一種基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法
【專利摘要】本發(fā)明涉及一種基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，主要針對虛擬手術(shù)實(shí)時交互式軟組織形變與切割仿真算法進(jìn)行研究并實(shí)現(xiàn)，該方法包括以下步驟：通過基于材質(zhì)的多子域劃分及體素化、各子域內(nèi)有限元建模、各子域間支持多材質(zhì)的無網(wǎng)格建模、無網(wǎng)格區(qū)域及相關(guān)有限元子域的耦合、切割操作響應(yīng)。本方法對仿真算法進(jìn)行并行化設(shè)計，借助GPU強(qiáng)大的計算能力，達(dá)到實(shí)時交互式效率。
【專利說明】一種基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方

法【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明屬于物理仿真【技術(shù)領(lǐng)域】，具體涉及基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法。
【背景技術(shù)】
[0002]在計算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，形變模型最早由Terzopolous等人引入。關(guān)于逼真模擬形變物體的多種方法的很好的總數(shù)可以查閱。例如，邊界元模型，自適應(yīng)和多尺度方法，無網(wǎng)格技術(shù)以及有限元方法已經(jīng)被提出。奧布賴恩和霍金斯描述的基于有限元模擬脆性斷裂，后來擴(kuò)大到韌性斷裂。Nesme等提出了一種考慮到粗元素?fù)碛胁煌牧蠈傩缘膹?fù)合元公式。
[0003]切割形變物體的四面體劃分方法有Bielser等人引入。為了減少病態(tài)元的數(shù)量，Nienhuys和van der Stappen提出了沿元素表面切割。Cotinet和Forest等人刪除了被切割的元素。降低病型元素的平滑切割被Nienhuys等人通過自適應(yīng)模型邊和面匹配切割面實(shí)現(xiàn)。通過將劃分限制為幾種細(xì)分模式，切割所造成的額外模擬元素的數(shù)量可以減少。此方法的多分辨率解法由Ganovelli等人提出。虛擬節(jié)點(diǎn)算法通過沿切割兩側(cè)復(fù)制仿真元素和重新分配材質(zhì)成分避免了病型元素。
[0004]Wicke等引入了多面體細(xì)分，分割出事的四面體成多面體然后再進(jìn)一步細(xì)分這些元素。擴(kuò)展有限元法通過特定的基函數(shù)豐富了有限元模型來撲捉仿真元素的間斷。Nienhuys和van der Stappen分別實(shí)現(xiàn)了擴(kuò)`展有限元法在虛擬手術(shù)和切割2D薄殼?？紤]到在粗彈性仿真中的好材料元素，Sifakis剪裁高分辨率材料邊界表面模型替代粗仿真模型。
[0005]基于八叉樹的液體和氣體的物理模擬已經(jīng)發(fā)表。限制和不受限制的八叉樹方法都在使用。為了實(shí)現(xiàn)小規(guī)模細(xì)節(jié)的高分辨率，焦點(diǎn)之一是派生自適應(yīng)差分離散方程。Haber和Heldmann引入了在受限制八叉樹上求解偏微分方程數(shù)值解的有限元離散方法。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0006]本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是:提供一種對于多材質(zhì)模型的柔性形變和切割進(jìn)行物理仿真方法，并利用GPU硬件的計算能力，提高了計算與繪制效率，該方法主要利用有限元方法對統(tǒng)一材質(zhì)進(jìn)行建模同時利用無網(wǎng)格方法對多材質(zhì)區(qū)域進(jìn)行建模，通過將兩種方法進(jìn)行耦合達(dá)到了對多材質(zhì)模型的柔性形變和切割的物理仿真，并且通過對算法的并行優(yōu)化使得物理仿真達(dá)到交互式效率。
[0007]本發(fā)明解決上述技術(shù)問題的技術(shù)方案為:一種基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，包括如下步驟:
[0008]步驟(1)、通過基于材質(zhì)的多子域劃分將仿真對象劃分成具有各項同性的子域；
[0009]步驟(2)、各子域依據(jù)仿真精度要求進(jìn)行獨(dú)立的層次細(xì)節(jié)體素化生成基于八叉樹六面體網(wǎng)格；[0010]步驟(3)、各子域根據(jù)各自對應(yīng)的六面體網(wǎng)格進(jìn)行有限元建模；
[0011]步驟(4)、在各子域間建立無網(wǎng)格采樣區(qū)域，建立基于材質(zhì)距離的平滑距離場；
[0012]步驟(5)、在無網(wǎng)格采樣區(qū)域，基于材質(zhì)距離場進(jìn)行無網(wǎng)格方法建模；
[0013]步驟(6)、對無網(wǎng)格區(qū)域及所相關(guān)的有限元子域進(jìn)行耦合；
[0014]步驟(7)、當(dāng)切割操作發(fā)生時，對切割所涉及到的有限元區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分并通過克隆網(wǎng)格體現(xiàn)拓?fù)渥兓?，并在新生成的有限元區(qū)域上重新進(jìn)行無網(wǎng)格方法建模。
[0015]進(jìn)一步的，步驟(I)包括:讀取OBJ模型數(shù)據(jù)，根據(jù)材質(zhì)邊界曲面函數(shù)將對模型建立子域劃分投票函數(shù)(voting function)。
[0016]進(jìn)一步的，步驟(2)包括:建立模型整體的AABB包圍盒作為基于八叉樹的六面體網(wǎng)格根節(jié)點(diǎn)，如果當(dāng)前六面體空間內(nèi)包含模型元素:頂點(diǎn)、三角面片和材質(zhì)邊界曲面，且沒有達(dá)到最高層次精度，則對該六面體進(jìn)行剖分并對新生成的8個子六面體重復(fù)上述操作；當(dāng)所有六面體網(wǎng)格均符合上述條件時，停止操作，并對八叉樹的葉子節(jié)點(diǎn)上的六面體元素使用其中心點(diǎn)作為輸入?yún)?shù)調(diào)用步驟(I)中的子域劃分投票函數(shù)確定其所屬的子域；該步驟(2 )最終生成了 一個反應(yīng)模型表面和材質(zhì)分界特征的層次化八叉樹六面體網(wǎng)格。
[0017]進(jìn)一步的，步驟(3)包括:為了提高計算效率，采用線性基，并生成六面體有限元形函數(shù)以及形函數(shù)的三維空間導(dǎo)數(shù)，并以此構(gòu)建形函數(shù)矩陣和應(yīng)變矩陣；根據(jù)當(dāng)前域所屬的材質(zhì)屬性構(gòu)建材質(zhì)矩陣，所述的材質(zhì)屬性為楊氏模量和泊松比，依據(jù)有限元公式組織局部剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和施力向量。
[0018]進(jìn)一步的，步驟(4)包括:對包含材質(zhì)邊界的六面體網(wǎng)格取其二環(huán)鄰域并將所涉及的六面體網(wǎng)格作為無網(wǎng)格方法的積分背景網(wǎng)格，隨機(jī)均勻分配采樣點(diǎn)，并為每一個高斯積分點(diǎn)建立局部影響域內(nèi)采樣點(diǎn)間的材質(zhì)距離場。
[0019]進(jìn)一步的，步驟(5)包括:根據(jù)步驟(4)所得到的距離場生成針對高斯積分點(diǎn)的移動最小二乘近似(Moving Least Square Approximation)的權(quán)函數(shù),并得到滿足移動最小二乘近似的位移函數(shù)的形函數(shù)，從而得到了對多材質(zhì)區(qū)域的無網(wǎng)格方法建模。
[0020]進(jìn)一步的，步驟(6)包括:找出同屬于無網(wǎng)格區(qū)域和有限元區(qū)域的六面體網(wǎng)格，將步驟(3)和步驟(5)所得到的位移函數(shù)的形函數(shù)通過斜坡函數(shù)(Ramp Function)進(jìn)行聯(lián)立耦合形成耦合區(qū)域的形函數(shù)，并根據(jù)所生成的形函數(shù)生成局部剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和施力向量。
[0021]進(jìn)一步的，步驟(7)包括:將切割工具建模為有三角面片組成的曲面，當(dāng)切割操作發(fā)生時，通過六面體網(wǎng)格與三角面片做碰撞檢測，能夠得到被切割的網(wǎng)格，對于粗層次的網(wǎng)格首先要對其進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分以達(dá)到仿真精度，對于被切割的六面體進(jìn)行克隆操作以滿足切割所造成的拓?fù)渥兓?，最后對受影響的區(qū)域進(jìn)行步驟(3)和步驟(4)，更新仿真方程。
[0022]本發(fā)明的原理在于:
[0023]基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，包括如下步驟:
[0024]I)基于材質(zhì)的多子域劃分及網(wǎng)格化
[0025]步驟(I )、讀取OBJ模型數(shù)據(jù)，根據(jù)材質(zhì)邊界曲面函數(shù)將對模型建立子域劃分投票函數(shù)(voting function)。對于一個網(wǎng)格元素而言，當(dāng)它只滿足一個投票函數(shù)時,它被認(rèn)為是一個內(nèi)部元素(Interior Element),當(dāng)它滿足多于一個投票函數(shù)時,它被認(rèn)為是邊界元素(Boundary Element),否則被認(rèn)為是外部元素(Exterior Element)不參與運(yùn)算。[0026]步驟(2)、建立模型整體的AABB包圍盒作為基于八叉樹的六面體網(wǎng)格根節(jié)點(diǎn)，如果當(dāng)前六面體空間內(nèi)包含模型元素(頂點(diǎn)、三角面片、材質(zhì)邊界曲面)且沒有達(dá)到最高層次精度，則對該六面體進(jìn)行剖分并對新生成的8個子六面體重復(fù)上述操作，在剖分的過程中，為了防止出現(xiàn)懸掛點(diǎn)(Hanging Node),需要保證每一個八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)與其鄰接節(jié)點(diǎn)的層次精度至多相差一個級別，否則也要進(jìn)行剖分。當(dāng)所有六面體網(wǎng)格均符合上述條件時，停止操作，并對八叉樹的葉子節(jié)點(diǎn)上的六面體元素使用其中心點(diǎn)作為輸入?yún)?shù)調(diào)用步驟(I)中的子域劃分投票函數(shù)確定其所屬的子域。該步驟最終生成了一個反應(yīng)模型表面和材質(zhì)分界特征的層次化八叉樹六面體網(wǎng)格。
[0027]2)基于網(wǎng)格的物理建模
[0028]步驟(3)、為了提高計算效率，本方法采用線性基(P = [l，x，y，z])，并生成六面體有限元形函數(shù)以及形函數(shù)的三維空間導(dǎo)數(shù)，并以此構(gòu)建形函數(shù)矩陣和應(yīng)變矩陣。根據(jù)當(dāng)前域所屬的材質(zhì)屬性(楊氏模量和泊松比)構(gòu)建材質(zhì)矩陣。依據(jù)有限元公式組織局部剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和施力向量。由于步驟(2)所生成的六面體網(wǎng)格形狀是相同的只是尺寸不同，本方法只需要計算上述矩陣一次，通過乘以不同的放縮因子得到不同尺寸的對應(yīng)矩陣。
[0029]步驟(4)、對包含材質(zhì)邊界的六面體網(wǎng)格取其二環(huán)鄰域并將所涉及的六面體網(wǎng)格作為無網(wǎng)格方法的積分背景網(wǎng)格，隨機(jī)均勻分配采樣點(diǎn)，并為每一個高斯積分點(diǎn)建立局部影響域內(nèi)采樣點(diǎn)間的材質(zhì)距離場。距離場測量采用測地線方法，利用單元最短路算法對支持域內(nèi)采樣點(diǎn)進(jìn)行計算，為了體現(xiàn)多材質(zhì)特性，本方法提出一種包含材質(zhì)屬性的兩點(diǎn)間距離度量函數(shù)，用此函數(shù)可以得到支持多材質(zhì)的平滑距離場。
[0030]步驟(5)、根據(jù)步驟(4)所得到的距離場生成針對高斯積分點(diǎn)的移動最小二乘近似(Moving Least Square Approximation)的權(quán)函數(shù),并得到滿足移動最小二乘近似的位移函數(shù)的形函數(shù)，從而得到了對多材質(zhì)區(qū)域的無網(wǎng)格方法建模。
[0031]步驟(6)、找出同屬于無網(wǎng)格區(qū)域和有限元區(qū)域的六面體網(wǎng)格，將步驟(3)和步驟(5)所得到的位移函數(shù)的形函數(shù)通過斜坡函數(shù)(Ramp Function)進(jìn)行聯(lián)立耦合形成耦合區(qū)域的形函數(shù)，并根據(jù)所生成的形函數(shù)生成局部剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和施力向量。將步驟(3)和步驟(6)所得到的局部矩陣根據(jù)全局自由度發(fā)布到全局，由于有限元方法和無網(wǎng)格方法具有緊支特性，所以得到的全局矩陣具有稀疏特性，利用預(yù)條件共軛梯度方法(Preconditioned Conjugate Gradient Method)求解,得到了所有米樣點(diǎn)的位移向量。為了進(jìn)行動態(tài)仿真，需要采用NewMark隱式積分方法，利用所得到的位移向量計算采樣點(diǎn)的速度向量和加速度向量。
[0032]3)切割操作響應(yīng)
[0033]步驟(7)、本方法將切割工具建模為有三角面片組成的曲面，當(dāng)切割操作發(fā)生時，通過六面體網(wǎng)格與三角面片做碰撞檢測，可以得到被切割的網(wǎng)格，對于粗層次的網(wǎng)格首先要對其進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分以達(dá)到仿真精度，對于被切割的六面體進(jìn)行克隆操作以滿足切割所造成的拓?fù)渥兓?，最后對受影響的區(qū)域進(jìn)行步驟(3)和步驟(4)，更新全局方程組。對于切割造成的模型表面的幾何變化采用Delaunay三角化進(jìn)行更新。
[0034]本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的有點(diǎn)在于:
[0035]本發(fā)明能夠?qū)Χ嗖馁|(zhì)柔性物體的變形和切割進(jìn)行實(shí)時物理仿真。本發(fā)明主要有兩點(diǎn)貢獻(xiàn):第一，提出了一種基于材質(zhì)距離的無網(wǎng)格建模方法，該方法可以有效地對多材質(zhì)和幾何形狀復(fù)雜的物體進(jìn)行仿真。第二，給出了一種基于多尺度的局部有限元與全局無網(wǎng)格耦合方法，該方法可以對多材質(zhì)柔性物體進(jìn)行材質(zhì)區(qū)域劃分，根據(jù)區(qū)域的重要性進(jìn)行多尺度建模，并且支持實(shí)時形變和交互式切割操作。
【專利附圖】

【附圖說明】
[0036]圖1為算法整體流程圖；
[0037]圖2為模型初始化流程圖；其中，(a)初始模型；(b)材質(zhì)分區(qū)后模型；(C)基于八叉樹體素化網(wǎng)格；
[0038]圖3為層次化六面體網(wǎng)格結(jié)構(gòu)剖面圖；
[0039]圖4為測地線計算距離場示意圖；
[0040]圖5為平滑距離場示意圖；
[0041]圖6為切割響應(yīng)操作示意圖；其中，(a)初始網(wǎng)格；(b)發(fā)生切割的細(xì)分網(wǎng)格和克隆元；
[0042]圖7為表面三角網(wǎng)格分割算法示意圖；其中，Ca)分割前表面三角網(wǎng)格；(b)分割后表面二角網(wǎng)格；
[0043]圖8為多材質(zhì)形變物體仿真輸出；其中，(a)紋理輸出；(b)仿真網(wǎng)格輸出；
[0044]圖9為多材質(zhì)形變物體切割仿真輸出；其中，Ca)紋理輸出；(b)表面三角網(wǎng)格輸出。
【具體實(shí)施方式】
[0045]圖1給出了基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真過程的總體處理流程，下面結(jié)合其他附圖及【具體實(shí)施方式】進(jìn)一步說明本發(fā)明。
[0046]本發(fā)明提供一種基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，主要步驟介紹如下:
[0047]步驟(I)根據(jù)輸入的OBJ模型(見圖2 (a))和材質(zhì)邊界方程建立子域劃分投票函數(shù)(voting function, Vi (x, y, z), i = 0..m, m為材質(zhì)邊界個數(shù))。其中投票函數(shù)以空間點(diǎn)坐標(biāo)為輸入?yún)?shù)，當(dāng)空間坐標(biāo)包含在所表示的材質(zhì)域內(nèi)返回1，否則返回O。圖2 (b)表示了當(dāng)前模型自上而下?lián)碛兴姆N材質(zhì)，以不同顏色表示不同的材質(zhì)屬性。
[0048]步驟(2)建立模型整體的AABB包圍盒作為基于八叉樹的六面體網(wǎng)格根節(jié)點(diǎn)，如果當(dāng)前六面體空間內(nèi)包含模型元素(頂點(diǎn)、三角面片、材質(zhì)邊界曲面)且沒有達(dá)到最高層次精度，則對該六面體進(jìn)行剖分并對新生成的8個子六面體重復(fù)上述操作，在剖分的過程中，為了防止出現(xiàn)懸掛點(diǎn)(Hanging Node),需要保證每一個八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)與其鄰接節(jié)點(diǎn)的層次精度至多相差一個級別，否則也要進(jìn)行剖分。當(dāng)所有六面體網(wǎng)格均符合上述條件時，停止操作，并對八叉樹的葉子節(jié)點(diǎn)上的六面體元素使用其中心點(diǎn)作為輸入?yún)?shù)調(diào)用步驟(I)中的子域劃分投票函數(shù)確定其所屬的子域。該步驟最終生成了一個反應(yīng)模型表面和材質(zhì)分界特征的層次化八叉樹六面體網(wǎng)格。圖2 (c)表示了全局六面體網(wǎng)格，圖3表示了模型內(nèi)部的層次化六面體網(wǎng)格。
[0049]步驟(3)本方法采用線性基(P = [l，x，y，z])，并生成六面體有限元形函數(shù)(公式
I)以及形函數(shù)的三維空間導(dǎo)數(shù)(公式2)，其中ζ，η, μ為局部坐標(biāo)，f為施加的外力，并以此構(gòu)建形函數(shù)矩陣和應(yīng)變矩陣。
【權(quán)利要求】
1.一種基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于:包括如下步驟: 步驟(1)、通過基于材質(zhì)的多子域劃分將仿真對象劃分成具有各項同性的子域； 步驟(2)、各子域依據(jù)仿真精度要求進(jìn)行獨(dú)立的層次細(xì)節(jié)體素化生成基于八叉樹六面體網(wǎng)格； 步驟(3)、各子域根據(jù)各自對應(yīng)的六面體網(wǎng)格進(jìn)行有限元建模； 步驟(4)、在各子域間建立無網(wǎng)格采樣區(qū)域，建立基于材質(zhì)距離的平滑距離場； 步驟(5)、在無網(wǎng)格采樣區(qū)域，基于材質(zhì)距離場進(jìn)行無網(wǎng)格方法建模； 步驟(6)、對無網(wǎng)格區(qū)域及所相關(guān)的有限元子域進(jìn)行耦合； 步驟(7)、當(dāng)切割操作發(fā)生時，對切割所涉及到的有限元區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分并通過克隆網(wǎng)格體現(xiàn)拓?fù)渥兓?，并在新生成的有限元區(qū)域上重新進(jìn)行無網(wǎng)格方法建模。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(1)包括:讀取OBJ模型數(shù)據(jù)，根據(jù)材質(zhì)邊界曲面函數(shù)將對模型建立子域劃分投票函數(shù)(voting function)。
3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(2)包括:建立模型整體的AABB包圍盒作為基于八叉樹的六面體網(wǎng)格根節(jié)點(diǎn)，如果當(dāng)前六面體空間內(nèi)包含模型元素:頂點(diǎn)、三角面片和材質(zhì)邊界曲面，且沒有達(dá)到最高層次精度，則對該六面體進(jìn)行剖分并對新生成的8個子六面體重復(fù)上述操作；當(dāng)所有六面體網(wǎng)格均符合上述條件時，停止操作，并對八叉樹的葉子節(jié)點(diǎn)上的六面體元素使用其中心點(diǎn)作為輸入?yún)?shù)調(diào)用步驟(1)中的子域劃分投票函數(shù)確定其所屬的子域；該步驟(2)最終生成了一個反應(yīng)模型表面和材質(zhì)分界特征的層次化八叉樹六面體網(wǎng)格。
4.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(3)包括:為了提高計算效率，采用線性基，并生成六面體有限元形函數(shù)以及形函數(shù)的三維空間導(dǎo)數(shù)，并以此構(gòu)建形函數(shù)矩陣和應(yīng)變矩陣；根據(jù)當(dāng)前域所屬的材質(zhì)屬性構(gòu)建材質(zhì)矩陣，所述的材質(zhì)屬性為楊氏模量和泊松比，依據(jù)有限元公式組織局部剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和施力向量。
5.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(4)包括:對包含材質(zhì)邊界的六面體網(wǎng)格取其二環(huán)鄰域并將所涉及的六面體網(wǎng)格作為無網(wǎng)格方法的積分背景網(wǎng)格，隨機(jī)均勻分配采樣點(diǎn)，并為每一個高斯積分點(diǎn)建立局部影響域內(nèi)采樣點(diǎn)間的材質(zhì)距離場。
6.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(5)包括:根據(jù)步驟(4)所得到的距離場生成針對高斯積分點(diǎn)的移動最小二乘近似(Moving Least Square Approximation)的權(quán)函數(shù)，并得到滿足移動最小二乘近似的位移函數(shù)的形函數(shù)，從而得到了對多材質(zhì)區(qū)域的無網(wǎng)格方法建模。
7.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(6)包括:找出同屬于無網(wǎng)格區(qū)域和有限元區(qū)域的六面體網(wǎng)格，將步驟(3)和步驟(5)所得到的位移函數(shù)的形函數(shù)通過斜坡函數(shù)(Ramp Function)進(jìn)行聯(lián)立耦合形成耦合區(qū)域的形函數(shù)，并根據(jù)所生成的形函數(shù)生成局部剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和施力向量。
8.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于有限元和無網(wǎng)格耦合的柔性物體實(shí)時切割仿真方法，其特征在于步驟(7)包括:將切割工具建模為有三角面片組成的曲面，當(dāng)切割操作發(fā)生時，通過六面體網(wǎng)格與三角面片做碰撞檢測，能夠得到被切割的網(wǎng)格，對于粗層次的網(wǎng)格首先要對其進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分以達(dá)到仿真精度，對于被切割的六面體進(jìn)行克隆操作以滿足切割所造成的拓?fù)渥兓?，最后對受影響的區(qū)域進(jìn)行步驟(3)和步驟(4)，更新仿真方程。
【文檔編號】G06F17/50GK103699714SQ201310628851
【公開日】2014年4月2日 申請日期:2013年12月1日 優(yōu)先權(quán)日:2013年12月1日
【發(fā)明者】王莉莉, 楊晨, 侯飛, 秦洪 申請人:北京航空航天大學(xué)