gè)端點(diǎn)間的某個(gè)中間點(diǎn)的序號(hào)，u是與之相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域的起點(diǎn)的序號(hào)，
以nΛ表示替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域等分分段的段數(shù)，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)作為分段的序號(hào)，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ，nΛ+1)作為包括定義域的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，二個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)1及nΛ+1，二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)，u+1就是序號(hào)iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)中的某一個(gè)序號(hào)，u就是序號(hào)iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ)中與u+1相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)的序號(hào)，u+2就是序號(hào)iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ，nΛ+1)中與u+1相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)的序號(hào)，
所述定義域起點(diǎn)指的是與所述替代曲線Qδ起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的定義域的端點(diǎn)，所述定義域的終點(diǎn)指的是與所述替代曲線Qδ終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的定義域的端點(diǎn)，
③tu+1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域二個(gè)端點(diǎn)間序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
tu為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
tu+2為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
t1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
t(nΛ+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
④ΔTΛ為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域各等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中序號(hào)為iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，或說是替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域各等分分段所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，其數(shù)值為所述參數(shù)t的增量ΔτΛ的ω倍，是常數(shù)，
ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常數(shù)，(1-8)
(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)，(1-9)
其中，t(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)為序號(hào)為(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
t(iΛ)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)為序號(hào)為iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
⑤ΔΨδΛ(tu+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量，
ΔΨδΛ(tu+1)＝ΨδΛ(tu+2)-ΨδΛ(tu+1)， (1-10)
其中，ΨδΛ(tu+2)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值，
ΨδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值，
⑥ΔΨδΛ(tu)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值增量，
ΔΨδΛ(tu)＝ΨδΛ(tu+1)-ΨδΛ(tu)， (1-11)
其中，ΨδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值，
ΨδΛ(tu)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值，
⑦ΔΦδΛ(tu+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量，
ΔΦδΛ(tu+1)＝ΦδΛ(tu+2)-ΦδΛ(tu+1)，(1-12)
其中，ΦδΛ(tu+2)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的后一個(gè)中間點(diǎn)或定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值，
ΦδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值，
⑧ΔΦδΛ(tu)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)定義域中與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值增量，
ΔΦδΛ(tu)＝ΦδΛ(tu+1)-ΦδΛ(tu)，(1-13)
其中，ΦδΛ(tu+1)為序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值，
ΦδΛ(tu)為與序號(hào)為u+1的中間點(diǎn)相鄰的前一個(gè)中間點(diǎn)或定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)值，
⑨sinΔTΛ為對(duì)應(yīng)ΔTΛ的正弦函數(shù)值，cosΔTΛ為對(duì)應(yīng)ΔTΛ的余弦函數(shù)值，
上述⑦、⑧中所述的虛擬替代坐標(biāo)函數(shù)ΦδΛ(t)是一個(gè)與替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδΛ(t)對(duì)應(yīng)的函數(shù)，ΨδΛ(t)與ΦδΛ(t)是一組具有相同幅值HδΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αΛ及相同定義域的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，其表達(dá)式為
ΨδΛ(t)＝HδΛ sin(ωt+αΛ)， (1-14)
ΦδΛ(t)＝HδΛ cos(ωt+αΛ)。，， (1-15)。
2.如權(quán)利要求1所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于
(1)所述坐標(biāo)Ψk(k＝1、……、mΨ)共有二個(gè)坐標(biāo)Ψk(k＝1、2)或Ψ1、Ψ2，對(duì)應(yīng)Ψ1、Ψ2的坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示為一組幅值分別為H1與H2、周期相同為(2π/ω)、初始相位相同為α0的余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，其表達(dá)式為
Ψ2(t)＝H2 sin(ωt+α2)＝H2 sin(ωt+α0)， (2-2)
式中，
α2＝α0， (2-4)
(2)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1及Ψ2的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)為
Ψδ1(t)＝Hδ1 cos(ωt+α0)， (2-5)
Ψδ2(t)＝Hδ2 sin(ωt+α0)， (2-6)
式中，Hδ1＝H1+δ1， (2-7)
Hδ2＝H2+δ2。 (2-8)。
3.如權(quán)利要求2所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于
(1)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1、Ψ2的坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)具有相同幅值R0，函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)的表達(dá)式為
Ψ2(t)＝H2 sin(ωt+α2)＝R0 sin(ωt+α0)， (3-2)
式中，H1＝H2＝R0， (3-3)
α2＝α0， (3-5)
(2)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨX及ΨY的替代坐標(biāo)函數(shù)為Ψδ1(t)、Ψδ2(t)具有相同的幅值Rδ0，函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)的表達(dá)式為
Ψδ1(t)＝Hδ1 cos(ωt+α0)＝Rδ0 cos(ωt+α0)， (3-6)
Ψδ2(t)＝Hδ2 sin(ωt+α0)＝Rδ0 sin(ωt+α0)， (3-7)
式中，Hδ1＝Hδ2＝Rδ0， (3-8)
Hδ1＝H1+δ1＝Hδ2＝H2+δ2＝R0+δR， (3-9)
其中，δ1＝δ2＝δR， (3-10)
(3)對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1、Ψ2的替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域等分為相同的nC個(gè)分段，或者說，替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域各分段起點(diǎn)對(duì)應(yīng)相同的參數(shù)t的增量ΔτC或等效增量ΔTC，
n1＝n2＝nC， (3-11)
Δτ1＝Δτ2＝ΔτC， (3-12)
ΔT1＝ΔT2＝ΔTC。 (3-13)。
4.如權(quán)利要求1至3中任何一項(xiàng)權(quán)利要求所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)其幅值差的取值、其替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量的取值及替代坐標(biāo)函數(shù)定義域等分分段段數(shù)的取值滿足下述公式，
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA， (4-1)
式中，①ΨA表示所述坐標(biāo)中的某一個(gè)坐標(biāo)，A是序號(hào)k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某個(gè)序號(hào)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)ΨA的坐標(biāo)函數(shù)與替代坐標(biāo)函數(shù)為
ΨA(t)＝HA sin(ωt+αA)，(4-4)
ΨδA(t)＝HδA sin(ωt+αA)，(4-5)
②δA為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)ΨA的幅值差，
δA＝HδA-HA， (4-6)
③ΔTA為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量，其數(shù)值為所述參數(shù)t的增量ΔτA的ω倍，
ΔTA＝ωΔτA， (4-7)
④n表示替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域等分分段的段數(shù)，
⑤t1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
tn+1為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
⑥|sin(ωt+αA)|MAX為對(duì)應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域|sin(ωt+αA)|的最大值，
⑦εA為以分段線性函數(shù)ΨδLA(t)擬合坐標(biāo)函數(shù)ΨA(t)的誤差絕對(duì)值|δΨδL-A(t)|的允許值，
δΨδL＝A(t)＝ΨδLA(t)-ΨA(t)，(4-8)
對(duì)應(yīng)替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)的第i(i＝1、2、3、……、n)個(gè)分段定義域，所述的分段線性函數(shù)ΨδLA(t)表達(dá)式為
(i＝1、2、3、……、n)，(4-9)
式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域n個(gè)等分分段的序號(hào)，等分分段的交點(diǎn)就是定義域的中間點(diǎn)，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作為包括定義域的二個(gè)端點(diǎn)及二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)在內(nèi)的點(diǎn)的序號(hào)，二個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)1及n+1，二個(gè)端點(diǎn)間的中間點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著序號(hào)i(i＝2、3、……、n)，
(b)ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
(c)ΔΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值的增量，
ΔΨδA(ti)＝ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti)，(i＝1、2、3、……、n)， (4-10)
其中，ΨδA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域中與序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)相鄰的后一個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值，
ΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)為替代坐標(biāo)函數(shù)ΨδA(t)定義域序號(hào)為i(i＝1、2、3、……、n)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的替代坐標(biāo)函數(shù)值。
5.如權(quán)利要求4所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨA其幅值差δA取值為
δA＝εA/|sin(t+αA)|MAX。
(5-1)
6.如權(quán)利要求4所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于所述|sin(t+αA)|MAX以1替換。
7.如權(quán)利要求6所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)ΨA其幅值差δA取值為εA，
δA＝εA。 (7-1)。
8.如權(quán)利要求3所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于對(duì)應(yīng)所述坐標(biāo)Ψ1、Ψ2其幅值差δR的取值、其替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域等分分段起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的等效增量|ΔTC|的取值及其替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定義域等分分段段數(shù)nC的取值滿足下述公式，
0＜δR≤εC， (8-1)
式中，①t1為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定義域起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，t(nC+1)為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定義域終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值，
②εC為以圓弧段ZδC的等分圓弧分段內(nèi)接弦擬合圓弧段ZC的徑向誤差的絕對(duì)值的允許值，圓弧段ZδC為替代坐標(biāo)函數(shù)Ψδ1(t)、Ψδ2(t)在坐標(biāo)軸Ψ1和Ψ2構(gòu)成的直角坐標(biāo)系Ψ1OΨ2的坐標(biāo)平面上的圖形，圓弧段ZC為坐標(biāo)函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)在坐標(biāo)平面Ψ1OΨ2上的圖形。
9.如權(quán)利要求8所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于所述δR取值為εC，
δR＝εC。 (9-1)。
10.如權(quán)利要求1至3或權(quán)利要求5至9中任何一項(xiàng)權(quán)利要求所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于
ω＝1。(10-1)。
11.如權(quán)利要求4所述的一種插補(bǔ)方法，其特征在于
ω＝1。(11-11)。
全文摘要
本發(fā)明公開一種插補(bǔ)方法，包括步驟為針對(duì)正弦函數(shù)類所需路徑或輪廓線，包括正弦曲線、橢圓曲線、圓弧曲線，提出一種通過算術(shù)運(yùn)算的遞推公式準(zhǔn)確確定曲線中間點(diǎn)位置坐標(biāo)值增量的插補(bǔ)；并提出設(shè)定替代曲線，以提高插補(bǔ)的擬合精度或減小插補(bǔ)運(yùn)算量。所述方法運(yùn)算簡單，對(duì)于同樣的分段段數(shù)，完成運(yùn)算所需時(shí)間少，相當(dāng)于提高了插補(bǔ)運(yùn)算速度；或者，在同等的運(yùn)算時(shí)間內(nèi)，允許增加曲線分段段數(shù)，從而提高折線擬合曲線的精度。由于運(yùn)算簡單，這種方法可在單片計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，從而降低了插補(bǔ)器的成本。因此，這種插補(bǔ)方法速度快，精度高，裝置成本低。
文檔編號(hào)G05B19/41GK101751006SQ20081007239
公開日2010年6月23日 申請(qǐng)日期2008年12月18日 優(yōu)先權(quán)日2008年12月18日
發(fā)明者陳學(xué)恭 申請(qǐng)人:陳學(xué)恭